电磁感应动量定理的应用

电磁感应中动量定理的运用 动量定律I ＝∆P 。

设想在某一回路中，一部分导体仅在安培力作用下运动时，安培力F 为变力，但其冲量可用它对时间的平均值进行计算，即I ＝F t ∆，
而F ＝B I L （I 为电流对时间的平均值）
故有：B I L t ∆=mv 2－mv 1 .
而I t=q ,故有q=BL
mv 12mv - 理论上电量的求法：q=I •t 。

这种方法的依据是电流的定义式I=q/t 该式的研究对象是通电导体的某一截面，若在t 时间内流过该截面的电量为q ，则流过该切面的电流为I ＝q/t ，显然，这个电流应为对时间的平均值，因此该式应写为I = q/t ，变形后可以得q ＝I t ，这个关系式具有一般性，亦即无论流经导体的电流是恒定的还是变化的，只要电流用这段时间内的平均值代入，该式都适用，而平均电流的求解，在电磁感应问题中最为常见的思路为：对某一回路来说，据法拉第电磁感应定律，得E=t
∆∆φ，显然该感应电动势也为对其时间的平均值，再由I ＝R E （R 为回路中的总电阻）可以得到I ＝
t R ∆∆φ。

综上可得q ＝R φ∆。

若B 不变，则q ＝R φ∆＝R
s B ∆ 电量q 与安培力的冲量之间有什么联系？可用下面的框图来说明。

从以上框图可见，这些物理量之间的关系可能会出现以下三种题型：
第一：方法Ⅰ中相关物理量的关系。

第二：方法Ⅱ中相关物理量的关系。

第三：就是以电量作为桥梁，直接把上面框图中左右两边的物理量联系起来，如把导体
棒的位移和速度联系起来，但由于这类问题导体棒的运动一般都不是匀变速直线运动，无法使用匀变速直线运动的运动学公式进行求解，所以这种方法就显得十分巧妙。

这种题型难度最大。

2在解题中强化应用意识，提高驾驭能力
由于这些物理量之间的关系比较复杂，只能从理论上把握上述关系还不够，还必须通过典型问题来培养学生的应用能力，达到熟练驾驭的目的。

请看以下几例：（1）如图1所示，半径为r的两半圆形光滑金属导轨并列竖直放置，在轨道左侧上方MN间接有阻值为R0的电阻，整个轨道处在竖直向下的磁感应
强度为B的匀强磁场中，两轨道间距为L，一电阻也为R0质量
为m的金属棒ab从MN处由静止释放经时间t到达轨道最低点
cd时的速度为v，不计摩擦。

求：
（1）棒从ab到cd过程中通过棒的电量。

（2）棒在cd处的加速度。

分析与解
有的同学据题目的已知条件，不假思索的就选用动量定理，对该过程列式如下：
mgt－B I Lt=mv －0显然该式有两处错误：其一是在分析棒的受力时，漏掉了轨道对
棒的弹力N，从而在使用动量定理时漏掉了弹力的冲量I N；其二是即便考虑了I N，这种解法也是错误的，因为动量定理的表达式是一个矢量式，三个力的冲量不在同一直线上，而且IN的方向还不断变化，故
我们无法使用I=Ft来求冲量，亦即无法使用前面所提到的方法二。

为此，本题的正确解法是应用前面提到的方法一，具体解答如下：
对应于该闭合回路应用以下公式：
(2)如图2所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的
匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为
a（a﹤L）的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边
界滑过磁场后，速度为v(v﹤v0)，那么线圈
A.完全进入磁场中时的速度大于（v0+v）/2
B.完全进入磁场中时的速度等于（v0+v）/2
C.完全进入磁场中时的速度小于（v0+v）/2
D.以上情况均有可能
分析与解
这是一道物理过程很直观的问题，可分为三个阶段：进入和离开磁场过程中均为加速度不断减少的减速运动，完全进入磁场后即作匀速直线运动，那么这三个过程的速度之间的关系如何呢？乍看好象无从下手，但对照上面的理论分析，可知它属于第三类问题。

首先，由于进入磁场和离开磁场两段过程中，穿过线圈回路的磁通量变化量Δφ相同，故有q0=q=Δφ/R；其次，对线框应用动量定理，设线框完全进入磁场后的速度为v′，则有：
线框进入磁场过程：
（3）在水平光滑等距的金属导轨上有一定值电阻R,导轨宽d电阻不计,导体棒AB垂直于导轨放置,质量为m ,整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度为B.现给导体棒一水平初速度v0,求AB在导轨上滑行的距离.
(4)如图3所示,在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B，两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直。

它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆的摩擦不计。

杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为：
A.1:1
B.1:2
C.2:1
D.1:1
分析与解：
本题的一个明显特点就是已知杆1的初速度v0，求为使两杆不相碰，最初摆放两杆时的最少距离问题。

分析后易见，两杆的运动都不是匀变速运动，初速v0与最初摆放两杆时的最少距离之间的联系比较隐蔽，若能对前面的理论分析比较熟悉，易知该题仍属于上面提到的第三类问题。

简解如下：
杆2固定时杆1作加速度减小的减速运动，最小距离s1对应于当杆1至杆2处时，速度恰好减为零。

故有
综上可得：S1:S2=2:1。

通过理论与实践的有机结合，使学生加深了对本知识块地理解，提高了驾驭知识的能力，
有效的解决了这个难点。

变式训练一:如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。

ab、cd是质量均为m 的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。

试求： (1)ab、cd棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

解析下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不
同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零
时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。

(1)自由下滑，机械能守恒：①
由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为：②
在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当
时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：
所以③
、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：
④
⑤
联立以上各式解得：，
(2)根据系统的总能量守恒可得：
变式训练二:如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。

先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则（1）此时b的速度大小是多少？（2）若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。

解析（1）当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电
流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。

释放棒后，
经过时间t，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：
代入数据可解得：
（2）在、棒向下运动的过程中，棒产生的加速度，棒产生的
加速度。

当棒的速度与棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。

最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动。

变式训练二:两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B=0.5T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。

导轨间的距离l=0.20m，两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。

在t=0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

经过T=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s2，求此时两金属杆的速度各为多少？
解析设任一时刻两金属杆甲、乙之间的距离为，速度分别为和，经过很短时
间，杆甲移动距离，杆乙移动距离，回路面积改变
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势：
回路中的电流：
杆甲的运动方程：
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量变化（
时为0）等于外力F的冲量：
联立以上各式解得
代入数据得＝8.15m/s ＝1.85m/s。