解析几何中的定点,定值问答(含答案解析)
解析几何中定值与定点问题
7“解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要 解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. ⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再 视具体情况进行研究. 【实例探究】 题型1:定值问题：例1:已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 ： 的2后焦点，离心率等于 ：(I)求椭圆 c 的标准方程；(H)过椭圆 C 的右焦点作直线I 交椭圆C 于A B 两点，交y 轴于M 点，若MA- \AF,MB 二划朋'，求证孙+心为定值.(II )方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为 偽 Ji)/(曲 jjMQyJ 易知F 点的坐标为(2, 0).MA :. (x Lr ^L -y 0) = ^(2-Xi-yj2JL y 心= ---------- ,v T -- -------- .\ + \ [ +召2J去分母整理得1'' - J将A 点坐标代入到椭圆方程中，得5:则由题意知b = 1.同理鉱二4辭］得:才+10& +5-5^ =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲两个根, ，”召 +血-10.方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是y-k（x-2）. 将直线I的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（l+5t3）x a-20jk3x+20t a-5=0+20疋20^ —5v MA = \AFMB =诵細点坐标代入得石=/一X] 2_召又♦“ 两勺2（x1+ x a）-2x1x2“:石 +爲=—+—二----------------------- ----- =■ =-10.2-兀1 2-巧4_ 2（如+ xj+斤工2例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b2=c2 =1设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将（1，3/2）代入整理得4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1（2）设AE斜率为k则AE 方程为y-（3/2）=k（x-1）①x2/4+y2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2 ）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y 得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根据韦达定理x1 •= （k2/3-k-1/4 ）/ （1/4+k2/3［③将③的结果代入①式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ）/（1/4+k2 /3）设AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则AF 方程为y- (3/2 ) =-k (x-1 [④x2/4+y2/3=1 ②5不存在，请说明理由.••• MA.(x 1-m,y 1),MB -g-my),5 3k 2,^(x ^m)(x 2 -m) y 1y 13k 2 1 k2x1 1 x2 13k 5 11k 2 X 1X 2 kF X 1 X 2m2k 2 3：!②④联立同样解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3) y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF 斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
定点定值
x=a 2E K DBAF g l Oy x解析几何中的定点、定值问题阳信一中 郑振华有关解析几何的问题中,常常涉及到证明直线过定点、两直线相交于定点、动圆过定点及两变量的和、差、积或两向量的数量积为定值的问题,对于每类问题如何解决,笔者给出了以下例题,以期能起到“以点带面”之功效. 一、共点直线系例1.已知(1)(1)20m x m y m +---=为直线l 的方程,求证：不论m 取任何实数,直线l 必过定点,并求出这个定点的坐标.证明:方法一:由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,即(2)0m x y x y --++=. 当20x y --=且0x y +=时, 不论m 取任何实数方程恒成立,故直线l 必过定点解方程组200x y x y --=⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩,即定点坐标为(1,1)-.方法二: 由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,(1)(1),m x m m y m ∴+-=-+(1)1(1)1,(1)(1)(1)(1)m x m m y m m x m m y m +--=-+-+-+=-+-,即11(1)(1),1m y x m m ++=-≠-因此当1m ≠时,直线l 必过定点(1,1).-当1m =时,原直线l 的方程为1,x =同样过点(1,1).- 综上所述,不论m 取取任何实数,直线l 必过定点(1,1).-【点评】(1)若直线方程中含有参数m ,可将方程整理成(,)(,)0f x y m x y ϕ+=的形式, 令(,)0(,)0f x y x y ϕ=⎧⎨=⎩,解得0x x y y =⎧⎨=⎩.则直线恒过点00(,)x y .(2)共点直线系:00()[y y k x x -=-定点00(,),x y k 为变数],表示一束过定点00(,)x y 的直线系(不包括直线0)x x =二、两动直线相交于定点(两变量的差为定值) 例2.已知直线l :1x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的右焦点F ,且交椭圆C 于,A B 两点,点,,A F B 在直线2:g x a =上的射影依次为点,,D K E .连结,AE BD ,证明:当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点. 证明:因为(1,0)F ,所以2(,0).K a先探索:当0m =时,直线l ⊥x 轴,此时四边形A B E D 为矩形, 由对称性知,,AE BD 相交于F K 的中点21(,0).2a N +猜想: 当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点21(,0).2a N +证明:设22112212(,),(,),(,),(,).A x y B x y D a y E a y 首先证明当m 变化时,直线AE 过定点N .由22221,1,x m y x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得2222222()2(1)0.a b m y m b y b a +++-= 222224(1)0(1),a b a m b a ∆=+->>22212122222222(1),.mbb a y y y y a b ma b m-+=-=++12221,.1122AN EN y y k k a a m y --==---122211122AN EN y y k k a a m y --∴-=----22222121222222222221112(1)1()()221111()()2222a m bb a a m y y m y y a b m a b ma a a a m y m y -----+-++==------ 22222222212(1)2(1)0.1(1)()()2m a b m a b a a my a b m ---==---+,AN EN k k ∴=故,,A E N 三点共线;同理可证,,B D N 三点共线.所以,当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点.【点评】(1)若曲线在一般情况下具有某一性质,则在特殊情形下一定具有该性质,故上述例题首先取一特殊情况(直线斜率不存在)求出定点,然后给出一般情况下的证明. (2)证三条直线共点时,可首先证明两直线相交于一点,再证第三条直线过交点;同理,证明两直线相交于一点,可先证明一直线过定点,再证另一直线也过该点. 三、动圆恒过定点 例3已知椭圆22142xy+=,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P 作椭圆的切线l ,交y轴与点,A 直线l '过点P 且垂直与l ,交y 轴与点.B 试判断以AB 为直径的圆能否经过定yxPQOBAy xBAPO 点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.解:设点0000(,)(0,0)P x y x y ≠≠,直线l 的方程为00(),y y k x x -=-代入22142xy+=,整理得2220000(34)8()4()120k x k y kx y kx ++-+--=.0x x =是方程的两个相等实根,00028()2,34k y kx x k-∴=-+解得003.4x k y =-[或根据234(0)2y x y =->求导解得]∴∴直线l 的方程为00003().4x y y x x y -=--令0x =,得点A 的坐标为220043(0,).4y x y +又222200001,4312,43x y y x +=∴+=∴点A 的坐标为03(0,).y又直线l '的方程为00004(),3y y y x x x -=-令0x =,得点B 的坐标为0(0,),3y -∴以AB 为直径的圆方程为003()()0,3y x x y y y ⋅+-⋅+=整理得2203()10.3y x y y y ++--=由2210,0x y y ⎧+-=⎨=⎩得1.0x y =±⎧⎨=⎩ ∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)-和(1,0).【点评】过圆C ：220x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为： 22()0x y D x Ey F Ax By C λ+++++++=.交点坐标由2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩解得 四、动点在某定直线上 例4.设椭圆C :221,42xy+=当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B 时，在线段AB 上取点Q ,满足||||||||.A P Q B A Q P B ⋅=⋅证明:点Q 总在某定直线上.证明:设点,,Q A B 的坐标分别为1122(,),(,),(,).x y x y x y由题设知||,||,||,||AP PB AQ Q B 均不为零,记||||,||||AP AQ PB QB λ==则0λ>且 1.λ≠又,,,A P B Q 四点共线, 从而,.AP PB AQ Q B λλ=-=于是12124,1.11x x y y λλλλ--==--1212,1.11x x y y x λλλλ++==++从而2221224,1x x x λλ-=- ①2221221y y y λλ-=-. ②又点,A B 在椭圆C 上,即221124,x y += ③ 22222 4.x y += ④①+2⨯②并结合③,④得42 4.x y +=即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上. 【点评】(1)解答本题有两个关键，一是将向量模之间的关系转化成向量之间的线性关系，从而得到动点、定点之间的坐标关系；二是如何合理整合各关系式.（2）圆锥曲线上的动点满足三个基本条件:①动点满足曲线定义的几何条件;②动点满足曲线的几何性质;③动点坐标满足标准方程的代数条件.应充分利用这些特征,根据函数与方程思想和几何性质处理有关“定”的问题. 五、两变量的和为定值例5.已知抛物线:C 24,x y =其焦点为F ,过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点,交抛物线的准线l 于点,N 已知12,,NA AF NB BF λλ==求证:12λλ+为定值.证明:方法一:如图所示,设直线AB 的方程为11221,(,),(,),y kx A x y B x y =+则2(,1).N k--联立方程组24,1x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22440,(4)160,x kx k --=∆=-+>故12124, 4.x x k x x +==-由12,NA AF NB BF λλ==得11122222,,x x x x kkλλ+=-+=-整理得1212221,1.kx kx λλ=--=--故12122112()kx x λλ+=--+1212224220.4x x k k x x k +=--⋅=--⋅=- 方法二:由已知12,,NA AF NB BF λλ==得120.λλ⋅<于是12||||,||||NA AF NB BF λλ=-①如图,过,A B 两点分别作准线l 的垂线,垂足 分别为11,A B ,则有11||||||,||||||AA NA AF NB BB BF ==② 由①、②得120.λλ+=【点评】如何利用题设条件中向量之间的线性关系,本例给出了启示,即根据向量平行将 12,λλ用坐标表示出来,进而化简整理证得;另利用初中所学的平面几何知识解决有关直线与抛物线的位置关系问题,有时可将解答过程大大简化. 六、两变量的积为定值 例6.已知曲线1C :22221(0,0)x y b a y ab+=>>≥与抛物线2C :22(0)x py p =>的交点分别为,A B (点A 在点B 左边),曲线1C 和抛物线2C 在点A 处的切线分别为12,,l l 且12,l l 的斜率分别为12,.k k 当b a为定值时,求证;12k k ⋅为定值(与p 无关),并求出这个定值.证明:设点A 的坐标为00(,),x y 曲线1C 的方程可写成:222200,,b b y a x y a x aa=-∴=-所以002001222220|()|.x x x x bx b x bx k y a y a a xa a x=='==-=-=---200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=又002021|()|,2x x x x x k y x pp==''===所以200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=222222x b b apy a-⋅=-为定值.【点评】由题意,两直线斜率都可通过求导求的,相乘约分即可求出定值,但复合函数的求导问题值得关注. 七、数量积为定值 例7.已知椭圆C :221,2xy +=点M 的坐标为5(,0)4,过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,对于任意的,k R ∈M A M B ⋅是否为定值？若是求出这个定值;若不是,请说明理由.解析:由已知得(1,0),F 直线l 的方程为(1).y k x =-由22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(21)42(1)0,k x k x k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x yF 2F 1yxBA P则2212122242(1),.2121kk x x x x k k -+==++112255(,)(,)44M A M B x y x y ∴⋅=-- 121255()()44x x y y --+2121255()()(1)(1)44x x k x x =--+--2221212525(1)()()416k x x k x x k=+-++++222222254()22254(1)212116k k k k k k k +-=+-++++2242257.211616k k --=+=-+由此可知,716M A M B ⋅=- 为定值. 【点评】证明数量积为定值,首先将向量用坐标表示,而进行怎样的转化,如何利用题设条件是证明的关键.八、直线斜率为定值 例8.已知椭圆22124xy+=的上、下焦点为12,,F F 点P 在第一象限且是椭圆上的点，并满足121PF PF ⋅=,过P 作倾斜角互补的两条直线,PA PB 分别交椭圆于,A B 两点. 求证:直线AB 的斜率为定值.证明;由题意可得12(0,2),(0,2),F F -设0000(,)(0,0),P x y x y >>则100200(,2),(,2),P F x y P F x y =--=---221200(2)1,PF PF x y ∴⋅=--= 又点00(,)P x y 在椭圆上,所以22001,24x y += 所以224,2y x -=从而2204(2)1,2y y ---=得0 2.y =则点P 的坐标为(1,2).因为直线P A 、P B 的斜率比存在,故不妨设直线P B 的斜率为(0)k k >,则直线P B 的方程为:2(1).y k x -=-由222(1),124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(2)2(2)(2)40,k x k k x k ++-+--=设(,),(,),B B A A B x y A x y则22222(2)2(2)2221,1,222B B k k k k k k x x kkk----+==-=+++同理可得22222,2A k k x k+-=+则242,2A B k x x k -=+28(1)(1).2A B A B k y y k x k x k-=----=+所以直线AB 的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值.【点评】(1)若已知条件中的曲线满足某些特殊位置关系(本例中的倾斜角互补),则与这些曲线相关的点也可能较“特殊”.(2)当两直线的斜率满足120k k +=或121k k =-等关系时，若通过整理运算得到一关于1k 的关系式，关于2k 的关系式即用2k -或21k -代替上式中的1k 便可求的.。
专题04 解析几何中的定值问题 (解析版)
专题04 解析几何中的定值问题常见考点考点一 定值问题典例1．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点()0,4P x 是抛物线C 上一点，6PF =． (1)求抛物线C 的方程；(2)过()0,4Q 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求证：2211||||AQ BQ +为定值． 【答案】(1)28x y = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由6PF =，根据抛物线的定义得到462p+=，求得4p =，即可求得抛物线的方程； （2）设直线l 的方程为4y kx =+，联立方程组利用韦达定理12128,32x x k x x +==-，结合两点距离公式，化简21212222212()2111||||1()x x x x AQ BQ k x x +-+=⋅+，代入即可求解. (1)解：因为点()0,4P x 在抛物线2:2C x py =上，且6PF =， 由抛物线的定义可得462pPF =+=，解得4p =， 所以抛物线的方程为28x y =. (2)解：设直线l 的斜率为k ，可得直线l 的方程为4y kx =+， 联立方程组248y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得28320x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得2(8)4(32)0k ∆=-⨯->且12128,32x x k x x +==-， 由222222222211221122111111||||(4)(4)(44)(44)AQ BQ x y x y x kx x kx +=+=++-+-++-++- 22212121222222222121212()21111(1)(1)1()1()x x x x x x k x k x k x x k x x ++-=+=⋅=⋅++++ 222221(8)2(32)1111(32)11616k k k k -⨯-+=⋅=⋅=+-+.变式1-1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2设点()(),00,M m m m a ≠≠±是x 轴上的定点，直线l ：222a mx m+=，设过点M 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，A 、B 在l 上的射影分别为A '、B '． (1)求椭圆C 的方程；(2)判断AA BB '⋅'是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=；(2)是定值，定值为222(4)4m m -.【解析】 【分析】(1)根据题意列方程得出a ，b 的值即可得出椭圆方程；(2)求出当直线AB 斜率为0时AA BB '⋅'的值，再求当直线AB 斜率不为零或不存在时AA BB '⋅'的值.当直线AB 斜率不为零或不存在时，设直线AB 方程为x ky m =+，和椭圆方程联立，根据韦达定理计算AA BB '⋅'.由此即可得出结论． (1)由题意可知1b =，ca=又222a c b -=，2a ∴=，1b =，c∴椭圆的标准方程为：2214x y +=；(2)当直线AB 斜率为0时，A 、B 分别为椭圆的左右顶点，A '、B '均为22,02a m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则222244222222222222()(4)22444a m a m a m a m a m m AA BB a a a m m m m m ++++--'⋅'=-⋅+=-==，当直线AB 斜率不为0时，设直线AB 的方程为x ky m =+，联立方程组2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 得：2222(4)8440k x mx m k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则0∆>时，12284mx x k +=+，22122444m k x x k -=+，222221212122444(4)()2224m m m m AA BB x x x x x x m m m m ++++''∴⋅=-⋅-=-++222222(4)(4)444m m m m +-=-+=．综上，AA BB '⋅'为定值222(4)4m m -．变式1-2．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，点P （1，32）在椭圆上，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的右焦点为F ，过B （4，0）的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，求证：直线FD 与直线FE 斜率之和为定值.【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可得12c a=，然后将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程求解即可；（2）设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，然后联立椭圆与直线的方程消元，然后韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+，然后可算出FD FE k k +为定值. (1)由题意知，12c e a ==，所以a =2c ，22b a =-2c =23c ， 故椭圆的方程为2222143x y c c+=，又点P （1，32）在椭圆上，代入解得21c = 所以2a =4， 23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设直线l 的方程为y =k (x -4)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立方程组()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222343264120k x k x k +-+-=，则0∆>，解得2k <14，∴21223234k x x k +=+，2122641234k x x k-=+， FDFE k k +=()121212*********(1)(1)k x x x x y y x x x x ⎡⎤-++⎣⎦+=----()()()()22222222121264123212824160243225834343401111k k k k k k k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫---++⨯-⨯+ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭===---- 所以直线FD 与直线FE 斜率之和为0.变式1-3．如图，已知圆22:4O x y +=，点(1,0)B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，点A 的集合记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线:4l x =，3(1,)2Q ，过点B 的直线1l 与C 交于,M N 两点，与直线l 交于点K ，记,,QM QN QK 的斜率分别为123,,k k k ，问：1223k k k k --是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22143x y +=(2)是定值，证明见解析，2- 【解析】 【分析】(1)按照所给的条件，分析图中的几何关系即可；(2)作图，联立方程，按步骤写出相应点的坐标，求对应的斜率即可. (1)设AB 的中点为P ，切点为Q ，连接,OP PQ ， 取B 关于y 轴的对称点D ，则2BD = ，连接AD ，由于P 是AB 的中点，O 是BD 的中点，∴=2AD OP ，故=2222AB AD OP PB OP PQ ++=+()242OP PB BD =+=>=.所以点A 的轨迹是以,B D 为焦点，长轴长为4的椭圆.其中2,1,a c b ===C 的方程为22143x y +=；(2)由第一问，作图如下：设1122(,),(,),M x y N x y 依题意，直线1l 的斜率必定存在， 设1:1(0)l x my m =+≠，将其与椭圆方程联立：221(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=， 由韦达定理，得：12122269,3434m y y y y m m --+==++ 易得点3(4,)K m ，33311232m k m -==-111113322,1y y k x my --==-22232y k my -= 133213122323231k k k k k k k k k k k k k k -+---==---- 而121213122231212112311()()3223113()()22y y m y y k k my y y m k k my y y y y m y y m -----==-----……① 由12122269,3434m y y y y m m --+==++得：12123()2y y y y m =+， 代入①得：1312223121313k k my y y k k my y y --==---，得1332131223232312k k k k k k k kk k k k k k -+---==-=----故答案为：22143x y +=，是定值，理由见解析，-2.典例2．已知椭圆1C：(22216x y a a +=>，1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点，1C 的离2C，点E 在2C 上，过点E 和1F ，2F 分别作直线交椭圆1C 于F ，G 和M ，N 点，如图.(1)求1C ，2C 的方程；(2)求证：直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值； (3)求证：11FG MN +为定值.【答案】(1)1C ：221186x y+=；1C ：221x y -=(2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线1C 的方程，再求曲线2C 的方程； （2）首先设()00,E x y ，表示直线1EF 和2EF 的斜率之积，即可求解定值；（3）首先表示直线1EF (1y k x =+与1C 方程联立消y ，利用韦达定理表示弦长FG ，以及利用直线1EF 和2EF 的斜率关系121k k =，表示弦长MN ，并证明11FG MN +为定值. (1)由题设知，椭圆1C =解得218a =∴()1F -，()2F∵椭圆1C 的左右焦点1F ，2F 是双曲线2C 的左右顶点， ∴设双曲线2C ：()2221012x y n n -=>∴2C =212n =.∴1C ：221186x y+=2C ：2212x y -=；(2)证明：∵点E 在2C 上 ∴设()00,E x y则220012y x =-，∴122020112EF EFy k k x ⋅==-. ∴直线1EF 和2EF 的斜率之积为定值1； (3)证明：设直线1EF 和2EF 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k = 设()11,F x y ，()22,G x y1EF：(1y k x =+与1C 方程联立消y 得()()22221113118210kx x k +++-=“*”则1x ，2x 是“*”的二根则()121211221182131x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩则FG =)2121131k k ++ 同理))2222112221211111131331k k k MN k k k ⎫+⎪++⎝⎭===++⋅+∴2211FG MN+== 变式2-1．已知()2222:10x y C a ba b +=>>左、右顶点分为A ，B 点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()4,0M -作直线PQ 交椭圆C 于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），若直线AP 和BQ 的交点为N .求证：MB AN ⋅为定值.【答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据题意和离心率求出2a =，b(2)设设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程，联立椭圆方程并消去x ，利用韦达定理表示出1212y y y y +、，根据直线的点斜式方程求出直线AP 、BQ ，结合平面向量的坐标表示化简计算即可. (1)由题意得：c e a =12242b c ⋅=，即a ，2bc =，又222a b c =+，则有2a =，b =则椭圆C 的标准方程为：22142x y +=.(2)由题意知：直线PQ 的斜率不为0， 设直线:4PQ x my =-， 由224,24,x my x y =-⎧⎨+=⎩，得()2228120m y my +-+=， 设()00,N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()21660m ∆=->，12282m y y m +=+，122122y y m =+. 因为()2,0A -，()2,0B ，则0612MB AN x ⋅=+.则()1212212322m my y y y m ==++①， 直线()11:22y AP y x x =++②，直线()22:22y BQ y x x =--③， 由②③得：()()1200122222y yx x x x +=-+-， 则()()()()221210212210121212112222222662y y x y my x x my y y y x y x y my my y y x +-+--====----+④ 将①代入④得：()()122001213221232362y y y x x y y y+-+==--+-，则01x =-， 则06126MB AN x ⋅=+=-.变式2-2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上的点到焦点的最大距离为方程2610x x -+=的根，离心率e 满足228a e =． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AB 的垂直平分线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：2169m k -为定值．【答案】(1)2219x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出关于a c +的等式，结合离心率c e a=，228a e =，222a b c =+，求出a ，b 的值，即得椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用根与系数的关系求12x x +，12y y +的表达式，进而得到AB 的中点M 的坐标，利用直线1PM l k k ⋅=-即可证明2169m k -为定值．(1)因为方程2610x x -+=的实数根为3±①若3a c +=+228a e =，所以28c =，即c =3a =．因为222a b c =+，所以1b =，此时椭圆C 的方程为2219x y +=；②若3a c +=-228a e =，所以28c =，即c =所以30a =-<，不符合题意，所以椭圆C 的方程为2219x y +=；(2)证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221,9,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2221918990k x mkx m +++-=．因为直线y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以()()2222324419990m k k m ∆=-⨯+⨯->，即2291m k <+，由韦达定理知1221819mk x x k +=-+，122219my y k +=+， 所以AB 的中点229,1919mkm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭．又因为AB 的中垂线过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k ≠，所以22119219019m k k mk k ++⋅=---+， ()2222191919219m k k k mk k ⎛⎫+++⋅-⋅=- ⎪+⎝⎭，221918m k m ++=，所以21691m k -=， 所以2169m k -为定值．变式2-3．斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知点()1,P m 在抛物线C 上，过点P 作两条直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N （M ，N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与y 轴垂直，求证：MN 的斜率为定值. 【答案】(1)24y x = (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点差法求得p ，由此求得抛物线C 的标准方程.（2）求得P 点的坐标，设出直线,PM PN 的方程，通过联立方程求得,M N 两点的坐标，进而判断MN 的斜率为定值. (1)设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=， 21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24p p ==， 所以抛物线方程为24y x =. (2)当1x =时，2414,2y y =⨯==±，所以()1,2P ±. 不妨设()1,2P ，依题意可知直线,PM PN 的斜率存在、不为0且互为相反数，设直线PM 的斜率为k ，则直线PN 的斜率为k -， 直线PM 的方程为()21,2y k x y kx k -=-=+-， 直线PN 的方程为()21,2y k x y kx k -=--=-++，224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，解得24441,2M k k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 同理可求得24441,2N k k k ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 的斜率为224482218444411k k k k k k kk ⎛⎫-----⎪⎝⎭==-⎛⎫++--+ ⎪⎝⎭，是定值.巩固练习练习一 定值问题1．已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹E 的方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A B ､两点，与圆22:20N x y y +-=交于C D ､两点（A ，C 在y 轴同侧），求证：AC DB ⋅是定值. 【答案】(1)24x y = (2)1 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义先判定动点的轨迹形状，再求其标准方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、抛物线的定义进行证明. (1)解：由题意，得动圆的圆心M 到点()0,1F 的距离等于到直线1y =-的距离，所以M 的轨迹是以点()0,1F 为焦点的抛物线，其轨迹方程为2:4E x y =；(2)解：设经过焦点F 的直线为:1l y kx =+， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=； 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2=16(1)0k ∆，且124x x k +=，124x x =-；因为圆22:20N x y y +-=的圆心为()0,1N （即抛物线的焦点），半径为1， 由抛物线的定义，得1||1AF y =+，2||1BF y =+， 则1||||1AC AF y =-=，2||||1BD BF y =-=， 所以1212(1)(1)AC DB y y kx kx ⋅==++2221212()14411k x x k x x k k =+++=-++=，即AC DB ⋅是定值，定值是1.2．已知椭圆22:14x C y +=，下顶点为A ，不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P ，Q 两点．(1)若线段PQ 的中点为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭R ，求直线l 的斜率；(2)若l 与y 轴交于点(0,2)B ，直线,AP AQ 分别交x 轴于点M ，N ，求证：M ，N 的横坐标乘积为定值．【答案】(1)12； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设1122(,),(,)P x y Q x y ，应用点差法可得121212124()y y x xx x y y -+=--+，结合PQ 的中点R 有12122,1x x y y +=-+=，即可求直线l 的斜率；（2）设直线:2l y kx =+，联立椭圆方程应用韦达定理求12x x +、12x x ，由判别式求k 的范围，进而写出直线,AP AQ 并求M ，N 坐标，化简M N x x 即可证明结论. (1)设1122(,),(,)P x y Q x y ，由,P Q 在椭圆C 上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=，即121212124()y y x x x x y y -+=--+，又PQ 的中点R11,2且R 在椭圆C 内，则12122,1x x y y +=-+=，所以直线l 的斜率为121212y yx x -=-．(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)16120k x kx +++=． 由22(16)48(14)0k k ∆=-+>得：234k >，即k <或k >1221614k x x k -+=+，1221214x x k =+.直线AP 为1111y y x x +=-，令0y =得：111x x y =+，则11,01x M y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理得22,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭， 所以121212212121212(1)(1)(3)(3)3()9M N x xx xx xy y kx kx k x x x x k x x ===+++++++22212412489(14)3k k k ==-++，所以,M N 的横坐标乘积为定值43．3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为4，1F ，2F 为E 的左､右焦点，M 为E 上一动点，当12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b.(1)求E 的标准方程：(2)过点1F 作斜率之和为3的两条直线1l ，2l ，1l 与E 交于点A ，B ，2l 与E 交于点C ，D ，线段AB ，CD 的中点分别为P ，Q ，过点1F 作1F H PQ ⊥，垂足为H .试问：是否存在定点T ，使得线段TH 的长度为定值.【答案】(1)22143x y +=；(2)存在11,8T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，TH 为定值，证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据内切圆的半径表示出三角形的面积，结合长轴的定义即可求出a 、b ，进而求得椭圆方程；(2)设直线PQ 的方程为y kx m =+，直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由直线PQ 和直线AB 的方程求出点P 的横坐标，直线AB 联立椭圆方程，利用韦达定理，结合题意即可求出当T 为1F G 的中点时，TH 为定值. (1)设椭圆的焦距为2c ，由12MF F △的面积最大时，其内切圆半径为3b ， 得112(22)223b c b a c ⨯⨯=+⨯，化简，得12c a=， 又24a =，所以21a c ==，，所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，PQ x ⊥轴，点P 与点Q 关于x 轴对称， 则120k k +=，与题意中的123k k +=矛盾，不符合题意； 设直线PQ 的方程为y kx m =+，则直线AB 的方程为1(1)y k x =+，直线CD 的方程为2(1)y k x =+，由1(1)y k x y kx m=+⎧⎨=+⎩，得11P m k x k k -=-，由122(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222111(34)84120k x k x k +++-=，设()()1122,,A x y B x y ，，则2121214234P x x k x k +==-+， 所以2121434k k -=+11m k k k --，化简得2114()330k m k k m -+-=， 同理，2224()330k m k k m -+-=，所以12k k 、为方程24()330k m x x m -+-=的两个根， 有1234()k k k m +=--，又123k k +=，所以14k m =-，所以直线PQ 的方程为111()()(1)444y m x m m x =-+=-++，得直线PQ 过定点1(1,)4G -，又1(1,0)F -，1F H PQ ⊥，所以1F H HG ⊥， 则点H 在以1F G 为直径、以1(1,)8T -为圆心的圆上， 故点H 到圆心1(1,)8T -的距离恒为定值，即存在点1(1,)8T -为1F G 的中点时，TH 为定值.4．如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，双曲若点A 为双曲线右支上一点，且12AF AF -=直线2AF 交双曲线于B 点，点D 为线段1F O 的中点，延长,AD BD ，分别与双曲线Γ交于,P Q 两点.(1)若()()1122,,,A x y B x y ，求证：()1221212x y x y y y -=-； (2)若直线,AB PQ 的斜率都存在，且依次设为12,k k .试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值，7 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，斜率不存在时，直接验证，斜率存在时，运用斜率公式可证明；（2）设直线AD 的方程为()1111y y x x =++，与双曲线联立得111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，由斜率公式及（1）中的结论可得结论. (1) 证明：由双曲线离心率ce a==12||||2AF AF a -=，及222c a b =+， 可得2222,2,4a b c ===，所以双曲线方程为22122x y -=，2(2,0)F .当直线AB 的斜率不存在时，122x x ==，()12212121222x y x y y y y y -=-=-，直线AB 的斜率存在时，22AF BF k k =，121222y yx x =--，整理得()1221212x y x y y y -=-， 综上所述，()1221212x y x y y y -=-成立； (2)依题意可知直线AD 的斜率存在且不为0， 设直线AD 的方程为()1111y y x x =++， 代入双曲线222x y -=并化简得：()()()2222211111210x x y x x +-+-+=，①由于22112x y -=，则22112y x =-代入①并化简得：()()22211112322340x x x x x x +----=，设00(,)P x y ，则2111013423x x x x x --=+，211100112(2)342323x x x x x x x ---+=⇒=++，代入()1111y y x x =++，得10123yy x -=+，即111134,2323x y P x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，同理可得222234,2323x y Q x x ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，所以()()2112212121221122123232334342323y y x y x y y y x x k x x x x x x -------++==------++ ()()()212121112124377y y y y y yk x x x x -----==-⋅=--，所以217k k =是定值.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于A ，B 两点且△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，在x 轴上是否存在一点P 使得直线l 变动时，总有直线P A 的斜率与PB 的斜率之积为定值，若存在，求出该定值及点P 的坐标；若不能，请说明理由. 【答案】(1)24y x =(2)存在，定值1-或7-，()0,0P 【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，利用点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切列方程即可求解； （2）设直线AB 的方程为x ty m =+,根据△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍，可以求出m 的值，利用韦达定理求出PA PB k k ⋅的值，由PA PB k k ⋅为定值即可判断出点P 的坐标，进而求出定值.(1)设(,)M x y ，则MF 的中点为G ,其坐标为1,22x y G +⎛⎫⎪⎝⎭，MF =G 到y 轴的距离为12x +， 则由题意可知，点M 满足以MF 为直径的圆均与y 轴相切，则|1|2x +=24y x =； (2)设直线AB 的方程为x ty m =+，由△OAB 的面积是△FAB 面积的43倍可知，点O 到直线AB 的距离是点F 到直线AB 的距离的43倍，4m =或47=m ， 可知直线AB 过点(4,0)且斜率不为0, 设()()()01122,0,,,,P x A x y B x y ，则()121221020120120PA PB y y y yk k x x x x x x x x x x =⨯=---++⋅，将直线方程与抛物线方程2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩联立得2440y ty m --=， 则124y y t +=，124y y m =-，即()21212242x x t y y m t m +=++=+，()21221216y y x x m ==，故()22200442PA PB mm k t x x k m -⋅-++=，由此可知，只有当00x =时，PA PB k k ⋅才是定值， 即4PA PB k k m=-⋅， 当4m =时，1PA PB k k ⋅=-，当47=m 时，7PA PB k k =-⋅，故定点()0,0P ，定值为1-或7-. 6．已知圆1C ：()22125x y ++=，圆2C ：()2211x y -+=，动圆C 与圆1C 和圆2C 均内切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程(2)点()1,P t （0t >）为轨迹E 上的点，过点P 作两条直线与轨迹E 交于AB 两点，直线P A ，PB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.【答案】(1)22143x y +=；(2)是定值，定值为12. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义即得；（2）由题可得直线P A 的方程，联立椭圆方程可得点A 、B 横坐标，进而利用斜率公式即得.(1)由题意得()11,0C -，()21,0C .设动圆圆心C 的坐标为(),x y ，半径为r ， 则15CC r =-，21CC r =-. 从而()121244CC CC C C +=>.∴动圆圆心C 的轨迹E 是焦点为()11,0C -，()21,0C ，长轴长等于4的椭圆，且1c =，2a =. 又222a b c =+，得b =∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为22143x y +=.(2)由（1）可得31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭.设直线P A 的方程为()()3102y k x k -=-≠ 则直线PB 的方程为()312y k x -=--. 设()11,A x y ，()22,B x y .由()22312143y k x x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得()()22223412841230k x k k x k k ++-+--=， 则212412334P k k x x k --=+，即212412334k k x k--=+.（1） 同理可得222412334k k x k +-=+.（2） ∴()()()1212121212123311222ABk x k x k x x k y y kx x x x x x ⎡⎤⎡⎤+----⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦===---. 将（1）（2）代入上式，化简得12AB k =. 故直线AB 的斜率为定值12.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 是抛物线C 上一点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的淮线的距离为72． (1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆22:(2)4M x y -+=，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA ，OB 的斜率之差的绝对值为定值． 【答案】(1)24y x =； (2)2. 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列出等式472pp ++=，即可求出答案； （2）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB k k -=，当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程为y kx b =+即点,A B 的坐标，把直线AB 与抛物线进行联立，写出韦达定理，利用到直线AB 的距离等于半径2，找到k 与b 之间的关系式，在计算OA ，OB 的斜率之差的绝对值，化简即可求出答案. (1)根据题意可列4722pp p ++=⇒= 故抛物线C 的方程为24y x =. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为4x =，(4,4),(4,4)A B -，1,1,2OA OB OA OB k k k k =-=-=. ②当直线AB 的斜率存在且不为0时，故设直线AB 的方程为y kx b =+， 圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B两点，故2214b d kb ==⇒=- 设(,),(,)A A B B A x y B x y把直线AB 的方程与抛物线进行联立2222(24)04y kx bk x kb x b y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩ 22242,A B A B kb b x x x x k k -+=⋅=.,A B OA OB A B y y k k x x ==B A A B A B A BOA OBA B A B A Bb x x y y y x x y k k x x x x x x ---=-===22bb=====.综上所述：,OA OB的斜率之差的绝对值为定值为2.8．已知双曲线2222:1Γ-=x ya b（0a>，0b>）的左、右顶点分别为()11,0A-、()21,0A，离心率为2，过点()2,0F斜率不为0的直线l与Γ交于P、Q两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线1A P、2A Q的斜率分别为1k、2k，求证：12kk为定值．【答案】(1)y=；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由双曲线的顶点坐标、离心率，结合双曲线参数的关系求a、b，进而写出双曲线方程，即可得渐近线方程.（2）讨论l的斜率：当l k不存在求P、Q的坐标，进而可得1213kk=-；当lk存在，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，并联立双曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式求证1230k k+=是否成立即可. (1)设双曲线Γ的半焦距为c，由题设，1a=，2cea==，2223b c a=-=双曲线Γ的方程为2213yx-=，故渐近线方程为y=．(2)当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为()2,3和()2,3-，所以，当11k=时有23k=-；当11k=-时有23k=，此时1213kk=-，当l的斜率k存在时，设()11,P x y，()22,Q x y，l为(2)y k x=-，将直线l代入双曲线方程得()222234430--++=k x k x k，所以212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()()1212121212322331111k x k x y y k k x x x x --+=+=++-+-()()()()()()()1212123211211--++-=+-k x x x x x x ()()()()()12121212123222211--++-+-=+-k x x x x x x x x x x ()()()()12121245411-++=+-k x x x x x x因为()()()22212122443204345403+-+--++==-k k k x x x x k ，所以1230k k +=，即1213kk =-，综上，12k k 为定值，得证．。
江苏高考 解析几何 定值定点问题 含答案解析
第2课时 定点、定值问题题型一 定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)， 所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)· 4m 2－44k 2＋1＋(m －1)· －8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． (1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点． (1)解 由题意可得2c ＝22，即c ＝2， 设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， PQ ＝2n ，AB ＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3，则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4， 可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①解 将直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程， 可得(1＋2k 2)x 2＝4， 解得x ＝±21＋2k2，可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， 由E 是3x ＋3y －2＝0上一点， 可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以OE ⊥MN ，OM ＝d ， 即有23－m m ＝－1k，①4＋4k21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k2，②由①得m ＝2k3(k －1)(k ≠1)，代入②式，化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47.②证明 由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 解得x N ＝2－4k 21＋2k 2，y N ＝k (x N ＋2)＝4k1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， 设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)， 以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点， 可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型二 定值问题例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A .(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．(1)解 由题意可知，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在x 轴上，2c ＝2，c ＝1，椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A (2，0)， 由题意知直线PQ 斜率存在， 设其方程为y ＝k (x －2)－2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0.所以x 1,2＝(42k 2＋42k )±[－(42k 2＋42k )]2－4(2k 2＋1)(4k 2＋8k ＋2)2(2k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1， 则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，则k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2.由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－2]x 2＋[k (x 2－2)－2]x 1 ＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 (2018·南通考试)如图，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，过点P (0,1)的直线与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA →＝λP A →，QB →＝uPB →，求证：λ＋u 为定值．证明 当AB 与x 轴垂直时，此时点Q 与点O 重合， 从而λ＝2，u ＝23，λ＋u ＝83.当点Q 与点O 不重合时，直线AB 的斜率存在． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则Q ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 由题设，得x 1＋1k ＝λx 1，x 2＋1k＝ux 2，即λ＝1＋1x 1k ，u ＝1＋1x 2k.所以λ＋u ＝1＋1x 1k ＋1＋1kx 2＝2＋x 1＋x 2kx 1x 2，将y ＝kx ＋1代入x 2＋y 2＝4，得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0， 则Δ>0，x 1,2＝－2k ±4k 2＋12(1＋k 2)2(1＋k 2)， x 1＋x 2＝－2k1＋k 2，x 1x 2＝－31＋k2， 所以λ＋u ＝2＋－2k1＋k 2k · ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋k 2＝83. 综上，λ＋u 为定值83.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．例 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1，所以16y 02k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0· 2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程．1．(2019·江苏省明德实验学校调研)如图，已知A ，B 是圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点，P 为直线l ：x ＝4上的动点，P A ，PB 与圆的另一个交点分别为M ，N .(1)若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程； (2)求证：直线MN 过定点．(1)解 由题意可知直线P A 的方程为y ＝x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2＋y 2＝4，解得M (0,2)，直线PB 的方程为y ＝3x －6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －6，x 2＋y 2＝4，解得N ⎝⎛⎭⎫85，－65，所以MN 的方程为y ＝－2x ＋2， 即2x ＋y －2＝0.(2)证明 设P (4，t )，则直线P A 的方程为y ＝t6(x ＋2)，直线PB 的方程为y ＝t2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫72－2t 236＋t 2，24t 36＋t 2， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2－84＋t 2，－8t 4＋t 2， 直线MN 的斜率k ＝24t36＋t 2－－8t4＋t 272－2t 236＋t 2－2t 2－84＋t 2＝8t 12－t2， 直线MN 的方程为y ＝8t 12－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2t 2－84＋t 2－8t4＋t 2， 化简得y ＝8t 12－t 2x －8t12－t 2， 所以直线MN 过定点(1,0)．2．设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值． 解 (1)由椭圆定义得MF 1＋MF 2＝4，①由垂直得MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝4(4－b 2)，②由题意得12MF F S＝12MF 1· MF 2＝1，③ 由①②③，可得b 2＝1，C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，H (0,1)，显然直线的斜率存在且不为0，设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，因为直线RS 过点(2，－1)，所以－1＝2k ＋m ，即2k ＝－m －1，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，故x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)2(4k 2＋1)， 所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km 4m 2－4＝2k －2kmm ＋1＝2k m ＋1＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.3．(2018·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)求证：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )．(1)解 由题意可知OA ＝5，因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45， 由题意可知D (5,0)，显然，直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b ，将C ，D 两点坐标代入方程得直线CD 的方程为x ＋7y －5＝0.(2)证明 设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4，所以D 点坐标为(5m ＋4,0)．设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，(5m ＋4)2＋(5m ＋4)D ＋F ＝0，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0， 解得x ＝0，y ＝0(舍)或x ＝2，y ＝－1.△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1)．4．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，Δ＝16(k －1)2>0，∴x 1＝k 2－4k ＋4k 2， 同理x 2＝k 2＋4k ＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k， ∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k＝k · 2k 2＋8k 2－2k ＝8k， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k＝－1， ∴直线AB 的斜率为定值－1.5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1， 即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2aba 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →· OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1,2＝－8km ±64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)2(1＋4k 2)， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ，所以OA →· OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)· 4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足MA ＝MB .求证：1OA 2＋1OB2＋2OM 2为定值． (1)解 将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由MA ＝MB ，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1b 2＋1b 2＋2a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝1a 2＋1a 2＋2b 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 12＝123＋4k 2，y 12＝12k 23＋4k 2，所以OA 2＝OB 2＝x 12＋y 12＝12(1＋k 2)3＋4k 2， 同理，OM 2＝12(1＋k 2)4＋3k 2. 所以1OA 2＋1OB 2＋2OM 2＝2×3＋4k 212(1＋k 2)＋2(4＋3k 2)12(1＋k 2)＝76.1 OA2＋1OB2＋2OM2为定值76.综上，。
高考解析几何定点、定值问题例题以及答案详解
解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。
3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。
（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切； （2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。
解析几何中定值与定点问答
解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1.∴椭圆C的方程为（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c² =1设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①x²/4+y²/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0根据韦达定理x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③将③的结果代入①式得y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)设AF斜率为-k，F（x2，y2）则AF方程为y-（3/2）=-k（x-1）④x²/4+y²/3=1 ②②④联立同样解得 x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3） y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3） EF 斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
解析几何中的定点与定值问题
例1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆T的方程为
+ = , 设, , 是椭圆上的三点（异于椭圆顶
点），且存在锐角θ，使
= + .
(1)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
(2)求 + 的值。
两点，设两直线的斜率分别为
, , 且 + = , 求直线
AB恒过定点的坐标。
小结：
2、通过设动直线方程再利用
条件，寻找动直线中的字母关
系（k与b）；或者解出动点坐
标，再出动直线方程，通过
化简求出定点；或者利用两个
特殊位置先求出定点，再证明。
变式训练：
在平面直角坐标系xoy中，椭圆C；
右顶点B的任意一点P，
记直线PA,PB的斜率分别为 , ,则 ∙
的值为_____________.
题型二、特值法（再证明）、设动直线方程、
解动点坐标等方法处理定点问题
例2、已知椭圆C: + =1,M(0,2)
是椭圆的一个顶点，过点M分
别作直线MA,MB交椭圆于A,B
+
= , 过点 ， −
的动直线与
椭圆交于, 两点，试判断以为
直径的圆是否恒过定点，说明理
由。
课堂小结：
本节课你学习到了？
小结：
1、设曲线上的动点坐
标，利用动点在曲线上
进行坐标运算、
以及整体运算、和消元
思想。
变式训练：
1、设M为双曲线
− =1(a>0,b>0)上的任意
解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展解答
专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。
)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一 点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为 弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程； 若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。
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解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0)【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令440x y -=⎧⎨=⎩ 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ⋅=______________．【答案】-2【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y --220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又由A 、P 均在椭圆上，故有：2200222121x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 两式相减得2222002()()0x x y y -+-= ，220122202y y k k x x -⋅==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24e【解析】设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,与椭圆方程联立消去y 整理可得()22223424361080k x k x k +-+-=,则221212222436108,3434k k x x x x k k -+==++, 所以1221834ky y k -+=+,则AB 中点为222129,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭,令0y =,则22334k x k =+,即223,034k N k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, 所以222239(1)33434k k NF k k+=-=++.()2236134kABk+==+,所以14NFAB=.FA,是其左顶点和左焦点，P是圆222byx=+上的动点，若PAPF=常数，则此椭圆的离心率是【答案】e=215-【解析】因为PAPF=常数，所以当点P分别在（±b，0）时比值相等，2b ac=，又因为222b a c=-，所以220a c ac--=同除以a2可得e2+e-1=0，解得离心率e=215-．二、典例讨论例１、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22142x y+=的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．分析一：设PQ 的方程为y kx =，设点()00,P x y （00x >），则点()00,Q x y --．联立方程组22,24ykx x y =⎧⎨+=⎩消去y 得22412x k =+． 所以0x，则0y =．所以直线AP 的方程为)2y x =+．从而M ⎛⎫⎝同理可得点N ⎛⎫ ⎝． 所以以MN 为直径的圆的方程为2(x y y +-+=整理得：2220x y y +--=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F 分析二：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），代入椭圆方程可得220024x y +=．由直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，可得0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理由直线QA 方程可得0020,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭，可得以MN 为直径的圆为2000022022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅-= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，整理得：2220020002240224y y y x y y x x x ⎛⎫+-++= ⎪+--⎝⎭由于220042x y -=-，代入整理即可得2200204204x y x y y x ⎛⎫+--=⎪-⎝⎭此圆过定点(0)F ． 分析三： 易证：2212AP AQb k k a =-=-，故可设直线AP 斜率为k ，则直线AQ 斜率为12k-. 直线AP 方程为(2)y k x =+，从而得(0,2)M k ，以12k -代k 得10,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭故知以MN 为直径的圆的方程为21(2)()0x y k y k+-+=整理得：2212(2)0x y k y k+-+-=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F . 分析四、设(0,),(0,)M m N n ，则以MN 为直径的圆的方程为2()()0x y m y n +--=即22()0x y m n y mn +-++= 再由221=2AP AQAM AN b k k k k a =-=-得2mn =-，下略(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过点(1,0)E ，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(1) 由题意：22222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2) 设AB 方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323(1)(1)AM BN y kx y kx k x kx k x kx k k x x x x x x x x +--+--+=+=+-+-+则整理得：[]132323131323(1)()(1)()()()AM BN k x x x x x x x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：2222(41)8440k x k x k +-+-=，所以22121222844,4141k k x x x x k k -+==++ ② 又由2244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.例2(变式)、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (3) 求椭圆C 的方程；(4) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过定点(,0),(22)E m m -<<，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(3)由题意：22222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (4) 设AB 方程为()y k x m =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323()()AM BN y kx y kx k k x x x x k x m kx k x m kx x x x x +-+=+-+-+--=+-+则整理得：[]132323131323()()()()()()AM BN k x x m x x x x m x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x m x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22()44y k x m x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22222(41)8440k x k mx k m +-+-=， 所以222121222844,4141k m k m x x x x k k -+==++ ② 又由2244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.三、课外作业1、已知椭圆22+142x y =，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________． 【答案】（0,0） 【解析】试题分析：设(2,),M t 则:(2)4tAM y x =+，与椭圆方程联立消y 得2222(8)44320t x t x t +++-=，所以221628P tx t -=+，288P t y t =+，因此22282816228BP tt k t tt +==---+，即1BP OM k k =-，点Q 的坐标为O（0,0）2、已知PA 、右顶点B 的任意一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅则的值为 ． 【答案】13- 【解析】设(,)P x y ，因为P 在椭圆上，所以3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12，A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为,αβ，则cos()cos()αβαβ+-= .【答案】7 【解析】试题分析：因为A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，22PA PBb k k a ∴⋅=-2222211132244c a b b e a a a -=∴=∴=∴=Q ，2234PA PBb k k a ∴⋅=-=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 473cos()cos cos sin sin 1tan tan 14αβαβαβαβαβαβαβαβ++--====-++- 4、如图所示，已知椭圆CC 上任取不同两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为'A ，当A ，B 变化时，如果直线AB 经过x 轴上的定点T (1，0)，则直线'A B 经过x 轴上的定点为________．【答案】(4，0)【解析】设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－224m m +，y 1y 2＝－234m +， 当m ≠0时，经过点A ′(x 1，－y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程为121y y y y ++＝121x x x x --.令y ＝0，得x ＝2121x x y y -+y 1＋x 1＝2121my my y y -+y 1＋my 1＋1＝2212112121my y my my y my y y －＋＋＋＋1＝12212my y y y ＋＋1＝2232424m m m m ⋅+-+－＋1＝4，所以y ＝0时，x ＝4. 当m ＝0时，直线AB 的方程为x ＝1，此时A ′，B 重合，经过A ′，B 的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB 为x 轴时，直线A ′B 就是直线AB ，即x 轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A ，B 变化时，直线A ′B 经过x 轴上的定点(4，0)．5、 的右焦点2F 的直线交椭圆于于,M N 两点，令【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN 垂直x 轴的情况，此时MN ：x=1,联立221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M （1，32）,N （1，-32），∴m=n=32，∴34mn m n =+6、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．所以a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛- ⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛++= ⎝⎭2， 即224x y y k++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法二：因为椭圆C的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫⎝．所以020168y MN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=．所以08MN y =． 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭． 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ， 令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭． 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ，即224cos 4sin x y y θθ++=． 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-． 故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．7、已知椭圆C: 2222x y a b+=1（a >0，b >0A (1在椭圆C 上．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满 足此圆与l 相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之 积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+，又因为点(1,2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， 解得2a =，1b =，c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，2y x b =-+， 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-. 要使得12k k 为定值，则224141r r -=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 8、已知椭圆C 1：22221(0)y x a b a b +=>>M (1．(1)求椭圆C 的方程； (2)已知直线l ：1()3y kx k =-∈R 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由． (1)解：由已知222222252511142c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2224155y x +=(2)解：由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229(24)12430k x kx +--= ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根 ∴12122212439(24)9(24)k x x x x k k +==-++，设P (0，p )，则1122()()PA x y p PB x y p =-=-u u u r u u u r，，， 22121212121212112()()()()333p PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++u u u r u u u r2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+若PA PB ⊥u u u r u u u r ，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立∴22184503624390p p p ⎧-=⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件。