20-附表六常用分布函数.doc
分布函数
如 P { X ∈ ( a, b]} = P { X ∈ ( −∞ , b]} − P { X ∈ ( −∞ , a]}
= P { X ≤ b} − P { X ≤ a} = F (b) − F (a)
xk ≤ x
∑p ,
k
1 , − 1 ≤ x < 2, 4 即 F ( x) = 3 , 2 ≤ x < 3, 4 1, x ≥ 3.
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3. 0, x < −1, F ( x)
a b
3. 例题Байду номын сангаас解
例1
设随机变量 X 的分布律为
X −1 2 3
pk
1 4
1 2
1 4
1 3 5 求 X 的分布函数 , 并求 P{ X ≤ }, P{ < X ≤ }, 2 2 2 P{ 2 ≤ X ≤ 3}. 解 由于 X 仅在 x = −1, 2, 3 处概率不为 0, 且
F ( x ) = P { X ≤ x } =
4. 小结
1.离散型随机变量分布律与分布函数的关系 离散型随机变量分布律与分布函数的关系 pk = P{ X = xk } 分布律 分布函数
F( x) = P{X ≤ x} =
∑ pk x ≤x
k
2. 连续型随机变量
F ( x ) = P{ X ≤ x } = ∫
x
常用分布函数
1常用分布函数11常用分布函数1.1均匀分布X∼U(a,b)U(x|a,b)=xa1b−adt(a≤x≤b),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a+b 2Var(X)=(b−a)2121.2正态分布X∼N(µ,σ2)标准正态分布X∼N(0,1)：Φ(x)=x−∞φ(t)dt=1√2πx−∞e−t22dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：F(x)=x−∞f(t)dt=1√2πσ2x−∞e−(t−µ)22σ2dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µVar(X)=σ21常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)E(x|µ,λ)=xµλe−λ(t−µ)dt(x≥µ)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µ+1λVar(X)=1λ21.4Gamma分布X∼Γ(a,b)G(x|a,b)=b aΓ(a)xt a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a bVar(X)=a b21.5Beta分布X∼β(a,b)I x(a,b)=1B(a,b)xt a−1(1−t)b−1dt其中，B(a,b)为Beta函数：B(a,b)=1t a−1(1−t)b−1dt=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)1.6χ2分布X∼χ2(n)H(x|n)=12n2Γn2(n为正整数;x>0)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nVar(X)=2n1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)T(x|n)=1√nB12,n2X−∞1+t2n−n+12dt(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0(n>1时),Var(X)=nn−2(n>2时).1.8F分布X∼F(m,n)F(x|m,n)=mnm2Bm2,n2xt m2−11+mtn−m+n2dt (n,n为正整数;x>0),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nn−2(n>2),Var(X)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)(n>4).。
分布函数及其基本性质ppt课件
0, x 1
F
(x)
0.2,1
0.7,2
x2 x4
，
1, x 4
(1)
求 P(X
3)
,
P(
1 2
X
3) 及 P(X
2)
;
(2) 求 X 的分布律.
解 (1) P (X3 )F (3 )0 .7
P(1 X 3) F(3)F(1)0.70.20.5
2
2
.
P (X 2 ) 1 P (X 2 ) 1 P (X 2 ) P (X 2 )
1 F ( 2 ) F ( 2 0 ) F ( 2 0 )
1 0 .7 0 .5 0 .8
(2) 由于 P(X X 0 ) F(x0 0) F(x0 0) ,可得
P (X 1 ) 0 .2 0 0 .2 ,
P (X 2 ) 0 .7 0 .2 0 .5 ,
P (X 4 ) 1 0 .7 0 .3
或者
F()limF(x)0 x
不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量的 分布函数.
.
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在 [0, a]中任意小区间内的概率与这个小区间的 长度成正比，试求 X 的分布函数.
解：设 F(x) 为 X 的分布函数， 0
F(x)
1
1 2
12
16
O
13
O
16
O
0
1
2
x
.
已知 X 的分布律为
X 1 0 1 2 求X的分布函数，
1 1 1 1 并画出它的图形。
P 2 3 12 12
0
(x 1)
分布函数
5 2 5 F P X 2 3 2
5 1 5 1 21 1 P X F F 2 2 2 2 3 6 2
12
X为离散型随机变量分布函数 F x 与概率函数
pk 的关系。
设离散型X 的分布列是
X pk
x1 p1
x 2 xk xn p2 pk pn
k 1, 2, 3,
xk x k
F x
P X xk pk
xk x k
p P X x
由于 F x 是X 取 x 的诸值 k x 的概率之和，故又称
F x 为累积概率函数.
F x 的定义域：
,
10
X pk
1 1 6
2 1 2
3 1 3
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F ( x) 2/3 2 x 3 1 x3
13
O
分布函数图形
F (x )
1
1 2
O
16
1
O
12 13 16
0
1
2
3
x
F 不难看出， x 的图形是阶梯状的图形，在 x 1, 2, 3
且右连续。 处有跳跃，
11
分布函数
x 1 0 1 / 6 1 x 2 F x P X x 2/3 2 x 3 1 x3
对应规律： 函数值 F(x) 取落在 , x 上的概率值。
由此例可见：
1 1 1 F P X 2 6 2
13
F x 为累积概率函数.
F x 1
pk p3
分布函数
分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用的方法来研究随机变量。
1.伯努利分布伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。
并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p-，概率p p-，则数学期望为p，方差为(1)密度函数为2.二项分布二项分布即重复n次独立的。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)X B n p。
概率密度分布图如下所np p-，记为~(,)示。
3.正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若X服从一个为μ、为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
分布曲线特征：图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
常用统计分布(ppt文档可编辑修改)
x2
e 2 dx
3
D(Xi2 ) 3 1 2, i 1, 2, , n.
故 E( 2 ) E n Xi2 n E( Xi2 ) n,
i1
i1
D( 2 ) D n Xi2 n D( Xi2 ) 2n.
t 分布具有下列性质：
性质5.6 设 T ~ t(n) , 则当n 2 时有
E(T ) 0 D(T ) n
n2
性质5.7 设 T ~ t(n) ，p(t) 是T的分布密度，
则
lim p(t)
1
t2
e2
n
2
此性质说明，当 n 时，T分布的极限
分布是标准正态分布。
例2
2
近似
~
N
(n,2n).
2n
例1
设X
1
,
X
2
,,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服 从 2分 布.
解
X1
X2
~
N (0,2), 则
X1
X2 2
~
N (0,1)
同理
X3 X4
性质2 ( 2分布的数学期望和方差) 若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1,
分布函数值
函数说明 Beta分布 二项分布 卡方分布 指数分布 F分布 GAMMA分布 几何分布 正态分布 泊松分布 T分布 均匀分布
2
例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率 为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发 生K次的概率P_K为：
P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 例 计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点 0.6578的密度函数值。 pdf('norm',0.6578,0,1) ans = 0.3213 例 自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度 函数值。
pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363
3
6.1.2 专用函数计算概率密度函数值
（1）二项分布的概率值 binopdf (k, n, p) p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件
A发生K次；n—试验总次数 （2）泊松分布的概率值 poisspdf(k, Lambda) （3）正态分布的概率值 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密
参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积 分布函数值
分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
tcdf(x, n)
fcdf(x, n1, n2) gamcdf(x, a, b) betacdf(x, a, b)
注
释
[a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
概率统计分布表格(常用)
标准正态表0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00009 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 5.8988 11.3888 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.589410 2.1559 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 6.7372 12.5489 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.188211 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 7.5841 13.7007 17.2750 19.6751 21.9200 24.7250 26.756812 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 8.4384 14.8454 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.299513 3.5650 4.1069 5.0088 5.8919 7.0415 9.2991 15.9839 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 29.819514 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 10.1653 17.1169 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.319315 4.6009 5.2293 6.2621 7.2609 8.5468 11.0365 18.2451 22.3071 24.9958 27.4884 30.5779 32.801316 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 11.9122 19.3689 23.5418 26.2962 28.8454 31.9999 34.267217 5.6972 6.4078 7.5642 8.6718 10.0852 12.7919 20.4887 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 35.718518 6.2648 7.0149 8.2307 9.3905 10.8649 13.6753 21.6049 25.9894 28.8693 31.5264 34.8053 37.156519 6.8440 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509 14.5620 22.7178 27.2036 30.1435 32.8523 36.1909 38.582320 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426 15.4518 23.8277 28.4120 31.4104 34.1696 37.5662 39.996821 8.0337 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 16.3444 24.9348 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.401122 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 17.2396 26.0393 30.8133 33.9244 36.7807 40.2894 42.795723 9.2604 10.1957 11.6886 13.0905 14.8480 18.1373 27.1413 32.0069 35.1725 38.0756 41.6384 44.181324 9.8862 10.8564 12.4012 13.8484 15.6587 19.0373 28.2412 33.1962 36.4150 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1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 2.9370 3.2614 3.496051 0.6793 0.8487 1.0471 1.2984 1.6753 2.0076 2.4017 2.6757 2.9343 3.2579 3.491852 0.6792 0.8486 1.0469 1.2980 1.6747 2.0066 2.4002 2.6737 2.9318 3.2545 3.487753 0.6791 0.8485 1.0467 1.2977 1.6741 2.0057 2.3988 2.6718 2.9293 3.2513 3.483854 0.6791 0.8483 1.0465 1.2974 1.6736 2.0049 2.3974 2.6700 2.9270 3.2481 3.480055 0.6790 0.8482 1.0463 1.2971 1.6730 2.0040 2.3961 2.6682 2.9247 3.2451 3.476456 0.6789 0.8481 1.0461 1.2969 1.6725 2.0032 2.3948 2.6665 2.9225 3.2423 3.472957 0.6788 0.8480 1.0459 1.2966 1.6720 2.0025 2.3936 2.6649 2.9204 3.2395 3.469658 0.6787 0.8479 1.0458 1.2963 1.6716 2.0017 2.3924 2.6633 2.9184 3.2368 3.466359 0.6787 0.8478 1.0456 1.2961 1.6711 2.0010 2.3912 2.6618 2.9164 3.2342 3.463260 0.6786 0.8477 1.0455 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 2.9146 3.2317 3.460261 0.6785 0.8476 1.0453 1.2956 1.6702 1.9996 2.3890 2.6589 2.9127 3.2293 3.457362 0.6785 0.8475 1.0452 1.2954 1.6698 1.9990 2.3880 2.6575 2.9110 3.2270 3.454563 0.6784 0.8474 1.0450 1.2951 1.6694 1.9983 2.3870 2.6561 2.9093 3.2247 3.451864 0.6783 0.8473 1.0449 1.2949 1.6690 1.9977 2.3860 2.6549 2.9076 3.2225 3.449165 0.6783 0.8472 1.0448 1.2947 1.6686 1.9971 2.3851 2.6536 2.9060 3.2204 3.446666 0.6782 0.8471 1.0446 1.2945 1.6683 1.9966 2.3842 2.6524 2.9045 3.2184 3.444167 0.6782 0.8470 1.0445 1.2943 1.6679 1.9960 2.3833 2.6512 2.9030 3.2164 3.441768 0.6781 0.8469 1.0444 1.2941 1.6676 1.9955 2.3824 2.6501 2.9015 3.2145 3.439469 0.6781 0.8469 1.0443 1.2939 1.6672 1.9949 2.3816 2.6490 2.9001 3.2126 3.437270 0.6780 0.8468 1.0442 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 2.8987 3.2108 3.435071 0.6780 0.8467 1.0441 1.2936 1.6666 1.9939 2.3800 2.6469 2.8974 3.2090 3.432972 0.6779 0.8466 1.0440 1.2934 1.6663 1.9935 2.3793 2.6459 2.8961 3.2073 3.430873 0.6779 0.8466 1.0438 1.2933 1.6660 1.9930 2.3785 2.6449 2.8949 3.2057 3.428974 0.6778 0.8465 1.0437 1.2931 1.6657 1.9925 2.3778 2.6439 2.8936 3.2041 3.426975 0.6778 0.8464 1.0436 1.2929 1.6654 1.9921 2.3771 2.6430 2.8924 3.2025 3.425076 0.6777 0.8464 1.0436 1.2928 1.6652 1.9917 2.3764 2.6421 2.8913 3.2010 3.423277 0.6777 0.8463 1.0435 1.2926 1.6649 1.9913 2.3758 2.6412 2.8902 3.1995 3.421478 0.6776 0.8463 1.0434 1.2925 1.6646 1.9908 2.3751 2.6403 2.8891 3.1980 3.419779 0.6776 0.8462 1.0433 1.2924 1.6644 1.9905 2.3745 2.6395 2.8880 3.1966 3.418080 0.6776 0.8461 1.0432 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 2.8870 3.1953 3.416381 0.6775 0.8461 1.0431 1.2921 1.6639 1.9897 2.3733 2.6379 2.8860 3.1939 3.414782 0.6775 0.8460 1.0430 1.2920 1.6636 1.9893 2.3727 2.6371 2.8850 3.1926 3.413283 0.6775 0.8460 1.0429 1.2918 1.6634 1.9890 2.3721 2.6364 2.8840 3.1913 3.411684 0.6774 0.8459 1.0429 1.2917 1.6632 1.9886 2.3716 2.6356 2.8831 3.1901 3.410285 0.6774 0.8459 1.0428 1.2916 1.6630 1.9883 2.3710 2.6349 2.8822 3.1889 3.408786 0.6774 0.8458 1.0427 1.2915 1.6628 1.9879 2.3705 2.6342 2.8813 3.1877 3.407387 0.6773 0.8458 1.0426 1.2914 1.6626 1.9876 2.3700 2.6335 2.8804 3.1866 3.405988 0.6773 0.8457 1.0426 1.2912 1.6624 1.9873 2.3695 2.6329 2.8795 3.1854 3.404589 0.6773 0.8457 1.0425 1.2911 1.6622 1.9870 2.3690 2.6322 2.8787 3.1843 3.403290 0.6772 0.8456 1.0424 1.2910 1.6620 1.9867 2.3685 2.6316 2.8779 3.1833 3.4019 100 0.6770 0.8452 1.0418 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 2.8707 3.1737 3.3905 120 0.6765 0.8446 1.0409 1.2886 1.6577 1.9799 2.3578 2.6174 2.8599 3.1595 3.3735F分布P= 0.9011 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.34 2.30 2.27 2.17 2.12 2.0812 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.28 2.24 2.21 2.10 2.06 2.0113 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.23 2.20 2.16 2.05 2.01 1.9614 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.19 2.15 2.12 2.01 1.96 1.9115 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.16 2.12 2.09 1.97 1.92 1.8716 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.13 2.09 2.06 1.94 1.89 1.8417 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.10 2.06 2.03 1.91 1.86 1.8118 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.08 2.04 2.00 1.89 1.84 1.7819 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.06 2.02 1.98 1.86 1.81 1.7620 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.04 2.00 1.96 1.84 1.79 1.7421 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.02 1.98 1.95 1.83 1.78 1.7222 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.01 1.97 1.93 1.81 1.76 1.70 24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 1.98 1.94 1.91 1.78 1.73 1.67 26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 1.96 1.92 1.88 1.76 1.71 1.65 28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 1.94 1.90 1.87 1.74 1.69 1.63 30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.93 1.88 1.85 1.72 1.67 1.61P= 0.9911 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 4.89 4.74 4.63 4.40 4.29 4.21 4.15 4.1012 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.64 4.50 4.39 4.16 4.05 3.97 3.91 3.8613 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.44 4.30 4.19 3.96 3.86 3.78 3.72 3.6614 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.28 4.14 4.03 3.80 3.70 3.62 3.56 3.5115 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.14 4.00 3.89 3.67 3.56 3.49 3.42 3.3716 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.03 3.89 3.78 3.55 3.45 3.37 3.31 3.2617 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 3.93 3.79 3.68 3.46 3.35 3.27 3.21 3.1618 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 3.84 3.71 3.60 3.37 3.27 3.19 3.13 3.0819 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.77 3.63 3.52 3.30 3.19 3.12 3.05 3.0020 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.70 3.56 3.46 3.23 3.13 3.05 2.99 2.9421 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.64 3.51 3.40 3.17 3.07 2.99 2.93 2.8822 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.59 3.45 3.35 3.12 3.02 2.94 2.88 2.8323 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.54 3.41 3.30 3.07 2.97 2.89 2.83 2.7824 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.50 3.36 3.26 3.03 2.93 2.85 2.79 2.7425 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.46 3.32 3.22 2.99 2.89 2.81 2.75 2.7026 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.42 3.29 3.18 2.96 2.86 2.78 2.72 2.6627 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.39 3.26 3.15 2.93 2.82 2.75 2.68 2.6328 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.36 3.23 3.12 2.90 2.79 2.72 2.65 2.6029 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.33 3.20 3.09 2.87 2.77 2.69 2.63 2.5730 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.30 3.17 3.07 2.84 2.74 2.66 2.60 2.55Excel公式1.正态分布函数Excel计算正态分布时，使用NORMDIST函数，其格式如下：NORMDIST（a，μ，σ，累积）其中，“累积”：若为TRUE，则输出分布函数值，即P{X≤a}；若为FALSE，则为概率密度函数值．示例：已知X服从正态分布，μ＝600，σ＝100，求P{X≤500}．输入公式NORMDIST(500, 600, 100, TRUE)得到的结果为0.158655，即P{X≤500}=0.158655．2、正态分布函数的反函数Excel计算正态分布函数的反函数使用NORMINV函数，格式如下： NORMINV（p，μ，σ），此公式计算a，使P{X ≤a}=p 3标准正态分布反函数=NORMSINV(0.975)3、 t分布Excel计算t分布的值,采用TDIST函数，格式如下： TDIST（a，自由度，侧数）其中，“侧数”：指明分布为单侧或双侧：若为1，为单侧；此命令输出P{ T >a }若为2，为双侧．此命令输出P{ |T| >a}示例：设T服从自由度为24的t分布，求P(T>1.711)．已知t＝1.711，df=24，采用单侧，则T分布的值：TDIST(1.711,24,1)得到0.05，即P(T > 1.711)=0.05．4. t分布的反函数Excel使用TINV函数得到t分布的反函数，格式如下： TINV（α，自由度）输出 T 分布的α / 2 分位点： t_α/2_(n)若求临界值tα(n)，则使用公式＝TINV(2*α, n)5.返回F分布的函数是FDISTFDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 函数 FDIST 的计算公式为 FDIST=P( F>x )，5.F分布的反函数FINV(probability,deg_freedom1,deg_freedom2) 已知 probability=P( F>x )，求x。
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方差D(X)
矩母两数M⑴
特征函数0(/)
指数分布
心,2)
f(x) =
J加**"),x>/z [0,x< p
1
1
尹
ty1
1--
lQ丿
.(ity1严i-丝
I Q丿
瑞利分布
/?(//)
fM = <
：0』/(2/),x>0
0,x < 0
“〉0
4-712
2“
贝塔分布
0(p,g)
/(兀)n
『(p+q)占(i兀严o<x<i r(p)r(^)
f
X
、7
>0
x>Q
/
0,其它
,0〉0
D(X) = b<
(1 )
(x)= ；7r -+i
\(2 }r fi M U丿L " )\
■丿
>
附表六常用分布函数
1.常用离散型分布
名称记号
概率分布及其定义域、参数条件
数学期望E(X)
方差D(X)
概率母函数p(&)
矩母函数M(f)
特征函数0(/)
单点分布
/(c)
p(X =x) = <
C为正:
*
1,x = c
0,x丰c
整数
C
0
ec
ect
eict
二项分布
B(n, p)
=x) =
x = 0丄…曲，
p>O,q >0,
矩母函数M(t)
特征函数0(。
均匀分布
U(a,b)
一一-—,a<x<b
f(x) = <b-a
0,其它
-oo<a <b <(x)
a + h
2
(b-a)2
12
eht-eart(b-a)
严一严
it(b-a)
标准」|］态分布
N(O,1)
f(x) = ^=e yJ27T
—oo < x < 00
0
1
t2
J
正态分布
N(〃d)
1. (I"
-00 < x < oo
-00 < // < oo , CT > 0
a2
*> a
心2e―
e2
对数正态分布
5“,决)
/(x) = <
|(In x-“)2
—f=——e2a~, x > 0
冷2兀(TX
0,x<0
00 < “<00, (T > 0
e么
严甘_1)
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
o,其它
p >0, q >0
p
p+q
pq
\F、(p;p + q;if)
(库默尔函数)
(p+gFO+g + i)
%2分布
a ]—x,t/2~[e~x/2,x>0
2H/2r(n/2)
0,其它
■
n >1
n
2n
(i-2tyn,2
0<r<l/2
(1-2/7)
『分布
几 +1)
1/2、-5+1)/2
f(x)=A2/i+—，心
数学期望E(X)
方差D(X)
概率母函数〃 (&)
负二项分布
对数分布
L(p)
超几何分布
p(x=兀)
paqx
兀=0丄2,…，G为正实数
Pg)/
x= 1,2,•••
P(X=x) =
(M
N — M、
(N
x =max{0,n-N + M}
0<M <N,0<n<N
aq
P
aq
p~
矩母函数M⑴
特征函数0(/)
P
j 1一
q
pin”
、
q
In”丿
p2InP
ln(l_g&)
Inp
ln(l g”)
Inp
N —M、
ln(l
Inp
E(X) =哎
N
»、N-nM(N-M)a ) =n
N-\ N2
F(一/?-m;N -M - n +1;Z
W丿
(F为超儿何函数)
2.常用连续型分布
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
数学期望E(X)
方差D(X)
5”严
72为正整数
p+qi
np
npq
(p0 + g)"
(pN+q)”
泊松分布
P")
pg)斗
"0,1,2,…,2为正实数
2
A
严j)
严7
严j
几何分布
G(p)
p^X=x) = pqx~l
x= 1,2,…，p>O.q>0. p+q= \
1
P
q
7
p
p0
\-q0
P
pJ
e~f-q
1-0
名称记号
概率分如及其定义域、参数条件
\/mT(7?/2)(n丿
0
n, n>2
n — 2
不存在
名称记号
分布密度及其定义域、参数条件
数学期弟-E(X)
方差D(X)
矩母两数M⑴
特征函数0(/)
柯西分布
/w=
a,
1
/、2
, x-a
1+
l 2丿
2>0
不存在
不存在
不存在
严M
伽马分布
r(c,&,0)
fM = <
俨(XC)Z£"Z,兀〉cr(a)
0,x<c
cr>0, 0>O
a
一+c
p
a
02
z、_a
cti丫
e1
I 0丿
z.、_&
严1_兰
I0丿
F分布
f
Y
B
乜2
訓〃2、
、亍2,
也__]山+也
-x2(n2+HjX)2 ,x>0
0,其它
>l,n2>l
®，山>2
n2-2
2nl (
不存在
威布尔分布
fM= <
77：