弯曲变形的强度条件和强度计算

弯曲变形的强度条件和强度计算

当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。

图1 平面弯曲

一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩

梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。

为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。

图2 剪力的正负

图3 弯矩的正负

例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：（

1

）求支反力

=

∑C M：0

3

10

12

6=

⨯

-

-

⋅

Ay

F，kN

7

=

Ay

F

=

∑Y：0

10=

-

+By

Ay

F

F，kN

3

=

By

F

（2）列内力方程

剪力：

⎩

⎨

⎧

<

<

-

<

<

=

6

3

kN

3

3

kN

7

)

(

S x

x

x

F

弯矩：

⎩

⎨

⎧

≤

≤

≤

≤

⋅

-

⋅

-

=

6

3

3

m

kN

)

6(3

m

kN

12

7

)

(

x

x

x

x

x

M

（3）作剪力图和弯矩图

二、梁弯曲时的正应力

在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。

图4 梁弯曲时的正应力分布图

即有y

I

x

M

z

)

(

=

σ（1）

中性轴把截面分成受拉区和受压区两部分，且最大拉应力和最大压应力发生在上下边缘处，其值为max max y I M

z

=

σ。令max y I W z z

=，即有：

z

W M =

max σ （2）

式中，W z 称为抗弯截面系数，它与横截面的几何尺寸和形状有关，量纲为[长度]3，常用单位为mm 3或m 3。

（1）对于矩形截面（高为h ，宽为b ，z 轴通过截面形心且平行于矩形的宽度方向。）：

6

2

h b W Z =

（3）

（2）对于圆形截面（直径为D ）：

32

3

d W Z π=

（4）

（3）对于圆环形截面（外径为D ，内径为d ）：

()

D

d D W Z

324

4-=π （5）

三、梁的强度计算

梁的强度要求可概括为两个方面，即梁内的最大正应力不超过材料的许用应力和最大切应力不超过材料的许用切应力。一般说来，梁的正应力强度占主要地位，切应力强度是次要的，所以只考虑正应力强度问题。对于等直梁，强度条件为：

][max

max σσ≤=

z

W M （6）

根据梁的正应力强度条件，可以解决梁的强度校核、选择截面尺寸和确定许用荷载三类工程强度设计问题。

例2：图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2×F 2=5kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。

解：（1）求最大弯矩（位于固定端）

max 7.5 kN M =

（2）计算最大应力

（3）计算K 点的应力

6

max max max

227.510176 MPa

408066

Z

M M bh W σ⨯====⨯6max max 337.51030

132 MPa

40801212

K Z

M y M y bh I σ⋅⋅⨯⨯====⨯

1 z