常用的优选法
优选法的五种方法
优选法的五种方法
优选法是数学原理指导下的一种科学方法，用于合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案。
以下列举了五种优选法的具体方法：
1. 单因素优选法：如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题。
这个方法又细分为平分法、法（黄金分割法）、分数法、分批试验法等。
2. 多因素优选法：当涉及两个或更多因素时，可以采用降维法、爬山法、单纯形调优胜、随机试验法、试验设计法等。
3. 微分法：用于求解目标函数有明显的表达式的问题。
4. 变分法：一种用于求解泛函的极值的方法。
5. 极大值原理或动态规划等分析方法：适用于目标函数有明显的表达式的情况。
请注意，以上信息仅供参考，如需获取更多信息，建议查阅优选法的相关书籍或咨询该领域专业人士。
五章 优选法
x2做试验得y2= f(x2),假定x2> x1，如果y2 > y1，则最大值 肯定不在区间（a, x1 ）内，因此只考虑在（ x1 ，b）内 求最大值的问题。再在（ x1 ，b）内取一点x3，做试验 得y3= f(x3),如果x3> x2，而y3 < y2，则去掉（ x3 ，b）内 取一点x4，…，不断做下去，通过来回调试，范围越 缩越小，总可以找到f(x)的做大值。
9
10
二、黄金分割法（ 0.618法）
0.618法的要点是先在试验范围的0.618分点和 它的对称点0.382分点处作试验，比较两个点的结 果，去掉“坏点”部分，保留“好点”所在的区 间；然后在留下区间内再找到上一次“好点”的 对称点，作第二次试验，比较结果，决定取舍， 逐步缩小试验范围。这种方法每次可以去掉试验 范围的0.382倍，而且从第二次试验后每次只须做 一次试验，因此可以用较少的试验次数，迅速找 到最佳点．
2、如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，
如果 x1 是“好点”，把试验范围[a, x2] 掉，保留 好点” x1 所在区间，得到新的搜索区间[x2, b] ，得
x 3 x 2 b x1
x2 b x3 x1 比较 x1 x3处试验结果，找出“好点”，保留“好点” 所在区间，依次进行下去…
式可以表示为： 第一点＝小＋0.618（大－小） 第二点＝大＋小－第一点
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
五章 优选法
34
在x ＝x4处做试验，得试验结果y4 假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi’给出
除xi’之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi’的左
右两点，将这三点记为 x1’，x2’，x3’
此处x1’＜x2’＜x3, ，若在处的函数值分别为 y1’，
(5 1) (5 2) (5 3)
b x11 a x12 称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
1% 2.7% 4.4%
第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2 有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围
32
第二次试验加碱量（试验点）：1.85%=(1%+2.7%)/2 乳化良好
1% 1.85% 2.7%
第三次，为了进一步减少乳化时间，不考虑少于1.85%的 加碱量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2
设二次函数在x4取得最大值：
在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1， y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：
1 y1 ( x x ) y2 ( x x ) y3 ( x x ) x4 2 y1 ( x2 x3 ) y2 ( x3 x1 ) y3 ( x1 x2 )
优选法与统筹法的具体实例
优选法的具体实例一、 一个真实案例某电子管厂从仓库中清出了积压多年的几百万米某种“废”金属丝。
为了使得这些废金属丝能够重新被利用，科研人员经过研究发现，找出准确的退火温度是使该废金属丝复活的关键。
由经验知道，退火温度的范围为[1400,1600]C C，因此，试验范围为[1400,1600]C C。
如果不考虑其他次要因素，则该金属丝的质量指标()f t 是温度t的函数，其中[1400,1600]t 。
由于目标函数()f t 的具体表达式不知道，因此，该问题的关键在于能否通过次数尽量少的调温试验，求出满足一定精度条件下的最佳退火温度。
（华罗庚先生70年代初期支援大西南三线建设期间的一个案例）分析： 尽管目标函数()f t 的具体表达式不知道，但是根据经验可知：从退火温度的最低点1400C开始，随着t 的增大，质量指标()f t 的函数值随之增大；当达到最佳退火温度0t 时，随着t 的继续增大，一直到最高点1600C，质量指标()f t 的函数值随之减少。
也就是说，()f t 是在试验区间内先增后减的单峰函数，其中只有唯一的一个最优点。
试验方法讨论： 1、 等分法通常的想法是：在试验区间[1400，1600]上均匀取点试验，就可以求得满足一定精度要求的最佳退火温度。
例如，若要求精度达到120，我们只要在 123191410,1420,1430,,1590t t t t ====各点进行试验，通过比较各点的试验结果，就能找到最佳试验点。
例如，若发现91490t =是其中最好的点，就可以断定最佳退火温度必在区间（1480，1500）上。
在生产实际中，就可以把1490C作为最佳退火温度。
问题：每一次试验都需要较高的成本，而上述等分法均匀取点，试验时没有考虑已经获得的质量指标()f t 的信息，往往需要作大量试验才能获得较好的结果。
因此等分法是一种浪费的方法。
需要找到一种更节约的方法。
2、 优选法（0.618法-黄金分割法）（受到蜂巢结构的启发） 具体步骤如下：先在试验区间的0.618处做第一次试验，第一点的温度为：(0.618160014000.61814001520C=-⨯+=-⨯+= 第一次点大小）小（）第二次试验：在第一次点关于中心对称的点，即第二次的温度为1600152014001480C =-+=-+= 第二次点大第一次点小比较上面的两次结果，如果1480C点较好，去掉1520C（称之为“坏点”）以上的温度。
方案优选的方法有哪些种类
方案优选的方法有哪些种类方案优选是指在多种选项中选择最合适的方案或策略。
在现实生活和工作中，我们经常需要进行方案优选来解决问题和做出决策。
方案优选的方法有多种种类，下面将介绍其中几种常用的方法。
首先，常见的方案优选方法是成本效益分析。
这种方法通过对比各个方案的成本和效益，来确定最具经济效益的方案。
成本效益分析可以帮助我们在有限的资源下，选择最能够达到目标并且花费最少的方案。
其次，决策树分析也是一种常用的方案优选方法。
决策树是一种图形化的工具，它通过将问题和方案的各种可能性以及相应的结果连接起来，帮助我们理清思路和做出决策。
通过决策树分析，我们可以清晰地看到每个方案可能带来的结果和潜在的风险，从而做出最优选择。
另外，多属性决策分析也是一种常见的方案优选方法。
这种方法将问题和方案的各个属性和指标进行量化和评估，然后通过对各个属性的权重进行分配，计算出每个方案的综合得分，最终选择得分最高的方案。
多属性决策分析可以帮助我们综合考虑各种因素，并将主观和客观因素结合起来做出决策。
此外，SWOT分析也是一种常用的方案优选方法。
SWOT分析通过评估方案的优势、劣势、机会和威胁，帮助我们了解方案的整体情况和潜在的风险。
通过SWOT分析，我们可以发现每个方案的优点和缺点，并结合外部环境的机会和威胁，做出更全面和准确的决策。
最后，专家咨询和意见征询也是方案优选的常用方法之一。
在面对复杂问题或者需要专业知识的情况下，我们可以向相关领域的专家寻求意见和建议。
专家的经验和知识可以帮助我们更全面地了解每个方案的可行性和潜在问题，从而做出更明智的决策。
综上所述，方案优选的方法有多种种类，包括成本效益分析、决策树分析、多属性决策分析、SWOT分析和专家咨询等。
在实际应用中，根据问题的性质和需要，我们可以选择适合的方法来进行方案优选，以达到最佳的决策结果。
第一讲 优选法· 五、其他几种常用的优选法
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第一个检查点C安排在线路中间， 如果有电，说明故障不在AC而在CB 段，接着在CB中点D检查，如果没有 电，说明故障在CD部分，再在CD中 点E检查，如此类推，很快就能找出 故障的位置.
A
C E D
B
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这个方法的要点是每个试点都取 在因素范围的中点，将因素范围对分 为两半，所以这种方法就称为对分法. 用这种方法做试验的效果较0.618法好， 每次可以去掉一半.
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案例2 在商品价格竞猜游戏中,每 一次试猜时，如何给出商品估价就可
以最迅速地猜出真实价格？
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因为每次给出估价都会得到“高了” 或“低了”的提示语，于是，我们可以根 据提示语确定下一次该往高还是往低估. 这说明可以用对分法给出商品估价，每 次给出的估价都是存优区间的中点.每给
1 一次估价，可以使价格范围缩小 ，迅 2
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四、多峰的情形
y f(x)
O a
b x
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一般可以采用以下两种方法.
(1)先不管它是“单峰”还是“多峰”， 用前面介绍的处理单峰的方法去做， 找到一个“峰”后，如果达到预先要 求，就先应用于生产，以后再找其他 更高的“峰”(即分区寻找).
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(2)先做一批分布得比较均匀的试验， 看它是否有“多峰”现象.如果有，则分区 寻找，在每个可能出现“高峰”的范围内 做试验，把这些“峰”找出来.第一批分布 均匀的试点最好以下述比例分： ：＝0.618：0.382.(图1)这样有峰值的 范围总是成(,) 或(, )形式(图2).
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这个方法还可以应用在某些可变因素要 调到某点，必须经过由小到大或由大到小的 连续过程的问题上.像改变气体和液体的流速、 温度；仪器调试中的可变电容、可变电阻； 等等，采用爬山法比较合适.试验中，可以边 调整边检查，调到最佳点时就固定下来.一般 在大生产中爬山法较常用.
数学知识点：常用优选法
数学知识点：常用优选法数学知识点：常用优选法单峰函数：如果函数f（x）在区间[a，b]上只有唯一的最大值点（或最小值点）C，而在最大值点（或最小值点）C地左侧，函数单调增加（减少）；在C地右侧，函数单调减少（增加），则称这个函数为区间[a，b]上的单峰函数。
规定，区间[a，b]上的单调函数也是单峰函数。
黄金分割法：（1）定义：把试点安排在黄金分割点来寻求最佳点的方法，就是黄金分割法，是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一。
（2）试验点的选取方法：安排试验时，第一个试点在因素范围的0.618处，后续试点用“加两头，减中间”的方法确定。
n次试验后的精度为0.618n-1。
分数法：优选法中，用渐进分数近似代替黄金分割常数确定试点的方法叫做分数法。
其他几种常用的优选法：对分法、盲人爬山法、分批试验法等。
多因素方法：解决多因素问题，往往采用降维法来解决，具体有纵横对折法、从好点出发法、平行线法、双因素盲人爬山法等其他方法。
黄金分割线的最基本公式:是将1分割为0．618和0．382它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1,高考政治。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618精心整理，仅供学习参考。
第5章 优选法
5.2 双因素优选法
1.命题：
设某个优选问题同时受到某两个因素的影响，用x，y表示 两个因素的取值，z＝f(x，y)表示目标函数，那么双因素优 选问题的本质是什么？ 迅速找到二元目标函数z＝f(x，y)的最大值或最小值及其对 应的点(x，y).
2.几何意义：
假设函数z＝f(x，y)在某一区域内单峰，其几何意义是 把曲面z＝f(x，y)看作一座山，顶峰只有一个，从几何 上如何理解双因素优选问题的本质？
5.1.3 分数法
菲波那契数列 ：
F0＝1，F1＝1，Fn＝Fn-1＋Fn-2
(n≥2)
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
分数：
Fn Fn+1
3 5 8 13 21 34 55 89 144 , , , , , , , , 5 8 13 21 34 55 89 144 233
起点
B＜ A A C＞ A
步距：“两头小，中间大”
D＞ C F E＜D
小结
1.如果每作一次试验，根据结果可以 决定下次试验的方向，就可以用对分法 寻找最佳点.相对于0.618法和分数法， 对分法更简单，易操作.
2.盲人爬山法是一种采用小步调调整 策略的优选法，在生产实践和科学试验 中，如果某些因素不允许大幅度调整， 可以用盲人爬山法寻找最佳点.
迅速找到曲面的
z
最高峰.
y
x
把试验范围内z＝f(x，y)取同一值的曲线叫做等高线， 各条等高线在水平面上的投影是一圈套一圈的曲线， 那么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高线？
z
y
x
最里边的一圈等高线.
3.双因素优选法的基本思路：
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如好点值若为 m ( m {n 2, n 1, n, n 1, n 2}), 则此时去掉m 1前面的部分和 m 1 后面的部分, 得第二批试验后的存优 范围与第二 2 1 批试验前存优范围的比 是 . 6 3
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(1) 均分分批试验法.
(2) 比例分割分批试验法 第2批将存优范围4等分(共有3个分 点), 设第4个分点为好点, 则去掉小于第3 个分点的部分, 存优范围为第3个分点到
右端.在没有做过的2个分点(第5、6分点)
上进行试验(图)
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知识归纳：
1. 分批试验法是为了加快试验进 度而采用的方法, 即把全部试验分几批 做, 一批同时安排几个试验, 同时进行 比较, 一批一批做下去, 直到找出最佳 点。 分批试验法可分为均匀分批试验 法和比例分割分批试验法两种。
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2. 如此反复, 就能找到最佳点。
2 围为原来的________, 以后每批试验后, 2n 1
1 存优范围都为前次留下的______. n1
用这个方法, 第一批试验后存优范
比例分割分批试验法适合试验效
果差别比较显著的情形。
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B. 分数法 D. 盲人爬山法
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例3. 用对分法进行试验时, 3次
试验后的精度为______
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例4. 用对分法寻找最佳点时, 达
到精度为0.01的要求需要_____次试 验。
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个试验点中选取6个, 这6个分点中又每2个
试验点是相邻, 则这6个分点构成3组；
则这30个分点去掉6个, 剩下24个分点
被上述3组等分为四份, 即每6个点为一份,
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即30等分点按：6**6**6**6进行取 定(*表示试验点的位置),
所以这六个试验点在第7, 8, 15, 16,
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如此继续下去, 不断地将试验范围
缩小, 直到找到满意的结果为止.这个方
法称为纵横对折法.
***思考***
都要固定在该因素试验的中点？还
有没有改进的余地?
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不一定．实践证明, 用下面的方法更好. 先固定因素I于原生产点(或0.618点)c1, 用单 因素方法优选因素II, 得到最佳点为A1(c1, c2), 然 后把因素II固定在c2, 用单因素法优选因素I, 得 到最佳点B1(d1, c2), 则去掉A1右边的平面区域, 试验范围缩小到a1I<c1, a2IIb2.再将因素I固 定在d1, 优选因素II, 得到最佳点A2(d1, d2), 则去 掉B1以上部分, 试验范 围缩小到：a1I<c1, a2II< c2再将因素II固定在d2, 用单 因素方法在[a1, c1)范围内优 选因素I, 这样继续下去, 就 能找到所需要的最佳点(图).
一、对分法 1. 概念： 2. 适用范围： 3. 操作步骤：
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[案例2] 在商品价格竞猜游戏中,
每一次试猜时, 如何给出商品估价就
可以最迅速地猜出真实价格？
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***思考***
分别用0.618法和对分法安排试
[例2] 某一试验因素是单峰函数, 因 素范围是(4, 35), 现在用比例分割分批试
验法进行优选, 每批试验的试验个数是6
个.试验范围等分为31份, 问如何安排第一 批的试验点的值？
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解：试验范围分为31份, 各等分点分
别为5, 6, …, 34(共30个), 试验点值是从30
每批更多个试验点的情形, 原理类似. 每批做2个, 4个, 6个和8个试验点的安排如 表, 图示中的×代表第一批的试点位置, 数 字代表第一批不安排的试点个数.
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四、多峰的情形
1. 先不管是“单峰”还是“多峰”, 用 处理“单峰”的方法去做, 找到一个“峰” 后, 如果达到预先要求, 就先用于生产, 以后 再找其他更高的“峰”(即分区寻找)。 2. 用均匀法做一批试验(试点划分的比 例最好按0.618 : 0.382划分), 看它是否有 “多峰”现象, 如果有, 则分区寻找, 在每个 可能出现“高峰”的范围内作试验、把这 些“峰”找出来再比较。
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把试验范围中z=f(x, y)取同一值的曲 线叫作等高线, 就如山上同一高度的点的 连线在水平面上的投影(图). 等高线一圈套一圈, 越高越在里边.所 以双因素问题就是通过试验、比较的方法 来寻找比较靠里边的 等高线, 直到找到最 里边的一圈等高线(即 最佳点)为止.
其他几种常用的优选法
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一、对分法
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一、对分法 [案例1] 有一条10km长的输电线
路出现了故障, 在线路的一端A处有
电, 在另一端B处没有电, 要迅速查出 故障所在位置.
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在均匀分批试验法中, 假设每批做 2n个试验。 首先2n个均分点x1, x2, ……, x2n把 试验范围均匀为2n+1份, 若xi是好点, 则 存优范围是(xi-1, xi+1)． 再将(xi-1, xi+1)均分为2n+2份, 即将 2n个试验均匀地安排在xi的两旁, 在未 做过试验的2n个分点上再做试验。
23, 24分点上, 即对应6个试验点的值为11, 12, 19,
20, 27, 28.
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多因素方法
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纵横对折法和从好点出发法 用x, y表示两个因素的取值, z=f(x, y)表 示目标函数(并不需要z=f(x, y)的真正表达 式).双因素的优选问题, 就是迅速地找到二 元目标函数z=f(x, y)的最大值(或最小值)及 其对应的(x, y)点的问题.假设函数z= f(x, y)在某一区域内单峰, 其几何意义是把曲面z= f(x, y)看作一座山, 顶峰 只有一个(图).双因素的 优选问题就是找出曲面 z=f(x, y)的最高峰.
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总之第一批试验后存优 范围与原范围 6 2 之比是 : . 15 5 由上知, 好点值为n时, 存优范围可表 示意为( n 3, n 3), 第二批再取四个试验点 的值是 : n 2, n 1, n 1, n 2, 即加上已有点 n, 将因素范 围六等份,
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3. 盲人爬山法的效果与起点关
系很大, 另外, 每步间隔的大小, 对 试验效果关系也很大.在实践中往往
采取“两头小, 中间大”的办法.
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应用举例： 例1. 有一条1000m长的输电线路出 现了故障, 在线路的开始断A处有电, 在
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三、分批试验法
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三、分批试验法
[案例3] 电机修理厂根据原工艺要求, 单 晶切片厚度为0.54mm左右, 经研磨损失0.15 mm左右, 1kg单晶只出12000左右小片.为了 节约原材料、提高工效、降低成本, 对减小 单晶片厚度, 在(0.20, 0.40)范围内做优选法试 验.切割不同厚度的单晶片很方便, 但要检验 究竟哪一种厚度好, 则要经过磨片、化学腐 蚀、烘干、烧结、参数测定等工序, 试验周 期长达三天(生产中则更长, 要一个多星期), 而且有些工序必须在同一条件下才能得到正 确结果.
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(1) 均分分批试验法.
(2) 比例分割分批试验法 比例分割分批试验法是将第1批试验
点按比例地安排在试验范围内.以每批做
2个试验为例, 将试验范围7等分, 第1批安 排在左起第3, 4两个点上进行(如图);
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然后再在因素I的新范围即(c1, b1] 的中点d1, 用单因素方法优选因素II, 如 果最佳点为A2, 而且A2比B1好, 则沿坏点 B1所在的线, 丢弃不包括好点A2所在的
半个平面区域,
即丢弃平面区域：
c1Ib1, a2IIc2
(图).
例5. 看商品猜价格的具体规则：主持
人出示一件物品, 参与者每次估算出一个 价格, 主持人只能回答：高了、低了、正 确。若猜中, 则游戏结束, 否则在规定时间 内继续猜下去, 直到猜中为止。若现在一 个价格在范围为[1000, 2000](价格数为整 数, 单位为元)的商品, 请你用对分法来猜。 (1)若第一次就能猜中, 则这个商品的 价格数是多少？ (2)哪几个价格猜三次就可以猜到？