导学先锋 高三数学答案
高中数学课课精练导学先锋必修一(110-160)
单元测试一、填空题（每小题4分，共40分） 1.化简：()3121133214(0.1)a b---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⋅⋅________.2.化简21151********33a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果是________.3.计算：91log 2lg2lg503-++=________.4.若log 2a m =，log 3a n =，则2m n a +=________.5.已知lg 6a =，lg15b =，试用a 、b 表示lg 48=________.6.若lg lg(4)2lg(3)x y x y +=-，则x y -的值是________.7.如果11251111log log 33a +=，那么3a =________.8.若227x y A ==，且112x y+=，则A 的值是________. 9.方程()()22log 972log 31x x +=++的解为________. 10.若正实数a 、b 、c 均不为1，满足x y z a b c ==，且1110x y z++=，则abc 的值为________. 二、选择题（每小题4分，共16分） 11.下列各式中成立的一项是（ ）A.7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭34()x y +D.12.若102(32)(2)x x --+-有意义，则x 的取值范围是（ ）A.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.2,2(2,)3⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.2,2(2,)3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭13.若2log (2)log log a a a M N M N -=+，则的值为（ ）A.14B.4C.1D.4或114.若221x y +=，0x >，0y >，且log (1)a x m +=，1log 1a n x=-，则log a y 等于（ ） A.m n +B.m n -C.1()2m n +D.1()2m n - 三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知17a a -+=，求下列各式的值： （1）33221122a a a a----；（2）1122a a-+；（3）22(1)a a a -->.16.设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=，若4log 11b c a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值.17.设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值. 18.已知不等式21212log 9log 902x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为M ，求当修正处x M ∈时，函数22log log 28x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值.19.已知2lg lg lg lg [lg()]0lg lg lg lg x y x y x y x y x y++-++=⋅，求2log ()xy 的值. 四、能力拓展题（本题12分） 20.设x 、y 、z 均为正数，且346x y z ==. （1）试求x 、y 、z 之间的关系；（2）求使2x py =成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的正整数）； （3）试比较3x 、4y 、6z 的大小.第4章 幂函数、指数函数与对数函数4.1 幂函数第1课时 幂函数的定义与图像一、填空题1.若一个函数为幂函数，又是二次函数，则该函数的表达式为________.2.若一个函数为幂函数，又是反比例函数，则该函数的表达式为________.3.若一个幂函数的图像过点(27,3)，则该函数的表达式为________.4.下列所给出的函数中，是幂函数的是________（填序号）. ①3y x =-；②3y x -=；③32y x =；④31y x =-5.若11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且图像关于原点成中心对称的所有a 的值为________________.二、选择题6.若幂函数a y x =的图像经过点⎛ ⎝⎭，则当4x =时的函数值为（ ） A.16B.2C.116D.127.函数43y x =的图像是（ ）8.下列命题中正确的是（ ）A.当0a =时，函数y x α=的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点C.幂函数32y x -=的定义域为[0,)+∞D.幂函数的图像不可能出现在第四象限 三、解答题9.已知函数()22211mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.10.已知函数()2221m m y m m x --=+，当m 取什么值时，这个函数是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）在第一象限内它的图像是上升曲线？11.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确定函数的表达式.四、能力拓展题12.请把相应的幂函数图像代号填入表格.①23y x =；②2y x -=；③12y x =；④1y x -=； ⑤13y x =；⑥43y x =；⑦12y x -=；⑧53y x =.第2课时 幂函数的性质一、填空题 1.若幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴无交点，且图像关于原点成中心对称，则m 的值为________.2.若一个幂函数的图像过点4(3,27)，则该函数的表达式为________.3.若幂函数249aa y x --=的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是严格减函数，则正整数a的值是________.4.直接比较下列组中两个值的大小：（1）6110.6________6110.7；（2）53(0.88)________53(0.89). 5.若幂函数()22231mm y m m x --=--在(0,)x ∈+∞时为严格减函数，则(0,)x ∈+∞________.二、选择题6.下列函数中在区间(0,3)上是严格增函数的是（ ）A.1y x =B.12y x =C.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2215y x x =--7.下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点(0,0)、(1,1)的是（ ） A.12y x =B.4y x =C.2y x -=D.13y x =8.若幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图像如图所示，则（ ） A.101n m -<<<< B.1n <-，01m << C.10n -<<，1m > D.1n <-，1m > 三、解答题9.已知幂函数()2732351t t y t t x+-=-+的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上为严格增函数，求函数的表达式.10.已知1133(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围.11.已知一个幂函数的图像经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求该函数的表达式； （2）判断该函数的单调性. 四、能力拓展题 12.（1）求函数11x y x -=+的单调区间和对称中心； （2）求函数(0)x ay a b x b+=>>+的单调区间和对称中心；若此函数是由某个幂函数平移得到，求a 、b 满足的条件.4.2 指数函数第1课时 指数函数的定义与图像一、填空题 1.函数132xy -=的定义域是________.2.若函数()233x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为________.3.若函数2x y a -=（0a >，且2x y a -=），则该函数的图像恒过的定点坐标是________.4.若10.225x >，则实数x 的取值范围是________. 5.若函数()21xy a =-是严格减函数，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.下列各式中，错误的是（ ） A.0.80.733> B.0.40.60.50.5>C.0.10.10.750.75-<D. 1.6 1.4>7.函数1x y a =+（0a >且1a ≠）的图像必经过点（ ） A.(0,1) B.(1,0)C.(2,1)D.(0,2)8.函数11312x y =+-的图像（ ） A.关于原点成中心对称 B.关于y 轴对称C.既关于原点成中心对称又关于y 轴对称D.既不关于原点成中心对称也不关于y 轴对称 三、解答题9.下列函数中哪些是指数函数，哪些是幂函数，哪些既不是指数函数也不是幂函数？（1）πx y =； （2）2y x =； （3）y =（4）y =（5）22x y =；（6）2x y =-.10.比较下列各组数中两个数的大小. （1） 2.61.2和 2.611.2；（2） 2.10.8-和 2.10.7-； （3）0.40.3和0.30.4.11.求函数()120.58xy -=-的定义域.四、能力拓展题12.已知函数23x y a -=（0a >，且1a ≠）. （1）求该函数的图像恒过的定点坐标； （2）指出该函数的单调性（不必证明）.第2课时 指数函数的性质一、填空题1.若函数(0,1)x y a a a =>≠的图像过点(-1,2)，则a =________.2.若函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点，则该定点坐标是________.3.若函数1xy a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.4.若某地现有绿地2100km ，计划每年按1%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为________2km .5.若定义运算()*()a ab a b b a b ⎧=⎨>⎩，则函数1*2x y =的函数值的取值集合为________.二、选择题6.若0x >，函数()28xy a =-的值恒大于1，则实数a 的取值范围为（ ）A.(-2,2)B.(,2)(2,)-∞-⋃+∞C.(3,3)-D.(,3)(3,)-∞-⋃+∞7.若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）A.mB.12m C.121m - D.111m -8.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（2m ）与时间t （月）的关系：t y a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是（ ） A.①②③ B.①②③④C.②③④D.①②三、解答题9.已知函数21x b y a +=+（0a >且1a ≠，b 为实数）的图像恒过定点(1,2)，求b 的值.10.某地区脑卒中发病人数呈上升趋势.经统计分析，从2010年到2019年的10年间每两年上升2%，2018年和2019年共发病815人.如果按照这个比例下去，从2020年到2023年有多少人发病？11.已知函数221xxay+=+的图像关于原点对称.（1）求a的值；（2）判断函数的单调性（不需证明）.四、能力拓展题12.若函数22313x mxy+-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(1,1)-上是严格减函数，求实数m的取值范围.第3课时 指数函数的图像与性质一、填空题1.若函数()23xy a =-在0x <上的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________.2.若函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，则实数a 的值是________.3.方程||22x x +=的实根的个数为________.4.若函数141x y a =++的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若函数212x y a=-+（a 是常数），当1a =时，则函数的值域为________. 二、选择题6.若函数1221,0,0x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩，当0x x =时函数值0x x =，则0x 的取值范围是（ ）A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D.(,1)(1,)-∞-⋃+∞7.若函数y =ax -（b +1）（0a >，1a ≠）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ） A.1a >且0b >B.01a <<且0b <C.01a <<且0b >D.1a >且1b >8.若函数42x x y a a =-⋅+在(0,)x ∈+∞的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A.3aB.2a >C.04a <<D.4a <三、解答题9.已知[0,2]x ∈，求函数124325x x y -=-⋅+的最值.10.求函数2222xx y -++=的定义域和值域.11.已知对任意的x ∈R ，不等式22241122x mx m xx-+++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.已知函数11124x xy a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当1a=时，求函数在(,0)-∞上的值域；（2）若对任意[0,)y成立，求实数a的取值范围.x∈+∞，总有||3延伸阅读（9）——指数爆炸在延伸阅读（8）中，我们领略了两位伟人的数学故事.事实上，教科书第86页的引例，可以做更一般的探索.一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍；对折第二次，变为原来的2的2次方倍，即4倍；依次类推，假设纸的厚度为0.1mm ，则对折24次以后，高度超过1km ；对折39次高度达55000km ，超过地球赤道长度；对折42次高度达44万km ，超过地球至月球的距离；对折51次高度达22亿km ，超过地球至太阳的距离；对折82次高度为51113光年，超过银河系半径的长度.不过，这只是一个不符合实际的数学理论推理数字.那么在现实生活中，一张纸究竟能折多少次呢？如果纸为正方形，边长为a ，厚度为h ，当折叠一次的时候，折叠边长不变，厚度为2h ，折叠两次的时候，折叠边长为原边长的二分之一，厚度变为4h ，就这样折叠下去，可以推出一个公式：当折叠次数n 为偶数次时，折叠边长为0.512n ，厚度为2h ，当满足221log 13n h ⎛⎫>- ⎪⎝⎭时无法折叠.根据一般的纸张的状况，厚度大约为0.1mm ，边长为1m 时，根据上述公式，可以得出8.1918n >时无法折叠，这意味着对于厚度大约为0.1mm ，边长为1m 的正方形纸，只能折叠8次但折叠8次，人类是很难办到的，只能依靠机器.所以，一张纸最多能对折多少次，实际是一个变数，它取决于纸张的实际厚度与大小.在现实生活中，一张普通的A4纸，一般人可以折到6次，厉害的人可以折到7次，你能计算此时纸的厚度吗？杰米是百万富翁.一天，他碰到上一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月（31天）中每天给你1万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的2倍.”杰米答应了，合同开始生效，杰米欣喜若狂.第一天他支出1分钱，收入10万元；第二天，他支出2分钱收入10万元；到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出5元1角2分；到了第20天，米共得200万元，而韦伯才得5千元多.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变：第21天杰米支出1万多，收入10万.到第28天，杰米支出134万多，收入10万结果，杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时，共付给韦伯2100多万元！杰米破产了.最后，我们看细胞分裂：细菌个数每次增倍所需的时间是1小时，也就是说，如果设0时刻存在的细菌数量为1，则1小时后的细菌数量为2，于是一天（24h ）后的细菌数量是24.这串巨大的数字恰恰说明了指数增长的速度有多快，它还表明，我们需要小216777216心数学公式是否完全契合现实：1600万左右的细菌其实仍然很少（即使1万亿个细菌也才只有1g重），这个答案可能是精确的.但是，如果我们用公式计算6天后的细菌数量，我们得到的细菌质量将是地球质量的3700多倍；计算一周后的细菌数量，其质量将超过100000个太阳的质量.事实上，在几天内不断繁殖的细菌就能耗尽现有的所有食物，空间也越来越拥挤，没有足够的资源供细菌继续这样裂变，到最后细菌停止生长.由此可见，世界未覆灭于细菌王国，人类何其幸运！这就是指数爆炸！每周一练一、填空题1.若一个函数既是幂函数又是反比例函数，则该函数的表达式为________.2.方程210x x --=解的个数是________个.3.比较大小：（1）351.2________351. 3；（2）23(0.71)--________230.72-； （3）0.80.7________0.70.8.4.已知函数21x y =-，若函数在0x 的函数值都小于1，则0x 的取值范围是________.5.函数13x y a -=+恒过定点________.6.函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈-的值域为________.7.将函数231x y =-图像向上平移1个单位再向右平移1个单位，可得函数________的图像.8.若不等式23155xx x +-⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，则实数x 的取值范围是________. 9.若0x <时，()21xa -的值总是小于1，则实数a 的取值范围是________.10.若直线3y a =与函数11x y a +=-（0a >且1a ≠）的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是________________.二、选择题11.若指数函数(2)x y a =-在x ∈R 上是严格减函数，则a 的取值范围是（ ） A .2a >B.3a <C.23a <<D.3a >12.若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（ ） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限13.若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A.6B.8C. D.14.函数||2x y =的大致图像是（ ）三、解答题15.求下列函数的值域：（1）23113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）421x x y =++. 16.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的草图.17.已知定义域为R 的函数122x x by a+-+=+的图像关于原点成中心对称.求实数a 、b 的值.18.已知函数x y a b =+（0a >且1a ≠）的定义域和值域都是修正处[1,0]-，求a b +的值.19.已知函数3131x x y -=+.（1）求函数的值域；（2）判断函数在(,)-∞+∞上的单调性（无需证明）. 四、能力拓展题 20.已知幂函数2232()p p y x p -++=∈Z 在R 上的图像关于y 轴对称，并在(0,)+∞为严格增函数（1）求p 的值，并写出此函数的表达式； （2）设函数232212p p y xqx q -++=-++，在（1）的条件下，问是否存在实数q ，使得此函数在区间[0,2]上有最小值为2-？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由.4.3 对数函数第1课时 对数函数的定义和图像一、填空题 1.函数()lg 821x y x -=-的定义域是________.2.若对数函数的图像过点(4,2)-，则此函数的表达式为________.3.若(1)log (1)k k +-有意义，则实数k 的取值范围是________.4.若函数2log (01)3xa y a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.5.若函数()22log 3y ax x a =++的定义域是R ，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图像不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限7.已知函数1log a y x =和2(2)y k x =-的图像如图所示，则不等式120y y 的解集是（ ）A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]8.如果log 2log 20m n <<，m 、n 为不等于1的正数，那么下列关系式中成立的是（ ） A.1n m << B.1m n << C.1m n <<D.1n m <<三、解答题9.（1）当3log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围； （2）当13log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围；（3）当3log (72)x x -恒取正值时，求实数x 的取值范围. 10.求函数()24log 32y x x =+-的最大值及相应x 的取值. 11.求下列函数的定义域：（1）12log y =（2）y ；（3）()log (0,1)x a y a a a a =->≠. 四、能力拓展题12.试求函数)2log 26y x x =++的定义域和值域.第2课时 对数函数的性质一、填空题 1.若4log 15x<，则x 的取值范围为________.2.函数y 的定义域是________.3.若集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{|lg(3)}B x y x ==-，则A B ⋂=________.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =________.5.使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是________. 二、选择题6.与函数y x =为同一函数的是（ ）A.log x y x x =B.yC.log (0,1)a x y a a a =>≠D.log (0,1)x a y a a a =>≠7.方程()ln 9310x x +-=的根为（ ） A.1B.2-C.0D.0，1或2-8.若221log 01a a a+<+，则a 的取值范围是（ ）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.(1,)+∞C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题9.设函数11log 3x y =+，22log 2x y =，其中0x >且22log 2x y =，试比较1y 与2y 的大小. 10.已知函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，求实数k 的取值范围.11.已知函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭. （1）求此函数的定义域；（2）若函数值都大于等于1-，求实数x 的取值范围. 四、能力拓展题12.已知函数()log 1(0,1)x a y a a a =->≠.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的单调性.复习与小结（1）一、填空题1.若0a >，1a ≠，则函数()23log 1a y x =++的图像恒过定点________. 2.函数32y x -=的定义域是________.3.若函数22313x mx y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(2,2)-上是严格减函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数142x x y m +=-⋅，存在实数0x ，0x x =和0x x =-的函数值相反，则实数m 的取值范围是________.5.若函数1231,(0),(0)x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩在区间[1,]m -上的最大值是2，则m 的取值范围是________________.二、选择题6.若集合{}2|10A x x =->，{}2|log 0B x x =>，则A B ⋂等于（ ） A.{|}1x x > B.{|0}x x > C.{1|}x x <-D.11{|x x x <->或7.已知函数()2231m m y m m x +-=--是幂函数，且(0,)x ∈+∞时，若此函数是严格减函数，则m 的值为（ ）A.1-B.2C.1-或2D.38.若函数()23log 21y mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.[0,1] C.[1,)+∞ D.(,1)-∞三、解答题 9.已知函数223()mm y x m -++=∈Z 的图像关于y 轴对称，且3x =的函数值小于5x =的函数值，求m 的值，并确定该函数的表达式.10.求下列函数的定义域.（1）log (3)log (3)a a y x x =-++（0a >，且1a ≠）；（2）()2log 164x y =-.11.已知函数10101010x xx xy ---=+. （1）求函数的定义域； （2）求函数的值域. 四、能力拓展题12.已知函数()9log 91()x y kx k =++∈R 的图像关于y 轴对称. （1）求k 的值；（2）若此函数的图像在直线12y x b =+上方，求实数b 的取值范围.复习与小结（2）一、填空题1.若指数函数(12)x y a x =的最大值与最小值之和等于6，则2.若点(3,27)在幂函数(2)a y t x =-的图像上，则t a +=3.某食品的保鲜时间y （单位：h ）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx by e +=（ 2.718e =…为自然对数的底数，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间设计192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.4.若函数()2lg 2y x ax =-+在区间(1,2)是严格减函数，则实数a 的取值集合是________.5.函数21(0,1)2x y x a a a =-->≠.若[1,1]x ∈-时，函数值均小于0，则实数a 的取值范围是________.二、选择题6.若0a >，0b >，且1ab =，1a ≠，则函数x y a =与函数log b y x =-在同一坐标系中的图像可能是（ ）7.设|1|3x y =-，c b a <<，若函数在x c =的函数值大于函数在x a =的函数值，函数在x a =的函数值大于x b =的函数值，则下列关系式中一定成立的是（ ）A.33c b >B.33b a >C.332c a +>D.332c a +<8.给出下列4个结论：①函数(0,1)x y a a a =>≠与函数log (0,1)x a y a a a =>≠的定义域相同 ②函数3(0)x y k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到③函数11(0)221x y x =+≠-的图像关于原点成中心对称且11212xy x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的图像关于y 轴对称④若幂函数a y x =的图像关于原点成中心对称，则a y x =是定义域上的严格增函数 则以上4个结论中正确结论的个数（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三、解答题9.求函数21144log 2log 5y x x =-+，[2,4]x ∈的最值.10.解不等式：1133(3)(12)a a ---<+.11.已知函数x y b a =⋅（其中a 、b 为常量，且0a >，1a ≠）的图像经过点(1,6)(3,24)A B 、.（1）求该函数的表达式；（2）若不等式110xxm a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.（1）关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]上有唯一解，求实数k 的取值范围；（2）已知关于x 的方程()2113(1)31(3)30x x x m m ++++---⋅=有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.单元测试一、填空题（每小题4分，共40分）1.若点⎝⎭在一个幂函数图像上，则这个幂函数的表达式是________.2.函数1lg 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是________.3.若函数(1)x y m =+在R 上是严格增函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数141x y a =+-的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若252222x x +-=，则()2lg 1x +=________.6.若实数x 满足不等式()222log 2log (4)x x x ->+，则实数x 的取值范围是________. 7.若函数()2lg 223y x ax a =-++的值域是R ，则实数a 的取值范围是________. 8.若直线y a =与函数21x y =-∣的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________. 9.无论a 为何值，函数(1)22x ay a =--恒过一定点，这个定点的坐标是________. 10.若函数0(3)4,0x a x y a x a x ⎧<=⎨-+⎩在(,)x ∈-∞+∞上严格单调递减，则实数a 的取值范围是________.二、选择题（每小题4分，共16分） 11.函数22log (1)y x x =+的值域为（ ） A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.[2,)+∞D.[3,)+∞12.方程1lg(2)2xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解的情况为（ ）A.两个正根B.一个正根一个负根C.一个正根D.无实数根13.不等式11log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是（ ） A.0x > B.0x >且2a > C.1x >且1a >D.x >1且2a >14.若函数()22log 217y x x =-+的值域为[,)m +∞，当正数a 、b 修正处满2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A.94B.1D.2三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知m ∈Z ，函数28mmy x -=的图像关于原点对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求m的值.16.求121x y =-的值域. 17.银行一年定期储蓄年利率为2.25%，若存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%交纳利息税）转存一年定期储蓄.某人于年初存入银行5万元.（1）至少存几年，才可以得到大于2500元的利息？（2）若此人改为按三年定期储蓄存入银行5万元（三年定期储蓄的年利率为3.24%），三年后一次取出全部本息（利息按20%交税），问按哪一种方式能获得更多的利息？利息差是多少？（保留2位小数）18.已知关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有实数解，求实数a 的取值范围.19.已知x 满足222log 5log 60x x -+，求函数2124log log 2x y x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 四、能力拓展题（本题12分）20.已知函数3log ()y ax b =+的图像过点(2,1)A 和(5,2)B . （1）求此函数的表达式；（2）已知函数31log 2y t x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，若两个函数图像在区间[1,2)上有公共点，求t 的最小值.延伸阅读（10）——对数的故事教科书P75课后阅读《对数简史》，为我们展示了对数发展的脉络，而形成对数的数学思想，蕴含在对数的故事中.对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——约翰·纳皮尔（John Napier，1550-1617）.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔是一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？乘法转化为加法：在那个时代，计算多位数之间的乘积，是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：（1）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…（2）1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的指数对应的幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算32512⨯的值，就可以先查第一行的对应数字：32对应于5，512对应于9；然后再把第一行中的对应数字相加：5914+=；再查第一行中的14，对应于第二行中的16384，所以有：3251216384⨯=.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了，这种“化乘除为加减”，达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年探索，纳皮尔于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了这项发明，并解释了这项发明的特点.改良与完善：该书的发表引起了另一位数学家亨利·布里格斯（Henry Briggs，1561—1630）的极大兴趣.1616年，他去拜访纳皮尔，建议将对数改良到以10为基底的对数表以方便使用，这就是后来常用对数了.约翰·纳皮尔本人也考虑过这个问题，遗憾的是，不久后（1617年春天）他便去世了.于是，布里格斯竭尽毕生精力完成了改良工作，以10为底列出一个很详细的对数表.第三位发现者：瑞士工程师兼钟表匠茱斯特·比尔吉（Joost Burg i，1552—1632）曾担任著名天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）的助手，因此常接触到复杂的天文计算，也产生了化简数值计算的强烈愿望.他早于纳皮尔创建了一种对数体系，但由于某些原因，直至1620年才在布拉格匿名发表.所以在对数体系发明这件事上，世人大多只记住了纳皮尔而鲜少提及比尔吉.因此，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.恩格斯在《自然辩证法》中，曾把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分称为17世纪的三大数学发明.法国数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749—1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”广泛运用：利用对数这个工具，天文学家们就能够轻松地进行繁琐的大数相乘的运算，天文研究突飞猛进.连伽利略都说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”除此之外，对数在经济学、统计学、生物学、化学等领域均得到广泛的应用.对数的发明和应用给了我们一个启示，数学理论的发展可以极大程度地推动社会生产、科学技术的进步.所以别再说学数学无用了——学好数学用处大大的！第5章 函数的概念性质及应用5.1 函数第1课时 函数一、填空题 1.函数1|2|1y x =+-的定义域是________.2.函数y =________.3.函数1(2)2y x x x =+>-的值域是________. 4.函数2121x x y -=+的值域是________.5.若(1)f x +的定义域为[1,2]，则()2log f x 的定义域是________. 二、选择题6.函数y =的定义域为（ ）A.(,1]-∞B.(,2]-∞C.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-⋃- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦7.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A.()f x x =，2()g x =B.()f x x =，()g xC.()f x ()g x =D.21()1x f x x -=+，()1g x x =-8.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A.()||f x x =，2()g x = B.()f x x =，11()g x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()f x x =，log ()a x g x a =D.()2ln ||f x x =，2()ln g x x =三、解答题9.求函数y =.10.求函数()222log 32y x ax a =-+的定义域.11.已知函数22()1x f x x =+，求：（1）1()f a f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）11(1)(2)(3)23f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）111(1)(2)(99)(100)23100f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、能力拓展题12.设函数()f x 的定义域为[0,1].（1）求函数()(21)F x f x =-的定义域；（2）设0a >，求函数()()()G x f x a f x a =++-的定义域.第2课时函数的表示方法一、填空题1.若函数2()1f x x=+，则[(1)]f f=________；[()]f f x=________.2.若21,0()2,0x xf xx x⎧+=⎨>⎩，则满足()10f x=的x=________.3.若1)2(1)f x x=-，则()f x=________.4.若()f x是一次函数，满足3(1)2(1)217f x f x x+--=+，则()f x=________.5.若13()24f x f xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x=________.二、选择题6.下列四个图像中，不是函数图像的是（）7.函数1yx a=+（常数0a<）的图像所经过的象限是（）A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限8.若x〈〉表示比x大且最接近x的整数，则函数y x=〈〉的图像与y x=的图像交点个数是（）A.0B.无数个C.1D.不确定三、解答题9.在同一平面直角坐标系中作出函数||y x=与|2|y x=-的图像..10.已知函数2(1) ()|1|x xf xx-=-；（1）作出该函数的图像；（2）写出该函数的值域.11.已知函数2()f x ax bx c=++，2()f x ax bx c=++，且(1)()1f x f x x+=++，试求()f x 的表达式.四、能力拓展题12.如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示P A的长.求y关于x的函数解析式.5.2 函数的基本性质第1课时 函数的奇偶性（1）一、填空题1.函数311()4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的奇偶性是________.2.函数()31()4f x x x =+，[2,2)x ∈-的奇偶性是________. 3.函数42()f x x x =-的奇偶性是________；函数3()h x x x =-的奇偶性是________. 4.若函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =________.5.若函数()f x 是R 的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=________. 二、选择题6.函数(||1)(||3)y x x x =-的奇偶性是（ ） A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数7.若()f x 是定义在R 上的函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定是（ ） A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数8.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，若对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2022)f 的值为（ ）A.2022B.2020C.2018D.0三、解答题9.求证：函数2()2||f x x x =-+是偶函数. 10判断下列函数的奇偶性.（1）()f x =（2）11()312xg x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. 11.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()231f x g x x x +=-+，求()f x 、()g x 的解析式.四、能力拓展题12.已知定义在R上的函数()f xy f x f y=+.f x满足()()()（1）求证：(1)(1)0=-=；f f（2）求证：()f x为偶函数第2课时 函数的奇偶性（2）一、填空题1.函数||y x =的图像关于对称________，函数的奇偶性是________.2.若()f x 在[-5,5]上是奇函数，且(3)(1)f f <，则(3)f -与(1)f -的大小关系是________.3.函数()f x ________.4.函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -⎧=⎨-+<⎩的奇偶性是________.5.若函数20192021()8bf x x a x x=+⋅--，(2)10f -=，则(2)f =________. 二、选择题6.“(0)0f =”是“()f x 是定义在R 上的奇函数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.下列命题中正确的是（ ） A.奇函数的图像一定过原点 B.21(44)y x x =+-<是偶函数 C.|1||1|y x x =-++是偶函数D.21x x y x -=-是奇函数8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当()(1)f x x x =-时，()f x 等于（ ）A.(1)x x -+B.(1)x x +C.(1)x x -D.(1)x x --三、解答题9.判断下列函数的奇偶性： （1）(1)()1x x f x x +=+；（2）()f x10.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2(1)f x x x =+. 求：（1）当0x >时，()f x 的解析式；。
2020版《名师导学》高考理科数学新课标总复习练习：综合试题(四) Word版含解析
姓名，年级：时间：2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题（四)理科数学【p329】时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题,每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M＝{x｜－1<x<1｝，N＝｛x|x2<2，x∈Z｝，则（)A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝｛0} D．M∪N＝N【解析】解一元二次不等式x2<2，得－错误!<x<错误!，又x∈Z,所以N＝｛－1，0，1},所以M∩N＝｛0}．【答案】C2．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N）服从正态分布N(100，102),已知P（90≤ξ≤100）＝0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为( )A．20 B．10 C．14 D．21【解析】由题意知,P（ξ＞110)＝错误!＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×100＝20。
【答案】A3．《算数书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖"的术:置如其周,令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈错误!L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈错误!L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A.227B.错误!C.错误! D。
错误!【解析】设圆锥底面圆的半径为r,高为h，依题意，L＝2πr，13πr2h＝错误!（2πr）2h,所以错误!π＝错误!π2，即π的近似值为错误!.【答案】B4．设x，y满足约束条件错误!若z＝ax＋y仅在点错误!处取得最大值,则a的值可以为( ）A．4 B．2 C．－2 D．－1【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示，目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，其仅在点错误!处纵截距z取得最大值，得－a<－2，即a〉2，所以a的值可以为4。
2020版高中数学人教A版必修4 导学案 第1章 章末复习+测试(含答案解析)
第一章 三角函数 章末复习学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的图象.4.理解三角函数y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的性质.5.了解函数y=Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y=Asin(ωx＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=yx (x≠0). 2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α=1. (2)商数关系：tan α=sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z .3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=- 255，则y= .反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x ，y)，P 到原点的距离为r(r ＞0).则sin α=y r ，cos α=xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1.已知角α的终边在直线3x ＋4y=0上，求sin α，cos α，tan α的值.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2.已知关于x 的方程2x 2- (3＋1)x ＋m=0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：(1)cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α=1及sin αcos α=tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cosαsin α.注意应用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.(2)诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2.已知f(α)=sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)=18，且π4<α<π2，求cos α- sin α的值；(3)若α=- 47π4，求f(α)的值.类型三 三角函数的图象与性质例3.将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y=3sin x 的图象. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g(x)的最小值和最大值.反思与感悟研究y=Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.跟踪训练3 函数f(x)=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.类型四 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y=Asin (ωx＋φ)＋k 型例4.求函数y=- 2sin(x ＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.反思与感悟利用y=Asin(ωx＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4.已知函数y=asin(2x ＋π6)＋b 在x∈[0，π2]上的值域为[- 5，1]，求a ，b 的值.命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5.已知|x|≤π4，求函数f(x)=cos 2x ＋sin x 的最小值.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5.已知函数f(x)=- sin 2x- asin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为- 4，若实数a>0， 求a ，b 的值.类型五 数形结合思想在三角函数中的应用例6.已知方程sin(x ＋π3)=m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围.反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.跟踪训练6.设函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0).若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，则f(x)的最小正周期为 .1.若一个α角的终边上有一点P(- 4，a)，且sin α·cos α=34，则a 的值为( ) A.4 3 B.±4 3 C.- 43或- 433D. 32.已知f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f(- 31π3)的值为( )A.12B.- 13C.- 12D.133.函数y=|sin x|＋sin|x|的值域为( )A.[- 2，2]B.[- 1，1]C.[0，2]D.[0，1]4.函数f(x)=2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2，- π3B.2，- π6C.4，- π6D.4，π35.已知函数f(x)=- sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f(x)≤174对一切x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法. 课时作业 一、选择题1.已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.11π6 D.5π32.若sin(π- α)=- 53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于( )A.- 53B.53C.- 23D.233.已知函数f(x)=12(sin x ＋cos x)- 12|sin x- cos x|，则f(x)的值域为( )A.[- 1，1]B.[-22，1] C.[- 1，22] D.[- 1，- 22]4.设函数f(x)=4sin(2x ＋1)- x ，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ) A.[- 4，- 2] B.[- 2，0] C.[0，2] D.[2，4]5.将函数y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增6.函数f(x)=Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于( )A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π67.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=π3对称；③在区间[5π6，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是( )A.y=cos(2x- π3)B.y=sin(2x- π6)C.y=sin(2x ＋5π6)D.y=sin(x 2＋π6)二、填空题8.设x∈(0，π)，则f(x)=cos 2x ＋sin x 的最大值是 .9.函数y=f(x)=Asin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于 .10.设函数f(x)=sin(2x ＋π3)，下列命题：①f(x)的图象关于直线x=π3对称；②f(x)的图象关于点(π12，0)对称；③把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数.其中正确命题的序号为 .11.已知函数f(x)=sin(2x ＋φ)，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)， 则f(x)的单调递增区间是 .三、解答题12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α1＋sin α ＋ 1＋sin α1－sin α=22，求tan α.13.已知f(x)=3sin(2x ＋π4)- 1.(1)f(x)的图象是由y=sin x 的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值.四、探究与拓展14.将函数f(x)=2sin(ωx - π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[- π6，π4]上为增函数，则ω的最大值为 .15.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.答案解析例1答案为：- 8；解析： r=x 2＋y 2=16＋y 2，且sin θ=-255， 所以sin θ=y r =y 16＋y 2=- 255，所以θ为第四象限角，解得y=- 8.跟踪训练1.解：∵角α的终边在直线3x＋4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，- 3t)(t≠0)，则x=4t，y=- 3t.r=x 2＋y 2=(4t )2＋(－3t )2=5|t|.当t＞0时，r=5t，sin α=y r =－3t 5t =- 35，cos α=x r =4t 5t =45，tan α=y x =－3t 4t =- 34；当t＜0时，r=- 5t，sin α=y r =－3t －5t =35，cos α=x r =4t －5t =- 45，tan α=y x =－3t 4t =- 34.综上可知，sin α=- 35，cos α=45，tan α=- 34或sin α=35，cos α=- 45，tan α=- 34.例2.解：由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ=3＋12，sin θcos θ=m2.(1)原式=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ=sin 2θsin θ－cos θ- cos 2θsin θ－cos θ=sin θ＋cos θ=3＋12. (2)由sin θ＋cos θ=3＋12， 两边平方可得1＋2sin θcos θ=4＋234，1＋2×m 2=1＋32，m=32.(3)由m=32可解方程2x 2- (3＋1)x＋32=0，得两根12和32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0，2π)，∴θ=π6或π3.跟踪训练2.解：(1)f(α)=sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)=sin α·cos α.(2)由f(α)=sin α·cos α=18可知，(cos α- sin α)2=cos 2α- 2sin α·cos α＋sin 2α=1- 2sin α·cos α=1- 2×18=34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α- sin α<0，∴cos α- sin α=-32.(3)∵α=- 47π4=- 6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4 =cos π4·sin π4=22×22=12.例3.解：(1)函数y= 3 sin x的图象向下平移1个单位长度得y=3sin x- 1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y=3sin π3x- 1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y=3sin(π3x- π3)- 1的图象，∴函数y=f(x)的最小正周期为T=2ππ3=6.由2kπ- π2≤π3x- π3≤2kπ＋π2，k∈Z ，得6k - 12≤x≤6k＋52，k∈Z ，∴函数y=f(x)的单调递增区间是[6k - 12，6k＋52]，k∈Z .(2)∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y=f(x)的最值.∵当x∈[3，4]时，π3x- π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x- π3)∈[0，32]，∴f(x)∈[- 1，12].∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最小值是- 1，最大值为12.跟踪训练3解：(1)f(x)的最小正周期为π，x 0=7π6，y 0=3.(2)因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是， 当2x＋π6=0，即x=- π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6=- π2，即x=- π3时，f(x)取得最小值- 3.例4.解：∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈[π6，7π6]，∴- 12≤sin(x＋π6)≤1.当sin(x＋π6)=1，即x=π3时，y取得最小值1.当sin(x＋π6)=- 12，即x=π时，y取得最大值4.∴函数y=- 2sin(x＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.跟踪训练4.解：∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]，sin(2x＋π6)∈[- 12，1].∴当a＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a＋b＝1，－a2＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝4，b＝－3；当a＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b＝1，a＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝－1.∴a，b的取值分别是4，- 3或- 4，- 1.例5.解：y=f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1.令t=sin x，∵|x|≤π4，∴- 22≤sin x≤22.则y=- t 2＋t＋1=- (t- 12)2＋54(- 22≤t≤22)，∴当t=-22，即x=- π4时，f(x)有最小值，且最小值为- (- 22- 12)2＋54=1－22. 跟踪训练5.解：令t=sin x，则g(t)=- t 2- at＋b＋1=- ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a 24＋b＋1，且t∈[- 1，1].根据对称轴t 0=- a2与区间[- 1，1]的位置关系进行分类讨论.①当- a2≤- 1，即a≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a＋b＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2.②当- 1<- a2<0，即0<a<2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a＝－6，b＝－10(舍)，综上所述，a=2，b=- 2.例6.解：函数y=sin(x＋π3)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋π3)=m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1=sin(x＋π3)，y 2=m2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点， 所以32≤m2＜1，即3≤m＜2.跟踪训练6.答案为：π；解析：记f(x)的最小正周期为T.由题意知T 2≥π2- π6=π3.又f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，且2π3-π2=π6，可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x1=(π2＋π6)×12=π3，x2=(π2＋2π3)×12=7π12，∴T4=x2- x1=7π12-π3=π4，∴T=π.1.答案为：C；解析：由三角函数定义可知，r=a2＋16，sin α=aa2＋16，cos α=－4a2＋16，sin α·cos α=－4aa2＋16=34，得a=- 43或-433.2.答案为：C；解析：∵f(α)=sin αcos(－α)cos(π＋α)tan α=sin αcos α－cos α·sin αcos α=- cos α，∴f(-31π3)=- cos(-31π3)=- cos(10π＋π3)=- cosπ3=-12.3.答案为：C；解析：∵f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|sin x|＋sin x(x≥0)，|sin x|－sin x(x＜0)，∴0≤f(x)≤2.故选C.4.答案为：A；解析：从图象可得34T=5π12-⎝⎛⎭⎪⎫－π3=3π4，∴T=π=2πω，∴ω=2.又∵f⎝⎛⎭⎪⎫5π12=2sin⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ=2sin⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ=2，且-π2＜φ＜π2，∴φ=-π3.5.解：令t=sin x，则t∈[- 1，1]，则函数可化为f(t)=- t2＋t＋a=- (t-12)2＋a＋14.当t=12时，f(t)max=a＋14，即f(x)max=a＋14；当t=- 1时，f(t)min=a- 2，即f(x)min=a- 2.故函数f(x)的值域为[a- 2，a＋14].所以⎩⎪⎨⎪⎧a＋14≤174，a－2≥1，解得3≤a≤4.故实数a的取值范围为[3，4].课时作业1.答案为：D；解析：因为sin5π6=sin⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=sinπ6=12，cos5π6=cos⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=- cosπ6=-32，所以点⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，co s 5π6在第四象限. 又因为tan α=cos5π6sin5π6=- 3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3=tan 5π3， 所以角α的最小正值为5π3.故选D.2.答案为：C解析：∵sin(π- α)=- 53，∴sin α=- 53，又∵α∈(π，3π2)，∴cos α=- 1－sin 2α=- 1－59=- 23，∴sin(π2＋α)=cos α=- 23，故选C. 3.答案为：C；解析：f(x)=12(sin x＋cos x)- 12|sin x- cos x|=⎩⎪⎨⎪⎧sin x，sin x≤cos x，cos x，sin x＞cos x.函数f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象，知f(x)的值域为[- 1，22].4.答案为：A；解析：由数形结合的思想，画出函数y=4sin(2x＋1)与y=x的图象，观察可知选A.5.答案为：B；解析：y=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π2个单位长度得到y=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象. ∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，则2x - 2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增. 6.答案为：A；解析：由图象知A=2，∵5π12- ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3=34T，∴T=π，∴ω=2.∵2×5π12＋θ=π2＋2kπ(k∈Z )，∴可取θ=- π3，∴f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 7.答案为：B解析：由T=2πω=π知，ω=2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x=π3时，函数值为最值，A错；由B的单调递增区间，可得- π2＋2kπ≤2x - π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，即为[- π6＋kπ，π3＋kπ](k∈Z )，当k=1时，[5π6，π]∈[5π6，4π3]，故选B.8.答案为：54；解析：∵f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1=- ⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. 又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，∴当sin x=12时，f(x)的最大值是54.9.答案为：2解析：由图知A=2，ω=π4，φ=0，∴f(x)=2sin π4x，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)=0.又f(x)的周期为8，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014).=f(1)＋f(2)＋…＋f(6)= 2.10.答案为：③解析：f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称轴方程满足2x＋π3=π2＋kπ(k∈Z )，解得x=π12＋kπ2(k∈Z )；f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称中心的横坐标满足2x＋π3=kπ(k∈Z )，解得x=- π6＋kπ2(k∈Z )；f(x)的周期为T=2π2=π，由(2x＋π3)∈[2kπ-π2，2kπ＋π2](k∈Z )，得f(x)的增区间为[kπ- 5π12，kπ＋π12](k∈Z )；把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到f(x)=sin[2(x＋π12)＋π3]=sin(2x＋π2)=cos 2x的图象，为偶函数.故只有③正确.11.答案为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z )； 解析：由题意可知，当x=π6时，f(x)取最值.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ=±1， ∴π3＋φ=π2＋kπ(k∈Z )，∴φ=π6＋kπ(k∈Z ). 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即- sin φ>sin φ， ∴sin φ<0.不妨取φ=- 5π6，则f(x)=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令- π2＋2kπ≤2x - 5π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，则π3＋2kπ≤2x≤4π3＋2kπ(k∈Z )，∴π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z )，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z ). 12.解：∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，∴α是第二象限角，∴ 1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α= (1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α =2|cos α|=2－cos α=22， ∴cos α=-22，则sin α=22，tan α=- 1. 13.解：(1)将函数y=sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y=3sin(2x＋π4)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin(2x＋π4)- 1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x＋π4=π2＋kπ(k∈Z )，得对称轴方程为x=π8＋kπ2(k∈Z ).当2x＋π4=π2＋2kπ(k∈Z )，即x=π8＋kπ(k∈Z )时，f(x)取得最大值2. 14.答案为：2； 15.解：(1)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π. 由- π＋2kπ≤2x - π4≤2kπ(k∈Z )，得- 3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z )，故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z ). (2)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8=0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4=- 2cos π4=- 1， 所以函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x=π8；最小值为- 1，此时x=π2.。
学案导学高中数学(苏教版,必修三)课时作业与单元检测
第3章 概 率(B) (时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是________．(填序号) ①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品．2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．3．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率________碰到同性同学的概率．(填“大于”“小于”“等于”或“无法比较”)4．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．6．已知半径为a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．7．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________． 8．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为______________．9．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}的概率P (A )与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率P (B )大小关系为________．10．如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AC ＝BC ，AB 为圆O 的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC 内的概率是________．11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝25外的概率是________．12．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是__________．13．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．14．在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是__________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．16．(14分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．17．(14分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．18．(16分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．19．(16分)已知实数a ，b ∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率；(2)求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．20．(16分)如图所示，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆孤上任取一点B ，求使△AOB的面积大于等于14的概率．第3章 概 率(B)1．①④ 2.133．大于解析 记“甲碰到同性同学”为事件A ，“甲碰到异性同学”为事件B ，则P(A)＝2449，P(B)＝2549，故P(A)<P(B)，即学生甲碰到异性同学的概率大． 4.13解析 在区间[－π2，π2]，0<cos x<12⇔x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2，其区间长度为π3，又已知区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2的长度为π，由几何概型知P ＝π3π＝13 5．0.25解析 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.6.233π解析 因为球半径为a ，则正方体的对角线长为2a ，设正方体的边长为x ，则2a ＝3x ，∴x ＝2a3，由几何概型知，所求的概率P ＝V 正方体V 球＝x 343πa 3＝233π.7. π16解析 如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.8.25解析 可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41,42,43,45共4种；以5开头的：51,52,53,54共4种，所以P ＝820＝25.9．P(A)＝P(B)解析 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的． 10.1π解析 连接OC ，设圆O 的半径为R ，记“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则P(A)＝12·AB·OC πR 2＝1π. 11.712解析 本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x 2＋y 2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即2136＝712.12.49解析 可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得P ＝1636＝49.13.12 解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.14.23解析 由题意可知V S －APC V S －ABC >13，如图所示，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，因此V S －APCV S －ABC＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13(PM ，BN 为其高线)，又PM BN ＝AP AB ，故AP AB >13，故所求概率为23(长度之比)．15．解 a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b.因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225. 16．解 设A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件． 则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1， 设D 表示军火库爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，∴P(D)＝P(A ＋B ＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 17．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．18．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，所以P(N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P(N )＝1－16＝56.19．解 由于实数对(a ，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B.(1)若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，即满足条件的实数对(a ，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝416＝14.故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14.(2)若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则必须满足|b|a 2＋1≤1，即b 2≤a 2＋1.若a ＝－2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值； 若a ＝－1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值； 若a ＝1，则b ＝－1,1符合要求，此时实数对(a ，b)有2种不同取值，若a ＝2，则b ＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a ，b)有4种不同取值． ∴满足条件的实数对(a ，b)共有12种不同取值．∴P(B)＝1216＝34.故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34.20．解 如图所示，作OC ⊥OA ，C 在半圆弧上，过OC 中点D 作OA 的平行线交半圆弧于E 、F ，所以在EF 上取一点B，判断S △AOB ≥14.连结OE 、OF ，因为OD ＝12OC ＝12OF ，OC ⊥EF ，所以∠DOF ＝60°，所以∠EOF ＝120°，所以l EF＝120180π·1＝23π. 所以P ＝l EF π·1＝23ππ＝23.。
高中数学必修1全册导学案及答案(76页)
1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3： 设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ， －1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +； 整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ； 实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0R ，3.7 N ，3.7Z ， .探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：①15以内质数的集合；②方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；③一次函数y x=与21y x=-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x=的图象与二次函数2y x=的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A．某个村子里的高个子组成一个集合B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系：①12R=；②Q；③3N+-∉；④.Q 其中正确的个数为（）.A．1个B．2个C．3个D．4个3. 直线21y x=+与y轴的交点所组成的集合为（）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合. 2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 .复习2：集合2{21}A x x =++的元素是 ，若1∈A ，则x = .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究 思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法 ① {方程210x -=的根}； ② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合； （2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x=-.反思与小结：①描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x=-与2{|1}y y x=-不同.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x>，{|3,}x x k k Z=∈.③集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.④列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数. 练 2. 已知集合{|33,}A x x x Z=-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A==+∈. 试用列举法分别表示集合A、B.三、总结提升※学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x=+与集合2{|1}y y x=+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x=∈≤<，则下列正确的是（）.A. 6A∈ B. 0A∈C. 3A∉ D. 3.5A∉2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x-<的解集表示为{4}x<B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k=C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x-=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x=-与2y x=-的图象的交点组成的集合是（）.A. {1,2}- B. {1,2}x y==-C. {(2,1)}- D.3{(,)|}2y xx yy x=-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x=∈≤<为.5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，2{|650}B x x x=-+=，用∈或∉填空：4 A，4 B，5 A，5 B.1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N=+=∈∈，试用列举法表示集合A.（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A=-，集合2{|0}B x x ax b=++=，且A B=，求实数a、b.§1.1.2 集合间的基本关系学习目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用V enn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.学习过程一、课前准备（预习教材P 6~ P 7，找出疑惑之处）复习1：集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ； （2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ； （3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.B A※典型例题例 1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A 与B的关系如何？变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B ，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n21n-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用V enn图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用V enn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q=++=，2{|320}B x x x=-+=且A B⊆，求实数p、q所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用V enn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=.（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：{|,}.A B x x A x B=∈∈I且Venn图如右表示. ②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A BU，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B=∈∈U或.Venn图如右表示.试试：（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝；（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝；（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝.（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？（3）A∩A＝；A∪A＝.A∩∅＝；A∪∅＝.※典型例题例1 设{|18}A x x=-<<，{|45}B x x x=><-或，求A∩B、A∪B.变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，{|45}B x x x=><-或，则A∩B= ；A∪B= . 小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.A例2 设{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|327}B x y x y=+=，求A∩B.变式：（1）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|43}B x y x y=+=，则A B=I ；（2）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|8212}B x y x y=+=，则A B=I.反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练 1. 设集合{|23},{|12}A x xB x x=-<<=<<.求A∩B、A∪B.练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A BI与B CI的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展A B C A B A C=I U I U I（）（）（），A B C A B A C=U I U I U（）（）（），A B C A B C=I I I I（）（），A B C A B C=U U U U（）（），A AB A A A B A==I U U I（），（）.你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z xB x Z x=∈≤=∈>那么A BI等于（）.A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5} C．{2,3,4}D．{}15x x<≤2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（）.A. x=3, y=－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C===，则()A B CI U等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a=>，{|03}B x x=<<，若A B=∅I，求实数a的取值范围是.5. 设{}{}22230,560A x x xB x x x=--==-+=，则A BU= .课后作业1. 设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试分别说明下面三种情况时直线1l与直线2l的位置关系？（1）12{}L L P=I点；（2）12L L=∅I；（3）1212L L L L==I.2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={13-}，求A BU.§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用V enn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备1011复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 .若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：A B =I ； A B =U . 复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究 探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集. ① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ； （2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝ ；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求UC A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B U 、()()U U C A C B I .※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =I ，(){4,6,8}I C A B =I ，{2}A B =I . 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .反思：结合V enn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A =I ，()U A C A =U ； （2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？ （1）()()()U U U C A B C A C B =U I ； （2）()()()U U U C A B C A C B =I U .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x > 3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =I ð（ ）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .课后作业1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =I ，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B =I ； A B =U ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ； A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；()U A C A =I ；()U A C A =U ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题 例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =U ，A B ≠I ∅，(){1,2}U A C B =I ，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==U I 且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。
高三数学导数及其应用多选题知识点总结及答案
高三数学导数及其应用多选题知识点总结及答案一、导数及其应用多选题1．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．22sin 24x x x >+ D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+， 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+ ()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)xf e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x -'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<.故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．设函数()ln x f x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥ D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈ 【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax =-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x m x +=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln x f x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln x f x x =在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立， 可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-， 则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln x a x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-， 由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1f g θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t fg θθ=+的最大值为2.【答案】ACD【分析】 依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos f θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。
高中数学必修3导学精要答案.doc
《算法初步》答案第一章第一节《算法的概念》【技能提炼】1.解：算法一：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.第三步，沏茶.点评:解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法•上血的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学.【变式】算法：笫一步，从已知线段的左端点A出发，任意作一条与不平行的射线AF.第二步，在射线AF上任取一个不同于端点A的点C,得到线段AC.第三步，在射线AF上沿AC的方向截取线段CD = AC・第四步，在射线AF上沿AC的方向截取线段DE = AC.第五步，连结BE.第六步，过点C作BE的平行线，交线段于G,这样点G就是线段的一个3等分点.点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.*2.算法一：第一步，计算1 + 2得到3・第二步，将第一步得到的运算结果3与3相加，得到6.第三步，将第二步得到的运算结杲6与4相加，得到10.第四步，将第三步得到的运算结果10与5相加，得到15.第五步，将第四步得到的运算结果15与6相加，得到21. 算法二第一步，输入比的值6 .第二步，计算s = + D・2第三步，输出S.算法三：第一步，输入比的值6 .第二步，令z = l , 5 = 0.第三步，判断“ i<n ff是否成立，若不是，输出S,结束算法；若是，执行下一步. 第四步，令S的值增加几仍用S表示，令i的值增加1,仍用i表示，返回第三步.*【变式】第一步，计算2x4得到8.第二步，将第一步得到的运算结果8与6相乘，得到48.第三步，将第二步得到的运算结杲48与8相乘，得到384. 第四步，将第三步得到的运算结果384与10相乘，得到3840.* 3 .算法一：第一步，任取2枚银元分别放在天平左右两边进行称量，如果天平不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第二步.第二步，取下右边的银元，放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一边就是假银元.算法二第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚.第二步，先将其中两组放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组; 如果天平左右平衡，则假银元就在未称量的那一组里.第三步，取出含假银元的那一组，从屮任取2枚银元分别放在天平左右两边进行称量，如果天平不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平平衡，则未称的那一枚就是假银元.*【变式】第一步，人带两只狼过河.第二步，人自己返冋.第三步，人带一只羊过河.第四步，人带两只狼返冋.第五步，人带两只羊过河.第六步，人自己返回.第七步，人带两只狼过河.第八步，人自己返回.第一步，人带一只狼过河.变式反馈1. 3 即(2) (3) (4) (6)；2.(1) (2) (4)* 3. (1)算法与技能提炼2类似.(2)算法与技能提炼2的变式类似.* 4.第一步，人带羊过河.第二步，人自己返冋.第三步，人带青菜过河.第四步，人带羊返回.第五步，人带狼过河.第六步，人自己返回.第七步，人带羊过河.【技能提炼】* 1.解法一：程序框图如下: 解法二：程序框图如下:【变式】解法类似技能提炼1的解法一2.算法:第一步, 输入a.b.h.第二步,2输出S •第三步，程序框图如右图所示:*【变式】解：程序桩图如右图所75：3. 解：用P 表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤: 2005 年 P=10 000x (1+3%) =10 300； 2006 年 P=10 300x (1+3%) =10 609；2007 年 P=10 609x (1+3%) =10 927.27； 2008 年 P=10 927.27x (1+3%) =11 255.09；因此，价格的变化情况表为： P=10 609x1.03=10 927.27y = -x结束*2. 解法一：⑴(a — I)2:(2)。
学案导学高中数学(苏教版,必修三)课时作业与单元检测第3章+概率(9份)第3章 概率 3.1
第3章 概 率3.1 随机事件及其概率课时目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．1．随机现象在一定条件下，____________________________，这种现象就是确定性现象．在一定条件下， ____________________________________________________________，这种现象就是随机现象．2．事件对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次________．而试验的每一种可能的结果，都是一个________．3．随机事件在一定条件下，______________的事件叫做必然事件．____________________叫做不可能事件．__________________叫做随机事件．4．随机事件的概率(1)定义：一般地，对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的________会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的________，记作________．(2)性质：对于任意一个随机事件A ，P (A )的范围是__________．(3)用Ω和Ø表示必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝____，P (Ø)＝____.一、填空题1．下列事件中：①如果a >b ，那么a －b >0；②将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面；③三个小球全部放入两个盒中，其中一个盒子里有三个球；④若x ∈R ，则x 2<0.其中是随机事件的为________．(填序号)2．将一颗骰子抛掷600次，掷出点数大于2的次数大约是________次．3．一个口袋内装有大小相同且编号为1,2,3,4的四个乒乓球，从中任意摸出2球，则这一试验共有______种可能性．4．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )与m n的关系是______________．5．在一篇英文短文中，共使用了6 000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e ”共使用了900次，则字母“e ”在这篇短文中的使用的频率为________．6．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况________．(填序号)①这100个铜板两面是一样的；②这100个铜板两面是不一样的；③这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的；④这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的．7．盒中装有4只白球5只黑球，从中任意取出1只球．(1)“取出的球是黄球”是________事件，它的概率是________；(2)“取出的球是白球”是________事件，它的概率是________；(3)“取出的球是白球或黑球”是________事件，它的概率是________．8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．9．从12个同类产品(其中10个正品，2个次品)，任意抽取6件产品，下列说法中错误的是________．(填序号)①抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品；②抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品；③抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品；④抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，一件次品．二、解答题10．结果如下：从这100(1)事件A (6.92<d ≤6.94)的频率；(2)事件B (6.90<d ≤6.96)的频率；(3)事件C (d >6.96)的频率；(4)事件D (d ≤6.89)的频率．11．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率．能力提升12．掷一枚骰子得到6点的概率是16，是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)3．1 随机事件及其概率知识梳理1．事先就能断定发生或不发生某种结果某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果 2.试验事件 3.必然会发生肯定不会发生的事件可能发生也可能不发生的事件 4.(1)频率概率P(A)(2)0≤P(A)≤1(3)10作业设计1．②③解析 ①是必然事件，④是不可能事件，②、③是随机事件．2．400解析 N ＝46×600＝400. 3．6解析 可能出现以下情形：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．4．P(A)≈m n5．0.15解析 频率＝9006 000＝0.15. 6．①解析 一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100个铜板两面是一样的可能性最大．7．(1)不可能 0 (2)随机 49(3)必然 1 8．750解析 设池塘约有n 条鱼，则含有标记的鱼的概率为30n ，由题意得：30n×50＝2， ∴n ＝750.9．①③④解析 由于12个产品的正品率为1012＝56， 次品率为212＝16，故抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品． 10．解 (1)事件A 的频率f(A)＝17＋26100＝0.43. (2)事件B 的频率f(B)＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93. (3)事件C 的频率f(C)＝2＋2100＝0.04. (4)事件D 的频率f(D)＝1100＝0.01. 11．解 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A ，由题意知，A 为不可能事件，∴P(A)＝0.(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B ，由题意知P(B)＝50250＝15＝0.2. (3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C ，由题意知事件C 为必然事件，所以P(C)＝1.12．解 抛掷一枚骰子得到6点的概率是16，多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占16，并不意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都是随机的．13．解 (1)这种鱼卵的孵化概率P ＝8 51310 000＝0.851 3. (2)30 000个鱼卵大约能孵化30 000×8 51310 000＝25 539(尾)鱼苗． (3)设大概需备x 个鱼卵，由题意知5 000x ＝8 51310 000. ∴x ＝5 000×10 0008 513＝5 900(个)．∴大概需备5 900个鱼卵．。