2-2 综合除法、大除法.讲义学生版
2-2综合除法、大除法.讲义学生版
板块一 综合除法、多项式除法记号()f x关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为()223f x x x =+-．这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =⨯+-=，同样地，有()2020033f =⨯+-=-；()()()2121132f -=⨯-+--=-等等．用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等．综合除法在学习多项式除法时，我们有带余除法：()()()()f x g x q x r x =⋅+ （1）其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数．如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有()()()f x x a q x r =-⋅+ （2）当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算2231235736725x x x x x xx x -++-+----所以，商式为31x -，余数为5-．从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．3 5 726 2 3 1 5+-----商式为31x -，余数为5-．这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下：⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开．例题精讲综合除法和余数定理余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数．【例1】 ⑴求4222356x x x x --++除以()1x +所得的商式和余数．⑵求多项式()3243525f x x x x =+--除以2x -所得的商式和余数．【巩固】 求多项式43223248x x x +--除以2x -的商式和余数．【例2】 用综合除法计算()()43267821x x x x --+÷+．【巩固】 用综合除法计算：()()432653421x x x x x ---+÷+．【例3】 计算：()()432229291x x x x x +--+÷-.【例4】 计算：()()43223471361x x y x y xy y x y --+-+÷-．板块二 余数定理和因式定理余数定理和因式定理由()()()f x x a q x r =-⋅+式，当x a =时，有()()()f a a a q x r r =-⋅+=，因此，我们有以下重要定理：余数定理：多项式()f x 除以()x a -所得的余数等于()f a ，有些时候余数定理作余式定理． 如求()2357f x x x =+-除以2x +的余数．解析：由于()22x x +=--，()()()22325275f -=⨯-+⨯--=-．所以，所求的余数为5-．这与我们前面用综合除法求得的余数相同．再由（2）式知，如果()f x 能被x a -整除，那么必有0r =；反之，如果0r =，那么()f x 能被x a -整除，由此，我们有： 因式定理：若多项式()f x 能被x a -整除，亦即()f x 有一个因式x a -，则()0f a =；反之，如果()0f a =，那么x a -必为多项式()f x 的一个因式．【例5】 求()4353858f x x x x x =-+-+除以24x -所得的余数．【例6】 多项式()f x 除以1x -，2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以()()12x x --所得的余式．【例7】 多项式()f x 除以1x -，2x -，3x -所得的余数分别为1，2，3，试求()f x 除以()()()123x x x ---所得的余式．【例8】 已知()32232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数．【例9】 求一个关于x 的二次三项式()f x ，它能被1x -除余2，被2x -除余8，并且它被1x +整除．【例10】 试确定a 和b 的值，使()432235f x x x ax x b =-+++被()()12x x +-整除．【例11】 设()4323811f x x x x kx =++-+被3x +整除，试求k 的值．【例12】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三次多项式．【例13】 若554x qx r -+被()22x -整除，求q 与r 的值．【例14】 证明：当a 、b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 被x a -和x b -整除，则()f x 也被()()x a x b --整除．【例15】 整系数三次多项式()f x ，有三个不同的整数1a ，2a ，3a ，使()()()1231f a f a f a ===，又设b 为不同于1a ，2a ，3a 的任意整数，试证明：()1f b ≠．1. 计算：()()643355571x x x x x -+-+÷+．2. 设()543231015987f x x x x x x =+--++，求13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭．3. 设()2f x x mx n =++（m ，n 都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x ．课后练习。
综合除法文档
综合除法1. 引言综合除法是数学中的一种基本运算方式，用于求解一个数除以另一个数的结果。
在数学和计算机科学中，除法是一种常见的运算操作，常用于解决各种实际问题。
本文将介绍综合除法的定义、性质和使用方法，并通过一些示例来说明如何进行综合除法运算。
2. 定义综合除法是指将一个数除以另一个数，并求出商和余数的过程。
在综合除法中，被除数、除数、商和余数是四个相关的概念。
•被除数：要进行除法运算的数，即需要被除的数。
•除数：用于除法运算的数，即用来除的数。
•商：在除法运算中，被除数除以除数得到的商，表示被除数中包含了多少个除数。
•余数：在除法运算中，被除数除以除数得到的余数，表示被除数在进行除法运算后剩下的部分。
综合除法的运算过程可以用以下公式表示：被除数 = 商 × 除数 + 余数3. 性质综合除法具有以下几个性质：1.商和余数的取值范围：–商的取值范围是整数集合，可以为正整数、负整数或零。
–余数的取值范围是非负整数，即大于等于零的整数。
2.商和余数的关系：–商等于被除数除以除数向下取整，即商是不超过真实商的最大整数。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数是除法运算的剩余部分。
3.综合除法的唯一性：–给定被除数和除数，商和余数是唯一确定的。
4. 使用方法综合除法的使用方法主要包括以下几个步骤：1.确定被除数和除数。
2.进行除法运算，计算商和余数。
3.检查运算结果的正确性。
下面通过一个例子来说明如何进行综合除法运算：例子：求解 15 ÷ 41.确定被除数为 15，除数为 4。
2.进行除法运算，计算商和余数：–商等于被除数除以除数向下取整，即商为15 ÷ 4 = 3。
–余数等于被除数除以除数的余数，即余数为15 % 4 = 3。
3.检查运算结果的正确性：–根据综合除法的性质，15 应等于商乘以除数加上余数，即15 = 3 × 4 + 3，计算结果与原始被除数相符，说明运算结果正确。
二年级下册数学教案-2.1.2除法(2)-人教版
二年级下册数学教案2.1.2 除法（2）人教版作为一名经验丰富的教师，我深知教案的重要性。
因此，我根据人教版二年级下册数学教材第27页的内容，精心设计了一份教案，以帮助学生更好地理解和掌握除法（2）的相关知识。
一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材第27页的除法（2）的概念、运算方法以及应用。
通过学习，使学生能够理解和掌握除法（2）的计算法则，能够运用除法（2）解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生理解和掌握除法（2）的概念和运算方法。
2. 培养学生运用除法（2）解决实际问题的能力。
3. 培养学生认真思考、积极参与的学习态度。
三、教学难点与重点1. 教学难点：除法（2）的运算方法及应用。
2. 教学重点：使学生理解和掌握除法（2）的计算法则，能够运用除法（2）解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、课件。
2. 学具：学生用书、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过让学生观察图片，引出除法（2）的概念。
2. 知识讲解：运用课件，讲解除法（2）的运算方法。
3. 例题讲解：分析并讲解教材第27页的例题。
4. 随堂练习：让学生独立完成教材第27页的练习题。
六、板书设计1. 板书课题：除法（2）2. 板书内容：除法（2）的运算方法、例题解答过程、重点知识点。
七、作业设计1. 作业题目：（1）教材第27页的练习题。
（2）运用除法（2）解决实际问题，如：小明有12个苹果，他想把它们平均分给他的4个朋友，每个朋友能分到几个苹果？2. 作业答案：（1）教材第27页的练习题答案。
（2）小明每个朋友能分到3个苹果。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：通过课堂教学，学生是否掌握了除法（2）的运算方法及应用？哪些学生需要课后辅导？2. 拓展延伸：除法（2）在实际生活中的应用，如分配物品、平均分组等。
重点和难点解析一、教学内容的选取与安排我选择了人教版二年级下册数学教材第27页的除法（2）内容作为教学重点。
人B版数学选修2-2讲义：第3章 3.2.2、3.2.3 复数的除法
3.2.2复数的乘法3．2.3复数的除法1．理解复数的乘除运算法则．2．会进行复数的乘除运算．(重点)3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．(难点)4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)[基础·初探]教材整理1复数的乘法及其运算律阅读教材P93～P94，完成下列问题．1．定义(a＋b i)(c＋d i)＝____________.2．运算律对任意z1，z2，z3∈C，有4．i4n＋1＝________；i4n＋2＝________；i4n＋3＝__________；i4n＝__________.【答案】1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i 2.z2·z1z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z33．模的平方4．i －1 －i 1已知复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.【解析】 z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2∈R ，所以a ＝4.所以z 2＝4＋2i.【答案】 4＋2i教材整理2 复数的除法法则阅读教材P 95～P 96，完成下列问题．1．已知z ＝a ＋b i ，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝________，则z ′叫做z 的__________，记作__________，则1z ＝__________且1z ＝__________.2．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝________________________.【答案】 1.1 倒数 1z a a 2＋b 2－b a 2＋b 2i z |z |2 2.ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：。
数学二年级下人教新课标2-2除法的初步认识课件
把6个桃平均分在3个盘里，每盘2个。
用除法算：6 ÷ 3 ＝ 2
···
除 号
把10个扣子平均分成2份，每份5个。
10 ÷ 2 = 5
···
···
···
被除数
除数
商
把12根香蕉平均分成2份, 每份是几根？
6根
6根
...
… …
…
把12根香蕉平均分成2份， 每份6根。
12÷2＝6（根）
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
？ 平均放进4
个盘子中， 每盘放几 个？
把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘有3个。
我们可以用除法计算：
人教新课标二年级数学下册
除法的初步认识
像这样每份分得同样多叫平均分。
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
把8个 分成4份，每份要分得同样多，该怎样分？
被除除 商 除号数 数
读作:12除以２等于6
12根香蕉平均分成３ 份，每份４根。
12÷3=4（根）
还可以怎样平均分？
把12根香蕉平均分成6份， 每份2根。
12÷6＝2（根）
还可以怎样平均分？
把12根香蕉平均分成4份， 每份3根。
12÷4＝3（根）
练一练
平均分成２份，每份几根？
18÷ 2 = 9（根）
综合除法资料
综合除法在数学中，我们经常会遇到各种不同形式的除法运算。
综合除法是一种将多种类型的除法问题综合在一起进行处理的数学方法。
通过综合除法，我们可以更高效地解决涉及到不同形式的除法计算的问题，提高我们对除法运算的理解和应用能力。
1. 整数除法整数除法是最基本的一种除法形式。
在整数除法中，除数和被除数都是整数，商也是整数，余数可以是整数也可以是零。
整数除法中有一些特殊的规则和性质，例如当被除数能够整除除数时，商为整数，余数为零；当被除数不能整除除数时，商为整数，余数为小于除数的正整数。
在整数除法中，除数、被除数、商和余数之间的关系是非常重要的。
2. 带余除法带余除法是一种在整数除法基础上扩展而来的除法形式。
带余除法要求除数为整数，被除数可以是整数、分数或者其他形式，商和余数都可以是整数、分数或者小数。
带余除法在实际应用中有着重要的作用，例如在计算机编程中，我们经常会用到带余除法来实现除法运算并得到余数值。
3. 除法的性质除法是数学中一个非常重要的基本运算。
在学习和应用除法时，我们需要了解除法运算的一些基本性质和规则。
例如，除数不能为零，除法的交换律和结合律，除法与乘法的关系等。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解除法运算的本质，避免在实际计算中出现错误。
4. 小结综合除法是一个涉及到多种不同形式的除法运算的数学方法。
通过综合除法，我们可以更高效地解决各种除法问题，提高我们对除法运算的理解和掌握能力。
在学习和应用除法时，我们需要重点关注除数、被除数、商和余数之间的关系，同时要了解除法的基本性质和规则。
通过不断练习和实践，我们可以提升自己的除法运算水平，更好地应用除法在实际问题中。
2019-2020年人教B版数学选修2-2讲义：第2章+2.2+2.2.1 综合法与分析法及答案
2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法． ( )(2)分析法就是从结论推向已知． ( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法．[答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得， 要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22， 即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案]6－22>5－7定是__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形． (2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32. (3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32 (3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B[思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. [证明] 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即a－b ab>1，即1 b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1．[思路探究]先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决．[解]法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b ＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.[证明]因为x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而可得不等式x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy成立.1．下面叙述正确的是()A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的[解析]直接证明包括综合法和分析法．[答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．[解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． [解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a ≥3＋2b a ·ab ＋2c b ·bc ＋2c a ·ac ＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． [答案] 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba ≥a ＋b .(要求用两种方法证明)[证明] 法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以ab ＋ba－a－b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa ＝(a－b)⎝⎛⎭⎪⎫1b－1a＝(a－b)2(a＋b)ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.法二：(分析法)要证ab ＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．。
综合除法知识点总结
综合除法知识点总结一、除法的定义除法是指将一个数除以另一个数，从而得到商和余数。
被除数、除数、商和余数是除法运算中涉及到的四个要素。
其中，被除数除以除数得到的商是指整数部分的商，而得到的余数是指除法运算中余下的部分。
二、除法的基本性质1. 除法的唯一性：对于任意两个正整数a和b，存在唯一的一组整数商和余数，使得a=qb+r，其中0≤r<b。
2. 除数不为零：除数不能为零，即在除法运算中，除数必须为非零数。
3. 零的除法：任何非零数除以零的结果是无穷大。
4. 除法的交换律和结合律：对于任意两个不等于零的实数a和b，有a/b=b/a，而对于任意三个不等于零的实数a、b和c，有(a/b)/c=a/(b/c)。
5. 余数的非负性：在除法运算中，余数必定是非负数。
三、长除法长除法是一种逐步进行除法运算，将被除数从左到右依次除以除数，并将每一步的商和余数记录下来，直到被除数中没有数字为止。
它是解决较大整数相除的一种有效方法。
长除法的具体步骤如下：1. 将被除数写在长除法的左边，除数写在长除法的右边。
2. 从被除数的最左侧数字开始，将它与除数进行除法运算，得到商和余数，将商写在上方，余数写在下方。
3. 将余数带入下一步的除法运算中，重复上述步骤直到被除数中没有数字。
长除法在计算中节省时间和资源，是学生在初中阶段较为重要的数学运算方法。
四、小数除法小数除法是指除法运算中，被除数和除数为小数，得到的商和余数也是小数。
小数除法的运算步骤和整数除法类似，但需要注意小数点的位置，及时进行进位和补零等操作。
小数除法在实际生活中有着广泛的应用，比如在商业计算、科学实验、金融业务等多个领域。
五、除法的应用1. 商和余数的用途：商和余数在实际生活中有着广泛的应用。
比如在商业领域中，商代表着买卖的数量和价格，余数则代表着剩下的部分。
在科学实验中，商和余数也有着重要的作用，能够对实验数据进行清晰的归纳和总结。
2. 利用除法解决实际问题：在日常生活和学习中，除法运算经常被用于解决一些实际问题。
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板块一 综合除法、多项式除法
记号()f x
关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为
()223f x x x =+-．
这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =⨯+-=，同样地，有
()2020033f =⨯+-=-；()()()2
121132f -=⨯-+--=-等等．
用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等．
综合除法
在学习多项式除法时，我们有带余除法：
()()()()f x g x q x r x =⋅+ （1）
其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数．
如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有
()()()f x x a q x r =-⋅+ （2）
当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算
2231
23573672
5
x x x x x x
x x -++-+----
所以，商式为31x -，余数为5-．
从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示．
3 5 72
6 2 3 1 5
+-----
商式为31x -，余数为5-．
这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下：
⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开．
例题精讲
综合除法和余数定理
余数，把它用线隔开，线外就是商式的多项式系数．
【例1】 ⑴求4222356x x x x --++除以()1x +所得的商式和余数．
⑵求多项式()3243525f x x x x =+--除以2x -所得的商式和余数．
【巩固】 求多项式43223248x x x +--除以2x -的商式和余数．
【例2】 用综合除法计算()
()43267821x x x x --+÷+．
【巩固】 用综合除法计算：()
()432653421x x x x x ---+÷+．
【例3】 计算：()()
432229291x x x x x +--+÷-.
【例4】 计算：()
()43223471361x x y x y xy y x y --+-+÷-．
板块二 余数定理和因式定理
余数定理和因式定理
由()()()f x x a q x r =-⋅+式，当x a =时，有()()()f a a a q x r r =-⋅+=，
因此，我们有以下重要定理：
余数定理：多项式()f x 除以()x a -所得的余数等于()f a ，有些时候余数定理作余式定理． 如求()2357f x x x =+-除以2x +的余数．
解析：由于()22x x +=--，()()()2
2325275f -=⨯-+⨯--=-．所以，所求的余数为5-．
这与我们前面用综合除法求得的余数相同．
再由（2）式知，如果()f x 能被x a -整除，那么必有0r =；反之，如果0r =，那么()f x 能被x a -整除，由此，我们有： 因式定理：若多项式()f x 能被x a -整除，亦即()f x 有一个因式x a -，则()0f a =；反之，如果()0f a =，那么x a -必为多项式()f x 的一个因式．
【例5】 求()4353858f x x x x x =-+-+除以24x -所得的余数．
【例6】 多项式()f x 除以1x -，2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以()()12x x --所得的余式．
【例7】 多项式()f x 除以1x -，2x -，3x -所得的余数分别为1，2，3，试求()f x 除以()()()
123x x x ---所得的余式．
【例8】 已知()32232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和
()h x ，其中()h x 不是常数．
【例9】 求一个关于x 的二次三项式()f x ，它能被1x -除余2，被2x -除余8，并且它被1x +整除．
【例10】 试确定a 和b 的值，使()432235f x x x ax x b =-+++被()()12x x +-整除．
【例11】 设()4323811f x x x x kx =++-+被3x +整除，试求k 的值．
【例12】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这
个三次多项式．
【例13】 若554x qx r -+被()2
2x -整除，求q 与r 的值．
【例14】 证明：当a 、b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 被x a -和x b -整除，则()f x 也被
()()x a x b --整除．
【例15】 整系数三次多项式()f x ，有三个不同的整数1a ，2a ，3a ，使()()()1231f a f a f a ===，又设b 为
不同于1a ，2a ，3a 的任意整数，试证明：()1f b ≠．
1. 计算：(
)()
6
4
3
355571x x x x x -+-+÷+．
2. 设()543231015987f x x x x x x =+--++，求13f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
3. 设()2f x x mx n =++（m ，n 都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x ．
课后练习。