用动量定理解决电磁感应问题

应用动量定理解决电磁感应问题的思维起点
电磁感应部分历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过对近年高考题的研究，此部分结合动量定理的力电综合模型经常在高考题中出现。

本文结合例题分析应用动量定理解决电磁感应问题的思维起点。

一、 以累积公式q=It 结合动量定理为思维起点
直导线在磁场中要受到安培力的作用，速度发生变化，安培力随之变化。

通常直导线（或线框）的运动为非匀变速直线运动，不能用牛顿运动定律结合运动学公式解题，而动量定理适用于非匀变速直线运动。

在时间△t 内安培力的冲量BLq t BLI t F =∆=∆，式中q 是通过导体截面的电量。

利用该公式结合动量定理是解答此类问题思维起点。

例1．如图所示，在匀强磁场区域内与B 垂直的平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒构成矩形回路，长度为L ，质量为m ，电阻为R ，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，开始时图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速v 0，试求两棒之间距离增长量x 的上限。

析与解：当右棒运动时，产生感应电动势，两棒中有感
应电流通过，右棒受到安培力作用而减速，左棒受到安培力
作用而加速。

当它们的速度相等时，它们之间的距离最大。

设它们的共同速度为v ，则据动量守恒定律可得：
mv 0＝2mv ，即021v v = 对于左棒应用动量定理可得：
BILt= mv
所以，通过导体棒的电量q=It =BL mv 20 而q =R BLx t I 2=∆ 由上述各式可得： x =220L
B R mv 。

v
点评：本题结合冲量公式BLq t BLI t F =∆=∆应用动量定理，使貌似复杂的问题得到迅速解决。

例2.（原创预测题）如图所示，两水平放置的平行光滑金属导轨相距为L ，导轨左端用导线连在一起，导轨电阻不计，整个装置垂直处于磁感强度
为B 的匀强磁场中，另有一根长也为L 的金属棒垂直放在导轨上，
现给金属棒一向右的水平初速度v 。

若已知金属棒从开始运动到停
止的这段时间内，通过金属棒的电量为q ，求金属棒的质量。

析与解：由动量定理得：BILt=mv 而q=It
由以上两式得 m=v BLq . 点评：金属棒受到向左的安培力，向右做加速度减小的减速运动，直到停止运动。

显然不能用牛顿运动定律结合运动学公式解题，从已知量q 我们当然应想到q=It ，用动量定理分析则题目很简单。

二、 以累积公式x=vt 结合动量定理为思维起点
直导线（或线框）在磁场中做非匀变速直线运动，在时间△t 内安培力的冲量x R
L B t R v L B t F 2
222=∆=∆，式中x 是时间△t 内直导线（或线框）通过的位移。

利用该公式结合动量定理是解答此类问题思维起点。

例3．如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L 的区域内，有一个边长为a （a <L ）的正方形闭合线圈以初速v 0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为v （v <v 0）那么
A ．完全进入磁场中时线圈的速度大于（v 0+v ）/2；
B ．安全进入磁场中时线圈的速度等于（v 0+v ）/2；
C ．完全进入磁场中时线圈的速度小于（v 0+v ）/2；
D ．以上情况A 、B 均有可能，而C 是不可能的
析与解：设线圈完全进入磁场中时的速度为v x 。

线圈在
穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。

对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得：
L a
a
a
对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得：
由上述二式可得2
0v v v x +=，即B 选项正确。

例4．如图，甲、乙两个完全相同的线圈，在距地面同一高度处由静止开始释放，A 、B 是边界范围、磁感应强度的大小和方向均完全相同的匀强磁场，只是A 的区域比B 的区域离地面高一些，两线圈下落时始终保持线圈平面与磁场垂
直，则（ ）
A. 甲先落地。

B. 乙先落地。

C. 二者同时落地。

D. 无法确定。

析与解：先比较甲、乙线圈落地速度的大小。

乙进入磁场时的速度较大，则安培力较大，克服安培力做功较多，即产生的焦耳热较多。

由能量守恒定律可知，乙线圈落地速度较小。

线圈穿过磁场区域时受到的安培力为变力，设受到的平均安培力为F ，穿过磁场时间为t ∆，下落全过程时间为t ，落地时的速度为v ，则全过程由动量定理得
t F mgt ∆-=mv
而x R
L B t R v L B t F 2
222=∆=∆ 可见，两下落过程安培力的冲量相等。

因为：，甲乙v v < 所以 ，甲乙t t <
即乙线圈运动时间较短，先落地。

选B 。

三、 含电容器电路的电磁感应问题的思维起点
电磁感应电路中含有电容器时，电容器放电或给电容器充电的过程，导体杆的运动为非匀变速直线运动。

考虑公式R
BL BLq t BLI t F ∆Φ==∆=∆为该类问题的思维起点。

例5. 如图所示，水平放置的光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，垂直处于磁感强度为B 的匀强磁场中，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直
框架并沿框架运动，求导体棒的最终速度。

析与解：
当ab 棒以稳定速度v 匀速运动时，有：BLv =U C =q/C
而对导体棒ab 利用动量定理可得：-BILt=-BLq =mv -mv 0
由上述二式可求得： C L B m mv v 220+= 点评：当金属棒ab 做切割磁感线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速，且为非匀变速运动。

应用动量定理结合电容器性质解决问题
例6．如下图所示是超导电磁炮的原理图，它能在较短的炮身中使炮弹加速到极高的速度，去攻击大气层中飞行的任何飞机．设水平放置的两光滑金属导轨MN 和PQ 相距为d ，左端连有开关s 和电容为c 的电容器．质量为m 的炮弹连有的金属杆EF 垂直于导轨放在其上，并可以自由滑动且接触良好，整个装置放在磁感应强度为B 、方向竖直向上的匀强磁场中．给电容器充电后，电容器两端电压为U ，合上开关S ，电容器迅速放电结束，炮弹在水平导轨上达到稳定速度．求：炮弹在水平导轨上所达到的稳定速度v 的大小的表达式．
析与解： 设放电时间为∆t ，
电容器放电前 Q=cu ①
对放电过程应用动量定理 BId ∆t=mv ②
I ∆t=∆Q ③
而 ∆Q= Q-cBdv ④
由以上几式得 v=2
2d cB m cuBd + 点评：电容器放电过程金属杆的运动既非匀速运动也不是匀变速运动，于是选择动
量定理，考虑公式R BL BLq t BLI t F ∆Φ==∆=∆来解决变力冲量的问题。

应用动量定理解决电磁感应模型问题的物理情境变化空间大，题目综合性强，所以该模型问题是高考的热点，同时也是难点，从这个意义上讲重视和加强此类问题的探究是十分必要和有意义的，另外还可起到触类旁通的效果，让学生同时具备解决电磁感应其它类模型问题的能力。

练习：
1．（原创预测题)如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L 的区域内，现有一边长为d(d<L)的正方形闭合线框以垂直于磁场边界的初速度v 0滑过磁场，线框刚好能穿过磁场，则线框在滑进磁场的过程
中产生的热量Q 1与滑出磁场的过程中产生的热量Q 2之比为
( )
A ．1：1
B ．2：1
C ．3：l
D ．4：1
2.(原创预测题)如图所示，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ ，导轨间距离为d ，匀强磁场垂直于导轨所在平面向下，磁感应强度的大小为B ，两根金属杆1、2间隔一定的距离摆放在导轨上，且与导轨垂直，它们的电阻均为R ，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆与导轨的摩擦不计．
求：（1）若让杆2固定，杆1以初速度v 0滑向杆2，为
使两杆不相碰，则最初摆放两杆时的最小距离.
(2) 若杆2不固定，杆1仍以初速度v 0滑向杆2，为使
两杆不相碰，则最初摆放两杆时的最小距离.
参考答案:
1.C 提示：进出磁场过程安培力冲量相同，故速度变化相同.再由能量守恒得出结果.
2.(1)2202d B mRv s =(2) 220d
B mRv s =。

提示(1)对杆1应用动量定理求解.(2)首先系统动量守恒, 对杆1应用动量定理求解.。