最新高一下数学导学先锋答案优秀名师资料
【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案
【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB },,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= .[归纳反思]1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便．．例：x 2－3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}．有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}．小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．2.描述法：一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以用它的特征性质p(x)描述 {x∈I|p(x)} .3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
高中数学课课精练导学先锋必修一(110-160)
单元测试一、填空题（每小题4分，共40分） 1.化简：()3121133214(0.1)a b---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⋅⋅________.2.化简21151********33a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果是________.3.计算：91log 2lg2lg503-++=________.4.若log 2a m =，log 3a n =，则2m n a +=________.5.已知lg 6a =，lg15b =，试用a 、b 表示lg 48=________.6.若lg lg(4)2lg(3)x y x y +=-，则x y -的值是________.7.如果11251111log log 33a +=，那么3a =________.8.若227x y A ==，且112x y+=，则A 的值是________. 9.方程()()22log 972log 31x x +=++的解为________. 10.若正实数a 、b 、c 均不为1，满足x y z a b c ==，且1110x y z++=，则abc 的值为________. 二、选择题（每小题4分，共16分） 11.下列各式中成立的一项是（ ）A.7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭34()x y +D.12.若102(32)(2)x x --+-有意义，则x 的取值范围是（ ）A.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.2,2(2,)3⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.2,2(2,)3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭13.若2log (2)log log a a a M N M N -=+，则的值为（ ）A.14B.4C.1D.4或114.若221x y +=，0x >，0y >，且log (1)a x m +=，1log 1a n x=-，则log a y 等于（ ） A.m n +B.m n -C.1()2m n +D.1()2m n - 三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知17a a -+=，求下列各式的值： （1）33221122a a a a----；（2）1122a a-+；（3）22(1)a a a -->.16.设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=，若4log 11b c a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值.17.设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值. 18.已知不等式21212log 9log 902x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为M ，求当修正处x M ∈时，函数22log log 28x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值.19.已知2lg lg lg lg [lg()]0lg lg lg lg x y x y x y x y x y++-++=⋅，求2log ()xy 的值. 四、能力拓展题（本题12分） 20.设x 、y 、z 均为正数，且346x y z ==. （1）试求x 、y 、z 之间的关系；（2）求使2x py =成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的正整数）； （3）试比较3x 、4y 、6z 的大小.第4章 幂函数、指数函数与对数函数4.1 幂函数第1课时 幂函数的定义与图像一、填空题1.若一个函数为幂函数，又是二次函数，则该函数的表达式为________.2.若一个函数为幂函数，又是反比例函数，则该函数的表达式为________.3.若一个幂函数的图像过点(27,3)，则该函数的表达式为________.4.下列所给出的函数中，是幂函数的是________（填序号）. ①3y x =-；②3y x -=；③32y x =；④31y x =-5.若11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且图像关于原点成中心对称的所有a 的值为________________.二、选择题6.若幂函数a y x =的图像经过点⎛ ⎝⎭，则当4x =时的函数值为（ ） A.16B.2C.116D.127.函数43y x =的图像是（ ）8.下列命题中正确的是（ ）A.当0a =时，函数y x α=的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点C.幂函数32y x -=的定义域为[0,)+∞D.幂函数的图像不可能出现在第四象限 三、解答题9.已知函数()22211mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.10.已知函数()2221m m y m m x --=+，当m 取什么值时，这个函数是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）在第一象限内它的图像是上升曲线？11.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确定函数的表达式.四、能力拓展题12.请把相应的幂函数图像代号填入表格.①23y x =；②2y x -=；③12y x =；④1y x -=； ⑤13y x =；⑥43y x =；⑦12y x -=；⑧53y x =.第2课时 幂函数的性质一、填空题 1.若幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 轴、y 轴无交点，且图像关于原点成中心对称，则m 的值为________.2.若一个幂函数的图像过点4(3,27)，则该函数的表达式为________.3.若幂函数249aa y x --=的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是严格减函数，则正整数a的值是________.4.直接比较下列组中两个值的大小：（1）6110.6________6110.7；（2）53(0.88)________53(0.89). 5.若幂函数()22231mm y m m x --=--在(0,)x ∈+∞时为严格减函数，则(0,)x ∈+∞________.二、选择题6.下列函数中在区间(0,3)上是严格增函数的是（ ）A.1y x =B.12y x =C.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2215y x x =--7.下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点(0,0)、(1,1)的是（ ） A.12y x =B.4y x =C.2y x -=D.13y x =8.若幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图像如图所示，则（ ） A.101n m -<<<< B.1n <-，01m << C.10n -<<，1m > D.1n <-，1m > 三、解答题9.已知幂函数()2732351t t y t t x+-=-+的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上为严格增函数，求函数的表达式.10.已知1133(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围.11.已知一个幂函数的图像经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求该函数的表达式； （2）判断该函数的单调性. 四、能力拓展题 12.（1）求函数11x y x -=+的单调区间和对称中心； （2）求函数(0)x ay a b x b+=>>+的单调区间和对称中心；若此函数是由某个幂函数平移得到，求a 、b 满足的条件.4.2 指数函数第1课时 指数函数的定义与图像一、填空题 1.函数132xy -=的定义域是________.2.若函数()233x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为________.3.若函数2x y a -=（0a >，且2x y a -=），则该函数的图像恒过的定点坐标是________.4.若10.225x >，则实数x 的取值范围是________. 5.若函数()21xy a =-是严格减函数，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.下列各式中，错误的是（ ） A.0.80.733> B.0.40.60.50.5>C.0.10.10.750.75-<D. 1.6 1.4>7.函数1x y a =+（0a >且1a ≠）的图像必经过点（ ） A.(0,1) B.(1,0)C.(2,1)D.(0,2)8.函数11312x y =+-的图像（ ） A.关于原点成中心对称 B.关于y 轴对称C.既关于原点成中心对称又关于y 轴对称D.既不关于原点成中心对称也不关于y 轴对称 三、解答题9.下列函数中哪些是指数函数，哪些是幂函数，哪些既不是指数函数也不是幂函数？（1）πx y =； （2）2y x =； （3）y =（4）y =（5）22x y =；（6）2x y =-.10.比较下列各组数中两个数的大小. （1） 2.61.2和 2.611.2；（2） 2.10.8-和 2.10.7-； （3）0.40.3和0.30.4.11.求函数()120.58xy -=-的定义域.四、能力拓展题12.已知函数23x y a -=（0a >，且1a ≠）. （1）求该函数的图像恒过的定点坐标； （2）指出该函数的单调性（不必证明）.第2课时 指数函数的性质一、填空题1.若函数(0,1)x y a a a =>≠的图像过点(-1,2)，则a =________.2.若函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点，则该定点坐标是________.3.若函数1xy a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.4.若某地现有绿地2100km ，计划每年按1%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为________2km .5.若定义运算()*()a ab a b b a b ⎧=⎨>⎩，则函数1*2x y =的函数值的取值集合为________.二、选择题6.若0x >，函数()28xy a =-的值恒大于1，则实数a 的取值范围为（ ）A.(-2,2)B.(,2)(2,)-∞-⋃+∞C.(3,3)-D.(,3)(3,)-∞-⋃+∞7.若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）A.mB.12m C.121m - D.111m -8.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（2m ）与时间t （月）的关系：t y a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是（ ） A.①②③ B.①②③④C.②③④D.①②三、解答题9.已知函数21x b y a +=+（0a >且1a ≠，b 为实数）的图像恒过定点(1,2)，求b 的值.10.某地区脑卒中发病人数呈上升趋势.经统计分析，从2010年到2019年的10年间每两年上升2%，2018年和2019年共发病815人.如果按照这个比例下去，从2020年到2023年有多少人发病？11.已知函数221xxay+=+的图像关于原点对称.（1）求a的值；（2）判断函数的单调性（不需证明）.四、能力拓展题12.若函数22313x mxy+-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(1,1)-上是严格减函数，求实数m的取值范围.第3课时 指数函数的图像与性质一、填空题1.若函数()23xy a =-在0x <上的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________.2.若函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，则实数a 的值是________.3.方程||22x x +=的实根的个数为________.4.若函数141x y a =++的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若函数212x y a=-+（a 是常数），当1a =时，则函数的值域为________. 二、选择题6.若函数1221,0,0x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩，当0x x =时函数值0x x =，则0x 的取值范围是（ ）A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D.(,1)(1,)-∞-⋃+∞7.若函数y =ax -（b +1）（0a >，1a ≠）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ） A.1a >且0b >B.01a <<且0b <C.01a <<且0b >D.1a >且1b >8.若函数42x x y a a =-⋅+在(0,)x ∈+∞的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A.3aB.2a >C.04a <<D.4a <三、解答题9.已知[0,2]x ∈，求函数124325x x y -=-⋅+的最值.10.求函数2222xx y -++=的定义域和值域.11.已知对任意的x ∈R ，不等式22241122x mx m xx-+++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.已知函数11124x xy a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当1a=时，求函数在(,0)-∞上的值域；（2）若对任意[0,)y成立，求实数a的取值范围.x∈+∞，总有||3延伸阅读（9）——指数爆炸在延伸阅读（8）中，我们领略了两位伟人的数学故事.事实上，教科书第86页的引例，可以做更一般的探索.一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍；对折第二次，变为原来的2的2次方倍，即4倍；依次类推，假设纸的厚度为0.1mm ，则对折24次以后，高度超过1km ；对折39次高度达55000km ，超过地球赤道长度；对折42次高度达44万km ，超过地球至月球的距离；对折51次高度达22亿km ，超过地球至太阳的距离；对折82次高度为51113光年，超过银河系半径的长度.不过，这只是一个不符合实际的数学理论推理数字.那么在现实生活中，一张纸究竟能折多少次呢？如果纸为正方形，边长为a ，厚度为h ，当折叠一次的时候，折叠边长不变，厚度为2h ，折叠两次的时候，折叠边长为原边长的二分之一，厚度变为4h ，就这样折叠下去，可以推出一个公式：当折叠次数n 为偶数次时，折叠边长为0.512n ，厚度为2h ，当满足221log 13n h ⎛⎫>- ⎪⎝⎭时无法折叠.根据一般的纸张的状况，厚度大约为0.1mm ，边长为1m 时，根据上述公式，可以得出8.1918n >时无法折叠，这意味着对于厚度大约为0.1mm ，边长为1m 的正方形纸，只能折叠8次但折叠8次，人类是很难办到的，只能依靠机器.所以，一张纸最多能对折多少次，实际是一个变数，它取决于纸张的实际厚度与大小.在现实生活中，一张普通的A4纸，一般人可以折到6次，厉害的人可以折到7次，你能计算此时纸的厚度吗？杰米是百万富翁.一天，他碰到上一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月（31天）中每天给你1万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的2倍.”杰米答应了，合同开始生效，杰米欣喜若狂.第一天他支出1分钱，收入10万元；第二天，他支出2分钱收入10万元；到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出5元1角2分；到了第20天，米共得200万元，而韦伯才得5千元多.杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变：第21天杰米支出1万多，收入10万.到第28天，杰米支出134万多，收入10万结果，杰米在一个月（31天）内得到310万元的同时，共付给韦伯2100多万元！杰米破产了.最后，我们看细胞分裂：细菌个数每次增倍所需的时间是1小时，也就是说，如果设0时刻存在的细菌数量为1，则1小时后的细菌数量为2，于是一天（24h ）后的细菌数量是24.这串巨大的数字恰恰说明了指数增长的速度有多快，它还表明，我们需要小216777216心数学公式是否完全契合现实：1600万左右的细菌其实仍然很少（即使1万亿个细菌也才只有1g重），这个答案可能是精确的.但是，如果我们用公式计算6天后的细菌数量，我们得到的细菌质量将是地球质量的3700多倍；计算一周后的细菌数量，其质量将超过100000个太阳的质量.事实上，在几天内不断繁殖的细菌就能耗尽现有的所有食物，空间也越来越拥挤，没有足够的资源供细菌继续这样裂变，到最后细菌停止生长.由此可见，世界未覆灭于细菌王国，人类何其幸运！这就是指数爆炸！每周一练一、填空题1.若一个函数既是幂函数又是反比例函数，则该函数的表达式为________.2.方程210x x --=解的个数是________个.3.比较大小：（1）351.2________351. 3；（2）23(0.71)--________230.72-； （3）0.80.7________0.70.8.4.已知函数21x y =-，若函数在0x 的函数值都小于1，则0x 的取值范围是________.5.函数13x y a -=+恒过定点________.6.函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈-的值域为________.7.将函数231x y =-图像向上平移1个单位再向右平移1个单位，可得函数________的图像.8.若不等式23155xx x +-⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，则实数x 的取值范围是________. 9.若0x <时，()21xa -的值总是小于1，则实数a 的取值范围是________.10.若直线3y a =与函数11x y a +=-（0a >且1a ≠）的图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是________________.二、选择题11.若指数函数(2)x y a =-在x ∈R 上是严格减函数，则a 的取值范围是（ ） A .2a >B.3a <C.23a <<D.3a >12.若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（ ） A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限13.若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A.6B.8C. D.14.函数||2x y =的大致图像是（ ）三、解答题15.求下列函数的值域：（1）23113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）421x x y =++. 16.已知幂函数223()mm y x m --=∈Z 的图像与x 、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的草图.17.已知定义域为R 的函数122x x by a+-+=+的图像关于原点成中心对称.求实数a 、b 的值.18.已知函数x y a b =+（0a >且1a ≠）的定义域和值域都是修正处[1,0]-，求a b +的值.19.已知函数3131x x y -=+.（1）求函数的值域；（2）判断函数在(,)-∞+∞上的单调性（无需证明）. 四、能力拓展题 20.已知幂函数2232()p p y x p -++=∈Z 在R 上的图像关于y 轴对称，并在(0,)+∞为严格增函数（1）求p 的值，并写出此函数的表达式； （2）设函数232212p p y xqx q -++=-++，在（1）的条件下，问是否存在实数q ，使得此函数在区间[0,2]上有最小值为2-？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由.4.3 对数函数第1课时 对数函数的定义和图像一、填空题 1.函数()lg 821x y x -=-的定义域是________.2.若对数函数的图像过点(4,2)-，则此函数的表达式为________.3.若(1)log (1)k k +-有意义，则实数k 的取值范围是________.4.若函数2log (01)3xa y a ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是________.5.若函数()22log 3y ax x a =++的定义域是R ，则a 的取值范围是________. 二、选择题6.若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图像不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限7.已知函数1log a y x =和2(2)y k x =-的图像如图所示，则不等式120y y 的解集是（ ）A.(1,2]B.[1,2)C.(1,2)D.[1,2]8.如果log 2log 20m n <<，m 、n 为不等于1的正数，那么下列关系式中成立的是（ ） A.1n m << B.1m n << C.1m n <<D.1n m <<三、解答题9.（1）当3log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围； （2）当13log (72)0x ->时，求实数x 的取值范围；（3）当3log (72)x x -恒取正值时，求实数x 的取值范围. 10.求函数()24log 32y x x =+-的最大值及相应x 的取值. 11.求下列函数的定义域：（1）12log y =（2）y ；（3）()log (0,1)x a y a a a a =->≠. 四、能力拓展题12.试求函数)2log 26y x x =++的定义域和值域.第2课时 对数函数的性质一、填空题 1.若4log 15x<，则x 的取值范围为________.2.函数y 的定义域是________.3.若集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{|lg(3)}B x y x ==-，则A B ⋂=________.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =________.5.使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是________. 二、选择题6.与函数y x =为同一函数的是（ ）A.log x y x x =B.yC.log (0,1)a x y a a a =>≠D.log (0,1)x a y a a a =>≠7.方程()ln 9310x x +-=的根为（ ） A.1B.2-C.0D.0，1或2-8.若221log 01a a a+<+，则a 的取值范围是（ ）A.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.(1,)+∞C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题9.设函数11log 3x y =+，22log 2x y =，其中0x >且22log 2x y =，试比较1y 与2y 的大小. 10.已知函数25lg (2)(2)4y k x k x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦的定义域为R ，求实数k 的取值范围.11.已知函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭. （1）求此函数的定义域；（2）若函数值都大于等于1-，求实数x 的取值范围. 四、能力拓展题12.已知函数()log 1(0,1)x a y a a a =->≠.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的单调性.复习与小结（1）一、填空题1.若0a >，1a ≠，则函数()23log 1a y x =++的图像恒过定点________. 2.函数32y x -=的定义域是________.3.若函数22313x mx y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间(2,2)-上是严格减函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数142x x y m +=-⋅，存在实数0x ，0x x =和0x x =-的函数值相反，则实数m 的取值范围是________.5.若函数1231,(0),(0)x x y x x -⎧-⎪=⎨⎪>⎩在区间[1,]m -上的最大值是2，则m 的取值范围是________________.二、选择题6.若集合{}2|10A x x =->，{}2|log 0B x x =>，则A B ⋂等于（ ） A.{|}1x x > B.{|0}x x > C.{1|}x x <-D.11{|x x x <->或7.已知函数()2231m m y m m x +-=--是幂函数，且(0,)x ∈+∞时，若此函数是严格减函数，则m 的值为（ ）A.1-B.2C.1-或2D.38.若函数()23log 21y mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A.(0,1) B.[0,1] C.[1,)+∞ D.(,1)-∞三、解答题 9.已知函数223()mm y x m -++=∈Z 的图像关于y 轴对称，且3x =的函数值小于5x =的函数值，求m 的值，并确定该函数的表达式.10.求下列函数的定义域.（1）log (3)log (3)a a y x x =-++（0a >，且1a ≠）；（2）()2log 164x y =-.11.已知函数10101010x xx xy ---=+. （1）求函数的定义域； （2）求函数的值域. 四、能力拓展题12.已知函数()9log 91()x y kx k =++∈R 的图像关于y 轴对称. （1）求k 的值；（2）若此函数的图像在直线12y x b =+上方，求实数b 的取值范围.复习与小结（2）一、填空题1.若指数函数(12)x y a x =的最大值与最小值之和等于6，则2.若点(3,27)在幂函数(2)a y t x =-的图像上，则t a +=3.某食品的保鲜时间y （单位：h ）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx by e +=（ 2.718e =…为自然对数的底数，k 、b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间设计192h ，在22℃的保鲜时间是48h ，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.4.若函数()2lg 2y x ax =-+在区间(1,2)是严格减函数，则实数a 的取值集合是________.5.函数21(0,1)2x y x a a a =-->≠.若[1,1]x ∈-时，函数值均小于0，则实数a 的取值范围是________.二、选择题6.若0a >，0b >，且1ab =，1a ≠，则函数x y a =与函数log b y x =-在同一坐标系中的图像可能是（ ）7.设|1|3x y =-，c b a <<，若函数在x c =的函数值大于函数在x a =的函数值，函数在x a =的函数值大于x b =的函数值，则下列关系式中一定成立的是（ ）A.33c b >B.33b a >C.332c a +>D.332c a +<8.给出下列4个结论：①函数(0,1)x y a a a =>≠与函数log (0,1)x a y a a a =>≠的定义域相同 ②函数3(0)x y k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到③函数11(0)221x y x =+≠-的图像关于原点成中心对称且11212xy x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的图像关于y 轴对称④若幂函数a y x =的图像关于原点成中心对称，则a y x =是定义域上的严格增函数 则以上4个结论中正确结论的个数（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三、解答题9.求函数21144log 2log 5y x x =-+，[2,4]x ∈的最值.10.解不等式：1133(3)(12)a a ---<+.11.已知函数x y b a =⋅（其中a 、b 为常量，且0a >，1a ≠）的图像经过点(1,6)(3,24)A B 、.（1）求该函数的表达式；（2）若不等式110xxm a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围.四、能力拓展题12.（1）关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]上有唯一解，求实数k 的取值范围；（2）已知关于x 的方程()2113(1)31(3)30x x x m m ++++---⋅=有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.单元测试一、填空题（每小题4分，共40分）1.若点⎝⎭在一个幂函数图像上，则这个幂函数的表达式是________.2.函数1lg 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是________.3.若函数(1)x y m =+在R 上是严格增函数，则实数m 的取值范围是________.4.若函数141x y a =+-的图像关于原点成中心对称，则实数a 的值为________. 5.若252222x x +-=，则()2lg 1x +=________.6.若实数x 满足不等式()222log 2log (4)x x x ->+，则实数x 的取值范围是________. 7.若函数()2lg 223y x ax a =-++的值域是R ，则实数a 的取值范围是________. 8.若直线y a =与函数21x y =-∣的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________. 9.无论a 为何值，函数(1)22x ay a =--恒过一定点，这个定点的坐标是________. 10.若函数0(3)4,0x a x y a x a x ⎧<=⎨-+⎩在(,)x ∈-∞+∞上严格单调递减，则实数a 的取值范围是________.二、选择题（每小题4分，共16分） 11.函数22log (1)y x x =+的值域为（ ） A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.[2,)+∞D.[3,)+∞12.方程1lg(2)2xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解的情况为（ ）A.两个正根B.一个正根一个负根C.一个正根D.无实数根13.不等式11log (21)log (1)a a x x --->-成立的充要条件是（ ） A.0x > B.0x >且2a > C.1x >且1a >D.x >1且2a >14.若函数()22log 217y x x =-+的值域为[,)m +∞，当正数a 、b 修正处满2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A.94B.1D.2三、解答题（15、16、17题每题5分，18题8分，19题9分，共32分） 15.已知m ∈Z ，函数28mmy x -=的图像关于原点对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求m的值.16.求121x y =-的值域. 17.银行一年定期储蓄年利率为2.25%，若存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%交纳利息税）转存一年定期储蓄.某人于年初存入银行5万元.（1）至少存几年，才可以得到大于2500元的利息？（2）若此人改为按三年定期储蓄存入银行5万元（三年定期储蓄的年利率为3.24%），三年后一次取出全部本息（利息按20%交税），问按哪一种方式能获得更多的利息？利息差是多少？（保留2位小数）18.已知关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有实数解，求实数a 的取值范围.19.已知x 满足222log 5log 60x x -+，求函数2124log log 2x y x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 四、能力拓展题（本题12分）20.已知函数3log ()y ax b =+的图像过点(2,1)A 和(5,2)B . （1）求此函数的表达式；（2）已知函数31log 2y t x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，若两个函数图像在区间[1,2)上有公共点，求t 的最小值.延伸阅读（10）——对数的故事教科书P75课后阅读《对数简史》，为我们展示了对数发展的脉络，而形成对数的数学思想，蕴含在对数的故事中.对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——约翰·纳皮尔（John Napier，1550-1617）.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔是一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？乘法转化为加法：在那个时代，计算多位数之间的乘积，是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：（1）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…（2）1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的指数对应的幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算32512⨯的值，就可以先查第一行的对应数字：32对应于5，512对应于9；然后再把第一行中的对应数字相加：5914+=；再查第一行中的14，对应于第二行中的16384，所以有：3251216384⨯=.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了，这种“化乘除为加减”，达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年探索，纳皮尔于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了这项发明，并解释了这项发明的特点.改良与完善：该书的发表引起了另一位数学家亨利·布里格斯（Henry Briggs，1561—1630）的极大兴趣.1616年，他去拜访纳皮尔，建议将对数改良到以10为基底的对数表以方便使用，这就是后来常用对数了.约翰·纳皮尔本人也考虑过这个问题，遗憾的是，不久后（1617年春天）他便去世了.于是，布里格斯竭尽毕生精力完成了改良工作，以10为底列出一个很详细的对数表.第三位发现者：瑞士工程师兼钟表匠茱斯特·比尔吉（Joost Burg i，1552—1632）曾担任著名天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）的助手，因此常接触到复杂的天文计算，也产生了化简数值计算的强烈愿望.他早于纳皮尔创建了一种对数体系，但由于某些原因，直至1620年才在布拉格匿名发表.所以在对数体系发明这件事上，世人大多只记住了纳皮尔而鲜少提及比尔吉.因此，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.恩格斯在《自然辩证法》中，曾把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分称为17世纪的三大数学发明.法国数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749—1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”广泛运用：利用对数这个工具，天文学家们就能够轻松地进行繁琐的大数相乘的运算，天文研究突飞猛进.连伽利略都说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”除此之外，对数在经济学、统计学、生物学、化学等领域均得到广泛的应用.对数的发明和应用给了我们一个启示，数学理论的发展可以极大程度地推动社会生产、科学技术的进步.所以别再说学数学无用了——学好数学用处大大的！第5章 函数的概念性质及应用5.1 函数第1课时 函数一、填空题 1.函数1|2|1y x =+-的定义域是________.2.函数y =________.3.函数1(2)2y x x x =+>-的值域是________. 4.函数2121x x y -=+的值域是________.5.若(1)f x +的定义域为[1,2]，则()2log f x 的定义域是________. 二、选择题6.函数y =的定义域为（ ）A.(,1]-∞B.(,2]-∞C.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-⋃- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦7.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A.()f x x =，2()g x =B.()f x x =，()g xC.()f x ()g x =D.21()1x f x x -=+，()1g x x =-8.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）A.()||f x x =，2()g x = B.()f x x =，11()g x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()f x x =，log ()a x g x a =D.()2ln ||f x x =，2()ln g x x =三、解答题9.求函数y =.10.求函数()222log 32y x ax a =-+的定义域.11.已知函数22()1x f x x =+，求：（1）1()f a f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）11(1)(2)(3)23f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）111(1)(2)(99)(100)23100f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四、能力拓展题12.设函数()f x 的定义域为[0,1].（1）求函数()(21)F x f x =-的定义域；（2）设0a >，求函数()()()G x f x a f x a =++-的定义域.第2课时函数的表示方法一、填空题1.若函数2()1f x x=+，则[(1)]f f=________；[()]f f x=________.2.若21,0()2,0x xf xx x⎧+=⎨>⎩，则满足()10f x=的x=________.3.若1)2(1)f x x=-，则()f x=________.4.若()f x是一次函数，满足3(1)2(1)217f x f x x+--=+，则()f x=________.5.若13()24f x f xx⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x=________.二、选择题6.下列四个图像中，不是函数图像的是（）7.函数1yx a=+（常数0a<）的图像所经过的象限是（）A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限8.若x〈〉表示比x大且最接近x的整数，则函数y x=〈〉的图像与y x=的图像交点个数是（）A.0B.无数个C.1D.不确定三、解答题9.在同一平面直角坐标系中作出函数||y x=与|2|y x=-的图像..10.已知函数2(1) ()|1|x xf xx-=-；（1）作出该函数的图像；（2）写出该函数的值域.11.已知函数2()f x ax bx c=++，2()f x ax bx c=++，且(1)()1f x f x x+=++，试求()f x 的表达式.四、能力拓展题12.如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示P A的长.求y关于x的函数解析式.5.2 函数的基本性质第1课时 函数的奇偶性（1）一、填空题1.函数311()4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的奇偶性是________.2.函数()31()4f x x x =+，[2,2)x ∈-的奇偶性是________. 3.函数42()f x x x =-的奇偶性是________；函数3()h x x x =-的奇偶性是________. 4.若函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a =________.5.若函数()f x 是R 的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=________. 二、选择题6.函数(||1)(||3)y x x x =-的奇偶性是（ ） A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数7.若()f x 是定义在R 上的函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定是（ ） A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数8.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，若对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2022)f 的值为（ ）A.2022B.2020C.2018D.0三、解答题9.求证：函数2()2||f x x x =-+是偶函数. 10判断下列函数的奇偶性.（1）()f x =（2）11()312xg x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. 11.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()231f x g x x x +=-+，求()f x 、()g x 的解析式.四、能力拓展题12.已知定义在R上的函数()f xy f x f y=+.f x满足()()()（1）求证：(1)(1)0=-=；f f（2）求证：()f x为偶函数第2课时 函数的奇偶性（2）一、填空题1.函数||y x =的图像关于对称________，函数的奇偶性是________.2.若()f x 在[-5,5]上是奇函数，且(3)(1)f f <，则(3)f -与(1)f -的大小关系是________.3.函数()f x ________.4.函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -⎧=⎨-+<⎩的奇偶性是________.5.若函数20192021()8bf x x a x x=+⋅--，(2)10f -=，则(2)f =________. 二、选择题6.“(0)0f =”是“()f x 是定义在R 上的奇函数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.下列命题中正确的是（ ） A.奇函数的图像一定过原点 B.21(44)y x x =+-<是偶函数 C.|1||1|y x x =-++是偶函数D.21x x y x -=-是奇函数8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当()(1)f x x x =-时，()f x 等于（ ）A.(1)x x -+B.(1)x x +C.(1)x x -D.(1)x x --三、解答题9.判断下列函数的奇偶性： （1）(1)()1x x f x x +=+；（2）()f x10.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2(1)f x x x =+. 求：（1）当0x >时，()f x 的解析式；。
高一数学专题：集合(导学案含答案 )
第一章 集合与函数概念1.1 集合一、集合的概念 1．集合与元素一般地，我们把_研究对象_统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,⋅⋅⋅表示．把一些元素组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,⋅⋅⋅表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作____a A ∈___；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作____a A ∉__．学@科网注意：a A ∈与a A ∉取决于元素a 是否是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a 与集合A ，a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征（1）确定性__：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．（2）互异性_：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）无序性__：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 二、常用的数集及其记法1．全体非负整数_组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ； 2．所有正整数_组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N ； 3．全体_整数__组成的集合称为整数集，记作Z ； 4．全体__有理数__组成的集合称为有理数集，记作Q ； 5．全体_实数__组成的集合称为实数集，记作R ．易错点：N 为非负整数集（即自然数集），包括0，而*N 表示正整数集，不包括0，注意区分． 三、集合的表示方法1．列举法把集合的元素_一一列举_出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{}R 表示所有实数是错误的，应是R ． 2．描述法用集合所含元素的_共同特征_表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_共同特征．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 四、Venn 图，子集 1．Venn 图的概念我们经常用平面上封闭曲线_的内部代表集合，这种图称为Venn 图．说明：（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 2．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中__任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）． 用Venn 图表示A ⊆B 如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即A A ⊆．②传递性，对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆． 五、从子集的角度看集合的相等如果集合A 是集合B 的_子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集_（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =．用Venn 图表示A B =如图所示．六、真子集 1．真子集的概念如果集合A B ⊆，但存在元素_x B ∈_x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）．如果集合A 是集合B 的真子集，在Venn 图中，就把表示A 的区域画在表示B 的区域的内部．如图所示：2．真子集的性质对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊂≠，B C ⊂≠，那么A C ⊂≠．辨析：子集与真子集的区别：若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；若A B ⊂≠，则A B ⊆． 七、空集 1．空集的概念我们把_不含_任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集． 2．空集的性质（1）空集是任何集合的_子集_，即A ∅⊆； （2）空集是任何非空集合的真子集_，即A ⊂∅≠．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 八、并集 1．并集的概念一般地，由_所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B _（读作“A 并B ”），即{},AB x x A x B =∈∈或．用Venn 图表示如图所示：（1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A ，B 是何种关系，AB 恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质对于任意两个集合A ，B ，根据并集的概念可得： （1）()A A B ⊆，()B A B ⊆； （2）A A A =；（3）A A ∅=； （4）A B BA =．九、交集 1．交集的概念一般地，由_属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作：A ∩B ____（读作“A 交B ”），即{|},AB x x A x B =∈∈且．用Venn 图表示如图所示：（1）A 与B 相交（有公共元素） （2）A B ⊂≠，则A B A = （3）A 与B 相离（A B =∅） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A 和集合B 中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性质 （1）(),()A B A A B B ⊆⊆； （2）A A A =； （3）A∅=∅； （4）A B BA =．十、全集与补集 1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集． 2．补集的概念对于一个集合A ，由全集U 中___________集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作UA ，即{},U A x x U x A =∈∉且．用Venn 图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． （2）若x U ∈，则x A ∈或Ux A ∈，二者必居其一．3．全集与补集的性质设全集为U ，集合A 是全集U 的一个子集，根据补集的定义可得： （1）UU =∅； （2）U U ∅=； （3）()UUA A =；（4）()UAA U =； （5）()UAA =∅．1．集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 【例1】下列各组对象中不能构成集合的是A ．正三角形的全体B ．所有的无理数C ．高一数学第一章的所有难题D ．不等式2x ＋3>1的解【答案】C【解析】C 中的难题并没有确定的标准，因此不满足集合中元素的确定性，不能构成集合．A ，B ，D 中的对象满足集合中元素的确定性、互异性和无序性，能够构成集合． 2．元素与集合之间的关系元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若a A ∈，且集合A 是用列举法表示的，则a 一定等于集合A 的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 【例2】已知{21}M x|x a ,a ==+∈Z ，则有A ．1M ∉B ．0M ∈C ．2M ∈D ．1M -∈【答案】D【解析】设121a =+，则0a =∈Z ，即1M ∈，同理可得0M ∉，2M ∉，1M -∈． 【名师点睛】解决本题的关键是根据集合M 中元素的一般形式分别判断1，0，2，1-是否为该集合中的元素，即分别判断方程21a +=1，0，2，1-是否有整数解． 3．集合的表示方法对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 【例3】选择适当的方法表示下列集合： （1）1和70组成的集合；（2）大于1且小于70的自然数组成的集合． （3）大于1且小于70的实数组成的集合．（4）平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合． 【答案】答案详见解析．（4）设平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合为E ，函数2y x =-+图象上的点可以用坐标(,)x y 表示，则有{(,)|2}x y y x =-+．4．集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．【例4】已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a ，2，2b ，且两集合相等，求a ，b 的值．【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．5．判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B ．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn 图进行快速判断． 【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系： （1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；（3）{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是四边形，{|}D x x =是正方形．【答案】（1）A B ⊂≠；（2）B A ⊂≠；（3）C A B D ⊃⊃⊃≠≠≠．【解析】（1）8的约数有1，2，4，8，所以{1,2,4,8}B =，从而有A B ⊂≠． （2）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数， 对任意的z ∈N ，6=3(2)z z ⨯．因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆， 设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以B A ⊂≠． （3）画出Venn 图如图所示，由图可知C A B D ⊃⊃⊃≠≠≠．6．确定集合的子集的个数有限集子集的确定问题，求解关键有三点： （1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：∅和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【例6】集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【解析】方法一：{}3210，，，=A 中有4个元素，按真子集中所含元素的个数分类写出真子集． ∅是任何非空集合的真子集；由一个元素构成的真子集：{0}{1}{2}{3}，，，； 由两个元素构成的真子集：{0,1}{0,2}{0,3}{1,2}{1,3}{2,3}，，，，，； 由三个元素构成的真子集：{0,1,2}{0,2,3}{1,2,3}{0,1,3}，，，．故集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为15．故选C ．方法二：{}3210，，，=A 中有4个元素，则真子集个数为15124=-．故选C ． 【名师点睛】如果有限非空集合A 中有n 个元素，则： （1）集合A 的子集个数为2n ； （2）集合A 的真子集个数为21n -； （3）集合A 的非空子集个数为21n -； （4）集合A 的非空真子集个数为22n -． 7．集合的交、并、补运算 （1）“AB ”是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素并在一起所构成的集合．注意对概念中 “所有”的理解：不能认为“AB ”是由A 中的所有元素和B 中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A 与B 的公共元素只能作并集中的一个元素． （2）“AB ”是指属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合．注意对概念中“且”的理解：不能仅认为A B 中的任意元素都是A 和B 的公共元素，它同时还表示集合A 与B 的公共元素都属于A B ，而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 和集合B 没有公共元素时，=A B ∅．（3）{|,}UA x x U x A =∈∉且．全集与补集的性质：①一个集合与其补集的并集是全集，即()=U A A U ；②一个集合与其补集的交集是空集，即()=U A A ∅；③一个集合的补集的补集是其本身，即()=UU A A ；④空集的补集是全集，即=U U ∅；⑤全集的补集是空集，即=U U ∅．⑥若A B ⊆，则()()UU A B ⊇；反之，若()()UU A B ⊆，则B A ⊆；⑦若=A B ，则=UUA B ；反之，若=UUA B ，则=A B ；⑧德▪摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ；交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B ．（4）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求()UA B 时，先求出UA ，再求交集；求()UA B 时，先求出A B ，再求补集．【例7】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝A ．{4,8}B ．{0,2,6}C ．{0,2,6,10}D ．{0,2,4,6,8,10}（2）已知集合2{|20},{0,1,2}M x x x N =-==，则MN =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}（3）已知全集{}{},|0,|1U A x x B x x ==≤=≥R ，则集合()UA B =A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x <<【答案】（1）C ；（2）C ；（3）D【名师点睛】（1）集合{|()0}x f x =表示关于x 的方程()0f x =的解集． （2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到．1．下列选项正确的是A ．0∈N *B ．π∉RC ．1∉QD ．0∈Z2．在下列命题中，不正确的是A ．{1}∈{0，1，2}B ．Φ⊆{0，1，2}C ．{0，1，2}⊆{0，1，2}D ．{0，1，2}={2，0，1}3．下列哪组对象不能构成集合A ．所有的平行四边形B ．高一年级所有高于170厘米的同学C ．数学必修一中的所有难题D ．方程x 2–4=0在实数范围内的解 4．已知集合A ={2，3}，下列说法正确的是A ．2∉AB ．2∈AC ．5∈AD ．3∉A5．集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是A ．x ≠–1B ．x ≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3D．x≠–1或x≠0或x≠36．已知集合A={2，–1}，B={m2–m，–1}，则A=B，则实数m=A．2 B．–1 C．2或–1 D．47．集合A={x|–2≤x≤2}，B={0，2，4}，则A∩B=A．{0} B．{0，2} C．[0，2] D．{0，1，2}8．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈Z}，则A∪B=A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{–1，0，1，2，3}9．已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．510．设全集U={3，1，a2–2a+1}，集合A={1，3}，∁U A={0}，则a的值为A．0 B．1 C．–2 D．–111．已知全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则（∁U A）∩B= A．ΦB．{0} C．{1，3} D．{0，1，3，4} 12．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，那么（∁U A）∩B 等于A．{4} B．{1，3，4，5，7，8}C．{1，3，7} D．{2，8}13．已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④Φ∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．14．设集合A={x∈Z|x>–1}，则A．Φ∉A B AC A D．}⊆A15．设A∪{–1，1}={0，–1，1}，则满足条件的集合A共有个．A．1 B．2 C．3 D．416．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[3，+∞）C．[1，+∞）D．（1，3）17．如图所示的韦恩图中，若A={x|0≤x<2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}18．若全集U={–1，0，1，2}，P={x∈Z|x2–x–2<0}，则∁U P=A．{0，1} B．{0，–1}C．{–1，2} D．{–1，0，2}19．已知集合1{|12}{|22}8xM x x x P x x=-≤∈=<<∈Z R，，，，则图中阴影部分表示的集合为A．{1} B．{–1，0}C．{0，1} D．{–1，0，1}20．设全集U={x∈N|x≤9}，集合A={2，5，8，9}，B={1，4，6，7，9}，则图中阴影部分表示的集合为A．{1，4，6} B．{1，4，7}C．{1，4，9} D．{1，4，6，7}21．已知集合A是由0，m，m2–3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为__________．22．由实数t，|t|，t2，–t，t3所构成的集合M中最多含有__________个元素．23．设A={x|1<x<4}，B={x|x–a<0}，若A⊆B，则a的取值范围是__________．24．已知集合A={0，1}，B={–1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于__________．25．已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有__________个．学科+网26．已知a∈R，b∈R，若{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则a2019+b2019=__________．27．已知集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，则a=__________．28．已知集合A={x|–2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m–1}．若A∪B=A，求实数m的取值范围．【解析】若A∪B=A，则B⊆A，分两种情况考虑：（1）若B不为空集，可得m+1≤2m–1，解得：m≥2，∵B⊆A，∵A={x|–2≤x≤5}，B={x|m+1<x<2m–1}，∴m+1≥–2，且2m–1≤5，解得：–3≤m≤3，此时m的范围为2≤m≤3；（2）若B为空集，符合题意，可得m+1>2m–1，解得：m<2，综上，实数m的范围为（–∞，3]．29．已知集合A={x|x<–1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．∵集合A={x|x<–1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，B⊆A，∴当B=Φ时，2a>a+3，解得a>3，成立；当B≠Φ时，a+3<–1或2a>4，且2a<a+3，解得a<–4或2<a<3．∴实数a的取值范围是{x|a<–4或2<a<3或a>3}．30．（新课标Ⅱ）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=A．{3} B．{5}C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}31．（天津）设集合A={1，2，3，4}，B={–1，0，2，3}，C={x∈R|–1≤x<2}，则（A∪B）∩C= A．{–1，1} B．{0，1}C．{–1，0，1} D．{2，3，4}32．（新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2–x–2>0}，则∁R A=A．{x|–1<x<2} B．{x|–1≤x≤2}C．{x|x<–1}∪{x|x>2} D．{x|x≤–1}∪{x|x≥2}33．（新课标Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B=A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{–2，–1，0，1，2}34．（浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=A．∅B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 35．（北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}36．（新课标Ⅲ）已知集合A={x|x–1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 37．（新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4 38．（北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}39．（天津）设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁R B）= A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2} 40．（江苏）已知集合A={0，1，2，8}，B={–1，1，6，8}，那么A∩B=__________．。
新课标高中数学必修一全册导学案及答案
§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x 3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= .[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
高一数学函数与导数试题答案及解析
高一数学函数与导数试题答案及解析1.设关于x的一元二次方程有两个实根．（1）求的值；（2）求证且；（3）如果，试求的取值范围．【解析】（1）已知是方程的两个实数根，所以根据韦达定理有：，，将展开得到；（2）由已知条件，方程由两个实根，因此可知，所以，再根据二次函数的对称轴为，，所以结合函数图象，可知，所以方程的两个根满足且；（3）根据韦达定理，构造出，根据，可以求出的取值范围，然后结合，就可以求的范围．本题重点考查二次函数相关知识，及韦达定理的应用，同时也考查不等式的运算．考查学生的综合能力．试题解析：（1）∵是方程的两个实数根由韦达定理可得，（2）由可知，所以，又二次函数f（x）=ax2+x+1图象的对称轴为直线，所以，又由于f（-1）=a＞0，所以f（x）的图象与x轴的交点均位于（-1，0）的左侧，故得证（3）由结合，可得的取值范围为【考点】1．二次函数；2．不等式的运算．2.（满分14分）已知：定义在R上的函数，对于任意实数a, b都满足，且，当．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明在上是增函数；（Ⅲ）求不等式的解集.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）抽象函数求值的一般方法是赋值法，在给定的函数关系式中令可求得的值；（Ⅱ）抽象函数单调性的证明采用定义法：设，求解的正负，从而确定单调性；（Ⅲ）抽象不等式的求解需采用函数单调性由函数值间的大小关系转化为自变量的不等式，解得的范围，得到解集试题解析：（Ⅰ）解：令 1分3分（Ⅱ）证明：当由得 5分6分设 7分10分（Ⅲ）解：12分由（Ⅱ）可得：解得 13分所以原不等式的解集是 14分【考点】1.赋值法求值；2.函数单调性的证明；3.由函数单调性解不等式3.下列分别为集合A到集合B的对应：其中，是从A到B的映射的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）【答案】A【解析】从A到B的映射的是需满足对于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此可以是一对一或多对一，不能是一对多，因此（1）（2）是映射【考点】映射4.设函数f（x）满足>0 （）且f（m）>f（2m－1），则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】函数f（x）满足>0，所以函数f（x）是增函数，由f（m）>f（2m－1）得，实数m的取值范围是【考点】函数单调性的应用5.（12分）已知函数（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数【答案】（1）（2）或【解析】（1）将代入函数式，得到二次函数的对称轴，结合图像和函数的单调性可求得函数的最大值和最小值；（2）函数在区间上是单调函数，则有单调递增和单调递减两种情况，因此分区间在对称轴的右侧和左侧两种情况分别讨论其单调性，得到实数的取值范围试题解析：对称轴∴（2）对称轴当或时，在上单调∴或【考点】1．二次函数单调性与最值；2．分情况讨论的解题思想6.已知，在上任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形，则m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，在上的最大值为，最小值为，则题意等价于，又，所以，又，成立，在上单调递增，，由得，得，故选A．【考点】二次函数的最值．【名师点晴】“任取三个数a，b，c，均存在以为三边的三角形”的充要条件是“，，中任意两数的和大于第三个数”，简单点就是“两个较小者之和大小最大者”，由于任意性，不方便操作，此问题转化为“2倍的最小值大于最大值”，这样才易于操作．7.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（）．A．①②B．①③C．①④D．③④【答案】B【解析】二分法求函数零点值需满足在零点的两侧函数值正负号相反，即零点两侧函数值一正一负，因此图中①③零点不能用二分法求解，故选B【考点】二分法求零点8.若奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，则在区间上是（）A．增函数且最大值为B．增函数且最小值为C．减函数且最小值为D．减函数且最大值为【答案】A【解析】由奇函数的对称性可知函数在与上的单调性相同，因此为增函数，结合图像可知最大值为【考点】函数奇偶性与单调性最值9.函数f（x）＝e x2＋2x的增区间为_______ ．【答案】【解析】，根据复合函数的单调性可以确定函数的增区间为函数的增区间，即．【考点】复合函数的单调区间．【方法点睛】该题考查的是复合函数的单调区间的求解，属于中档题目，在求解的过程中，注意到复合函数单调性法则，同增异减，因为函数的是增函数，所以函数的增区间转化为求二次函数的增区间即可．10.（本题12分）用定义证明函数在单调递增【答案】详见解析【解析】定义法证明单调性时，首先在定义域上任取，计算的值，判断其正负，若则函数为增函数，若则函数为减函数试题解析：任取，不妨设在单调递增【考点】定义法证明函数单调性11.已知，则的值为（）A．0B．C．2D．【答案】C．【解析】，故选C．【考点】分段函数求函数值．12.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数为偶函数，所以在上是增函数，【考点】函数奇偶性单调性13.定义在实数集上的函数满足，若，，那么的值可以为（）A．5B．-5C．0D．-1【答案】B【解析】由可知当时有，所以函数在实数集上是增函数，，结合选项为，故选B【考点】函数单调性比较大小14.函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】当，，得，符合题意，当时，，此时函数零点的个数就是函数与函数图象交点的个数，由图象可知交点有2个，当，函数有2个零点，共有3个零点，故答案为D．【考点】函数零点的个数．【思路点睛】本题考查的函数零点的个数，属于中档题，函数的零点主要表现在利用函数函数的零点就是相应方程的根，若方程好解，直接求之；若方程不易解或不可解，则将问题化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点这样会使的问题变得直观、简单，体现了数形结合的思想，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数．15.已知函数，则．【答案】【解析】【考点】函数解析式16.若函数在内满足：对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为．【答案】．【解析】试题解析：由题意可知：函数在上是增函数，所以．【考点】函数单调性的应用．17.现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是和（万元），它们与投入资金(万元)的关系依次是：其中与平方根成正比，且当为4（万元）时为1（万元），又与成正比，当为4（万元）时也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．（Ⅰ）分别求出，与的函数关系式；（Ⅱ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？【答案】（1），（2）甲在A,B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元【解析】（1）设与的比例系数分别是，则，根据当为4万元时，为1万元，即可求出与的函数关系式;（2）甲投资到两项目的资金分别为（万元），（万元），获得利润为（万元），根据⑴可得利润函数，利用配方法即可求出最大利润．试题解析：（Ⅰ）设P，Q与x的的比例系数分别是，且都过（4，1）所以： 2分，（Ⅱ）设甲投资到A,B两项目的资金分别为（万元），（）（万元），获得利润为y万元由题意知：所以当=1，即=1时，答：甲在A,B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元【考点】函数与方程的综合应用18.已知函数是上的增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】要使函数是上的增函数，则，得，即.故选B.【考点】1、二次函数单调性；2、反比例函数的单调性；3、分段函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查分段函数的单调性，属中档题.分段函数为上的增函数，必须要求每一段都是递增，且左边的最大值小于或等于右边的最小值.同理，若分段函数为上的减函数，必须要求每一段都是递减，且左边的最小值大于或等于右边的最大值.19.下列说法正确的序号是．（1）第一象限角是锐角；（2）函数的单调增区间为；（3）函数是周期为的偶函数；（4）方程只有一个解．【答案】（2）（4）【解析】对于（1），第一象限角为，而锐角为，显然错误. 对于（2），若函数的单调递增，则得.故函数的单调增区间为，正确. 对于（3），函数是周期为的偶函数，故（3）错误.对于（4），函数与在时只有一个交点，则方程只有一个解，正确.故本题应填（2）（4）.【考点】1、任意角的概念的推广；2、复合函数的单调性；3、三角函数的性质；4、函数的零点．【思路点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了任意角的概念的推广，复合函数的单调性，三角函数的周期，函数的零点等基本知识点，属中档题.（1）中需掌握第一象限角与锐角的区别；（2）求复合函数的单调区间，应先求其定义域，然后利用复合函数的单调性求得其单调区间，注意同增异减；（3）中余弦函数的绝对值的周期为原周期的一半；（4）函数的零点可以转化为两个函数的交点问题.20.设，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数的换底公式得，，故选D．【考点】1、对数的换底公式；2、对数的运算．【易错点晴】本题考查了对数式的运算及对数的换底公式的应用，属于中档试题，解答本题的关键是熟记对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中是题目的一个难点和易错点．21.已知函数有两个不同的零点，且，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由二次函数性质可知【考点】二次函数性质22.已知函数，现将的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数的图像．（1）求函数的解析式；（2）函数的图像与函数的图像在上至少有一个交点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据图象的平移即可得到函数的解析式，（2）方法一，采取分离参数，转化为在上有解，或者在上有解，根据函数的性质即可求出k的范围；方法二，采用根的分布，原题等价于在上有解或者在上有解，分别根据根与系数的关系即可求出k的范围．试题解析：（1）；（2）函数的图像与函数的图像在上至少有一个交点，等价于在上有解，即在上有解，解法一：用分离参数处理：在上有解，在上有解，等价于在上有解或者在上有解，因为，，综上，．解法二：用实根分布：原题等价于在上有解或者在上有解（1）先处理在上有解令时显然无解．当时，（舍）当，或者所以，（2）再处理在上有解：令时显然无解．当时，，所以当时，（舍）或者所以，综上，．【考点】函数解析式的求法和根的分布问题【方法点睛】求函数解析式常用的方法：（1）配凑法：由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的表达式；（2）换元法：已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；（3）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法；（4）构造方程组法：已知关于f（x）与或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f（x）．（5）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法（6）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式（7）递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．23.设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则等于（）A．－B．－C．D．【答案】A【解析】f（x）是周期为2的奇函数,即,,利用周期性有=利用奇函数性质有又当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），所以，则．故正确选项为A．【考点】函数的周期性和奇偶性．24.设函数，则，若，则．【答案】，【解析】f（2）="4," ,,舍去，若，故，若2x=3,则舍去，综上．【考点】函数的赋值．25.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（2）若为函数在上的一个上界，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由新定义的概念可知只要求得函数的值域，也即求得的最大值，即可求得上界集合；（2）问题实质是对恒成立，求的范围，注意有绝对值的定义去掉绝对值符号为，即，用换元法，设，则，问题转化为，在上恒成立，于是只要求得的最大值和的最小值即得结论．试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以，即：，得，而当时不合题意，故．故，分析可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为．（2）由题意知，在上恒成立，．设，则则题意转化为在上恒成立．所以只需，．设，，分别由定义法证明可知：在上递增，在上递减．在上的最大值为，在上的最小值为．故实数的取值范围为．【考点】函数的奇偶性，单调性，最值，不等式恒成立问题．【名师】1．创新问题考查学生的阅读理解能力，分析转化能力，主要是把新概念转化我们已有的知识方法问题，本题求上界集合，实质就是求函数的最大值，已知上界问题，就是不等式恒成立问题，而这些问题我们都能轻松解决．2．换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的常见方法有：局部换元、三角换元、均值换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：（1）复合二次函数的最值问题（局部换元）（2）分式型函数利用均值不等式求最值问题（局部换元）（3）解析几何中涉及最值问题（局部换元）（4）求函数的值域问题（三角换元）要注意的是换元时，新元的取值范围，这会影响结果的正确性．26.已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若函数有零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）0；（2）．【解析】（1）求函数零点，就是解方程，本小题解方程时注意把作为一个整体，不要注意；（2）函数有零点，说明方程有实根，方程，换元后为，此方程有正数解，由根的分布可得，也可变形为，借助求函数的值域方法求得的范围．试题解析：(1). a=1时，,令即,解得或(舍)所以. 所以函数的零点为0.(2). 若有零点,则方程有解.于是，因为,所以, 即．【考点】函数的零点．27.已知．（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）设的定义域为，．求的值．【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）．【解析】（1）的定义域为关于原点对称，且，是奇函数；（2）可化为．试题解析：（1）的定义域为关于原点对称，且，是奇函数．（2）．【考点】1、函数的奇偶性；2、对数的运算法则．28.若函数在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称在I上是“弱增函数”.（1）请分别判断，在是否是“弱增函数”，并简要说明理由．（2）若函数在上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．【答案】（1）是“弱增函数”，不是“弱增函数”；（2）【解析】（1）依据“弱增函数”的定义逐个判断即可；（2）由于在上是“弱增函数”，所以在上单调递增，在上单调递减，由此可求出及正数满足的条件试题解析：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=在（1，2）上是减函数，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；g（x）=x2+4x+2在（1，2）上是增函数，但+在（1，2）上不单调，所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．（2）因为在上是“弱增函数”所以在上是增函数，且=在（0，1]上是减函数，由在（0，1]上是增函数，得恒成立，得sinθ，解得θ∈[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．由F（x）=在（0，1]上是减函数，利用单调减函数定义得，在（0，1]上恒成立，所以b≥1．综上所述，b≥1且时，h（x）在（0，1]上是“弱增函数”．【考点】新定义的形式考查函数的单调性29.计算：（1）（2）（【答案】（1）6；（2）【解析】本题主要考察了指数式对数式的化简求值问题，求解时主要利用指数式和对数式的基本运算公式和性质求解，期间一般将指数式的底数和对数式的真数变形为方便利用公式的形式试题解析：（1）（2）【考点】指数式对数式运算30.（1）计算（2）计算．【答案】（1）0；（2）3【解析】（1）利用有理数指数幂性质、运算法则求解．（2）利用对数性质、运算法则、换底公式求解．解：（1）===0．（2）=6=4﹣2+log6=2+1=3．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．31.（2015秋•黄山期末）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A．f（x）=x4B．f（x）=tanx+2（﹣＜x＜）C．f（x）=cosx﹣1D．f（x）=|2x﹣3|【答案】A【解析】求出函数的值域，即可判断选项的正误；解：f（x）=x4不是单调函数，y≥0，不能用二分法求零点，f（x）=tanx+2是单调函数，y∈R，能用二分法求零点．f（x）=cosx﹣1不是单调函数，y≤0，不能用二分法求零点．f（x）=|2x﹣3|，不是单调函数y≥0，不能用二分法求零点．故选：A．【考点】二分法的定义．32.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0．1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低多少元？【答案】【解析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价试题解析：设应降低元，总利润为元，由题意得化简得，对应的二次函数图像对称轴的方程为，因为，所以时有最大值答：为获得最好的经济效益，每件单价应降低元【考点】函数模型的选择与应用33.已知函数是奇函数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）在（0，1）上是增函数【解析】（Ⅰ）求函数f（x）的解析式可根据函数是奇函数得出等式f（﹣x）=﹣f（x），及建立方程，两者联立可求出函数的解析式．（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，要设0＜x1＜x2＜1，再f（x1）﹣f（x2）的符号，依据定义判断出结论即可．解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（﹣x）=﹣f（x），即（2分）整理得q+3x=﹣q+3x，所以q=0．又因为，所以，解得p=2．故所求解析式为．（6分）（Ⅱ）由（1）得．设0＜x1＜x2＜1，则．因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，从而得到f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．34.在平面直角坐标内两点满足：①点都在函数的图象上；②点关于原点对称，则称为函数的一个“黄金点对”．则函数的“黄金点对”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】当时，，其关于原点的对称函数是，函数的“黄金点对”就是当时，与的交点个数，根据图像交点有3个，所以“黄金点对”有3对，故选D.【考点】1.新定义；2.函数图像的应用.35.函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，选B.【考点】函数零点的存在性定理.36.如图所示，每个函数图象都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是（）【答案】C【解析】二分法要求零点两边的函数值相反；即：满足：。
新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案之欧阳歌谷创作
§1.1.1集合的含义及其表示欧阳歌谷（2021.02.01）[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈;(2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例 3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与{}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=.[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案之欧阳数创编
§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1．集合和元素(1)如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作∈;a A(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a A∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N,正整数集记作*N 或N,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.+[预习自测]例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x+>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例 2.已知集合{}=中的三个元素可构成某一个三,,M a b c角形的三边的长,那么此三角形一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例 3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与{}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=.[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
【人教版】下期高一数学必修四《1.1.1任意角》导学案(含答案)
1.1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的．(2)角的表示：如图，OA 是角α的，OB 是角α的，O 是角α的．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线作任何旋转形成的角[点睛]对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k ∈Z ”这一条件不能漏．(2)k ·360°与α中间用“＋”连接，k ·360°－α可理解成k ·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边与始边重合的角是零角．()2．与－457°角终边相同的角的集合是()A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z}B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z}C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z}D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z}3．下列说法正确的是()A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．第一象限角是锐角D ．第四象限角是负角4．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是_______．任意角的概念[典例]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A ．120°B ．－120°C ．－60°D ．60°终边相同角的表示[典例]已知α＝－315°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°＜θ＜－360°.1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．如图所示，求终边落在直线y ＝3x 上的角的集合．象限角的判断[典例]找出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角，并判断它们是第几象限角．(1)660°；(2)－950°8′；(3)10030°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．已知α是第四象限角，则270°－α是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例]已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若本例条件中角α变为第三象限角，求角α2是第几象限角．[新知初探]1．任意角（1）射线旋转图形．(2)始边终边顶点(3)逆时针顺时针没有2．象限角原点终边象限角坐标轴上[小试身手]1．答案：(1)√(2)√(3)×2．解析：选C263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写为{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }.3．答案：A4．解析：与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°任意角的概念[典例][解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．[答案]②[活学活用]解析：选B由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.[解](1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)，它是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为θ＝k ·360°＋45°(k ∈Z)，所以当k ＝－3，－2时，θ＝－1035°，－675°，满足－1080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1035°和－675°.[活学活用]解：终边落在射线y ＝3x (x >0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，于是终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z}.象限角的判断[典例][解](1)∵660°＝360°＋300°＝2×360°－60°，∴与660°角终边相同的最小正角是300°，最大负角是－60°，它们是第四象限角．(2)∵－950°8′＝－3×360°＋129°52′＝－2×360°－230°8′，∴与－950°8′角终边相同的最小正角是129°52′，最大负角是－230°8′，它们是第二象限角．(3)∵10030°＝27×360°＋310°＝28×360°－50°，∴与10030°角终边相同的最小正角是310°，最大负角是－50°，它们是第四象限角．[活学活用]解析：选D由题意知－90°＋360°·k ＜α＜360°·k (k ∈Z)，则－360°·k ＜－α＜－360°·k ＋90°(k∈Z)，270°－360°·k ＜270°－α＜360°－360°·k (k ∈Z)，显然270°－α是第四象限角.角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例][解]法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k ∈Z)．n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．。