2017-2018学年江苏省南通市通州区高二下学期期末学业质量监测数学理科试题(PDF版)
8. 直线 11 : (3+m)x+4y=5-3m ，毛： 2x+(5+m)y=8. 则 的_A_一条件． （选填
“
“
m::t 一7
”
是
充分不必要 、 必要不充分 、“充要 、 既不充分也不必要 之 一 ）
”
“
”
”
“
”
9. 设等比数列｛a.｝的前n项和为乱，若s2 =6，马＝30，则s6 的值为_A一－ 10.类比初中平面几何中
2 己知函数 f(x） 为奇函数，且当 x>O 时， f(x) =x -log川，则 f(-2 ） 的值为_A_.
某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分
以上的人数为一生一－ 6. 如图所示的伪代码，最后输出的S值为_L. 频率 组距 0.04 ＇－－一
a
·-----...－－→ －－
2017----2018学年〈下〉高二期末质量监测 理科数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题〉，满分为160分，考试时 间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交因。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写 在答题卡上。 3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 ·置 作答一 律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． 1. 2. 3. 4. 5. 己知集合A={xl-2<x<l｝ ，集合B={-L0,1｝，则集合AnB＝�一－ 己知复数 z ＝ α＋i ( i是虚数单位， a ER），若z+z=4，则复数z的模为一盘一－ 若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为一生一－
“
面积法 A
”
求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为α的
正四面体的内切球半径为
11.将函数 f(x)=2sin(2x 一旦 ）的图象向左平移ψ（ψ＞0）个单位，若所得到图象关于原点 6 对称，则ψ的最小值为一主一· 12.己知i::,ABC的内角A, B, C所对的边分别为。，b, c.若C=f，且a+b=6，则 边长C的最小值为 ...
1
，求直线占在依次实施变换骂，王后所得直锐的方程
22.在极坐标系 中，圆C过极点，且圆心C的极坐标为（2 截得弦长为2.J?,的直线l的极坐标方程．
号）
求过点川且被圆C
23.现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如下图．按规定， 测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下 为不合格． Cl）为了提高体能，将两组学生中成绩优秀及成绩合格的学生任意排成一排互相交流， 求成绩合格的学生互不相邻的排法种数： (2）从甲组数据中抽取 一 名学生的成绩，有放回地抽取3 次，记 抽到优秀成绩的次数为X，求X 的概率分布及数学期望． 甲乙 2 21 9 IO 2 75118146 91 7 18 （第23题〉 24.己知Cl-2x)"+1 =a0 +a1 (x+2）＋吧。＋2) 2 ＋ … ＋ an+l (x+2）川 ， 11εN*. Cl）求A,, ＝
＝ 角形区域 AOB 周长的函数解析式 L （θ）： Cl）设ζ BAO ＝θ，。〈θ＜ 豆 ，求 一 2
(2）现计划开发周长最短的三角形区域 AOB ，求该开发区域的面积．
/2
B
。
高二理科数学 第3页共4页
，
，，
L东
A （第18题）
2017～2018学年〈下〉高二期末质量监测 理科附加
（考试时间： 30分钟满分： 40分〉 三、附加题：本大题共4小题，每小题1 0分，共40分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.在平面直角坐标系x命中，直线 4 的方程为 x+2y=O. 设变换骂，王对应的矩阵分别 为 M=G �］，叫；
0.005 ,__ _ 50 60 70 80 90 100成绩 （第5题） 7. 己知双曲线x2
一 号＝
: I 1 i轨电ile I<8 I 1+2 : : s 21 +3 : End While Print S
←
I
句、M U
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l
← ←
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（第6题）
1的左准线为 高二理科数学 第1 页共 4 页
x 一
13.设函数 f(x)= ln(x+ k） 叶， g(x) =e .若 f(x1 )= g(xi ) ，且 X1 实数k的值为 A
2
毛的最小值为－1，则
14.在平面直角坐标系 x句y中，原点。在圆 C:(x-1) +(y-a)2 =4内，过点。的直线与圆 C交于点A, B.若！：：，ABC面积的最大值小于2，则实数α的取值范围是._A_. 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分） 如图，三棱柱ABC-AI BI CI中，M, N分别为棱AI CI和AB的中点． (1）求证：MN/I平面BCCI BI ; (2）若平面ACCIAI ..l平面AI BI CI’ 且A1 B1 =B1 C1 ’求证： 平面BI MN ..l平面ACCA. c1
ι
ω 令马十去，数列｛呐前n项和为丸，若对任意nε押，都有T,, ?:: a
恒成立，求实数。的取值范围．
18. （本小题满分16分〉 如图， 4 ，毛是经过小城0的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城。 的东北方向，直线距离 OP=SJ"i.km. 现规划经过小城P修建公路 AB ( A, B 分别 在月与毛上〉，与 4 ，毛围成三角形区域 AOB.
B
（第15题）
高二理科数学
第2页共4页
16. C本小题满分14分） 在平面直角坐标系均中，设向量 a=(l, 2s恒的， b = (sin（θ吁） '1），θER. Cl）若 a J_b ，求阳 θ的值：
ω 若 a II b ，且θε（0，予，求θ的值
17. C本小题满分14分〉 已知等差数列 ｛an ｝ 满足α2 +a3 = 7，其前9项和为54.设数列｛圳的前n项和为S＂’ 满足 b,' =I，主止＿ � = l ( n EN* ) . n+I n 2 Cl）求数列 ｛an } , ｛ ｝的通项公式：
江苏省南通市通州区2017-2018学年下学期高二期末学业质量监测高二数学文科试卷(PDF版)
6a ； 12
12． (2, 1 ) ； 2
13． 2 ；
8．必要不充分； 9．126；
6a ； 12
11． ； 12
12．3； 13． 2 ； 14． (1, 1) ．
二、解答题： （文理科 15） 解： （1） （法一） 如图 1，设 BC 的中点为 H ，连结 NH ， HC1 ． 在 △ABC 中，因为 N 为 AB 的中点， 1 所以 NH // AC ，且 NH AC ， ……… 2 分 2 在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， 因为 AC // A1C1 ，且 AC A1C1 ， M 为 A1C1 的中点， 1 所以 MC1 // AC ，且 MC1 AC ， ……… 4 分 2 所以 NH // MC1 ，且 NH MC1 ， 所以四边形 MC1 HN 为平行四边形， 所以 MN // C1 H ． 又 MN 平面 BCC1 B1 ， C1 H 平面 BCC1 B1 ， 所以 MN // 平面 BCC1 B1 ． （法二） 如图 2，在侧面 ACC1 A1 中， 连结 AM 并延长交直线 CC1 于点 Q ，连结 BQ . 在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AA1∥CC1 ， AM 所以 AM 1 ， MQ MC1 又因为 N 为 AB 中点，所以 MN ∥BQ ， 又 MN 面 BCC1 B1 ， BQ 面 BCC1 B1 ， 所以 MN // 平面 BCC1 B1 ． （法三） 如图 3，取 A1 B1 的中点 O，连结 OM 、 ON .
高二数学参考答案 第 4 页 共 10 页
所以 Tn 1 Tn ． 因为对任意 n N ，都有 Tn ≥ a 恒成立，所以 a ≤(Tn )min ，即 a ≤ T1 ，
江苏南通天星湖中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题 (3)
江苏省无锡市2017~2018学年第二学期期末试卷高二数学（理）2018．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知复数312i z i-=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ． 2 则m 的值为 ．3．已知直线l 在矩阵A ＝10⎡⎢⎣ 21-⎤⎥⎦对应的变换作用下变为直线l ′：x ﹣y ﹣1＝0，则直线l 的方程为 ．4．直线2cos ρθ＝1与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．5．若P Q 0)a >，则P ，Q 的大小关系是 ．6．求值：21122223222221212121222(1)2(1)n n n n n n n n n C C C ----------⋅+⋅++-⋅+-＝ ． 7．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从5人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有 种（用数字作答）．8．用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数()y f x =的图像与x 轴至多只有1个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数()y f x =的图像与x 轴 ”．9．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2r 3．类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为 ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本卷共4页，包含填空题（第1题 第14题）、解答题（第15题 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．10．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成 个部分．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是椭圆C ：2214x y +=上第一象限的点，O 为坐标原点，点A 、B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，则四边形OAMB 的面积的最大值为 ．12．在25(2x的展开式中的所有x 的整数次幂项的系数之和为 ． 13．湖面上有5个相邻的小岛A 、B 、C 、D 、E ，现要建4座桥梁，将这5个小岛连接起来，共有 不同方案（用数字作答）．14．一个袋中有形状、大小完全相同的100个小球，其中n （2≤n ≤92）个红球，其余为白球．从中一次性任取10个小球，将“恰好含有2个红球”的概率记为()f n ，则当n ＝时，()f n 取得最大值．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240ωω++=．（1）求复数ω；（2）设复数(z x yi x =+，)y R ∈满足：z ω⋅为纯虚数，z ＝2，求x y ⋅的值．16．（本题满分14分）已知二阶矩阵A 对应的变换将点M(1，1)变换成M′(3，3)，将点N(﹣1，2)变换成N′(3，0)．（1）求矩阵A 的逆矩阵A -1；（2）若向量15β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算A 3β．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），ϕ∈[0，π)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 极坐标方程为4cos ρθ=．（1）若直线l 与圆C 相切，求ϕ的值；（2）已知直线l 与圆C 交于A 、B 两点，记点A 、B 相应的参数分别为1t 、2t ，当1t ＝22t 时，求AB 的长．18．（本题满分16分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第n 行的n 个数之和为n a ．（1）设13521()n n S a a a a n N *-=++++∈，计算2S ，3S ，4S 的值，并猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．19．（本题满分16分）有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费10元（不返还），游戏甲有3种结果：可能获得15元，可能获得10元，可能获得5元，这三种情况的概率分别为16，12，13；游戏乙有2种结果：可能获得20元，可能获得0元，这两种情况的概率均为12． （1）某人花20元参与游戏甲两次，用X 表示该人参加游戏甲的收益（收益＝参与游戏获得钱数﹣付费钱数），求X 的概率分布及期望；（2）用ξ表示某人参加n 次游戏乙的收益，n 为任意正整数，求证：ξ的期望为0．20．（本题满分16分）已知函数2012()(1)n n n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中λ∈R ，n ∈N ．（1）若λ＝﹣2，n ＝2018，求0242018a a a a ++++的值；（2）若n ＝8，71024a =，求i a （i ＝0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ＝﹣1，求证：0()n k k n n k k k C x f x x n-==∑．。
江苏省南通市通州区2017-2018学年高二下学期期末学业质量监测文数试题(解析版)
1．27【解析】分析：根据分层抽样的概念得按比例抽样:.详解：因为分层抽样，所以三个年级一共抽取.点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N.2．【解析】分析：先根据命题真假得恒成立，即得的最大值.详解：因为命题为假命题，所以恒成立，所以的最大值.点睛：根据命题与命题否定的真假性关系进行转化，即特称命题为假命题，则对应全称命题为真命题，再根据恒成立知识转化为对应函数最值问题.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4．【解析】分析：先根据流程图确定分段函数解析式，再求输出值为2的对应区间，最后根据几何概型概率公式求结果.详解：因为，所以输出值为2的对应区间为[0,2],因此输出值为2的概率为点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．5．25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为，所以成绩在80分以上的概率为，因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 6．21【解析】分析：先根据伪代码执行循环，直到I<8不成立，结束循环输出S.详解：执行循环得结束循环，输出.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为8．必要不充分【解析】分析：先根据直线相交得条件，再根据两个条件关系确定充要性.详解：因为与相交，所以所以“”是“与相交”的必要不充分条件.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9．【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求关系式，解得最小值.详解：因为函数的图象向左平移个单位得，所以因为，所以点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．11．【解析】分析：先根据向量垂直得，再根据两角差正切公式求解.详解：因为，所以,因此点睛：向量平行：，向量垂直：，向量加减：12．【解析】分析：先根据对数函数以及二次函数作函数图像，再根据函数图像确定满足条件时实数的取值范围.详解：如图函数图像，所以.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.13．2【解析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值. 详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，. 点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.点睛：涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.15．（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）先设的中点为，利用平几知识证得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论.学科&网详解：解：（1）如图1，设的中点为，连结，.在中，因为为的中点，所以，且，在三棱柱中，因为，且,为的中点，所以,且，所以，且,所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.(法二)如图2，在侧面中，连结并延长交直线于点，连结.在三棱柱中，所以,因为为的中点，所以为中点.又因为为中点，所以,又面，面所以平面(2)因为，为的中点，所以，因为面面，面面，面，所以面，又面，所以面面点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16．（1）（2）【解析】分析：(1)根据配角公式得，解得A，（2）先根据平方关系得，根据两角和正弦公式求，再根据正弦定理求边的长.(2)因为，所以所以在中，所以，得点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17．（1）（2）.【解析】分析：（1）先根据是的中点时，解得,再根据向量数量积定义求的值;（2）①根据解得，再根据分解唯一性得,的值; ②由得，再根据向量夹角公式得结果.（2）① 因为所以所以又，且与不共线所以，② 因为所以即因为,所以所以因此.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．18．（1）（2）开发区域的面积为详解：解：（方法一）（1）如图，过分别作、的垂线，垂足分别为、，因为小城位于小城的东北方向，且，所以，在和中，易得，，所以当时，，单调递减当时，，单调递增所以时，取得最小值.此时，，的面积答：开发区域的面积为（方法二）（2）令，则因为，所以，所以由，得记因为在上单调递减，所以当时最小此时，即，所以的面积答：开发区域的面积为点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19．（1）（2）①②【解析】分析：（1）先求当直线轴时，，再根据条件得，最后由解得离心率，（2）设直线为，，，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，即得，令，利用基本不等式求最值，最后考虑特殊情形下三角形面积的值.（2）① 因为，所以，椭圆方程为当点与点重合时，点坐标为又，所以此时直线为由得又，所以所以椭圆方程为所以令，则且，易知函数在上单调递增所以当时，即的面积的最大值为点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.20．（1）（2）（3）【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式，再利用导数研究单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数的取值范围，进而得其最大值;（3）函数存在极大值与极小值，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数不单调且最小值小于零，即得，再证明时有且仅有两个零点.所以当时，所以（2）由得，即因为，所以.记，则记，则因为，所以且不恒为0所以时，单调递增，当时，，所以所以在上单调递增，因为对恒成立，所以，即所以实数的最大值为②当时，由，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以所以存在两个零点的必要条件为：，即由时，(ⅰ)记，则所以当时，单调递减，当时，，所以.所以在上，有且只有一个零点.又在上单调，所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递减，易得当时，函数存在极大值（ⅱ）记，则所以时，，所以由在内单调递增，易得当时，函数存在极小值综上，实数的取值范围为.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.。
江苏省南通市通州区2017-2018学年下学期高二期末学业质量监测数学试题及答案解析
江苏省南通市通州区2017-2018学年下学期高二期末学业质量监测高试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置．．．．．．．. 1.某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人.现采用分层抽样调查学生的视力情况.已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了 人。
2.已知命题“R x ∈∃，0<+a e x ”为假命题，则a 的取值范围是 .3.若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为 ．4.下图是一个算法流程图，若输入值[]2,1-∈x ，则输出值为2的概率为 ．5.某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分 以上的人数为 ．6．下图所示的伪代码，最后输出的S 值为 ．7.若复数2)(i a z +=是纯虚数(i 是虚数单位)，a 为实数，则复数z 的模为 ．8.直线1l ：m y x m 354)3(-=++，2l ：8)5(2=++y m x .则“7-≠m ”是“1l 与2l 相交”的 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9.将函数)62sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移)0(>ϕϕ个单位，若所得到图象关于原点对称，则ϕ的最小值为 ．10.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为 ．11.设向量)2,(sin θ=m ，)cos ,1(θ-=n ，且n m ⊥,则)4tan(πθ-的值为 ． 12.已知函数⎩⎨⎧≤+-->=111log )(22x x x x x x f ，若函数121)()(--=a x f x g 有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．13.设函数1)ln()(++=k x x f ，x e x g =)(. 若)()(21x g x f =， 且21x x -的最小值为-1，则实数k 的值为 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，原点O 在圆C ：4)()1(22=-+-a y x 内，过点O 的直线与圆C 交于点A ，B .若ABC ∆面积的最大值小于2,则实数a 的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，M ，N 分别为棱11C A 和AB 的中点.(1)求证://MN 平面11B BCC ;(2)若平面⊥11A ACC 平面111C B A ，且1111C B B A =，求证:平面⊥MN B 1平面11A ACC .16. 在ABC ∆中，已知1cos sin 3=-A A ,54cos =B ,34+=AB.(1)求内角A 的大小; (2)求边BC 的长.17. 如图，圆O 的半径为2，点P 是圆O 的一条半径OA 的中点，BC 是圆O 过点P 的动弦.(1)当P 是BC 的中点时，求OC OB ⋅的值;(2)若OC OB OP μλ+=，λ,R ∈μ,且PC BP 2=. ①λ,μ的值; ②求BOC ∠cos 的值.18.如图，1l ,2l 是经过小城O 的东西方向与南北方向的两条公路，小城P 位于小城O 的东北方向，直线距离km OP 25=.现规划经过小城P 修建公路AB (A ,B 分别在1l 与2l 上)，与1l ,2l 围成三角形区域AOB .(1)设θ=∠BAO ，20πθ<<,求三角形区域AOB 周长的函数解析式)(θL ;(2)现计划开发周长最短的三角形区域AOB ，求该开发区域的面积.19.如图，点A ,B ,,F 分别为椭圆C :12222=+by a x )0(>>b a 的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线过点F ，与椭圆C 交于点，已知当直线x l ⊥轴时，AB PQ 43=.(1)求椭圆C 的离心率;(2)若当点与重合时，点到椭圆C 的右准线的距离为上. ①求椭圆C 的方程; ②求APQ ∆面积的最大值.20.设R a ∈,函数221)(ax e x f x-=,是函数)(x f 的导函数, e 是自然对数的底数. (1)当2=a 时,求导函数的最小值;(2)若不等式2)(≥x f 对任意1≥x 恒成立,求实数a 的最大值; (3)若函数)(x f 存在极大值与极小值，求实数a 的取值范围.D l PQ P D Q )(x f ')(x f '参考答案一、填空题1. 272. [)+∞,03.43 4. 325. 256. 217. 28.必要不充分9. 12π 10. a 126 11. 31 12. )21,2(- 13. 2 14. )1,1(- 二、解答题15.解：（1）如图1，设BC 的中点为H ，连结NH ，1HC .在ABC ∆中，因为N 为AB 的中点，所以AC NH //，且AC NH 21=，在三棱柱111C B A ABC -中，因为11//C A AC ，且11C A AC =,M 为11C A 的中点，所以AC MC //1,且AC MC 211=，所以1//MC NH ，且1MC NH =,所以四边形HN MC 1为平行四边形，所以. H C MN 1//又⊄MN 平面11B BCC ，⊂H C 1平面11B BCC ，所以//MN 平面11B BCC .(法二)如图2，在侧面11A ACC 中，连结AM 并延长交直线1CC 于点Q ，连结BQ .在三棱柱111C B A ABC -中，11//CC AA 所以11MC MA MQ AM =,因为M 为AC 的中点，所以M 为AQ 中点.又因为N 为AB 中点，所以BQ MN //,又⊄MN 面11B BCC ，⊂BQ 面11B BCC 所以//MN 平面11B BCC(法三)如图3，取11B A 的中点O ,连结OM 、ON . 在111C B A ∆中，因为O 、M 分别为11B A 、11C A 的中点，所以11//C B OM . 因为⊄OM 面11B BCC ，⊂11C B 面11B BCC 所以//OM 平面11B BCC .在三棱柱111C B A ABC -中，AB B A //11且AB B A =11，又因为O 、N分别为11B A 、AB 的中点，所以NB OB //1，NB OB =1，所以四边形BN OB 1为平行四边形，所以B B ON 1//,又⊄ON 面11B BCC ，⊂B B 1面11B BCC ，所以//ON 面11B BCC 因为//OM 面11B BCC ，//ON 面11B BCC ，O ON OM = ，⊂OM 面OMN ，⊂ON 面OMN ，所以面//OMN 面11B BCC ,又⊂MN 面OMN ,所以//MN 平面11B BCC(2)因为1111C B B A =， M 为11C A 的中点，所以111C A M B ⊥，因为面⊥11A ACC 面111C B A ，面 11A ACC 面11111C A C B A =，⊂M B 1面111C B A ，所以M B 1面11A ACC ，又⊂M B 1面MN B 1，所以面⊥MN B 1面11A ACC16.解：（1）因为1cos sin 3=-A A 所以1)6sin(2=-πA ，即21)6sin(=-πA 因为π<<A 0，所以6566πππ<-<-A 所以66ππ=-A ，所以3π=A(2)因为1cos sin 22=+B B ，,54cos =B )2,0(π∈B 所以53cos 1sin 2=-=B B 所以)sin(sin B A C +=B A B A sin cos cos sin +=53215423⨯+⨯=10334+=在ABC ∆中，CABA BC sin sin = 所以103343423++=BC ，得5=BC17.解：（1）因为P 为圆O 的弦的中点，所以BC OP ⊥ 因为P 为的OA 中点，所以121==OA OP 在BPO Rt ∆中, 1=OP ,2=OB 所以︒=∠60BOP ,所以︒=∠120BOC所以BOC OC OB OC OB ∠⋅⋅=⋅cos 2)21(22-=-⨯⨯= （2）① 因为PC BP 2= 所以OP OC OB OP 22-=- 所以OC OB OP 3231+=又OC OB OP μλ+=，且OB 与OC 不共线所以31=λ，32=μ ② 因为OC OB OP 3231+=所以223231⎪⎭⎫⎝⎛+=OC OB OP即OC OB OC OB OP ⋅++=949491222因为1=OP ,2==OB OA所以OC OB ⋅+⨯+⨯=944944911 所以411-=⋅OC OB18.解：（方法一）（1）如图，过P 分别作1l 、2l 的垂线，垂足分别为M 、N ，因为小城P 位于小城O 的东北方向，且25=OP ，所以5==PN PM ，在P M A Rt ∆和PNB Rt ∆中，易得θtan 5=MA ，θsin 5=AP θtan 5=BN ，θcos 5=BP 所以+=θθtan 5)(L 10cos 5sin 5tan 5+++θθθ ++=θθθθsin cos 5cos sin 510cos 5sin 5++θθ10)sin 1cos cos 1sin (5++++=θθθθ=')(θL +⎢⎣⎡++θθθθ22cos sin )1(sin cos 5⎥⎦⎤+--θθθθ22sin cos )1(cos sin )sin cos 1cos sin 1(522θθθθ+-+=)cos 11sin 11(5θθ---=)cos 1)(sin 1()cos (sin 5θθθθ---=当40πθ<<时，0)(<'θL ，)(θL 单调递减 当24πθπ<<时，0)(>'θL ，)(θL 单调递增所以4πθ=时，)(θL 取得最小值.此时，104tan55=+=πOA ，104tan55=+=πOBAOB ∆的面积AOB S ∆OB OA ⋅=2150101021=⨯⨯=)(2km 答：开发区域AOB ∆的面积为250km （方法二） （1）在AOP ∆中，OPA OA PAO OP ∠=∠sin sin ，即)43sin(sin 25θπθ-=OA所以θθθθθπsin sin 5cos 5sin )3(25+=-=OA在AOB Rt ∆中，θtan OA OB =θθθcos sin 5cos 5+=θcos OA AB =θθθθcos sin sin 5cos 5+=所以AB OB OA L ++=)(θθθθsin sin 5cos 5+=θθθcos sin 5cos 5++θθθθcos sin sin 5cos 5++θθθθθθcos sin )cos sin 1)(sin (cos 5+++=)20(πθ<<（2）令t =+θθsin cos ，则)4sin(2πθ+=t因为20πθ<<，所以4344ππθπ<+<，所以21≤<t 由=+2)sin (cos θθθθcos sin 21+，得21cos sin 2-=t θθ记)(θL )(t g =21)1(52-+=t t t 10110+-=t因为)(t g 在(]2,1上单调递减，所以当2=t 时)(θL 最小此时24ππθ=+，即4πθ==OA 104sin 4sin54cos 5=+πππ，104tan 10==πOB 所以AOB ∆的面积AOB S ∆OB OA ⋅=2150101021=⨯⨯=)(2km答：开发区域AOB ∆的面积为250km19.解：（1）在12222=+b y a x 中，令c x =可得2222221a b a c b y =-=，所以242a b y =所以当直线x l ⊥轴时，a b PQ 22=又AB PQ 43=，所以a ab 24322⨯= 所以4322=a b ，所以41122222=-==a b a c e（2）① 因为21==a c e ，所以c a 2=，c c ab 322=-= 椭圆方程为1342222=+cy c x当点P 与点D 重合时，P 点坐标为)3,0(c -又)0,(c F ，所以此时直线l 为c x y 33-= 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134332222c y cx c x y 得c x Q 58= 又5125842=-c c c ，所以1=c 所以椭圆方程为13422=+y x ② 设直线l 为)0(1≠+=m my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 得124)1(322=++y my 即096)43(22=-++my y m ，0>∆恒成立设),(11y x P ，),(22y x Q则=+21y y 4362+-m m ，=21y y 4392+-m 所以2121y y AF S APQ -⨯⨯=∆ 212214)(23y y y y -+= 4336)436(23222+++-=m m m 222)43(118++=m m 令t m =+12，则1≥t 且12-=t m=∆APQ S 2)13(18+t t t t t 619182++=t tt ++=19118，1≥t 易知函数t t y 19+=在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31上单调递增所以当1=t 时，29)(max =∆APQ S 即APQ ∆的面积的最大值为29 20.解：ax e x f x -=')( （1）当2=a 时，x e x f x 2)(-='记x e x f x g x 2)()(-='=则2)(-='x e x g ，由0)(='x g 得2ln =x .当2ln <x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减当2ln >x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增所以当2ln =x 时，2ln 22)(min -=x g所以2ln 22)(min -='x f（2）由2)(≥x f 得2212≥-ax e x ，即2212-≤x e ax 因为1≥x ，所以)(2212*-≤x e a x . 记)1(2)(2≥-=x x e x h x ，则422)2()(x x e x e x h x x ⨯--='34)2(x e x x +-= 记4)2(+-=x e x y ，则x x e x e y )2(-+='xe x )1(-=因为1≥x ，所以0≥'y 且不恒为0所以1≥x 时，y 单调递增， 当1=x 时，04min >-=e y ，所以04)2()(3>+-='xe x x h x 所以)(x h 在[)+∞,1上单调递增，2)1()(min -==e h x h 因为(*)对1≥x 恒成立， 所以221-≤e a ，即42-≤e a 所以实数a 的最大值为42-e（3）记ax e x f x m x -='=)()(，a e x m x-=')(因为)(x f 存在极大值与极小值，所以)(x f '，即)(x m 存在两个零点，且)(x m 在零点的两侧异号. ①当0≤a 时，0)(>'x m ，)(x m 单调递增，此时)(x m 不存在两个零点；②当0>a 时，由0)(='x m ，得a x ln =当a x ln <时，0)(<'x m ，)(x m 单调递减，当a x ln >时，0)(>'x m ，)(x m 单调递增，所以)(ln )(min a m x m =a a a ln -=所以)(x m 存在两个零点的必要条件为：)(ln a m 0ln <-=a a a ，即e a > 由e a >时，(ⅰ)记)(ln 1e a a a y >-=，则0112<--='aa y 所以当e a >时，a ay ln 1-=单调递减， 当e a >时，011ln 1<-<-e a a ，所以a aln 1<. 所以)(x m 在)ln ,1(a a 上，有且只有一个零点. 又)(x m 在)ln ,(a -∞上单调，所以)(x m 在)ln ,(a -∞上有且只有一个零点，记为1x ，由)(x m 在)ln ,(a -∞内单调递减，易得当1x x =时，函数)(x f 存在极大值 （ⅱ）记)(ln e a a a y >-=，则011>-='ay 所以e a >时，01ln >->-e a a ，所以a a ln >由（1）知2=a 时，2)(x e x f x -=有02ln 22)(min >-='x f所以)(x f 在R 上单调递增，所以e a >时, 0)(22>->-=e e a e a m e a 因为0)(>a m 且0)(ln <a m ，)(x m 的图像在),(ln a a 单调且不间断， 所以)(x m 在),(ln a a 上，有且只有一个零点.又)(x m 在),(ln +∞a 上单调所以)(x m 在),(ln +∞a 上有且只有一个零点，记为2x ， 由)(x m 在),(ln +∞a 内单调递增，易得当2x x =时，函数)(x f 存在极小值 综上，实数a 的取值范围为),(+∞e .。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
江苏省南通市通州区2018-2019学年高二下学期期末数学(理)试题
一、填空题江苏省南通市通州区2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题1. 在复平面内，复数1-i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第________象限.3. 根据所示的伪代码，若输入的的值为-1,则输出的结果为________.4. 甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次，命中的环数分别为：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6,则射击更稳定的爱好者成绩的方差为________..在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离不大于1的概率为________.25. 己知复数和均是纯虚数，则的模为________.6. 某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1, 2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.7. 如图所示的流程图中，输出的结果S为________.8. 某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为________.9. 已知集合若，则a的取值范围是________.10. 在平面直角坐标系中，己知直线与圆相切，则k的值为________.11. 在中，已知，则的值为________.二、解答题12.已知函数，存在唯一的负数零点，则实数的取值范围是________.13. 将一根长为1米的木条锯成两段，分别作三角形ABC 的两边AB ，AC ，且.则当AC 最短时，第三边BC 的长为________米.14. 在平面凸四边形ABCD 中，，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且，若，，则的值为________.15.如图，在四棱锥中，是棱PD 的中点，且.（1）求证：CD ∥平面ABE ；（2）求证：平面ABE 丄平面PCD .16.在中，己知（1）求的值；（2）求的值.17. 如图，在平面直角坐标系中，质点P 的起点为坐标原点,每秒沿格线向右或向上随机移动一个单位长.（1）求经过3秒后，质点P 恰在点（1,2）处的概率；（2）定义：点（x ,y ）的“平方距离”为.求经过5秒后，质点P 的“平方距离”的概率分布和数学期望.18. 某农场灌溉水渠长为1000m ,横截面是等腰梯形ABCD （如图），,其中渠底BC 宽为1m ，渠口AD 宽为3m ,渠深.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD 方向加宽、AB 方向加深，若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为hm ，若挖掘费为ah 2元/m 3，扩建后的水渠的内壁AB 1，C 1D 1和渠底B 1C 1铺设混凝土费为3a 元/m 2.（1）试用h 表示渠底B 1C 1的宽，并确定h 的取值范围；（2）问：渠深h 为多少时，可使总建设费最少？（注：总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和）19.己知数列的首项均为1,各项均为正数，对任意的不小于2的正整数n ，总有，成立，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n 项和分别为，求所有使得等式成立的正整数m , 的值.20. 对于给定的常数,设随机变量.（1）求概率.（2）设，求，其中为随机变量的数学期望.②若,化简：；①说明它是二项式展开式中的第几项；21. 已知矩阵，矩阵B的逆矩阵.（1）求矩阵A的特征值及矩阵B.（2）若先对曲线实施矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，试用一个矩阵来表示这两次变换，并求变换后的结果.22. 在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（a为参数）.现以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系.（1）设P为曲线C上到极点的距离最远的点，求点P的极坐标；（2）求直线被曲线C所截得的弦长.23. 已知知x为正实数，n为正偶数，在的展开式中，（1）若前3项的系数依次成等差数列，求n的值及展开式中的有理项；（2）求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和，并比较它们的大小.24. 设正整数,集合，是集合P的3个非空子集,记为所有满足：的有序集合对（A,B,C）的个数.（1）求；（2）求.。
2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.诮把答案填写在答题卡相应位置. 1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{﹣1，0，1}，则集合A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R），若z+＝4，则复数z的模为．3．（5分）若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为．4．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣log2x，则f（﹣2）的值为．5．（5分）某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分以上的人数为．6．（5分）如图所示的伪代码，最后输出的S值为．7．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程为．8．（5分）直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．则“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝6，S4＝30，则S6＝．10．（5分）类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为．11．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为．12．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若C＝，且a+b＝6，则边长c的最小值为．13．（5分）设函数f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x．若f（x1）＝g（x2），且x1﹣x2的最小值为﹣1，则实数k的值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，过点O 的直线与圆C交于点A，B．若△ABC面积的最大值小于2，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设向量＝（1，2sinθ），＝（sin（），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．17．（14分）已知等差数列{a n}满足a2+a3＝7，其前9项和为54．设数列{b n}的前n项和为S n，满足b1＝1，﹣＝（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n＝+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意n∈N*，都有T n≥a恒成立，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，l1，l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP＝5km．现规划经过小城P修建公路AB（A，B分别在l1与l2上），与l1，l2围成三角形区域AOB．（1）设∠BAO＝θ，0，求三角形区域AOB周长的函数解析式L（θ）；（2）现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积．19．（16分）如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l⊥x轴时，PQ＝AB．（1）求椭圆C的离心率；（2）若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为．①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值．20．（16分）设a∈R，函数f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）是函数f（x）的导函数，e是自然对数的底数．（1）当a＝2时，求导函数f′（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≥2对任意x≥1恒成立，求实数a的最大值；（3）若函数f（x）存在极大值与极小值，求实数a的取值范围．三、附加题：本大题共4小题，每小、题10分，共40分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为x+2y＝0．设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，求直线l1在依次实施变换T1，T2后所得直线l2的方程．22．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心C的极坐标为（2，）．求过点（2，0）且被圆C截得弦长为2的直线l的极坐标方程．23．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图．按规定，测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格．（1）为了提高体能，将两组学生中成绩优秀及成绩合格的学生任意排成一排互相交流，求成绩合格的学生互不相邻的排法种数；（2）从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取3次，记抽到优秀成绩的次数为X，求X的概率分布及数学期望．24．已知（1﹣2x）n+1＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+……+a n+1（x+2）n+1，n∈N*．（1）求A n＝a i；（2）设B n＝2×3n+（n﹣1）2n+2n2，求证：n≥4且n∈N*时，A n＞B n．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.诮把答案填写在答题卡相应位置. 1．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{﹣1，0，1}，集合A∩B＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．【解答】解：∵z＝a+i，∴＝a﹣i，则由z+＝4，得2a＝4，a＝2．∴z＝2+i，则|z|＝．故答案为：3．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有＝4种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是P＝故答案为：．4．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣log2x，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣[22﹣log22]＝﹣3．故答案为：﹣3．5．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.005+0.03+0.04）×10＝0.25，∴成绩在80分以上的人数为：0.25×100＝25．故答案为：25．6．【解答】解：I＝1时，满足继续循环的条件，I＝3，S＝9；I＝3时，满足继续循环的条件，I＝5，S＝13；I＝5时，满足继续循环的条件，I＝7，S＝17；I＝7时，满足继续循环的条件，I＝9，S＝21；I＝9时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为21，故答案为：217．【解答】解：根据双曲线方程可知a＝1，b＝，∴c＝＝2，∴左准线l的方程为x＝﹣，对于抛物线来说＝，∴p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x．故答案为：y2＝2x．8．【解答】解：直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．“m≠﹣7”时，由m＝﹣1得到l1与l2平行，“l1与l2相交”⇒“m≠﹣7”且“m≠﹣1”，∴“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．9．【解答】解：根据等比数列的性质得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即（S4﹣S2）2＝S2（S6﹣S4），又S2＝6，S4＝30，代入得：（30﹣6）2＝6（S6﹣30），解得S6＝126．故答案为：12610．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，∵棱长为a的正四面体的表面积S＝4×＝，棱长为a的正四面体的高h＝＝，棱长为a的正四面体的体积V＝＝，∴棱长为a的正四面体的内切球半径r＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到图象对应的解析式为y＝2sin（2x+2φ﹣），∵所得到图象关于原点对称，∴2φ﹣＝kπ，即φ＝，k∈Z．取k＝0，可得φ的最小值为，故答案为：．12．【解答】解：△ABC中，C＝，且a+b＝6，∴a2+b2+2ab＝36；又a2+b2≥2ab，∴4ab≤36，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取“＝”；由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2ab cos＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝36﹣3ab≥36﹣3×9＝9，∴c≥3，即边长c的最小值为3．故答案为：3．13．【解答】解：∵f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x，设f（x1）＝g（x2）＝t，∴1+ln（x1+k）＝t，＝t，∴x1＝e t﹣1﹣k，x2＝lnt，t＞0，∴x1﹣x2＝e t﹣1﹣k﹣lnt，设h（t）＝e t﹣1﹣k﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e t﹣1﹣，∵x1﹣x2有最小值﹣1，∴h′（t）＝e t﹣1﹣＝0，解得t＝1，∴h（1）＝1﹣k﹣ln1＝﹣1，解得k＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，∴1+a2＜4，因为圆C的半径为2，故△ABC面积的取最大值＝2sin∠ACB，若△ABC面积的最大值小于2，当OC与AB垂直时，则∠ACB＞90°，则OC＝＜，故a2＜1，故a∈（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】证明：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1．在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，所以MC1∥AC，且MC1＝AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以．MN∥C1H又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）因为A1B1＝B1C1，M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为面ACC1A1⊥面A1B1C1，面ACC1A1∩面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂面A1B1C1，所以B1M⊥面ACC1A1，又B1M⊂面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．【解答】解：（1）因为⊥，所以•＝0，所以2sinθ+sin（θ+）＝0，即sinθ+cosθ＝0．因为cosθ≠0，所以tanθ＝﹣．（2）由a∥b，得2sinθsin（θ+）＝1，即2sin2θcos+2sinθcosθsin ＝1，即（1﹣cos 2θ）+sin 2θ＝1，整理得，sin（2θ+）＝，又θ∈（0，），所以2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣＝，即θ＝．17．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2+a3＝7，其前9项和为54，可得2a1+3d＝7，9a1+×9×8d＝54，解得a1＝2，d＝1，则a n＝2+n﹣1＝n+1；数列{b n}的前n项和为S n，满足b1＝1，﹣＝（n∈N*），可得＝+（n﹣1）＝1+（n﹣1）＝（n+1），则S n＝n（n+1），当n＝1时，b1＝1；当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝n（n+1）﹣n（n﹣1）＝n，上式对n＝1也成立，综上可得b n＝n，n∈N*；（2）c n＝+＝+＝2+﹣，数列{c n}的前n项和为T n＝2n+1﹣+﹣+…+﹣＝2n+1﹣，由T n+1﹣T n＝2n+3﹣﹣2n﹣1+＝2+﹣＞0，可得T n递增，T n≥T1＝，由对任意n∈N*，都有T n≥a恒成立，可得a≤T1，即a≤．18．【解答】解：（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP＝5，所以PM＝PN＝5，在Rt△PMA和RtPNB中，易得MA＝，AP＝，BN＝5tanθ，BP＝，所以L（θ）＝5tanθ++++10＝++++10＝5（+）+10，（2）由（1）L′（θ）＝5（﹣）＝，当0＜θ＜时，L′（θ）＜0，L（θ）单调递减，当＜θ＜时，L′（θ）＞0，L（θ）单调递增，所以θ＝时，L（θ）取得最小值．此时，OA＝5+＝10，OB＝5+5tan＝10，△AOB的面积S△AOB＝OA•OB＝×10×10＝50（km2），答：开发区域△AOB的面积为50km2；19．【解答】解：（1）在+＝1中，令x＝c可得y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1﹣＝，（2）①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c椭圆方程为+＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为（0，﹣c），又F（c，0），所以此时直线l为y＝x﹣c，由得x Q＝c，又﹣c＝，所以c＝1所以椭圆方程为+＝1②设直线l为x＝my＝1，m≠0由得3（my+1）2+4y2＝12即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立设P（x1，y1），P（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以S△APQ＝AF•|y1﹣y2|＝＝＝18令m2+1＝t，则t≥1且m2＝t﹣1则S△APQ＝18＝18＝18•，t≥1，易知函数y＝9t+在[1，+∞）上单调递增所以当t＝1时，S△APQ＝，即△APQ的面积的最大值为20．【解答】解：f′（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，f′（x）＝e x﹣2x．记g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g′（x）＝e x﹣2，由g′（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当x＝ln2时，g（x）min＝2﹣2ln2．∴f′（x）min＝2﹣2ln2．（2）由f（x）≥2得e x﹣ax2≥2，即ax2≤e x﹣2．∵x≥1，∴a≤（*）．记h（x）＝（x≥1）．则h′（x）＝，记u（x）＝（x﹣2）e x+4，则u′（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，∵x≥1，∴u′（x）≥0且不恒为0．∴x≥1时，u（x）单调递增，当x＝1时，u（x）min＝4﹣e＞0，∴h′（x）＞0．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（1）＝e﹣2．∴a≤e﹣2恒成立，∴a≤2e﹣4，∴实数a的最大值为2e﹣4．（3）记v（x）＝f′（x）＝e x﹣ax．v′（x）＝e x﹣a．∵f（x）存在极大值与极小值，∴函数f′（x），即v（x）存在两个零点，且v（x）在零点的两侧异号．①当a≤0时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，此时v（x）不存在两个零点；②当a＞0时，由v′（x）＝0，得x＝lna．当x＜lna时，由v′（x）＜0，v（x）单调递减，当x＞lna时，由v′（x）＞0，v（x）单调递增，∴v（x）min＝v（lna）＝a﹣alna．∴v（x）存在两个零点的必要条件为：v（lna）＝a﹣alna＜0．a＞e．由a＞e时，（ⅰ）记G（a）＝﹣lna（a＞e），则G′（a）＝﹣﹣＜0．∴当a＞e时，函数G（a）单调递减，当a＞e时，﹣lna＜﹣1＜0，∴＜lna．∴G（x）在（，lna）上，有且只有一个零点．又G（x）在（﹣∞，lna）上单调，∴G（x）在（﹣∞，lna）上有且只有一个零点，记为x1，由G（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，易得当x＝x1时，函数f（x）存在极大值．（ⅱ）记H（x）＝a﹣lna（a＞e），则H′（x）＝1﹣＞0，∴a＞e时，a﹣lna＞e﹣1＞0，∴a＞lna．由（1）知：a＝2时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）min＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴a＞e时，v（a）＝e a﹣a2＞e e﹣e2＞0．∵v（a）＞0且v（lna）＜0，∴v（x）的图象在（lna，a）单调且不间断，∴v（x）在（lna，a）上，有且只有一个零点．又v（x）在（lna，+∞）上单调，∴v（x）在（lna，+∞）上有且只有一个零点，记为x2，由v（x）在（lna，+∞）内单调递增，易得当x＝x2时，函数f（x）存在极小值．综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．三、附加题：本大题共4小题，每小、题10分，共40分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，直线l1的方程为x+2y＝0．设变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝，N＝，∴MN＝＝，设（x，y）为l1上任意一点，两次变换后对应点为（x′，y′），∴＝，∴，∴，∵x+2y＝0，∴x′+y′﹣2x′＝0，即x′﹣y′＝0，∴直线l1在依次实施变换T1，T2后所得直线l2的方程为x﹣y＝0．22．【解答】解：∵在极坐标系中，圆C过极点，且圆心C的极坐标为（2，）．∴圆心C的直角坐标为：（1，），∴圆C的半径r＝＝2，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．设圆心C到直线l的距离为d，则＝4，解得d＝1，极坐标（2，0）化为直角坐标为（2，0），（i）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意，（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，∴＝1，即|k+|＝，解得k＝﹣，此时直线l的直角方程为x＝2或x+﹣2＝0，即x+﹣2＝0，∴直线l的方程为x＝2或x+﹣2＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＝2，或．23．【解答】解：（1）两组学生中成绩优秀的学生有4人，成绩合格的学生有2人，所以排成一排互相，成绩合格的学生互不相邻的排法种数：＝480种．（2）由题意，X～B（3，），所以P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝．X的分布列：所以X的数学期望E（X）＝3×＝1．24．【解答】（1）解：在（1﹣2x）n+1＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+……+a n+1（x+2）n+1中，取x＝﹣1，得a0+a1+a2+…+a n+1＝3n+1．∴A n＝a i＝3n+1；（2）证明：要证A n＞B n，即要证3n+1＞2×3n+（n﹣1）2n+2n2，也就是证3n＞（n﹣1）2n+2n2，以下利用数学归纳法证明：①当n＝4时，左边＝34＝81，右边＝3×24+2×42＝80，左边＞右边，不等式成立；②假设当n＝k（k≥4且k∈N*）时不等式成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，当n＝k+1时，3k+1＝3×3k＞3（k﹣1）2k+6k2，∵[3（k﹣1）2k+6k2]﹣[k•2k+1+2（k+1）2]＝（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2，当k≥4时，（k﹣3）2k＞0，且，∴（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2＞0，∴3（k﹣1）2k+6k2﹣＞k•2k+1+2（k+1）2，∴当n＝k+1时，3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2成立．综合①②可得，n≥4且n∈N*时，∴n≥4且n∈N*时，A n＞B n．。
2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
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1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜l}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝16x上横坐标为1的点到其焦点的距离为．3．（5分）若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则该直角三角形的斜边长为．4．（5分）设，是两个非零向量，则“，的夹角为锐角”是“＞0”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”之一）5．（5分）执行如图所示的伪代码，则输出的结果为6．（5分）若函数f（x）＝2x+a•2﹣x是奇函数，则f（log23）的值为．7．（5分）已知实数x，y满足，则z＝2x﹣y的最大值是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线1：x﹣y+1＝0与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于两点A，B，若∠ACB＝90°，则r的值为．9．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，则其外接球的体积为．10．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），其前n项和为S n，若S6＝2，q+a1+a3+a5＝2（a2+a4+a6），则q的值为．11．（5分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AD的中点，若＝，且＝﹣2，则实数λ的值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点都在双曲线＝1（a ＞0，b＞0）上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是．13．（5分）已知正实数x，y满足x+2y＝2，若y2﹣2my+2x≥0恒成立，则实数m的取值范围是．14．（5分）在平面内，如果P是曲线C1上的点，Q是曲线C2上的点，且P，Q两点间的距离PQ能取到最小值d，那么将d称为曲线C1和曲线C2之间的距离，按照这个定义，曲线C1：xy＝4（x＞0）和圆C2：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝2的距离为3，则实数a的所有可能的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省南通市通州区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
江苏省南通市通州区2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）参考公式：样本数据的方差，其中。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.在复平面内，复数1-i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第________象限.【答案】一【解析】【分析】根据共轭复数的概念，即可得到答案.【详解】的共轭复数是，在复平面对应的点为，故位于第一象限.【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，难度很小.2.在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离不大于1的概率为________.【答案】【解析】【分析】通过计算对应面积，即可求得概率.【详解】该点取自圆内，占有面积为，而该点到圆心的距离不大于1占有面积为：，故所求概率为：.【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度不大.3.根据所示的伪代码，若输入的的值为-1,则输出的结果为________.【答案】【解析】【分析】通过读条件语句，该程序是分段函数，代入即可得到答案.【详解】根据伪代码，可知，当时，，故答案为.【点睛】本题主要考查条件程序框图的理解，难度不大.4.甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次，命中的环数分别为：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6,则射击更稳定的爱好者成绩的方差为________.【答案】2【解析】【分析】分别计算出甲，乙的方差，较小的更加稳定，故为答案.【详解】根据题意，，，同理，，故更稳定的为乙，方差为 2.【点睛】本题主要考查统计量方差的计算，难度不大.5.己知复数和均是纯虚数，则的模为________.【答案】1【解析】【分析】通过纯虚数的概念，即可求得，从而得到模长.【详解】根据题意设，则，又为虚数，则，故，则，故答案为 1.【点睛】本题主要考查纯虚数及模的概念，难度不大.6.某校为了解高二年级学生对教师教学意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.【答案】496【解析】【分析】通过系统抽样的特征，即可计算出最大编号.【详解】由于间距为，而前两个号码为6,16,则编号构成是以6为首项，10为公差的等差数列，因此最大编号为，故答案为496.【点睛】本题主要考查系统抽样的相关计算，难度不大.7.如图所示的流程图中，输出的结果S为________.【答案】25【解析】【分析】按照程序框图的流程，写出每次循环后得到的结果，并判断每个结果是否满足判断框的条件，直到不满足条件，输出即可.【详解】经过第一次循环，；经过第二次循环，；经过第三次循环，；经过第四次循环，；经过第五次循环，；此时已不满足条件，输出.于是答案为25.【点睛】本题主要考查循环结构程序框图的输出结果，难度不大.8.某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为________.【答案】【解析】【分析】含有不合格品分为两类：一件不合格和两件不合格，分别利用组合公式即可得到答案.【详解】质检员从中随机抽出2听共有种可能，而其中含有不合格品共有种可能，于是概率为：.【点睛】本题主要考查超几何分布的相关计算，难度不大.9.已知集合若，则a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】首先可先求出二次方程的两根，由于可判断两根与0 的大小，于是可得到答案.【详解】由于的两根为，由于，所以，即，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度不大.10.在平面直角坐标系中，己知直线与圆相切，则k的值为________.【答案】【解析】分析】通过圆心到直线的距离等于半径构建等式，于是得到答案.【详解】根据题意，可知圆心为，半径为2，于是圆心到直线的距离，而直线与圆相切，故，因此解得.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，难度不大.11.在中，己知，则的值为________.【答案】0【解析】【分析】通过展开，然后利用已知可得，于是整理化简即可得到答案. 【详解】由于，因此，所以，即，所以,则，故答案为0.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.12.已知函数，存在唯一的负数零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】对，，三种情况分别讨论可得到取值范围.【详解】当时，而时，，则零点在右段函数取得，故时，，解得；当时，不成立；当时，负零点在左端点取得，于是时，，成立；综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查分段函数含参零点问题，意在考查学生的分类讨论能力，计算能力，分析能力，难度较大.13.将一根长为1米的木条锯成两段，分别作三角形ABC的两边AB，AC，且.则当AC 最短时，第三边BC的长为________米.【答案】【解析】【分析】设出边长，利用余弦定理可找出关系式，化为二次函数用配方法即可得到最小值.【详解】设，则，设，通过余弦定理可得：，即，化简整理得，要使AC最短，则使AB最长，故当时，AB最长，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.14.在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.【答案】【解析】【分析】通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.【详解】由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为【点睛】本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，是棱PD的中点，且.（1）求证：CD∥平面ABE；（2）求证：平面ABE丄平面PCD.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)要证CD∥平面ABE，只需说明即可；（2）要证平面ABE丄平面PCD，只需证明平面CDP即可.【详解】（1）证明：根据题意，,故CD∥平面ABE；（2）证明：由于是棱PD的中点，故，而，，因此，显然，故平面CDP，而平面ABE，平面ABE丄平面PCD.【点睛】本题主要考查线面平行，面面垂直的判定，意在考查学生的空间想象能力和分析能力，难度不大.16.在中，己知（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】（1）通过，可计算出C角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案；（2）通过，可得，再利用可得答案. 【详解】(1) 在中, 由于，故，解得，所以；（2）由（1）可知，而，所以，所以.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力，难度不大.17.如图，在平面直角坐标系中，质点P的起点为坐标原点,每秒沿格线向右或向上随机移动一个单位长.（1）求经过3秒后，质点P恰在点（1,2）处的概率；（2）定义：点（x,y）的“平方距离”为.求经过5秒后，质点P的“平方距离”的概率分布和数学期望.【答案】(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）通过分析到达点（1,2）处的可能，通过独立重复性试验概率公式可得答案；（2）的可能取值为13,17,25，分别计算概率，于是可得分布列和数学期望.【详解】（1）经过3秒后，质点P恰在点（1,2）处可由三种情况得到：，，，每一种情况的概率为：，故质点P恰在点（1,2）处的概率为；（2）由题意的可能取值为13,17,25；而，，，故的概率分布列为：13 17 25P所以数学期望.【点睛】本题主要考查独立性重复性试验的概率计算，分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，计算能力和逻辑推理能力.18.某农场灌溉水渠长为1000m,横截面是等腰梯形ABCD（如图），,其中渠底BC宽为1m，渠口AD宽为3m,渠深.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为hm，若挖掘费为ah2元/m3，扩建后的水渠的内壁AB1，C1D1和渠底B1C1铺设混凝土费为3a元/m2.（1）试用h表示渠底B1C1的宽，并确定h的取值范围；（2）问：渠深h为多少时，可使总建设费最少？（注：总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和）【答案】（1），h的取值范围；（2）1m【解析】【分析】（1）通过前后面积是两倍关系可计算出扩建后的面积，通过梯形面积公式可找出关系式，于是可得答案；（2）找出总建设费用关于h的函数，利用导函数求出极值，于是可得答案.【详解】（1）设，由于，原来的横截面面积，故扩建后的面积为，扩建后，可列方程为：，化简整理得到，而，故，故渠底B1C1的宽为，h的取值范围；（2）由（1）可表示，故，因此总建设费用为：，令，则，当时，，当时，，故在处取得极小值，故总建设费用最小为，即渠深h为时，可使总建设费最少.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.19.己知数列的首项均为1,各项均为正数，对任意的不小于2的正整数n，总有，成立，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和分别为，求所有使得等式成立的正整数m, 的值.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】(1)通过因式分解可判断为等差数列，于是可得通项，通过等比中项性质可知为等比数列，于是可求通项；（2）计算出前n项和，化简式子，通过分解因式找出因子，然后利用正整数解可求得，.【详解】(1)由于，整理得，而，故，所以为等差数列，所以；由于，可知为等比数列，，所以；（2）由（1）可得，，所以转化为，整理即，要m, 都为正整数，则都分别是2的倍数，且，故2的幂指数中，只有4与16相差12，故，故，此时.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，前n项和的计算，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度中等.20.对于给定的常数,设随机变量.（1）求概率.①说明它是二项式展开式中的第几项；②若,化简：；（2）设，求，其中为随机变量的数学期望.【答案】(1) ;①;②;（2）.【解析】【分析】(1)由二项分布的通项公式可得答案；①对比二项展开式可得项数；②将展开对比可得答案；（2）通过二项分布期望公式即得答案.【详解】(1)由于随机变量，故；它是二项式展开式中的第项；若，则，所以；（2）由（1）知，而，故，，所以.【点睛】本题主要考查二项分布与二项式定理的联系，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等.2018-2019学年末学业质量监测高二数学（附加题）【解答题】第21-24题，每小题10分，共计40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.已知矩阵，矩阵B的逆矩阵.（1）求矩阵A的特征值及矩阵B.（2）若先对曲线实施矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，试用一个矩阵来表示这两次变换，并求变换后的结果.【答案】（1）矩阵A的特征值为1,2；；（2），【解析】【分析】（1）通过特征多项式即可得到特征值，利用，可计算出矩阵B；（2）首先可计算出的结果，然后设出，变换后的点设成，利用线性变换得到相关关系，从而得到新曲线.【详解】(1)矩阵A特征多项式，令，则或，故矩阵A的特征值为1,2；设，根据，可得：即，解得，所以矩阵.(2)两次变换后的矩阵，在曲线上任取一点，在变换C的作用下得到，则，即，整理得，可得，即，代入得.【点睛】本题主要考查线性变换，特征值的计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.22.在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（a为参数）.现以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系.（1）设P为曲线C上到极点的距离最远的点，求点P的极坐标；（2）求直线被曲线C所截得的弦长.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)首先求出曲线C的直角坐标方程，再求出直线，故可求出另一交点，化为极坐标方程即为所求；（2）利用圆心到直线的距离公式即得答案.【详解】（1）曲线C的直角坐标方程为：，圆经过坐标原点，因此，直线为：，与圆交于点，化为极坐标为，故点P的极坐标为；（2）直线的直角坐标方程为：，圆心到直线的距离，所截弦长为：.【点睛】本题主要考查直角坐标，参数方程，极坐标方程之间的互化，直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度不大.23.己知x为正实数，n为正偶数，在的展开式中，（1）若前3项的系数依次成等差数列，求n的值及展开式中的有理项；（2）求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和，并比较它们的大小.【答案】（1），有理项有三项，分别：；（2）128,128,相等【解析】【分析】（1）首先找出展开式的前3项，然后利用等差数列的性质即可列出等式，求出n，于是求出通项，再得到有理项；（2）分别计算偶数项和奇数项的二项式系数和，比较大小即可.【详解】（1）二项展开式的前三项的系数分别为：，而前三项构成等差数列，故，解得或（舍去）；所以，当时，为有理项，又且，所以符合要求；故有理项有三项，分别为：；（2）奇数项的二项式系数和为：，偶数项的二项式系数和为：，故奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项，二项式系数和，注意二项式系数和与系数和的区别，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等.24.设正整数,集合，是集合P的3个非空子集,记为所有满足：的有序集合对（A,B,C）的个数.（1）求；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）通过分析，，分别讨论可得到；（2）通过分析A共有种不同情形，集合B共有种不同情形，集合C随集合B确定而唯一确定，于是可得通项公式.【详解】当时，集合，因为是集合P的3个非空子集，根据题意，所以当时，或;当时，或;当时，或.所以.（2）当A中的元素个数为时，集合A共有种不同情形，集合B共有种不同情形，集合C随集合B确定而唯一确定，所以.【点睛】本题主要考查数列，集合，排列组合的综合运用，意在考查学生的划归能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.。
2017-2018学年江苏省南通市通州区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．（5分）某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人．现采用分层抽样调查学生的视力情况．已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了人．2．（5分）已知命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，则a的取值范围是．3．（5分）若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为．4．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[﹣1，2]，则输出值为2的概率为．5．（5分）某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩在80分以上的人数为．6．（5分）如图所示的伪代码，最后输出的S值为．7．（5分）若复数z＝（a+i）2是纯虚数（i是虚数单位），a为实数，则复数z的模为．8．（5分）直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．则“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）9．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为．10．（5分）类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为．11．（5分）设向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则tan（）的值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣a﹣1有三个零点，则实数a的取值范围是．13．（5分）设函数f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x．若f（x1）＝g（x2），且x1﹣x2的最小值为﹣1，则实数k的值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，过点O 的直线与圆C交于点A，B．若△ABC面积的最大值小于2，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求证：平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．（15分）在△ABC中，已知sin A﹣cos A＝1，cos B＝，AB＝4+．（1）求内角A的大小；（2）求边BC的长．17．（15分）如图，圆O的半径为2，点P是圆O的一条半径OA的中点，BC是圆O过点P的动弦．（1）当P是BC的中点时，求的值；（2）若＝，λ，μ∈R，且BP＝2PC．①λ，μ的值；②求cos∠BOC的值．18．（15分）如图，l1，l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP＝5km．现规划经过小城P修建公路AB（A，B分别在l1与l2上），与l1，l2围成三角形区域AOB．（1）设∠BAO＝θ，0，求三角形区域AOB周长的函数解析式L（θ）；（2）现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积．19．（15分）如图，点A，B，D，F分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l⊥x轴时，PQ＝AB．（1）求椭圆C的离心率；（2）若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为．①求椭圆C的方程；②求△APQ面积的最大值．20．（15分）设a∈R，函数f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）是函数f（x）的导函数，e是自然对数的底数．（1）当a＝2时，求导函数f′（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≥2对任意x≥1恒成立，求实数a的最大值；（3）若函数f（x）存在极大值与极小值，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市通州区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. 1．【解答】解：由分层抽样的定义得＝＝，得n＝27，即三个年级一共抽取27人，故答案为：272．【解答】解：命题“∃x∈R，e x+a＜0”为假命题，即为∀x∈R，e x+a≥0为真，由e x＞0，可得0≤a，则a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．3．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有＝4种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是P＝故答案为：．4．【解答】解：格根据程序框图，当x∈[﹣1，0）时，由于x＜0，则输出y＝1，当x∈[0，2]时，由于x≥0，则输出y＝2，根据几何概型公式P＝．故答案为：5．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.005+0.03+0.04）×10＝0.25，∴成绩在80分以上的人数为：0.25×100＝25．故答案为：25．6．【解答】解：I＝1时，满足继续循环的条件，I＝3，S＝9；I＝3时，满足继续循环的条件，I＝5，S＝13；I＝5时，满足继续循环的条件，I＝7，S＝17；I＝7时，满足继续循环的条件，I＝9，S＝21；I＝9时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为21，故答案为：217．【解答】解：∵z＝（a+i）2＝（a2﹣1）+2ai是纯虚数，∴，即a＝±1．∴z＝±2i，则|z|＝2．故答案为：2．8．【解答】解：直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8．“m≠﹣7”时，由m＝﹣1得到l1与l2平行，“l1与l2相交”⇒“m≠﹣7”且“m≠﹣1”，∴“m≠﹣7”是“l1与l2相交”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．9．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到图象对应的解析式为y＝2sin（2x+2φ﹣），∵所得到图象关于原点对称，∴2φ﹣＝kπ，即φ＝，k∈Z．取k＝0，可得φ的最小值为，故答案为：．10．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，∵棱长为a的正四面体的表面积S＝4×＝，棱长为a的正四面体的高h＝＝，棱长为a的正四面体的体积V＝＝，∴棱长为a的正四面体的内切球半径r＝＝＝．故答案为：．11．【解答】解：向量＝（sinθ，2），＝（1，﹣cosθ），且，则sinθ﹣2cosθ＝0，∴tanθ＝2，∴tan（）＝＝＝＝．故答案为：．12．【解答】解：根据题意可得函数f（x）的图象与直线y＝a+1有三个不同的交点，当x≤1时，函数f（x）max＝f（﹣）＝如图：则0＜a+1＜所以实数a的取值范围是﹣2＜a＜．故答案为：（﹣2，）．13．【解答】解：∵f（x）＝ln（x+k）+1，g（x）＝e x，设f（x1）＝g（x2）＝t，∴1+ln（x1+k）＝t，＝t，∴x1＝e t﹣1﹣k，x2＝lnt，t＞0，∴x1﹣x2＝e t﹣1﹣k﹣lnt，设h（t）＝e t﹣1﹣k﹣lnt，t＞0，∴h′（t）＝e t﹣1﹣，∵x1﹣x2有最小值﹣1，∴h′（t）＝e t﹣1﹣＝0，解得t＝1，∴h（1）＝1﹣k﹣ln1＝﹣1，解得k＝2，故答案为：2．14．【解答】解：∵原点O在圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4内，∴1+a2＜4，因为圆C的半径为2，故△ABC面积的取最大值＝2sin∠ACB，若△ABC面积的最大值小于2，当OC与AB垂直时，则∠ACB＞90°，则OC＝＜，故a2＜1，故a∈（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】证明：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1．在△ABC中，因为N为AB的中点，所以NH∥AC，且NH＝AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M为A1C1的中点，所以MC1∥AC，且MC1＝AC，所以NH∥MC1，且NH＝MC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以．MN∥C1H又MN⊄平面BCC1B1，C1H⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1；（2）因为A1B1＝B1C1，M为A1C1的中点，所以B1M⊥A1C1，因为面ACC1A1⊥面A1B1C1，面ACC1A1∩面A1B1C1＝A1C1，B1M⊂面A1B1C1，所以B1M⊥面ACC1A1，又B1M⊂面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1．16．【解答】解：（1）∵，∴2sin（A﹣）＝1，∴sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣＝，∴A＝．（2）∵sin2B+cos2B＝1，cos B＝，B∈（0，），∴sin B＝＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝，在△ABC中，．∴＝，解得BC＝5．17．【解答】解：（1）因为P为圆O的弦的中点，所以OP⊥BC，因为P为的OA的中点，所以OP＝OA＝1，在Rt△BPO中，OP＝1，OB＝2，所以∠BOP＝60°，所以∠BOC＝120°，所以＝||•||＝cos∠BOC＝2×＝﹣2．（2）①因为BP＝2PC，所以＝2，所以，又，且与不共线，所以，μ＝．②因为＝，所以＝（）2，即＝++，因为OP＝1，OA＝OB＝2，所以1＝，所以＝﹣．故cos∠BOC＝＝＝﹣．18．【解答】解：（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP＝5，所以PM＝PN＝5，在Rt△PMA和RtPNB中，易得MA＝，AP＝，BN＝5tanθ，BP＝，所以L（θ）＝5tanθ++++10＝++++10＝5（+）+10，（2）由（1）L′（θ）＝5（﹣）＝，当0＜θ＜时，L′（θ）＜0，L（θ）单调递减，当＜θ＜时，L′（θ）＞0，L（θ）单调递增，所以θ＝时，L（θ）取得最小值．此时，OA＝5+＝10，OB＝5+5tan＝10，△AOB的面积S△AOB＝OA•OB＝×10×10＝50（km2），答：开发区域△AOB的面积为50km2；19．【解答】解：（1）在+＝1中，令x＝c可得y2＝，所以当直线l⊥x轴时，PQ＝，又PQ＝AB，所以＝×2a，所以＝，所以e2＝＝1﹣＝，（2）①因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c椭圆方程为+＝1，当点P与点D重合时，P点坐标为（0，﹣c），又F（c，0），所以此时直线l为y＝x﹣c，由得x Q＝c，又﹣c＝，所以c＝1所以椭圆方程为+＝1②设直线l为x＝my＝1，m≠0由得3（my+1）2+4y2＝12即（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立设P（x1，y1），P（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以S△APQ＝AF•|y1﹣y2|＝＝＝18令m2+1＝t，则t≥1且m2＝t﹣1则S△APQ＝18＝18＝18•，t≥1，易知函数y＝9t+在[1，+∞）上单调递增所以当t＝1时，S△APQ＝，即△APQ的面积的最大值为20．【解答】解：f′（x）＝e x﹣ax．（1）当a＝2时，f′（x）＝e x﹣2x．记g（x）＝f′（x）＝e x﹣2x．则g′（x）＝e x﹣2，由g′（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2．当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴当x＝ln2时，g（x）min＝2﹣2ln2．∴f′（x）min＝2﹣2ln2．（2）由f（x）≥2得e x﹣ax2≥2，即ax2≤e x﹣2．∵x≥1，∴a≤（*）．记h（x）＝（x≥1）．则h′（x）＝，记u（x）＝（x﹣2）e x+4，则u′（x）＝e x+（x﹣2）e x＝（x﹣1）e x，∵x≥1，∴u′（x）≥0且不恒为0．∴x≥1时，u（x）单调递增，当x＝1时，u（x）min＝4﹣e＞0，∴h′（x）＞0．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（1）＝e﹣2．∴a≤e﹣2恒成立，∴a≤2e﹣4，∴实数a的最大值为2e﹣4．（3）记v（x）＝f′（x）＝e x﹣ax．v′（x）＝e x﹣a．∵f（x）存在极大值与极小值，∴函数f′（x），即v（x）存在两个零点，且v（x）在零点的两侧异号．①当a≤0时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，此时v（x）不存在两个零点；②当a＞0时，由v′（x）＝0，得x＝lna．当x＜lna时，由v′（x）＜0，v（x）单调递减，当x＞lna时，由v′（x）＞0，v（x）单调递增，∴v（x）min＝v（lna）＝a﹣alna．∴v（x）存在两个零点的必要条件为：v（lna）＝a﹣alna＜0．a＞e．由a＞e时，（ⅰ）记G（a）＝﹣lna（a＞e），则G′（a）＝﹣﹣＜0．∴当a＞e时，函数G（a）单调递减，当a＞e时，﹣lna＜﹣1＜0，∴＜lna．∴G（x）在（，lna）上，有且只有一个零点．又G（x）在（﹣∞，lna）上单调，∴G（x）在（﹣∞，lna）上有且只有一个零点，记为x1，由G（x）在（﹣∞，lna）内单调递减，易得当x＝x1时，函数f（x）存在极大值．（ⅱ）记H（x）＝a﹣lna（a＞e），则H′（x）＝1﹣＞0，∴a＞e时，a﹣lna＞e﹣1＞0，∴a＞lna．由（1）知：a＝2时，f（x）＝e x﹣x2，f′（x）min＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∴a＞e时，v（a）＝e a﹣a2＞e e﹣e2＞0．∵v（a）＞0且v（lna）＜0，∴v（x）的图象在（lna，a）单调且不间断，∴v（x）在（lna，a）上，有且只有一个零点．又v（x）在（lna，+∞）上单调，∴v（x）在（lna，+∞）上有且只有一个零点，记为x2，由v（x）在（lna，+∞）内单调递增，易得当x＝x2时，函数f（x）存在极小值．综上，实数a的取值范围为（e，+∞）．。