理论力学：第八章 点的合成运动

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前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞 机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不 同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研 究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先 来介绍有关的概念。
ve O1 A
1 r 2 l2
r 2
r 2 l2
r
r
2
2
l
2
（
）
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[例3] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。
求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，
静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
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点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个 元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
二．应用举例 [例1] 桥式吊车 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的运 行速度。
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解：选取动点: 物块A
动系: 小车
静系: 地面
相对运动: 直线;
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。
绝对速度va = r 方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。
sin
r
r 2 l
2
,ve
va
sin
r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1
牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
（翻页请看动画）
va
ve
tg300
2
3 3
e
v
AB
2
3 3
e
()
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由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： 选取动点，动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。
根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
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动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已 知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动;
牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线;
绝对速度va 的大小,方向待 求
由速度合成定理：va ve vr
作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
vA va ve 2 vr 2 v平2 v2
tg 1
v v平
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[例2] 曲柄摆杆机构
已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
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绝对运动： 直线 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
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绝对速度 ：va 相对速度 ： vr
牵连速度 ：ve
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绝对加速度：aa
相对加速度：ar
牵连加速度：ae
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动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧） 相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动
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[例４] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v, 30; 杆OA靠在凸轮上。
求：杆OA的角速度。 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
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§８－２点的速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度
之间的关系。 一．证明
当t t+△t AB A'B' M M'
也可看成M M１ M´
MM ' 为绝对轨迹
MM ' 为绝对位移
M1M ' 为相对轨迹
M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM 1 ＋ M1M '
将上式两边同除以t 后，
点的运动
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动：动系相对于静系的运动
刚体的运动
例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度 aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
取
t 0
时的极限，得
lim
t 0
MM t
lim
t0
MM1 t
lim
t0
M1 M t
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va ve vr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
说明： va—动点的绝对速度；
vr—动点的相对速度；
ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆 静系：机架 绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线 牵连运动：定轴转动
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若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
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四．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有
运动的点。 五．动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，
或者能直接看出的。 下面举例说明以上各概念：
§8-1 点的合成运动的概念
一．坐标系： 1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。 2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系， 称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
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二．动点：所研究的点（运动着的点）。
三．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动：动点对静系的运动。 ２．相对运动：动点对动系的运动。