直角三角形的射影定理 课件
合集下载
直角三角形的射影定理 课件
2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
直角三角形的射影定理 课件
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段．
(3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项． (2)图形语言 如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD. AC2＝ AD·AB . BC2＝ BD·AB .
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝BACC22， ∴ABDD＝(ABCC)2＝(34)2＝196， 即 AD∶BD＝9∶16.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)． BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
图 1－4－3 已知如图 1－4－3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥ AB 于 D，DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F. 求证：CD3＝AE·BF·AB.
【 思 路 探 究 】 ∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB→CD2 ＝ AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段．
(3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项． (2)图形语言 如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD. AC2＝ AD·AB . BC2＝ BD·AB .
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝BACC22， ∴ABDD＝(ABCC)2＝(34)2＝196， 即 AD∶BD＝9∶16.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)． BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
图 1－4－3 已知如图 1－4－3，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥ AB 于 D，DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F. 求证：CD3＝AE·BF·AB.
【 思 路 探 究 】 ∠ ACB ＝ 90°， CD ⊥ AB→CD2 ＝ AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.
1.4 直角三角形的射影定理 教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
∵BE 平分∠ABC， EA⊥AB，EF⊥BC， ∴AE＝EF. 又 EF∥AD， AE AC ∴DF＝DC， EF AC BC ∴DF＝DC＝AC， EF BC 即DF＝AC.
课前探究学习 课堂讲练互动
反思感悟
将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，
体现了化归思想方法，通过恒等变形，找到中间变量来联系前后 两个比值，从而达到解题目的．
3
3
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式 3】 在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥AB 于 D，AD∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为 A．2∶3 解析 B．4∶9 C. 6∶3 D．不确定 ( )．
如图，在 Rt△ACB 中，CD⊥AB，由射影定理得，CD2
CD BD ＝AD· BD，即 ＝ . AD CD 又∵∠ADC＝∠BDC＝90° ， ∴△ACD∽△CBD.
第4课时
直角三角形的射影定理
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．理解直角三角形的射影定理．
2．理解直角三角形射影定理的逆定理．
【核心扫描】 用射影定理解决直角三角形的有关问题．(重、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．射影的有关概念 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的 正射影 ． (2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是
课前探究学习
课堂讲练互动
∴由①②两式得 AD4＝BE· CF· AB· AC， 1 即 AD ＝BE· CF· AB· AC· ， AD
3
由(1)知 AB· AC＝BC· AD 代入上式得 AD3＝BE· CF· BC. 反思感悟 利用直角三角形的射影定理证明恒等式 (1)结合图形，仔细分析题目的结论； (2)由于射影定理中可供选择的等式较多，需要合理选择．
1.4-直角三角形的射影定理-教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
解 在△ABC 中，设 AC 为 x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1， 根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， 即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC.
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 射影的概念 【例1】 如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些 点或线段的端点，作BC边的垂线．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上 的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E； AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射 影是DE，FG在BC上的射影是点E. 反思感悟 求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂 足间的线段就是所求射影．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛 1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的
高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量， 还可研究相似问题、比例式等问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两 边在这条边上的射影的比例中项， 那么这个三角形是直角三角形． 符 号 表 示 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， CD⊥AB 于 D ， 若 CD2 ＝ AD·BD，则△ABC为直角三角形． 证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝ AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD ＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋ ∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．
高中数学 第一讲 四 直角三角形的射影定理课件 新人教A版选修4-1
四
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， 则有CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB.
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形， 且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2， BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF·AC＝BG·BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求 解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中 分离出基本图形进行求解或证明．
所以BC＝12m.
又因为CD⊥AB，
所以BC2＝BD·AB，
即12m2＝BD·m.所以BD＝14m.
AD＝AB－BD＝m－14m＝34m.
由CD2＝AD·BD＝34m·14m＝136 m2，
得CD＝
3 4
m.
因此，BD的长是14m，CD的长是 43m.
2．已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC， BC的长度比为AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的长． 解：(1)∵AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝ABCC22. ∴ABDD＝ABCC2＝342＝196. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比例中项． (2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， 则有CD2＝ AD·BD ， AC2＝ AD·AB ， BC2＝ BD·AB.
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形， 且AD＝BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE， ∴AF·AC＝AD2， BG·BE＝DB2. ∵AD2＝DB2， ∴AF·AC＝BG·BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形 中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求 解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中 分离出基本图形进行求解或证明．
所以BC＝12m.
又因为CD⊥AB，
所以BC2＝BD·AB，
即12m2＝BD·m.所以BD＝14m.
AD＝AB－BD＝m－14m＝34m.
由CD2＝AD·BD＝34m·14m＝136 m2，
得CD＝
3 4
m.
因此，BD的长是14m，CD的长是 43m.
2．已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC， BC的长度比为AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD的值； (2)若AB＝25 cm，求CD的长． 解：(1)∵AC2＝AD·AB， BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝ABCC22. ∴ABDD＝ABCC2＝342＝196. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，
直角三角形的射影定理公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
直角三角形射影定理
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
人教版高中数学选修1.4直角三角形的射影定理ppt课件
C ）
D .60 °
3．若关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根是一直角 三角形的两锐角的正弦值，且 a+5b=1，则 a、b 的值分别为 ( B ) 3 8 7 12 A．- ， B．- ， 25 25 5 5 4 9 C．- ， D．1,0 25 5 4．在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，AD⊥BC 于点 D，若 AC 3 BD = ，则 =( C ) AB 4 CD 3 4 A. B. 4 3 16 9 C. D. 9 16
7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三
角形能相似的是__________．
①③
8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝ ______，BC＝______，CD＝______. 9 10
3 10 9
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M 是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝ 2 ab
如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE· BF· AB＝CD3.
分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进
行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
4a 2 b 2
证明：在 Rt△AMB 和 Rt△ADE 中， ∠AMB=∠DAE， ∠ABM=∠AED=90， ∴△ABM∽△DEA. AB AM ∴ = .∵AB=a，BC=b， DE AD AB AD a b 2ab ∴DE= = = . 2 2 2 AM b 4a b a2 4