20-附表六常用分布函数
分布函数
如 P { X ∈ ( a, b]} = P { X ∈ ( −∞ , b]} − P { X ∈ ( −∞ , a]}
= P { X ≤ b} − P { X ≤ a} = F (b) − F (a)
xk ≤ x
∑p ,
k
1 , − 1 ≤ x < 2, 4 即 F ( x) = 3 , 2 ≤ x < 3, 4 1, x ≥ 3.
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3. 0, x < −1, F ( x)
a b
3. 例题Байду номын сангаас解
例1
设随机变量 X 的分布律为
X −1 2 3
pk
1 4
1 2
1 4
1 3 5 求 X 的分布函数 , 并求 P{ X ≤ }, P{ < X ≤ }, 2 2 2 P{ 2 ≤ X ≤ 3}. 解 由于 X 仅在 x = −1, 2, 3 处概率不为 0, 且
F ( x ) = P { X ≤ x } =
4. 小结
1.离散型随机变量分布律与分布函数的关系 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 pk = P{ X = xk } 分布律 分布函数
F( x) = P{X ≤ x} =
∑ pk x ≤x
k
2. 连续型随机变量
F ( x ) = P{ X ≤ x } = ∫
x
常用分布函数
1常用分布函数11常用分布函数1.1均匀分布X∼U(a,b)U(x|a,b)=xa1b−adt(a≤x≤b),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a+b 2Var(X)=(b−a)2121.2正态分布X∼N(µ,σ2)标准正态分布X∼N(0,1)：Φ(x)=x−∞φ(t)dt=1√2πx−∞e−t22dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：F(x)=x−∞f(t)dt=1√2πσ2x−∞e−(t−µ)22σ2dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µVar(X)=σ21常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)E(x|µ,λ)=xµλe−λ(t−µ)dt(x≥µ)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µ+1λVar(X)=1λ21.4Gamma分布X∼Γ(a,b)G(x|a,b)=b aΓ(a)xt a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a bVar(X)=a b21.5Beta分布X∼β(a,b)I x(a,b)=1B(a,b)xt a−1(1−t)b−1dt其中，B(a,b)为Beta函数：B(a,b)=1t a−1(1−t)b−1dt=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)1.6χ2分布X∼χ2(n)H(x|n)=12n2Γn2(n为正整数;x>0)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nVar(X)=2n1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)T(x|n)=1√nB12,n2X−∞1+t2n−n+12dt(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0(n>1时),Var(X)=nn−2(n>2时).1.8F分布X∼F(m,n)F(x|m,n)=mnm2Bm2,n2xt m2−11+mtn−m+n2dt (n,n为正整数;x>0),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nn−2(n>2),Var(X)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)(n>4).。
分布函数、均匀分布、指数分布函数
则称 X 服从 [a, b]上的均匀分布，
记作： X ～ U [a, b]
0,
分布函数为: F (x)
x
f
(t)dt
x a
b
a
,
1,
x a， a x b，
x b.
均匀分布的概率背景
因为 P{c X c l}
cl
f (x)dx
2 PX 3.5 X 1.5
P{X 3.5, X 1.5} P{X 1.5}
3e3xdx
3.5
3e3xdx
1.5
= e- 6
由⑴、⑵结果得：指数分布具有无记忆性，即
PX s t X s PX t (t 0)
) 1
例2、设连续型随机变量 X的概率密度为
求 A的值，
解：
f (x)dx
Ae3xdx
0
A( 1)e3x 3
0
A 1 3
A 3.
1
1
1
3 f (x)dx
3 3e3xdx
0
e3x
3 0
的指数分布。若等待时间超过10
分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y
表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y
的分布律及至少有一次没有等到服务的概率
解 Y是离散型，Y ~ b(5, p) ，其中 p = P{X > 10}
现在 X 的概率密度为
1/ 5ex /5 x 0 f (x)
0 x 0,
例4 .电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2 年的概率为多少？
6个常见分布的分布律或密度函数
1.均匀分布（Uniform Distribution）: 这种分布的密度函数是一条平行于坐标轴的直线，表示所有取值的概率相同。
2.正态分布（Normal Distribution）: 这种分布又称高斯分布，是一种对称的分布，其概率密度函数是一个钟形曲线。
3.指数分布（Exponential Distribution）: 这种分布的密度函数是一条指数形的曲线，常用来描述随机事件的发生时间间隔。
4.卡方分布（Chi-square Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线。
5.t分布（t Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线，但比卡方分布的峰值低。
6.F分布（F Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条双峰曲线。
常用分布函数及特征函数
威布尔分布
2 x 1e x , x 0 1/ 2 / 2 / 1 1/ 1 f x ，数学期望 1/ 1 ，方差 x0 0,
伽马（Gamma）分布 , ，形状参数 ，尺度参数
j a a 1 a k 1 a b a j it k 特征函数 ， k 阶原点距 EX a b a b 1 a b k 1 a j 0 a b j j 1
卡方分布
2
n ，即
n 1 , 2 2
1 n / 2 1 x / 2 e ,x 0 2n / 2 n / 2 x n / 2 f x ，数学期望 n ，方差 2n ，特征函数 1 2it x0 0,
nm 2 nm n n / 2 m m / 2 x n / 21 nx m 2 , x 0 f x n m 2 2 0, x0
2m 2 n m 2 m ,m 4 , m 2 ，方差 数学期望 2 m2 n m 2 m 4
f x1 , , xn 2
帕累托（Pareto）分布
C
k k k 2 k k 1 , x ,k 2 f x x , k 1 ，方差 ， 0 ，数学期望 2 k 1 k 1 k 2 0, x
t 分布 n 1 n 1 x 2 2 n 2 1 f x ,n 3 ，数学期望 0， n 1 ，方差 n n n2 n 2
分布函数值
函数说明 Beta分布 二项分布 卡方分布 指数分布 F分布 GAMMA分布 几何分布 正态分布 泊松分布 T分布 均匀分布
2
例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率 为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发 生K次的概率P_K为：
P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 例 计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点 0.6578的密度函数值。 pdf('norm',0.6578,0,1) ans = 0.3213 例 自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度 函数值。
pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363
3
6.1.2 专用函数计算概率密度函数值
（1）二项分布的概率值 binopdf (k, n, p) p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件
A发生K次；n—试验总次数 （2）泊松分布的概率值 poisspdf(k, Lambda) （3）正态分布的概率值 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密
参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积 分布函数值
分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
tcdf(x, n)
fcdf(x, n1, n2) gamcdf(x, a, b) betacdf(x, a, b)
注
释
[a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
分布函数表示及解释
分布函数表示及解释一、什么是分布函数呢？哎呀，分布函数这东西呀，就像是一个超级神秘又超级有用的魔法地图呢。
想象一下，你在一个超级大的迷宫里，这个迷宫里到处都是各种各样的数据和数值，而分布函数就是那个能告诉你每个角落都有些啥的神奇指南。
比如说，我们有一堆学生的考试成绩。
这个分布函数就能告诉我们，有多少学生考了很低的分数，有多少学生考了高分数，就像把这些成绩按照不同的小盒子分类放好，然后告诉我们每个小盒子里有多少个成绩一样。
1. 从数学的角度来看它其实是一个很有规律的函数哦。
它会把那些随机变量的值，转化成一个概率的表示。
就像是把那些看起来乱乱的数字，整理成一个个有秩序的小方块，每个小方块都代表着一种可能性。
比如说，对于一个连续型的随机变量，这个分布函数就像是一个平滑的曲线，沿着这条曲线，我们能知道在某个区间内找到这个随机变量的概率是多少。
就好比我们在一条长长的河边找鱼，分布函数能告诉我们在某一段河水里找到鱼的可能性有多大。
2. 它的表示形式分布函数通常会用一个大写的字母来表示，比如说F(x)。
这里的x呢，就是那个随机变量啦。
这个函数的值域是在0到1之间的哦。
这就像是一个百分比的范围，0就表示完全没有可能，1就表示肯定会发生。
比如说，我们扔一个骰子，扔出1点的分布函数值，在理想情况下就是1/6，因为总共6个面，出现1点的可能性就是1/6呀。
3. 它的实际意义在现实生活中，分布函数的应用可多啦。
在统计人口年龄的时候，分布函数能告诉我们不同年龄段的人口比例。
在研究产品质量的时候，它能告诉我们有多少产品在合格范围内，有多少是次品。
这就像是一个超级管理员，把所有的数据都管理得井井有条。
二、怎么去解释分布函数呢？这就像是给一个陌生人介绍你的好朋友一样，要把分布函数的特点都讲清楚。
1. 从整体到局部我们可以先看整个分布函数的形状。
如果它是一个比较对称的形状，像正态分布那样，就说明这个随机变量的取值比较均匀地分布在中间值的两边。
excel常用统计学概率分布函数
excel常用统计学概率分布函数
理论分布 DIST Excel 函数无cumu参数cumu参数 1 cumu参数0二项分布BINOM.DIST 求左尾面积求概率泊松分布POISSON.DIST 求左尾面积求概率正态分布NORM.DIST 求左尾面积求概率密度标准正态分布NORM.S.DIST 求左尾面积求概率密度t 分布T.DIST 求左尾面积求概率密度t 分布T.DIST.2T 求双尾面积F 分布
F.DIST 求左尾面积求概率密度F 分布F.DIST.RT 求右尾面积卡方分布CHISQ.DIST 求左尾面积求概率密度卡方分布
CHISQ.DIST.RT 求右尾面积逆运算 INV Excel 函数正态分布
NORM.INV 求左尾临界值标准正态分布NORM.S.INV 求左尾临界值t 分布T.INV 求左尾临界值t 分布T.INV.2T 求双尾临界值F 分布F.INV 求左尾临界值F 分布 F.INV.RT 求右尾临界值卡方分布
CHISQ.INV 求左尾临界值卡方分布CHISQ.INV.RT 求右尾临界值已知累积概率（面积），求横坐标值已知横坐标值，求概率（面积）。
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1．常用离散型分布
名称记号
概率分布及其定义域、参数条件
数学期望
方差
概率母函数
矩母函数
特征函数
单点分布
为正整数
二项分布
， 为正整数
泊松分布
， 为正实数
几何分布
，
名称记号
概率分布及其定义域、参数条件
数学期望
方差
概率母函数
矩母函数
特征函数
负二项分布
， 为正实数
对数分布
超几何分布
为正整数
（ 为超几何函数）
特征函数
柯西分布
，
不存在
不存在
不存在
伽马分布
，
分布
，
，
不存在
威布尔分布
，
2．常用连续型分布
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
数学期望
方差
矩母函数
特征函数
均匀分布
标准正态分布
正态分布
，
对数正态分布
，
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
数学期望
方差
矩母函数
特征函数
指数分布
瑞利分布
贝塔分布
，
（库默尔函数）
分布
分布
，，Biblioteka 不存在名称记号分布密度及其定义域、参数条件
数学期望
方差
矩母函数