曲线方程的求法
曲线的切线与法线方程
曲线的切线与法线方程在微积分中，曲线的切线和法线是研究曲线性质的重要工具。
切线和法线是与曲线相切于某一点的直线，切线贴近曲线的趋势，法线则与切线垂直。
本文将详细介绍如何求解曲线的切线和法线方程。
一、曲线的切线方程切线是曲线上与曲线相切于某一点的直线。
要求解曲线的切线方程，首先需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 首先，确定曲线方程。
假设我们有一个曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 然后，选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的切线与曲线相切的点。
3. 接下来，求解曲线在P点处的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 利用导数计算曲线在点P的斜率。
斜率可以通过求解斜率公式来进行计算，即斜率k = f'(x0)。
5. 最后，使用点斜式或一般式等形式得到切线方程。
切线方程可以表示为y-y0 = k(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
二、曲线的法线方程法线是与切线垂直的直线。
要求解曲线的法线方程，同样需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 同样地，我们需要确定曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的法线与曲线相切的点。
3. 求解曲线在点P的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 计算曲线在点P处的斜率的负倒数。
法线的斜率是切线斜率的负倒数，即斜率k' = -1/f'(x0)。
5. 利用点斜式或一般式等形式得到法线方程。
法线方程可以表示为y-y0 = k'(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
总结：通过求解曲线在特定点的导数，我们可以得到切线的斜率和法线的斜率。
利用点斜式或一般式，我们可以得到切线和法线的方程。
这些方程可以用来描述曲线的性质，并且在解决相关问题时起到重要作用。
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
求曲线方程的几种常用方法
求曲线方程的几种常用方法宜君县高级中学 马卫娟已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。
下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。
一.直接法：即课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。
例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。
解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{222AB BCAC C P =+=所以()()()22222222)()(a ya x ya x =+-+++即222a y x =+因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既ax ±≠。
故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=⋅BC AC K K∴1-=-⋅+ax y ax y （1）化简得：222a y x =+（2）由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价,所以所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 21=所以a a yx =⋅=+22122即222ay x =+轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式;(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
求曲线方程方法讲解
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
√√ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；(纯粹性)
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之 间的坐标。
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
曲线轨迹方程的求法
于 设四 形４ ｃ 的 积 ．Ｊ 是， 边 日Ｄ 面 为ｓ贝 『
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ｌ ４ ＝ｌ ・４ ．ｏ 肋 ｃｌ ２ｌ ＿ｘＴｔ ．— 酬 ／ ２ ｉ２ ＋ｓｎ
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且 。 ６ ｏ ｅ ２一４ｓ２ 叫 ＋ ｓｓ ｏ ２ ｉ ａ‘ ｃ２ｉ ｅ ＋ｎ ｏｎ ２
Ｚ Ｂ的垂 直平分线 ． 是 Ｚ 上 内切 ；３动 圆 与 圆 Ｃ内切 ， （） 与圆 外切 ；４ 动 圆 中心 的任 意弦 ，是线段 Ａ （）
与圆 Ｃ外切 ， 圆 内切 ． 。 与
异于椭圆中心的点． Ｉ Ｏ ｌＡ 若 Ｍ ＝ ｌ（ ｌ ０为坐标原
， 求点 的轨迹方程． 在情况 （）（ ） ， １ 、２下 动圆圆心 的轨迹方程为 ｘＯ － ． 点 ）当点 Ａ在椭 圆 Ｃ 上运动时 ，
４Ｘ＃３
．
、 ／ ～ ／
２
．
例 ２ （０８年全 国 Ｉ卷理科第 ｌ 题 ）已知 Ｆ Ｉ ｚ＋ｃ ２０ Ｉ ５ ＡＣＩ －
设
ｉ
翰
¨
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抛 线ｃｙ ｘ 焦点过Ｆ 率为１ 直 Ｉ 为 物 ： ４的 ． 且斜 ￣ ＝ 的 线交
＞膪 。 。 。 ’ 则 ‘ 。 船 的比
８
３ ． 用动点和相关点的坐标表示以上关系； 代点．
因为 为 Ａ Ｂ中点 ， Ａ（ ，） （， ） 则 ０， Ｏ２ ． Ｂ ｙ 又因
ｌ
４ ． 把以上关系式化简； 化简．
５ 明． 明所得方程为所求 曲线的轨迹方程 ． ． 证 证
ｚ ｚ ｚ ｚ过点 Ｐ ２ ４ ， Ｐ Ｐ． ｋ ・ ２ 上且 ， （ ， ）则 Ａ上 Ｂ即
三点求曲线方程
三点求曲线方程
要在平面上三点求曲线方程，首先需要确定曲线是二次曲线、一次曲线还是其他类型的曲线。
以下是针对不同类型曲线求方程的方法：
1. 二次曲线（如抛物线、椭圆、双曲线等）：
假设曲线方程为：Ax² +By² +Cx + Dy + E = 0
已知三点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3），则可以列出以下方程组：
A(x1)² +B(y1)² +Cx1 + Dy1 + E = 0
A(x2)² +B(y2)² + Cx2 + Dy2 + E = 0
A(x3)² +B(y3)² +Cx3 + Dy3 + E = 0
解这个方程组，可以得到A、B、C、D 和 E 的值。
然后将这些值代入曲线
方程，即可得到所求曲线方程。
2. 一次曲线（如直线、圆等）：
如果两点坐标已知，可以先判断曲线是否为直线。
如果两点间的斜率存在，则直线方程为：y - y1 = k(x - x1)，其中k 为两点间的斜率，
(x1, y1) 为其中一个点的坐标。
如果两点坐标为（x1，y1）和（x2，y2），则直线方程为：
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x -x1)
如果两点坐标相同，则直线与x 轴重合，方程为：y = y1。
如果三点共线，可以利用两点求斜率，然后用斜率公式求直线方程。
3. 其他类型曲线：
对于其他类型（如指数函数、对数函数等）的曲线，通常需要根据曲线的特点和已知条件建立方程。
曲线方程求法
抚松一中 姜民和
学习目标：
1.曲线的方程、方程的曲线； 2.总结求曲线的方程的方法和步 骤；
•
定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种
条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数
解建立了如下的关系：
•
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
•
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
5
2
mx 2 ny 2 1
直接法（第二定义）
3.已知点P到定点F (3,0)的距离与到l：x 25的距离之比 3
为 3，求P的轨迹方程 5
基本步骤： 建，设，现，代，化
4.已知过圆 x2 y2 25上的动点 p向x轴做垂线，垂足为 Q 点R满足PR 1 PQ,求点R的轨迹方程
5
5.已知点P在直线y 164 上移动，直线l过点A(0,4)且与 9
分析作业：
已知曲线的类型，可 先设出曲线的方程
曲线与方程
和 x2 y2 25交于点P, Q过点P作x轴的平行线 l1, 过点Q做 x轴的垂线 l2 , l1交l2与点R，求点 R的轨迹方程。
方法小结：
求曲线的轨迹方✓参数法 ✓定义法
所求动点随另 一动点在已知 曲线上的运动 而运动，称为 相关点法.
✓待定系数法
AP垂直，通过点B(0,4)及点P的直线m和直线l相交于点Q 求点Q的轨迹方程
一、复习回顾
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一
点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程;
3说、明化所简得方方程程. (可检以验省略)为所求的曲线
方程.
二、求曲线方程的常用方法：
几类常见双曲线方程的求法
几类常见双曲线方程的求法邮编：745000 甘肃省庆阳一中 李树信求双曲线的方程是一类重要题型，在许多情况下，若恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境，若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简之目的。
下面我们谈谈几类常见的双曲线的方程求法，供大家参考。
类型一﹒已知双曲线经过两个已知点，可设方程为122=+ny mx 。
例1， 求过),(372-A 和),(267--B 两点，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。
解：设双曲线方程为122=+ny mx ，由于双曲线过两点（27﹒－3），（－7﹒－62）, 故有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+126713722222)()()()(n m n m 解得 .,751251-==n m 故双曲线的标准方程为1752522=-y x . 类型二﹒与椭圆12222=+by a x 共焦点的双曲线方程，可设方程为 2222221a b b y a x <<=-+-λλλ(,）. 例2.设双曲线与椭圆1362722=+b x 有公共焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(415，).求此双曲线的方程。
解：设双曲线的方程为1362722=-+-λλy x )(3627<<λ， 由于曲线过点（),415, 故136162715=-+-λλ， 解之得 ：03221==λλ,(舍去).故所求双曲线方程为: 15422=-x y . 类型三，与12222=-by a x 共渐近线的双曲线方程可设方程为)(02222≠=-λλb y a x 例3，求与双曲线116922=-y x 有公共渐近线，且过），（－623P 的双曲线方程。
解：设所求双曲线方程为：)(016922≠=-λλy x 点),(623-P 在双曲线上, ∴λ=--16629322)()( 解得: 21-=λ.所以, 双曲线方程为192822=-x y . 类型四.渐近线方程为0=±b y a x 或x ab y ±=的双曲线方程可设为λ=-2222b y a x )(0≠λ.例4.已知双曲线的渐近线方程为：x y 21±=且它的一条切线为0865=--y x ，求此双曲线的方程。
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曲线方程的求法
建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点就和有序数对建立了一一对应的关系。
点动成线，当点运动的时候，其坐标就会发生变化，这种变化并不是毫无章法的，其横，纵坐标是相互依懒的，对这种关系的定量刻画就是曲线的方程。
（在前面的学习中我们已经做过了很多求曲线方程的题，下面我们归类，总结一下之前所用到的方法。
）
一．待定系数法
这种方法需要预先知道曲线的方程，先设出来，然后根据条件列出方程（组）求解未知数。
例1 求与x 轴相切，圆心在直线x 30=-y 上，且截直线0=-y x 得弦长为72的圆的方程。
练习1求与双曲线1342
2
=-y x 有共同的渐近线，且过点（2，32）的双曲线标
准方程。
思考：若改为共焦点，又该如何设方程？
二．直译法
就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来，从而得到其横、纵坐标之间的关系式。
例2．若N M ,为两个定点且MN =6，动点P 满足PM ∙PN =0 则P 点的轨迹是（ ）
A 圆
B 椭圆
C 双曲线
D 抛物线
思考：求轨迹与轨迹方程的区别？
练习2．设O 为坐标原点，P 为直线1=y 上动点，OP //OQ ，OP ∙OQ =1，求Q 点的轨迹方程。
三．定义法
就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
例3．已知动圆M 与圆1C ：2)4(22=++y x 外切，与圆2C ：2)4(22=+-y x 内
切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
练习3 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x
的两焦点为1F ，2F 。
点Q 为双曲线左支
上除顶点外的任一点，过1F 作21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨
迹是（ ）
A 椭圆的一部分
B 双曲线的一部分
C 抛物线的一部分
D 圆的一部分
总结：用定义法来求解的题，其过程都很简便，快捷。
练习4 已知圆422=+y x ，过点)0,4(A 做圆的割线ABC ，求弦BC 的中点的轨迹方程。
法一：
思考：还有其他方法吗？
法二：
交轨法：就是在求两动曲线交点轨迹方程时，联立方程组消去参数，得到交点的轨迹方程。
在求交点问题时常用此法。
法三：
总结：
求解方程时要注意不要漏解或增解。
主要注意两方面。
一：题设中某些隐含条件。
二：方程的变形是否为等价变换。
四．参数法
就是通过中间变量找到y x ,的间接关系，然后通过消参得出其直接关系。
例4．用参数法求解练习4：
（练习4 已知圆422=+y x ，过点)0,4(A 做圆的割线ABC ，求弦BC 的中点的轨迹方程。
）
练习5．过抛物线2x y =的顶点O 做两条互相垂直的直线分别交抛物线于B A ,两点，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
五．相关点法
就是通过所求动点与已知动点的关系，来求曲线方程的方法。
例5．已知线段AB 的端点)3,4(B ，端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
练习6．过定点),(b a A 任作互相垂直的两直线1l 与2l ，且1l 与x 轴交于M 点，2l 与y 轴交于N 但，求线段MN 中点P 的轨迹方程。
总结：注意体会相关点法的思想，在其他领域也可应用。
如，所有对称问题是否也可以用相关点法来求解呢？
例6 如图，设点A 和B 为抛物线)0(42>=p px y 上除原点以外的两个动点，已知AB OM OB OA ⊥⊥,，求点M 的轨迹方程？
总结：解题时注意多角度，全方位分析，常能简化运算，起到事半功倍的效果。