2017-2018学年上海市长宁区高一(上)期末数学试卷(含精品解析)
将“不等式（x-1）（x-2）＜0”转化为“不等式组
或
解法求解．
”，利用一元一次不等式的
本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
8.【答案】log3x，x＞0
【解析】
解：∵函数 y=3x，y＞0
∴x=log3y， ∴函数 y=3x 的反函数 y=log3x，x＞0． 故答案为：y=log3x，x＞0． 根据 y=3x，y＞0，得出 x=log3y，即函数 y=3x 的反函数 y=log3x，x＞0． 本题考查了指数，对数函数的性质，反函数的概念，属于容易题． 9.【答案】2
直接由交、并、补集的运算性质得答案．
本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．
{|������ ‒ 1|＜2
本题考查二次函数的性质，注意二次函数的单调性，属于基础题．
12.【答案】[-3，2）
【解析】
解：根据题意，等式
的解集为 P，且-2∈P，
则有
≥1，即
解可得：-3≤a＜2，
≤-1，变形可得：（a+3）（a-2）≤0 且 a-2≠0，
即 a 的取值范围为[-3，2）；
故答案为：[-3，2）．
根据题意，由不等式的解集可得 范围，即可得答案．
2017-2018 学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
1. 若“x＞0”是“x＞1”的（ ）
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
������(������) = ������������������1������
故选：D．
根据题意，由偶函数的性质可得 f（1）=f（-1）=3，即 f（1）=21+1+c=3，则 c=0，即可得当 x≥0 时， f（x）=2x+x，据此分析可得 f（2）=22+2=6，且 f（x）在[0，+∞）上为增函数；进而可得 f（x-1）
＜6⇒f（|x-1|）＜f（2）⇒|x-1|＜2，解可得 x 的取值范围，即可得答案．
{|������ ‒ 1|＜2
18. 解不等式组：
������
+ ������
4＞2
．
19. 某小区欲建一面积为 600 平方米的矩形绿地，在绿地的四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道 宽 2 米，短边外人行道宽 3，如图所示，设矩形绿地的长为 x 米，绿地与人行道一共占地 S 平方米． （1）试写出 S 关于 x 的函数关系式； （2）求当 S 取得最小值时 x 的值．
函数的单调性，即可得到所求范围．
本题考查函数的存在性问题和恒成立问题的转化思想，考查二次函数和一次函数的性质，以及
运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：∵集合 U={x|0≤x≤10，x∈N}，A={1，2，4，5}，B={4，6，7，8}，
∴A∩B={4}，A∪B={1，2，4，5，6，7，8}，CU（A∪B）={0，3，9，10}． 【解析】
2. 函数
2 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列关于幂函数的判断中正确的是（ ）
A. 不存在非奇非偶的幂函数
B. 两个幂函数的图象至多有两个交点
C. 至少存在两个幂函数，它的反函数是其自身
D. 如果幂函数有增区间，那么这个幂函数的指数是正数
4. 已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，f（-1）=3，且当 x≥0 时，f（x）=2x+x+c（c 是常数），则不等式
12.
已知
������
a∈R，不等式������
‒ +
3 ������
≥
1的解集为
P，且-2∈P，则
a
的取值范围是______．
13. 函数 y=x2-2x+1 在区间[0，m]上的最小值为 0，最大值为 1，则实数 m 的取值范围是______． 14. 已知 x≥0，y≥0，且 x+y=1，则 x2+y2 的取值范围是______．
7. 不等式（x-1）（x-2）＜0 的解集是______．
8. 函数 y=3x 的反函数 y=______．
9. 函数 f（x）=log2x-1 的零点为______． 10. 若函数 f（x）为奇函数，且当 x＞0 时，f（x）=x2，则 f（-1）=______．
11. 如果函数 f（x）=x2-2ax+1 是区间[1，4]上的增函数，则实数 a 的取值范围为______．
【解析】
解：根据题意，f（x）=log2x-1， 若 f（x）=log2x-1=0，解可得 x=2； 则函数 f（x）=log2x-1 的零点为 2； 故答案为：2
根据题意，由函数零点的定义，若 f（x）=log2x-1=0，解可得 x=2；即可得答案． 本题考查函数的零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．
是基础题．
6.【答案】[2，+∞）
【解析】
解：由 x-2≥0，得 x≥2．
∴函数
的定义域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
直接由根式内部的代数式大于等于 0 求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
7.【答案】（1，2）
【解析】
解：依题意，不等式化为 不等式组
或
，
解得 1＜x＜2，
故答案为：（1，2）
20. 已知函数 f（x）=|x+a|（a＞-2）的图象过点（2，1）． （1）求实数 a 的值；
（2）设������(������)
=
������(������
‒ ������) ������(������)
+
������
，在如图所示的平面直角坐标系中作出函数
y=g（x）的简图，并写出（不需
要证明）函数 g（x）的定义域、奇偶性、单调区间、值域．
=
1 ‒ ������
1 + ������，是否存在正数
a，使得对于区间[0，12]上的任意三个实数
m，n，p，都存在以
f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的 a 的取值范围；若 不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵x＞0 推不出 x＞1 x＞1⇒x＞0， ∴“x＞0”是“x＞1”的必要而不充分条件．
所以函数的最小值为：f（=．
则 x2+y2 的取值范围是：[ ，1]．
故答案为：[ ，1]． 利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．
本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 15.【答案】2
【解析】
解：由题意，Q0=15°，Q1=60°，Q=35°， ∵Q=Q0+（Q1-Q0）e-tln1.5 ∴35=15+（60-15）e-tln1.5
【解析】
解：在 A 中，y= 非奇非偶的幂函数，故 A 错误；
在 B 中，y=x3 和 y=x 这两个幂函数的图象有三个交点，故 B 错误；
在 C 中，y=x 和 y= 这两个幂函数的反函数都是它本身，故 C 正确； 在 D 中，y=x-2 有增区间（-∞，0），故 D 错误． 故选：C． 根据幂函数的定义和性质分别进行判断即可． 本题主要考查命题的真假判断，涉及幂函数的定义和性质，比较基础．
∴ ∴t=2 故答案为：2．
根据 Q=Q0+（Q1-Q0）e-tln1.5，可得对数方程，解之即可得答案． 本题以具体函数为载体，考查解决实际问题，考查对数方程的求解，属于基础题 16.【答案】{0，-1}
【解析】
解：若不存在 x0，使得
，
即为对任意的 x∈R，f（x）≥0 或 g（x）≥0 成立，
10.【答案】-1
【解析】
解：根据题意，函数 f（x）满足当 x＞0 时，f（x）=x2，则 f（1）=1，
又由函数 f（x）为奇函数，则 f（-1）=-f（1）=-1；
故答案为：-1
根据题意，由函数的解析式可得 f（1）=1，又由函数为奇函数，可得 f（-1）=-f（1），即可得答案．
本题考查奇函数的性质以及函数的解析式，属于基础题． 11.【答案】（-∞，1]
故选：B．
根据充分条件、必要条件的定义来判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关
键．
2.【答案】B
【解析】
解：函数
，底数小于 1，单调递减；恒过（1，0）；
结合选项 B 正确，
故选：B．
根据对数函数的图象可得答案．
本题考查了对数函数的图象，是基础题．
3.【答案】C
由函数 f（x）=x2+（a-1）x-a，
可得△≤0，即为（a-1）2+4a=（a+1）2≤0， 解得 a=-1； 由 g（x）=ax+4， 可得 a=0 时，g（x）=4＞0 恒成立，
综上可得 a 的取值范围是{0，-1}．
故答案为：{0，-1}．
由题意可得对任意的 x∈R，f（x）≥0 或 g（x）≥0 成立，运用二次函数的判别式小于等于 0 和一次
≥1，变形可得：（a+3）（a-2）≤0 且 a-2≠0，解可得 a 的取值
本题考查分式不等式的解法，注意 x 的取值范围，属于基础题．
13.【答案】[1，2]
【解析】
解：∵f（x）=x2-2x+1=（x-1）2，
∴对称轴 x=1，
∴f（1）=0， f（2）=1，f（0）=1， ∵f（x）=x2-2x+2 在区间[0，m]上的最大值为 1，最小值为 0，
2017-2018学年上海市长宁区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2017-2018学年上海市长宁区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置1．已知数列{a n}是等差数列，若a1＝5，a2＝2，则a5＝．2．已知角α的终边经过点（﹣1，2），则tanα＝．3．半径为2的圆上，弧长为π2的弧所对圆心角的弧度数为．4．函数y＝2sin（2x−π4）的最小正周期是．5．2与8的等比中项是．6．函数y＝arccos x，x∈[−12，1]的值域是．7．函数y＝sin x+√3cos x在[0，2π]上的递减区间为．8．若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5＝0，则S6S3=．9．若x=π6是方程2cos（x+α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝．10．数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*），则a4＝．11．已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列，且a1+b1＝5，b n∈Z+，设∁n=a bn，则数列{∁n}的前n项和S n＝．12．如图所示为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中M、N分别是函数图象的最高点和最低点，且|MN|＝5，那么f（﹣3）＝．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．终边在y轴上的角的集合可表示为（）A．{α|α=2kπ+π2，k∈Z}B．{α|α=2kπ−π2，k∈Z}C．{α|α＝kπ+π，k∈Z}D．{α|α=kπ+π2，k∈Z}14．在△ABC中，a＝2，B＝60°，S△ABC=√32，则b＝（）A．1B．2C．√3D．2√315．要得到函数y ＝sin （2x −π3）的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ）A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π316．数列{a n }满足“对任意正整数n ，都有a n +a n +3＝a n +1+a n +2“的充要条件是（ ） A ．{a n }是等差数列B ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列C ．{a 2n }是等差数列D ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．已知sin x =45，x ∈（π2，π）．（1）求tan （π﹣x ）的值；（2）求sin （2x +π3）−√3cos （2x +π3）的值．18．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且b 1＝a 1＝2，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ． （1）若S 3＝15，a n ＝56，求n ；（2）若数列{a n }的公差d ＝2，b 2＝a 3，求数列{b n }的公比q 及T n ．19．已知海岛B 在海岛A 北偏东45°，且与A 相距20海里，物体甲从海盗B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时物体乙从海岛A 以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B 到达海岛A 的过程中，甲乙两物体的最短距离．20．已知函数f （x ）＝2sin 2（π4+x ）−√3cos2x（1）求函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合； （2）|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）（ω＞0），其中数列{a n }是公比为2的等比数列，数列{φn }是公差为π2的等差数列．（1）若a 1＝1，φ1=π2，分别写出数列{a n }和数列{φn }的通项公式； （2）若f 2（x ）是奇函数，且φ1∈（0，π），求φ1；（3）若函数f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，且当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，求ω的最小值．2017-2018学年上海市长宁区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置 1．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＝5，a 2＝2，则a 5＝ ﹣7 ．【分析】由数列{a n }是等差数列，结合等差数列的性质可求d ，然后代入a 5＝a 1+4d 即可求解．解：∵数列{a n }是等差数列， 若a 1＝5，a 2＝2， ∴d ＝a 2﹣a 1＝﹣3，则a 5＝a 1+4d ＝5﹣4×3＝﹣7． 故答案为：﹣72．已知角α的终边经过点（﹣1，2），则tan α＝ ﹣2 ． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值． 解：∵角α的终边经过点（﹣1，2），则tan α=2−1=−2， 故答案为：﹣2．3．半径为2的圆上，弧长为π2的弧所对圆心角的弧度数为π4．【分析】由弧长公式L ＝R θ直接可以算出． 解：由题意可得：L =π2，R ＝2 ∵L ＝R θ， ∴θ=L R =π4． 故答案为：π4．4．函数y ＝2sin （2x −π4）的最小正周期是 π ．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T =2π|ω|，即可求出函数的最小正周期． 解：y ＝2sin （2x −π4）， ∵ω＝2，∴T =2π2=π，∴函数的最小正周期为π． 故答案为：π．5．2与8的等比中项是 ±4 ． 【分析】利用等比中项公式求解． 解：2与8的等比中项是： G =±√2×8=±4． 故答案为：±4．6．函数y ＝arccos x ，x ∈[−12，1]的值域是 [0，2π3] ．【分析】根据余弦函数的图象与性质，可得y ＝cos x 在[0，2π3]上的值域为[−12，1]，结合反函数的定义域就是原函数的值域，可得本题函数的值域． 解：∵函数y ＝cos x ，当x ∈[0，π]时是单调减函数 当x ＝0时y ＝1，当x =2π3时，y =−12∴y ＝cos x 在[0，2π3]上的值域为[−12，1] 根据反函数的定义域就是原函数的值域， 可得函数y ＝arccos x ，x ∈[−12，1]的值域是[0，2π3] 故答案为：[0，2π3] 7．函数y ＝sin x +√3cos x 在[0，2π]上的递减区间为 [π6，7π6] ．【分析】利用正弦函数的单调递减区间可得． 解：∵y ＝2sin （x +π3）， 由π2+2k π≤x +π3≤3π2+2k π，k ∈Z ． 得π6+2k π≤x ≤7π6+2k π，k ∈Z ， 又x ∈[0，2π]，∴x ∈[π6，7π6]，故答案为：[π6，7π6]．8．若S n 为等比数列{a n }的前n 项的和，8a 2+a 5＝0，则S 6S 3= ﹣7 ．【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q 3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即可求出结果． 解：由8a 2+a 5＝0，得到a 5a 2=q 3＝﹣8S 6S 3=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 3)1−q=1−q 61−q =−7故答案为：﹣7．9．若x =π6是方程2cos （x +α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝π6或3π2．【分析】利用三角函数方程求出α的表达式，再根据α∈（0，2π）写出满足条件的α的值． 解：x =π6是方程2cos （x +α）＝1的解， ∴2cos （π6+α）＝1，∴cos （π6+α）=12，∴π6+α＝2k π±π3，∴α＝2k π+π6，α＝2k π−π2，k ∈Z ； 又α∈（0，2π）， ∴α=π6或3π2．故答案为：π6或3π2．10．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n （n ∈N *），则a 4＝ 18 ． 【分析】运用数列的递推公式计算可得结果． 解：根据题意，a n +1＝2S n ① 当n ≥2时，a n ＝2S n ﹣1② ①﹣②得，a n +1﹣a n ＝2a n ， ∴a n +1＝3a n （n ≥2） ∴a 1＝1，a 2＝2S 1＝2， a 3＝6，a 4＝18， 故答案为：18．11．已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，且a 1+b 1＝5，b n ∈Z +，设∁n =a b n ，则数列{∁n }的前n 项和S n ＝12n （n +7） ．【分析】根据等差数列的通项公式把ab n 转化到a 1+（b n ﹣1），再把b n 转化b 1+n ﹣1，然后由已知和等差数列的前n 项和可求结果． 解：S n ＝ab 1+ab 2+ab 3+⋯+ab n＝[a 1+（b 1﹣1）]+[a 1+（b 2﹣1）]+[a 1+（b 3﹣1）]+…+[a 1+（b n ﹣1）]＝[a 1+（b 1﹣1）]+[a 1+（b 1+1）﹣1]+[a 1+（b 1+2）﹣1]+…+[a 1+（b 1+n ﹣1）﹣1]＝na 1+nb 1﹣n +1+2+…+（n ﹣1）＝n （a 1+b 1 ）﹣n +n(n−1)2＝4n +n(n−1)2=12n （n +7）．故答案为：12n （n +7）．12．如图所示为函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中M 、N 分别是函数图象的最高点和最低点，且|MN |＝5，那么f （﹣3）＝ ﹣1 ．【分析】由图可知：A ＝2，因为T2=√|MN|2−42=√25−16=3，∴T ═6，∴ω=2π6=π3，再令x ＝0得sin φ=12，最后令x ＝﹣3及诱导公式可得． 解：由图可知：A ＝2，因为T2=√|MN|2−42=√25−16=3，∴T ═6，∴ω=2π6=π3，∴f （x ）＝2sin （π3x +φ），依题意令x ＝0，得f （0）＝1，即sin φ=12，∴f （﹣3）＝2sin （π3×（﹣3）+φ）＝2sin （﹣π+φ）＝﹣2sin φ＝﹣2×12=−1 故答案为：﹣1二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．终边在y 轴上的角的集合可表示为（ ） A ．{α|α=2kπ+π2，k ∈Z} B ．{α|α=2kπ−π2，k ∈Z} C ．{α|α＝k π+π，k ∈Z }D ．{α|α=kπ+π2，k ∈Z}【分析】直接利用象限角、周线角的定义，弦长终边在y 轴上的角的集合，即可得到选项．解：由象限角、周线角的定义可知终边在y 轴上的角的集合可表示为：{α|α=kπ+π2，k ∈Z}． 故选：D ．14．在△ABC 中，a ＝2，B ＝60°，S △ABC =√32，则b ＝（ ）A ．1B ．2C ．√3D ．2√3【分析】由三角形面积公式12acsinB =12×2c ×√32=√32，可求c ，然后由余弦定理cos B =a 2+c 2−b 22ac，可求 解：∵a ＝2，B ＝60°，S △ABC =√32，∴12acsinB =12×2c ×√32=√32， ∴c ＝1，则由余弦定理可得，cos B =a 2+c 2−b 22ac，∴12=4+1−b 24，解可得，b =√3 故选：C ．15．要得到函数y ＝sin （2x −π3）的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象（ ） A ．向左平移π6B ．向右平移π6C ．向左平移π3D ．向右平移π3【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位，可得函数y ＝sin （2x −π3）的图象，故选：B ．16．数列{a n }满足“对任意正整数n ，都有a n +a n +3＝a n +1+a n +2“的充要条件是（ ） A ．{a n }是等差数列B ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列C ．{a 2n }是等差数列D ．{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等【分析】根据题意，由a n +a n +3＝a n +1+a n +2变形可得a n +3﹣a n +1＝a n +2﹣a n ，即可得{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等，即可得a n +a n +3＝a n +1+a n +2是{a 2n ﹣1}与{a 2n }都是等差数列且公差相等的充分条件；反之验证即可得答案．解：根据题意，数列{a n}满足对任意正整数n，对任意正整数n，都有a n+a n+3＝a n+1+a n+2，则有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，则有{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分条件；反之，{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，必有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，变形可得a n+a n+3＝a n+1+a n+2，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的必要条件；故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分必要条件；故选：D．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知sin x=45，x∈（π2，π）．（1）求tan（π﹣x）的值；（2）求sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，求得cos x的值，再利用诱导公式求得tan（π﹣x）的值．（2）利用两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式，求得sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）的值．解：（1）∵sin x=45，x∈（π2，π），∴cos x=−√1−sin2x=−35，∴tan（π﹣x）＝﹣tan x=−sinxcosx=43．（2）sin（2x+π3）−√3cos（2x+π3）＝2sin（2x+π3−π3）＝2sin2x＝4sin x cos x=−4825．18．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．【分析】（1）根据题意，分析可得S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，进而可得d＝a2﹣a1＝5﹣2＝3，又由a n＝56，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）根据题意，分析可得b2＝a3＝a1+2d＝6，进而可得公比q，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，若S3＝15，则S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，则d ＝a 2﹣a 1＝5﹣2＝3，又由a n ＝56，则有a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3n ﹣1＝56， 解可得：n ＝19；（2）根据题意，b 2＝a 3＝a 1+2d ＝6， 则q =b2b 1=3，则T n =b 1(1−q n )1−q =2×(1−3n )1−3=3n ﹣1． 19．已知海岛B 在海岛A 北偏东45°，且与A 相距20海里，物体甲从海盗B 以2海里/小时的速度沿直线向海岛A 移动，同时物体乙从海岛A 以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B 到达海岛A 的过程中，甲乙两物体的最短距离．【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）由余弦定理及配方法可求得最小值．解：（1）设经过t （0＜t ＜10）小时，物体甲移动到E 的位置，物体乙移动到F 的位置， 物体甲与海岛A 的距离为AE ＝20﹣2t 海里，物体乙与海岛A 距离为AF ＝4t 海里， 当甲在乙正东方时，∠AFE ＝75°，∠AEF ＝45°， 在△AEF 中，由正弦定理得：AE sin∠AFE=AF sin∠AEF，即20−2tsin75°=4t sin45°，则t ＝20﹣10√3，所以，经过20﹣10√3小时，物体甲在物体乙的正东方向． （2）由（1）题设，AE ＝20﹣2t ，AF ＝4t ， 由余弦定理得：EF 2＝AE 2+AF 2﹣2AE •AF cos ∠EAF＝（20﹣2t ）2+（4t ）2﹣2×（20﹣2t ）×4t ×12=28（t −207）2+12007，由0＜t ＜5，得当t =207时，EF min =20√217海里 所以，甲乙两物体之间的距离最短为20√217海里．20．已知函数f （x ）＝2sin 2（π4+x ）−√3cos2x （1）求函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合；（2）|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f （x ）＝1+2sin （2x −π3），利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的最大值，以及取到最大值时所对应的x 的集合；（2）由x ∈[π4，π2]，可求f （x ）max ＝3，f （x ）min ＝2．由题意可得m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2，即可解得实数m 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f （x ）＝[1﹣cos （π2+2x ）]−√3cos2x ＝1+sin2x −√3cos2x＝1+2sin （2x −π3），∴f （x ）max ＝3，…此时，∵2x −π3=2k π+π2，k ∈Z ，∴解得x =5π12+kπ(k ∈Z)⋯ （2）∵x ∈[π4，π2]，∴π6≤2x −π3≤2π3， 即2≤1+2sin （2x −π3）≤3，∴f （x ）max ＝3，f （x ）min ＝2．∵|f （x ）﹣m |＜2⇔f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2，x ∈[π4，π2]， ∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2，∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．…21．已知函数f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）（ω＞0），其中数列{a n }是公比为2的等比数列，数列{φn }是公差为π2的等差数列． （1）若a 1＝1，φ1=π2，分别写出数列{a n }和数列{φn }的通项公式；（2）若f 2（x ）是奇函数，且φ1∈（0，π），求φ1；（3）若函数f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，且当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，求ω的最小值．【分析】（1）根据等比数列、等差数列的通项公式a n ＝a 1q n ﹣1，b n ＝b 1+（n ﹣1）d 可得；（2）根据f 2（x ）为奇函数，所以f 2（﹣x ）＝﹣f 2（x ）恒成立，所以a 1sin φ1+a 2sin φ2＝0，解方程可得φ1＝π﹣arctan2；（3）将f n （x ）化成f n （x ）＝m sin ωx +n cos ωx =√m 2+n 2sin （ωx +φ）的形式，依题意有f n （π2）＝0，从而π2ω+φ＝k 1π，k 1∈Z ①，因为当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，所以πω+φ＝2k 2π+3π2，k 2∈Z ②，两式相减得ω＝4k 2﹣2k 1+3，∴当k 2＝0，k 1＝1时，ω取得最小值为1 解：（1）a n ＝2n ﹣1，φn =nπ2； （2）f 2（x ）＝（a 1cos φ1+a 2cos φ2）sin ωx +（a 1sin φ1+a 2sin φ2）cos ωx因为f 2（﹣x ）+f 2（x ）＝0，所以a 1sin φ1+a 2sin φ2＝0即a 1sin φ1+2a 1cos φ1＝0，所以tan φ1＝﹣2，又由φ1∈（0，π），得φ1＝π﹣arctan2（3）f n （x ）＝a 1sin （ωx +φ1）+a 2sin （ωx +φ2）+…+a n sin （ωx +φn ）＝（a 1cos φ1+a 2cos φ2+…+a n cos φn ）sin ωx +（a 1sin φ1+a 2sin φ2+…+a n sin φn ）cos ωx 记a 1cos φ1+a 2cos φ2+…+a n cos φn ＝m ，a 1sin φ1+a 2sin φ2+…+a n sin φ＝n则f n （x ）＝m sin ωx +n cos ωx =√m 2+n 2sin （ωx +φ），其中m 2+n 2≠0； 因为f n （x ）的图象关于点（π2，0）对称，所以π2ω+φ＝k 1π，k 1∈Z ① 因为当x ＝π时，函数f n （x ）取得最小值，所以πω+φ＝2k 2π+3π2，k 2∈Z ② ②﹣①得ω＝4k 2﹣2k 1+3，因为k 1，k 2∈Z ，ω＞0，∴当k 2＝0，k 1＝1时，ω取得最小值为1。
2017-2018学年上海市长宁区高一(上)期末数学试卷(精编含解析)
2017-2018学年上海市长宁区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若“x＞0”是“x＞1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件x的图象大致为（）2.函数f(x)=log12A. B.C. D.3.下列关于幂函数的判断中正确的是（）A. 不存在非奇非偶的幂函数B. 两个幂函数的图象至多有两个交点C. 至少存在两个幂函数，它的反函数是其自身D. 如果幂函数有增区间，那么这个幂函数的指数是正数4.已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（-1）=3，且当x≥0时，f（x）=2x+x+c（c是常数），则不等式f（x-1）＜6的解集是（）A. (−3,1)B. (−2,3)C. (−2,2)D. (−1,3)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，3}，则A∩B=______．6.函数f(x)=√x−2的定义域为______．7.不等式（x-1）（x-2）＜0的解集是______．8.函数y=3x的反函数y=______．9.函数f（x）=log2x-1的零点为______．10.若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2，则f（-1）=______．11.如果函数f（x）=x2-2ax+1是区间[1，4]上的增函数，则实数a的取值范围为______．≥1的解集为P，且-2∈P，则a的取值范围是______．12.已知a∈R，不等式x−3x+a13.函数y=x2-2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是______．14.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是______．15.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是Q1，空气温度是Q0，t分钟后温度Q可由公式Q=Q0+（Q1-Q0）e-t ln1.5求得，现在60？的物体放在15？的空气中冷却，当物体温度为35°时，冷却时间t=______分钟．16.已知函数f（x）=x2+（a-1）x-a，g（x）=ax+4，若不存在x0，使得{g(x0)<0f(x0)<0，则实数a的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知集合U={x|0≤x≤10，x∈N}，A={1，2，4，5}，B={4，6，7，8}，求A∩B，A∪B，∁U（A∪B）．18.解不等式组：{|x−1|＜2 x+4x＞2．19.某小区欲建一面积为600平方米的矩形绿地，在绿地的四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽2米，短边外人行道宽3，如图所示，设矩形绿地的长为x米，绿地与人行道一共占地S平方米．（1）试写出S关于x的函数关系式；（2）求当S取得最小值时x的值．20.已知函数f（x）=|x+a|（a＞-2）的图象过点（2，1）．（1）求实数a的值；（2）设g(x)=f(x−a)+af(x)，在如图所示的平面直角坐标系中作出函数y=g（x）的简图，并写出（不需要证明）函数g（x）的定义域、奇偶性、单调区间、值域．21.已知函数f(x)=x+a2x（其中a为常数）．（1）当a=1时，求f（x）在[12，2]上的值域；（2）若当x∈[0，1]时，不等式f(2x)＜2x+12x+4恒成立，求实数a的取值范围；（3）设g(x)=1−x1+x ，是否存在正数a，使得对于区间[0，12]上的任意三个实数m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵x＞0推不出x＞1x＞1⇒x＞0，∴“x＞0”是“x＞1”的必要而不充分条件．故选：B．根据充分条件、必要条件的定义来判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：函数，底数小于1，单调递减；恒过（1，0）；结合选项B正确，故选：B．根据对数函数的图象可得答案．本题考查了对数函数的图象，是基础题．3.【答案】C【解析】解：在A中，y=非奇非偶的幂函数，故A错误；在B中，y=x3和y=x这两个幂函数的图象有三个交点，故B错误；在C中，y=x和y=这两个幂函数的反函数都是它本身，故C正确；在D中，y=x-2有增区间（-∞，0），故D错误．故选：C．根据幂函数的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及幂函数的定义和性质，比较基础．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）是定义域为R的偶函数，且f（-1）=3，则f（1）=f（-1）=3，即f（1）=21+1+c=3，则c=0，故当x≥0时，f（x）=2x+x，有f（2）=22+2=6，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（x-1）＜6⇒f（|x-1|）＜f（2）⇒|x-1|＜2，解可得：-1＜x＜3，即不等式的解集为（-1，3）；故选：D．根据题意，由偶函数的性质可得f（1）=f（-1）=3，即f（1）=21+1+c=3，则c=0，即可得当x≥0时，f（x）=2x+x，据此分析可得f（2）=22+2=6，且f（x）在[0，+∞）上为增函数；进而可得f（x-1）＜6⇒f（|x-1|）＜f（2）⇒|x-1|＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查关于抽象函数的不等式的解法，涉及函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，属于基础题．5.【答案】{2，3}【解析】解：∵集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={2，3}．故答案为：（2，3}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.【答案】[2，+∞）【解析】解：由x-2≥0，得x≥2．∴函数的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．直接由根式内部的代数式大于等于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．7.【答案】（1，2）【解析】解：依题意，不等式化为不等式组或，解得1＜x＜2，故答案为：（1，2）将“不等式（x-1）（x-2）＜0”转化为“不等式组或”，利用一元一次不等式的解法求解．本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．8.【答案】log3x，x＞0【解析】解：∵函数y=3x，y＞0∴x=log3y，∴函数y=3x的反函数y=log3x，x＞0．故答案为：y=log3x，x＞0．根据y=3x，y＞0，得出x=log3y，即函数y=3x的反函数y=log3x，x＞0．本题考查了指数，对数函数的性质，反函数的概念，属于容易题．9.【答案】2【解析】解：根据题意，f（x）=log2x-1，若f（x）=log2x-1=0，解可得x=2；则函数f（x）=log2x-1的零点为2；故答案为：2根据题意，由函数零点的定义，若f（x）=log2x-1=0，解可得x=2；即可得答案．本题考查函数的零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．10.【答案】-1【解析】解：根据题意，函数f（x）满足当x＞0时，f（x）=x2，则f（1）=1，又由函数f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1）=-1；故答案为：-1根据题意，由函数的解析式可得f（1）=1，又由函数为奇函数，可得f（-1）=-f（1），即可得答案．本题考查奇函数的性质以及函数的解析式，属于基础题．11.【答案】（-∞，1]【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2-2ax+1是开口向上为二次函数，其对称轴为x=-=a，若f（x）在区间[1，4]上的增函数，则有a≤1，故实数a的取值范围为（-∞，1]，故答案为：（-∞，1]．根据题意，分析二次函数的对称轴，由二次函数的单调性分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查二次函数的性质，注意二次函数的单调性，属于基础题．12.【答案】[-3，2）【解析】解：根据题意，等式的解集为P，且-2∈P，则有≥1，即≤-1，变形可得：（a+3）（a-2）≤0且a-2≠0，解可得：-3≤a＜2，即a的取值范围为[-3，2）；故答案为：[-3，2）．根据题意，由不等式的解集可得≥1，变形可得：（a+3）（a-2）≤0且a-2≠0，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，注意x的取值范围，属于基础题．13.【答案】[1，2]【解析】解：∵f（x）=x2-2x+1=（x-1）2，∴对称轴x=1，∴f（1）=0，f（2）=1，f（0）=1，∵f（x）=x2-2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．根据二次函数的性质得出，求解即可．本题考察了二次函数的性质，属于容易题．14.【答案】[1，1]2【解析】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）=2x2-2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f（）==．最大值为：f（1）=2-2+1=1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15.【答案】2【解析】解：由题意，Q0=15°，Q1=60°，Q=35°，∵Q=Q0+（Q1-Q0）e-tln1.5∴35=15+（60-15）e-tln1.5∴∴t=2故答案为：2．根据Q=Q0+（Q1-Q0）e-tln1.5，可得对数方程，解之即可得答案．本题以具体函数为载体，考查解决实际问题，考查对数方程的求解，属于基础题16.【答案】{0，-1}【解析】解：若不存在x0，使得，即为对任意的x∈R，f（x）≥0或g（x）≥0成立，由函数f（x）=x2+（a-1）x-a，可得△≤0，即为（a-1）2+4a=（a+1）2≤0，解得a=-1；由g（x）=ax+4，可得a=0时，g（x）=4＞0恒成立，综上可得a的取值范围是{0，-1}．故答案为：{0，-1}．由题意可得对任意的x∈R，f（x）≥0或g（x）≥0成立，运用二次函数的判别式小于等于0和一次函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查函数的存在性问题和恒成立问题的转化思想，考查二次函数和一次函数的性质，以及运算能力，属于中档题．17.【答案】解：∵集合U={x|0≤x≤10，x∈N}，A={1，2，4，5}，B={4，6，7，8}，∴A∩B={4}，A∪B={1，2，4，5，6，7，8}，C U（A∪B）={0，3，9，10}．【解析】直接由交、并、补集的运算性质得答案．本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．18.【答案】解：根据题意，{|x −1|＜2x+4x＞2， 对于|x -1|＜2，变形可得-2＜x -1＜2， 解可得：-1＜x ＜3，① 对于x+4x＞2，变形可得4−x x＞0，即（4-x ）x ＞0，解可得：0＜x ＜4，② 综合①②可得：0＜x ＜3， 即不等式的解集为（0，3）． 【解析】根据题意，分别求出不等式|x-1|＜2和于＞2的解集，求出两个解集的交集即可得答案．本题考查分式不等式以及绝对值不等式的解法，注意正确计算不等式的解集，属于基础题． 19.【答案】解：（1）由题意绿地和人行道构成的矩形的长是（x +6）m ，宽是（600x+4）m ，故S =(x +6)(600x+4)=3600x+4x +624；（2）由（1）知，s =3600x+4x +624≥2√3600x⋅4x +624=864，当且仅当3600x=4x 即x =30时，S 最小．【解析】（1）求出绿地和人行道构成的矩形的长，宽，写出S 关于x 的函数关系式即可； （2）根据基本不等式的性质求出满足条件的x 的值即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题． 20.【答案】解：（1）函数f （x ）=|x +a |（a ＞-2）的图象过点（2，1）．则：1=|2+a |， 解得：a =-1； （2）设g(x)=f(x−a)+a f(x)，由于a =-1， 则：g （x ）=|x|−1|x−1|，定义域（-∞，1）∪（1，+∞）， 由于g （-x ）≠g （x ）≠-g （x ）， 所以函数为：非奇非偶函数．g （x ）=|x|−1|x−1|={ 1(x ＞1)−1(0＜x ＜1)1+2x−1(x ＜0)， 函数的图象如下：所以函数的值域：[-1，1]；函数单调递减区间为（-∞，0）． 【解析】（1）直接利用待定系数法求出a 的值．（2）利用（1）的结论求出函数g （x ）的图象，进一步画出函数图象的简图． （3）利用函数的图象确定函数的定义域，值域和单调区间．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.【答案】解：（1）函数f(x)=x +a 2x ， 当a =1时，f （x ）=x +1x ，导数为f ′（x ）=1-1x 2=(x−1)(x+1)x 2，f （x ）在[12，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，∴当x =12，或x =2时，函数最最大值52，当x =1时，函数取最小值2， 故f （x ）在[12，2]上的值域为[2，52]；（2）若不等式f （2x ）＜2x +12x +4在[0，1]上恒成立， 即2x +a 22x ＜2x +12x +4在[0，1]上恒成立，即a 2＜1+4•2x 在[0，1]上恒成立，1+4•2x 在[0，1]递增，可得最小值为1+4=5， 即a 2＜5，解得-√5＜a ＜√5；（3）设t =g （x ）=1−x1+x =-1+21+x 在x ∈[0，12]递减， 可得t ∈[13，1]， 则y =t +a 2t ，原问题转化为求实数a 的取值范围，使得y 在区间[13，1]上，恒有2y min ＞y max ． 讨论：①当0＜a 2≤19时，y =t +a 2t在[13，1]上递增，∴y min =3a 2+13，y max =a 2+1， 由2y min ＞y max 得a 2＞115，∴√1515＜a ≤13；或-13≤a ＜-√1515； ②当19＜a 2≤13时，y =t +a 2t在[13，|a |]上单调递减，在[|a |，1]上单调递增，∴y min =2|a |，y max =max{3a 2+13，a 2+1}=a 2+1， 由2y min ＞y max 得2-√3＜|a |＜2+√3， ∴13＜|a |≤√33；③当√33＜|a |＜1时，y =t +a 2t 在[√33，|a |]上单调递减，在[|a |，1]上单调递增，∴y min =2|a |，y max =max{3a 2+13，a 2+1}=3a 2+13， 由2y min ＞y max 得2−√33＜|a |＜2+√33，∴√33＜|a |＜1；④当|a |≥1时，y =t +a 2t在[13，1]上单调递减，∴y min =a 2+1，y max =3a 2+13， 由2y min ＞y max 得a 2＜53， ∴1≤a 2＜53；综上，a 的取值范围是（-√153，-√1515）∪（√1515，√153）．【解析】（1）当a=1时，f （x ）=x+，结合对勾函数的图象和性质，可得f （x ）在[，2]上的值域； （2）若不等式f （2x ）＜2x ++4在[0，1]上恒成立，即a ＜-2（2x ）2+1+2x 在[0，1]上恒成立，令t=2x ，则t ∈[1，2]，y=-2t 2+t+1，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最小值，可得实数a 的取值范围；（3）换元，原问题等价于求实数a 的范围，使得函数在给定的区间上，恒有2y min ＞y max本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了分类讨论与求最值的应用问题，是难题．。
【优质文档】2017-2018年度高一年级期末综合检测(含参考答案)
⊥底面 ABC，垂足为 H，则点 H在 ( ).
A．直线 AC上 B ．直线 AB上
C．直线 BC上 D ．△ ABC内部
12. 已知 ab
0
,
点
P(a,b)
是圆
2
x
2
y
2
r 内一点 , 直线 m是以
点 P 为中点的弦所在的直线 , 直线 L 的方程是 ax by r 2 , 则下列结论正确的是 ( ).
1 D .m
2
3. 如图，矩形 O′ A′B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
O′ A′＝ 6 cm， C′D′＝ 2 cm，则原图形是 ( ).
A．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形
4. 已知 A 2, 3 ， B 3, 2 ，直线 l 过定点 P 1,1 ，且与线段 AB 相交，
C． 3x 6y 5 0
D
． x 3或3x 4 y 15 0
8. 三视图如图所示的几何体的表面积是 (
)．
A．2＋ 2 B ．1＋ 2 C ．2＋ 3 D ．1＋ 3
9. 设 x0 是方程 ln x＋ x＝ 4 的解，则 x0 属于区间 ( ).A． (0 ，1)B ． (1 ，2)C
． (2 ， 3)
C．若 l ∥ β ，则 α∥ β D ．若 α ∥ β，则 l ∥ m
6. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的
主视图与左视图分别如右图所示，则该几何
体的俯视图为 ( ).
7. 一条直线经过点
M ( 3,
3)
,
被圆
2
x
2
y
25 截得的弦长等于 8, 这条直线的方
2
程为 ( ).
2017-2018学年度高一第一学期期末考试试卷以及答案
2018-2018学年度期末考试试卷高一数学第Ⅰ卷<选择题 共50分）一、选择题<本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案，请把你认为正确的答案填在答题卡上，答在试卷上的一律无效。
）Ke4U17Jcyx 1． 若{}9,6,3,1=P {}8,6,4,2,1=Q ，那么=⋂Q P < C ） A.{1} B.{6} C. {1，6} D. 1，62．下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数 < B ）A.2)(x y =B. 33x y = C . xx y 2=D.2x y =3．图<1）是由哪个平面图形旋转得到的< A ）图<1） A B CDKe4U17Jcyx 4．下列函数中有两个不同零点的是< D ）A ．lg y x =B ．2x y =C ．2y x =D ．1y x =-5．函数()12f x x=-的定义域是< A ） A ．[)()+∞⋃-,22,1B ．[)+∞-,1C ．()()+∞⋃∞-,22,D ． 1 22 -⋃+∞(，)(，)6．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，下面有三个命题：①//m n αβ⇒⊥；②//m n αβ⊥⇒；③//m n αβ⇒⊥；则真命题的个数为< B ）A ．0B ．1C ．2D ．37．若10x -<<，那么下列各不等式成立的是< D ）A ．220.2x x x -<<B ．20.22x x x -<<C ．0.222x x x -<<D ．220.2x x x -<< 8. 过2 3A -(，) ，2 1B (，) 两点的直线的斜率是< C ）A ．12B ．12-C ．2-D ．29. 已知函数)31(12)(≤≤+=x x x f ，则< B ） A ．)1(-x f =)20(22≤≤+x xB ． )1(-x f =)42(12≤≤-x xC ． )1(-x f =)20(22≤≤-x xD ． )1(-x f =)42(12≤≤+-x x10．．已知)(x f 是偶函数，当0<x 时，)1()(+=x x x f ，则当0>x 时，()f x 的值为< A ）A ．)1(-x xB ．)1(--x xC ．)1(+x xD ．)1(+-x x第Ⅱ卷<非选择题 共100分）二、填空题<本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把你认为正确的答案填在答题卡上，答在试卷上的一律无效。
【上海市重点中学】2018-2019年上海市长宁区高一上期末数学试卷含答案
12018学年第一学期高一数学教学质量检测试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一. 填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分） 1.集合{}2,1,0A =--，集合{}1,2,3B =，{}44,U x x x Z =-≤≤∈，则()U A B U ð＝ ．2. 函数3log y x =的反函数是 ．3. 函数2()f x x -=的单调递减区间是 ．4. 函数2()31f x x x =-+在[0,)x ∈+∞时的最小值_______________.5. 已知关于x 的不等式213x -<的解集是 ．6. 命题“若1x >，则x a >”是真命题，则实数a 的范围是 ．7. 已知()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()log f x g x x x -=+，则(2)(2)f g += ．8. 已知()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在(]0,∞-上是增函数，若()()2f a f ≥，则a 的取值范围是.9. 定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，2则)3(f 的值为 .10. 若函数24-+=x x y 在区间),(b a 上的值域是),2(+∞，则=b a log ． 11．若42log (34)log a b ab +=a b +的最小值是 ．12．若函数|1|-=xa y （0>a ，且1≠a ）的图像与函数2ay =的图像有两个公共点， 则a 的取值范围是____________________________．二. 选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13. 当1>a 时，在同一直角坐标系中，函数xay -=与x y a log =的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．14. 已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件O11 xyO11xyO11xy O11xy315. 已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （ ） A .(0,1)； B .(1,2)； C .(2,4)； D .(4,)+∞ ．16．已知函数c bx x x f +-=2)(对任意实数x 都有)1()1(x f x f -=+，且3)0(=f ，那么 （ ）A . )()(x x c f b f <B . )()(x x c f b f ≤C . )()(x x c f b f ≥D . )()(x x c f b f 与的大小无法确定三.解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. （本题满分6分）已知集合2|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}3|log (2)1B x x =+≥，求集合A B I ． 18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分．已知函数22)1()(++-=a xa a x f 为幂函数，且为奇函数，设函数x x f x g +=)()(．（1）求实数a 的值及函数)(x g 的零点；（2）是否存在正整数n ，使900)(=n g ？若存在，请求出n 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分．4某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x （百台），其总成本为)(x G 万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）。
长宁区高一期末数学试卷参考答案
长宁区高一期末数学试卷2021.01一. 填空题1.已知全集为R ，集合{|32}A x x ，则A2.函数y 的定义域为3.若幂函数a y x 在区间(0,) 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是4.设一元二次方程2630x x 的两个实根为1x 、2x ，则2212x x5.已知:31x m ，:2x ，若 是 充分条件，则m 的取值范围是6.若2log (1)0x ，则x 的取值范围是7.设a 、b 都为正数，且4a b ，则11a b的最小值为 8.设关于x 的不等式21110a x b x c 与22220a x b x c 的解集分别为A 、B ，则不等式组2111222200a xb xc a x b x c 的解集可以用集合A 、B 的运算表示为 9.已知lg 2a ，103b ，试用a 、b 表示12log 2510.已知函数22y x ax （[0,1]x ）的最小值为2 ，则实数a11.设关于x 的方程|2||23|||x x ax b （,a b R ）解集为M ，关于x 的不等式(2)(23)0x x 的解集为N ，若集合M N ，则a b12.若函数12|1|log (1)10210x x x y x m的值域为[1,1] ，则实数m 的取值范围为二. 选择题13.下列四组函数中，两个函数相同的是（）A. y和2y B. 1y 和0y x C. ({0,1})y x x 和2({0,1})y x x D. 2log a y x 和2log a y x14.函数131(2xy x 的零点所在区间为（） A. 1(0,)3 B. 11(,)32C. 12(,23D. 2(,1)315.在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx 与幂函数bay x （0x ）图像的关系可能为（）A. B. C. D.16.已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 中的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③存在x P 且x M ；④存在x M 且x P ；这四个命题中，真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三. 解答题17.已知集合{||2|3}A x x ，集合12{|0}7xB x x ，求集合A B .18.化简下列代数式：（1）162||()a a （0a ）； （2（010a ）. 19.甲、乙两城相距100km ，某天然气公司计划在两地之间建天然气站P 给甲、乙两城供气，设P 站距甲城xkm ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得小于10km ，已知建设费用y （万元）与甲、乙两地的供气距离（km ）的平方和成正比（供气距离指天然气站到城市的距离），当天然气站P 距甲城的距离为40km 时，建设费用为1300万元. （1）把建设费用y （万元）表示成P 站与甲城的距离x （km ）的函数，并求定义域； （2）求天然气供气站建在距甲城多远时建设费用最小，并求出最小费用的值.20.设21()21x x f x .（1）判断函数()y f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数()y f x 在R 上是严格增函数； （3）若2(1)(1)0f t f t ，求t 的取值范围.21.设()2af x x x（a R ）. （1）求不等式()(1)1f x f x 的解集M ； （2）若函数()y f x 在(0,) 上最小值为114a，求实数a 的值； （3）若对任意的正实数a ，存在01[,1]2x ，使得0|()|f x m ，求实数m 的最大值.参考答案一. 填空题1.(,3)[2,)2.[1,)3.(,0)4.425.1m6.2x7.18.A B9.2(1)2a a b10. 3211.1512.12m 二. 选择题 13.C 14.B15.A16.B三. 解答题 17.(1,7) .18.（1）3a ；（2）1lg a . 19.（1）21(1005000)2y x x（1090x ）； （2）天然气供气站建在距甲城50km 时费用最小，最小费用的值为1250万元.20.（1）奇函数；（2）证明略；（3）1t 或2t .21.（1）当0a 时，该不等式的解集为 ；当0a 时，该不等式的解集为(,0)(1,) ；当0a 时，该不等式的解集为(0,1)；（2）94a或12a ；（3）max 76m .。
2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(20201014181259)
现在沿 AE 、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B 、 C 、 D 三点重合，重合后
的点记为 H ，如图②所示，那么，在四面体 A EFH 中必有 ( )
图①
图②
A ． AH ⊥△ EFH 所在平面
B． AG ⊥△ EFH 所在平面
C． HF ⊥△ AEF 所在平面
D． HG ⊥△ AEF 所在平面
22 ( 2 3) 2 1 ，即 | m | 1 解得 m
2
2
0或 1 2
2
20.解： ∵ PA⊥平面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ∴ PA⊥ CD
∵ CD ⊥AD ， AD ∩PA＝ A∴CD ⊥平面 PAD .[来源:Z#xx#] ∵ PD ? 平面 PAC，∴ CD⊥ PD [来源:Z*xx*]
）
A． a 1或 a 2
B． a 2或 a 1
C． a 1
D． a 2
5．设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，（
）
A ．若 l ∥ ， l ∥ ，则 ∥
B．若 l ∥ ， l ⊥ ，则 ⊥
C．若 ⊥ ， l ⊥ ，则 l ⊥
D．若 ⊥ ， l ∥ ，则 l ⊥
6．直线 2 x 3 y 6 0 关于点 (1, 1) 对称的直线方程是 ( )
三、解答题
3x 4y 5 0
17. 解：由
，得 M ( 1, 2)
2x 3y 8 0
22
（ 1） x 1 （ 2）设直线方程为 x 2 y C 0 ，则， C 5 ，即 x 2y 5 0
18.解：圆 x2 y2 4 的圆心坐 标为 (0,0) ， 半径 r 4
∵ 弦 AB 的长为 2 3 ，
故圆心到直线的距离 d 19.解：
【优质文档】2017-2018学年上海市高一上学期数学期末综合复习试题(一)含答案
1. 已知集合 A { 1,2,3,4} ，集合 B {3,4,5} ，则 A B
．
2. 函数 y x 2 的定义域是
．
3. 不等式 x 3 0 的解是
．
x2
4. 若指数函数 y (m 1)x 在 R 上是增函数，则实数 m 的取值范围是
．
5. 函数 f ( x) x2 x 的零点是
．
6. 设函数 f ( x) x 的反函数是 f 1( x) ，则 f 1 (3)
干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。 3．非选择题作答用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需上交答题卡。
第 I 卷（填空题 36 分）
一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共 12 题，只要求直接填写结果，每题 填对得 3 分，否则一律得零分．
．
10. 若 log a (2b) 1，则 a 4b 的最小值是
．
11. 已知函数 f (x)
x (2 x
2 x ) ，存在 x
1 [ ,1] ，使不等式
f ( ax 1)
f (2
x) 成立，
2
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则实数 a 的取值范围是
．
12. 已知函数 f (x) m(x m)( x m 3) 和 g( x) 2x 2 同时满足以下两个条件：
．
7. 已知函数 y x2 ax 1在区间 [1,2] 上是增函数，则实数 a 的取值范围是
．
8. 若幂函数 f ( x) ( m2 m 1)xm 在区间 (0, ) 上单调递增，则实数 m
．
9. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 x ，则
长宁区高一上期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则a的取值范围是（）。
A. a > 0B. a < 0C. a ≠ 0D. a = 02. 已知数列{an}满足an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n为（）。
A. 2^n(3^n - 1)B. 3^n(3^n - 2^n)C. 2^n(3^n - 1) - 2D. 3^n(3^n - 1) - 23. 已知等差数列{an}的首项为a_1，公差为d，且a_5 = 15，a_8 = 27，则a_1 + a_15的值为（）。
A. 30B. 45C. 60D. 754. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(4,1)，C(x,y)在直线y = -x + 6上，则|AC| + |BC|的值最小为（）。
A. 2√5B. 3√5C. 4√5D. 5√55. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若存在实数a，使得f(a) = 0，则f'(a)的值为（）。
A. 3a^2 - 3B. 3a^2 + 3C. 3a - 3D. 3a + 36. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z| = 1，则z的共轭复数z的模为（）。
A. 1B. 0C. aD. b7. 已知向量a = (2,3)，b = (1,-2)，则向量a + b的模长为（）。
A. √13B. √5C. 2√5D. 3√58. 在等比数列{an}中，首项a_1 = 2，公比q = 3，则数列的前n项和S_n为（）。
A. 3^n - 1B. 3^n + 1C. 3^n - 2D. 3^n + 29. 若函数y = log_2(x - 1) + log_2(3x + 1)的图像在x轴上只有一个交点，则该交点的横坐标为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 410. 在平面直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 4x + 3与直线y = 2x + 1的交点个数是（）。
2017-2018学年上海市长宁区高一(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置1．（3分）已知数列{a n}是等差数列，若a1＝5，a2＝2，则a5＝．2．（3分）已知角α的终边经过点（﹣1，2），则tanα＝．3．（3分）半径为2的圆上，弧长为的弧所对圆心角的弧度数为．4．（3分）函数y＝2sin（2x﹣）的最小正周期是．5．（3分）2与8的等比中项是．6．（3分）函数y＝arccos x，的值域是．7．（3分）函数y＝sin x+cos x在[0，2π]上的递减区间为．8．（3分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5＝0，则＝．9．（3分）若x＝是方程2cos（x+α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝．10．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2S n（n∈N*），则a4＝．11．（3分）已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列，且a1+b1＝5，b n∈Z+，设c n＝，则数列{c n}的前n项和S n＝．12．（3分）如图所示为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中M、N分别是函数图象的最高点和最低点，且|MN|＝5，那么f（﹣3）＝．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．（3分）终边在y轴上的角的集合可表示为（）A．B．C．{α|α＝kπ+π，k∈Z}D．14．（3分）在△ABC中，a＝2，B＝60°，S△ABC＝，则b＝（）A．1B．2C．D．215．（3分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移16．（3分）数列{a n}满足“对任意正整数n，都有a n+a n+3＝a n+1+a n+2“的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列C．{a2n}是等差数列D．{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知sin x＝，x∈（，π）．（1）求tan（π﹣x）的值；（2）求sin（2x+）﹣cos（2x+）的值．18．（10分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1＝2，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．（1）若S3＝15，a n＝56，求n；（2）若数列{a n}的公差d＝2，b2＝a3，求数列{b n}的公比q及T n．19．（10分）已知海岛B在海岛A北偏东45°，且与A相距20海里，物体甲从海盗B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15°方向移动．（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲乙两物体的最短距离．20．（10分）已知函数f（x）＝2sin2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；（2）|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f n（x）＝a1sin（ωx+φ1）+a2sin（ωx+φ2）+…+a n sin（ωx+φn）（ω＞0），其中数列{a n}是公比为2的等比数列，数列{φn}是公差为的等差数列．（1）若a1＝1，φ1＝，分别写出数列{a n}和数列{φn}的通项公式；（2）若f2（x）是奇函数，且φ1∈（0，π），求φ1；（3）若函数f n（x）的图象关于点（，0）对称，且当x＝π时，函数f n（x）取得最小值，求ω的最小值．2017-2018学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，答案填在答题纸相应位置1．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，若a1＝5，a2＝2，∴d＝a2﹣a1＝﹣3，则a5＝a1+4d＝5﹣4×3＝﹣7．故答案为：﹣7【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题．2．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣1，2），则tanα＝＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．【考点】G4：弧度制．【解答】解：由题意可得：L＝，R＝2∵L＝Rθ，∴θ＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．4．【考点】H1：三角函数的周期性．【解答】解：y＝2sin（2x﹣），∵ω＝2，∴T＝＝π，∴函数的最小正周期为π．故答案为：π．【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键，是基础题．5．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：2与8的等比中项是：G＝＝±4．故答案为：±4．【点评】本题考查两个数的等比中项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比中项公式的合理运用．6．【考点】HV：反三角函数．【解答】解：∵函数y＝cos x，当x∈[0，π]时是单调减函数当x＝0时y＝1，当x＝时，y＝﹣∴y＝cos x在上的值域为根据反函数的定义域就是原函数的值域，可得函数y＝arccos x，的值域是故答案为：【点评】本题求一个反三角函数的值域，着重考查了余弦函数的图象与性质和反函数的性质等知识，属于基础题．7．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H5：正弦函数的单调性．【解答】解：∵y＝2sin（x+），由+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z．得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴x∈[，]，故答案为：[，]．【点评】本题考查了正弦函数的单调性，属中档题．8．【考点】87：等比数列的性质．【解答】解：由8a2+a5＝0，得到＝q3＝﹣8＝＝＝﹣7故答案为：﹣7．【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题．9．【考点】HV：反三角函数．【解答】解：x＝是方程2cos（x+α）＝1的解，∴2cos（+α）＝1，∴cos（+α）＝，∴+α＝2kπ±，∴α＝2kπ+，α＝2kπ﹣，k∈Z；又α∈（0，2π），∴α＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了三角函数方程的解法与应用问题，是基础题．10．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：根据题意，a n+1＝2S n①当n≥2时，a n＝2S n﹣1②①﹣②得，a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n（n≥2）∴a1＝1，a2＝2S1＝2，a3＝6，a4＝18，故答案为：18．【点评】本题考查数列的递推公式的简单应用．11．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：S n＝a+a+a+…+a＝[a1+（b1﹣1）]+[a1+（b2﹣1）]+[a1+（b3﹣1）]+…+[a1+（b n﹣1）]＝[a1+（b1﹣1）]+[a1+（b1+1）﹣1]+[a1+（b1+2）﹣1]+…+[a1+（b1+n﹣1）﹣1]＝na1+nb1﹣n+1+2+…+（n﹣1）＝n（a1+b1）﹣n+＝4n+＝n（n+7）．故答案为：n（n+7）．【点评】本题主要考查等差数列通项公式和前n项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键．12．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由图可知：A＝2，因为＝＝＝3，∴T═6，∴＝，∴f（x）＝2sin（x+φ），依题意令x＝0，得f（0）＝1，即sinφ＝，∴f（﹣3）＝2sin（×（﹣3）+φ）＝2sin（﹣π+φ）＝﹣2sinφ＝﹣2×＝﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．属中档题．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．【考点】G3：象限角、轴线角．【解答】解：由象限角、周线角的定义可知终边在y轴上的角的集合可表示为：．故选：D．【点评】本题是基础题，考查象限角、周线角的定义，集合的表示方法．14．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵a＝2，B＝60°，S△ABC＝，∴＝＝，∴c＝1，则由余弦定理可得，cos B＝，∴，解可得，b＝故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的简单应用，掌握公式并能灵活应用是求解问题的关键．15．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin（2x﹣）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．16．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；8H：数列递推式．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足对任意正整数n，对任意正整数n，都有a n+a n+3＝a n+1+a n+2，则有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，则有{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分条件；反之，{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等，必有a n+3﹣a n+1＝a n+2﹣a n，变形可得a n+a n+3＝a n+1+a n+2，故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的必要条件；故a n+a n+3＝a n+1+a n+2是{a2n﹣1}与{a2n}都是等差数列且公差相等的充分必要条件；故选：D．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及等差数列的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【解答】解：（1）∵sin x＝，x∈（，π），∴cos x＝﹣＝﹣，∴tan（π﹣x）＝﹣tan x＝﹣＝．（2）sin（2x+）﹣cos（2x+）＝2sin（2x+﹣）＝2sin2x＝4sin x cos x＝﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题．18．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，若S3＝15，则S3＝a1+a2+a3＝3a2＝15，则a2＝5，则d＝a2﹣a1＝5﹣2＝3，又由a n＝56，则有a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣1＝56，解可得：n＝19；（2）根据题意，b2＝a3＝a1+2d＝6，则q＝＝3，则T n＝＝＝3n﹣1．【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式的计算，属于基础题．19．【考点】HU：解三角形．【解答】解：（1）设经过t（0＜t＜10）小时，物体甲移动到E的位置，物体乙移动到F 的位置，物体甲与海岛A的距离为AE＝20﹣2t海里，物体乙与海岛A距离为AF＝4t海里，当甲在乙正东方时，∠AFE＝75°，∠AEF＝45°，在△AEF中，由正弦定理得：＝，即＝，则t＝20﹣10，所以，经过20﹣10小时，物体甲在物体乙的正东方向．（2）由（1）题设，AE＝20﹣2t，AF＝4t，由余弦定理得：EF2＝AE2+AF2﹣2AE•AF cos∠EAF＝（20﹣2t）2+（4t）2﹣2×（20﹣2t）×＝28（t﹣）2+，由0＜t＜5，得当t＝时，EF min＝海里所以，甲乙两物体之间的距离最短为海里．【点评】本题考查了解三角形．属中档题．20．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f（x）＝[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x＝1+sin2x﹣cos2x＝1+2sin（2x﹣），∴f（x）max＝3，…（4分）此时，∵2x﹣＝2k，k∈Z，∴解得x＝…（6分）（2）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max＝3，f（x）min＝2．∵|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，x∈[，]，∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．…（12分）【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，由题意得：m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2是解题的关键，属于中档题．21．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：（1）a n＝2n﹣1，φn＝；（2）f2（x）＝（a1cosφ1+a2cosφ2）sinωx+（a1sinφ1+a2sinφ2）cosωx因为f2（﹣x）+f2（x）＝0，所以a1sinφ1+a2sinφ2＝0即a1sinφ1+2a1cosφ1＝0，所以tanφ1＝﹣2，又由φ1∈（0，π），得φ1＝π﹣arctan2（3）f n（x）＝a1sin（ωx+φ1）+a2sin（ωx+φ2）+…+a n sin（ωx+φn）＝（a1cosφ1+a2cosφ2+…+a n cosφn）sinωx+（a1sinφ1+a2sinφ2+…+a n sinφn）cosωx记a1cosφ1+a2cosφ2+…+a n cosφn＝m，a1sinφ1+a2sinφ2+…+a n sinφ＝n则f n（x）＝m sinωx+n cosωx ＝sin（ωx+φ），其中m2+n2≠0；因为f n（x ）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝k1π，k1∈Z①因为当x＝π时，函数f n（x）取得最小值，所以πω+φ＝2k2π+，k2∈Z②②﹣①得ω＝4k2﹣2k1+3，因为k1，k2∈Z，ω＞0，∴当k2＝0，k1＝1时，ω取得最小值为1【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，属中档题．第11页（共11页）。