第2章测量误差的计算基础

第二章 测量误差的计算基础
测量误差与概率统计学关系密切，下面介绍与测量误差有关的数学基础知识。

一、算术平均值
对某个被测量x 进行n 次测量，所得的n 个测量值(x i ，i=1，2，…，n)的代数和除以n 而得的商，称为算术平均值。

即如果有n 个测量值x 1，x 2，…，x n ，那么
式中：x —算术平均值；
n —测量次数；
x i —第i 个测量值。

对于不含系统误差的测量列在重复性条件或复现性条件下得出n 个观测结果x n ，随机变量x 的期望值μx 的最佳估计是n 次独立观测结果的算术平均值x (x 又称样本平均值)。

[例2—1) 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为0.3，0.4，0.7，0.5，0.9，求其算术平均值。

[解]
)(154321x x x x x n
x ++++= )9.05.07.04.03.0(5
1++++= =0.56(取0.6)
二、残余误差
(一)定义
测量列中的某个测得值(x i )和该测量列的算术平均值(x )之差为残余误差)(i υ，简称残差。

[例2—2] 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为：10.4，10.5，10.7，10.6，10.8。

求残余误差)(i υ。

[解] )8.106.107.105.104.10(5
1++++=x =10.6 1υ=10.4-10.6=-0.2； 2υ=10.5-10.6=-0.1；
3υ=10.7-10.6=+0.1； 4υ=10.6-10.6=0；
5υ=10.8-10.6=+0.2。

(二)应用
判断x ，i υ计算是否正确，可用∑i υ=0来判定（算术平均值特性之一，算术平均值的另一个特性是：∑2i
υ=最小）。

当x 计算修约结果产生修
约误差时，∑i υ≠0，此时应满足：
式中：n —测量次数； m —保留位数末位的以10为底幂的指数。

如在[例2—2]中：
0)2.0(0)1.0()1.0()2.0(54321=+++++-+-=++++=∑υυυυυυi 说明；x ，i υ的计算结果正确。

[例2-3] 在重复条件下，对某被测量重复测量7次，测量值为：10.4，
10.6，10.7，10.1，10.9，10.3，10.2。

试算x ，i υ的值。

[解]
x =(10.4+10.6+10.7+10.1+10.9+10.3+10.2)／7
=10.457
x =10.46(计算过程比测量结果多保留一位有效数字)
1υ=10.4-10.46=-0.06； 2υ=10.6-10.46=+0.14； 3υ=10.7-10.46=+0.24； 4υ=10.1-10.46=-0.36；
5υ=10.9-10.46=+0.44； 6υ=10.3-10.46=-0.16；
7υ=10.2-10.46=-0.26。

7654321υυυυυυυυ++++++=∑i
=(-0.06)+(+0.14)+(+0.24)+(-0.36)+(+0.44)+(-0.16)+(-0.26)
=-0.02≠0
计算结果不为0，判断x ，i υ计算有无错误?由于
035.0105.072
102=⨯⨯=⨯-m
n ∑i υ＜2
10m n ⨯ 说明x ，i υ的计算结果正确。

三、实验标准偏差
(一)定义
由统计知识可知，标准偏差计算公式为
∑∑-=∆∙=202
)(11x x n
n i i σ 但在一般情况下，x 0(真值)未知，所以不能进行计算。

我们从事的测量
大多为小样本的测量，因此用小样本测量理论来推断总体的特征，即用实验标准偏差来表示。

实验标准偏差是表征测量结果的分散性的量。

对同一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，其实验标准偏差可按下式计算：
式中：s —实验标准偏差，取正值；
n--测量次数(一般不小于6)。

说明：实验标准偏差计算公式又称为“贝塞尔公式”。

[例2—4] 用[例2—3]测量值计算
[解] ()()()()()()()[]
222222226.016.044.036.024.014.006.0171-+-+++-+++++--=s =0.287865709
S=0.29(取2位)
(二)实验标准偏差的其它计算方法
计算实验标准偏差除可采用公式法—贝塞尔公式计算外， 在测量结果接近于正态分布，测量次数n ≥6时，也可采用其他查表计算法(如最大残差法、最大误差法、极差法等)。

1．最大残差法
对某一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，测量结果为x l ，x 2，…，x n ，计算其残差v 1，v 2，…，v n 。

由|v i,max |可得s 的无偏估计。

则“最大残差法”计算实验标准偏差为
式中：c 1,n —残余误差系数，见表2—1；
V i,max —第i 个最大残余误差值。

表2—1 最大残差法系数c l ，n
[例2—5] 对[例2—3]测量值用最大残差法计算实验标准偏差。

[解) max ,,1i n c s υ∙==0.64×0.44=0.264≈0.26
与[例2-4]计算结果相差0.288-0.264=0.024。

2．最大误差法
对某一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，若已知[约定]真值为x 0，其误差为△l ，△2，…，△n 。

由|△i,max |可得s 的无偏估计为：
式中：n c ,2—最大误差系数，见表2—2；
|△i,max |—第i 个最大误差值。

〃
表2—2 最大误差法系数c 2，n ，
[例2-6] 测量某一电流表中的某点，已知输入标准信号为80mA ，重复进行5次测量，其测量结果为76，80，79，81，77mA 。

计算其实验标准偏差。

[解]
mA x x 48076011-=-=-=∆；
mA x x 08080022=-=-=∆；
mA x x 18079033-=-=-=∆；
mA x x 18081044+=-=-=∆；
mA x x 38077055-=-=-=∆；
max ,,2i n c s ∆∙==0.64×4=2.56≈2.6mA
3．极差法
对某一被测量x i (在重复条件下)作n 次测量，测量结果为x l ，x 2，…，x n ，测量列中最大测量值(x i,max )与最小测量值(x i,min )ω之差为
min ,max ,i i x x -=ω
因此，实验标准偏差为
式中：n c ,3—极差系数，见表2—3。

表2—3 极差系数n c ,3
[例2—7] 对[例2—2]测量值用极差法计算实验标准偏差。

[解]
()()172.04.108.1033.211min ,max ,,3=-⨯=-∙=i i n
x x c s
≈0.17
四、算术平均值实验标准偏差
在有限次测量情况下，测量值的算术平均值为被测量的最佳估计值。

算术平均值实验标准偏差为(推导过程略)：
从式(2—7)看出：x s ＜s 。

这是由于算术平均值取平均值的结果，使
得随机误差相互抵消，而且随着测量次数的增加，算术平均值的实验标准偏差远比单值实验标准偏差小。

因此，增加测量次数，可减少测量结果的分散性。

但无须无限增加测量次数来消除测量分散性。

从图2—1中看出，当n ＞10以后，随着n 的增加，x s 减少得相当缓慢。

因此在实际工作中，
一般以6≤n ≤20为宜，过多的重复测量，不仅会增大工作量，也难于保持测量条件的稳定，还会带来新的误差量。

图2—1
[例2—8) 对[例2—2]中测量值计算算术平均值实验标准偏差。

[解]
07.0071.0158.0511≈=⨯=∙=
s n s x。