四川省成都市2019届高三第一次诊断性检测数学(文)参考解答
a b １ , 由正弦定理 可得 s ＝ i n B＝ ． s i n A s i n B ２
ȵ a＞ b, ʑB ＝
１ ３ ʑSәABC ＝ a b s i n C＝ ． ２ ２ ( 解: 如图 , 连接 A 连接 MO ． １ ８． Ⅰ) C 交B D 于点 O , , , , 分别为 中点 ȵM O P CA C ʑP A ʊMO ． ȵP A ⊄ 平面 BMD , MO ⊂ 平面 BMD ,
π ʑC ＝ π－A －B ＝ ． ２
π ． ６
������������������６ 分 ʑP A ʊ 平面 BMD ． ( 如图 , 取线段 B 连结 AH ． Ⅱ) C 的中点 H , ȵA B C D 是菱形 , øA B C＝ ȵP A ʅ 平面 A B C D, ʑAH ʅP A． π , ʑAH ʅAD ． ３
������������������７ 分
上恒成立 , 则 h( 在[ 上单调递减������ ʑ h ᶄ( x) ɤ０ 在 [ １, ＋ ¥) x) １, ＋ ¥) ) 又 h( 上恒成立������ １ ＝０, ʑ h( x) ＜０ 在 ( １, ＋ ¥) ② 当 ０＜ b＜
１ １ １ b ＜０ ) 时, h ᶄ( １ ＝１－ b e ＞０, h ᶄ( ) ＝ b－e ������ e b
数学 ( 文科 ) 参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分)
成都市 ２ ０ １ ６ 级高中毕业班第一次诊断性检测
第 Ⅰ 卷 ㊀( 选择题 , 共６ ０ 分)
１． A; ２． D; ３． B; ４． A; ５． C; ６． B; ７． C; ８． D; ９． C; １ ０． C; １ １． B; １ ２． D． ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分)
１ １ x ) 时, 在[ 上单调递减 , h ᶄ( １ ＝１－ b e ɤ０ ������ 又 h ᶄ( x) ＝ － b x e １, ＋ ¥) e x ������������������９ 分
１ x 又h 在( 上单调递减 , ᶄ( x) ＝ － b x e １, ＋ ¥) x , 使得 h ʑ 存在唯一 x０ ɪ ( １, ＋ ¥) ᶄ( x０) ＝０ ������
且tʂʃ１ ʑ tʂʃ１ ������ʑ－ ３ ７＜ t＜ ３ ７, ������
数学 ( 文科 ) 一诊 考试题参考答案 ㊀ 第 ㊀ 共 ４页) ２ 页(
２ ３ ６ t ９ t －９ , ʑx１ ＋x２ ＝－ x１ x２ ＝ ������ ３ ７ ３ ７
) ( y１ －１ y２ －１ ４ x１ x２ ＋ ( t－１ x１ ＋x２) , ȵ kHM ＋ kHN ＝ ＋ ＝ x１ x２ x１ x２ ) ( ４ x１ x２ ＋ ( t－１ x１ ＋x２) ４ t ʑ ＝４－ ＝１ ������ x１ x２ t＋１ 解得t＝３ ������ ʑ t 的值为 ３ ������
������������������１ ２分 ������������������１ 分 ������������������３ 分 ������������������４ 分 ������������������５ 分
当 ０＜x＜１ 时 , ʑ 当 x＞１ 时 , ᶄ( x) ＜０; ᶄ( x) ＞０ ������ f f
������������������１ １分 ������������������１ ２分
{
x＝３ m －３ x ������ n＝－３ y－ y
������������������２ 分 ������������������４ 分 ������������������５ 分
x２ ２ ʑ 曲线 C 的方程为 ＋ ������ y ＝１ ９ ( , 设 M( Ⅱ) x１ , N( x２ , ������ y１) y２)
３ a b c． ３
ʑ２ b c c o s A＝ ȵA ＝
( Ⅱ) ȵ a＝ ３,
π , ʑ a＝２ ３ c o s A ＝ ３． ３
３ a b c． ３
������������������２ 分 ������������������４ 分 ������������������６ 分 ������������������８ 分 ������������������９ 分 ������������������１ ０分 ������������������１ ２分
^＝ b
y y ðx x i i －６
－－ ２ ðx x２ i －６ －
( , 由( 知当 x＝９ Ⅱ) Ⅰ) ８时, ������ ２ˑ９ ８＋８ ������ ９＝２ ８ ������ ５ ������ y＝０ ʑ 估计该等级的中国小龙虾销售单价为 ２ ８ ������ ５ 元������ ң ң ( 解: 设 P( ２ ０． Ⅰ) x, ������ȵB P ＝３P A, y) ( , 即 ʑ( x, n) ＝３ m －x, － ＝( ３ m －３ x, －３ y－ y) y) ４ ì ï ï m＝ x ３ ������ ʑí ï n＝４ î y
������－( １＋２ ３) t＋３＝０ ������
ö２ æ１ ö２ æ ３ ç t ������ －１÷ ＋ ç t－２÷ ＝２ è２ ø è２ ø
ȵΔ＞０, ʑ 此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点 A , B 对应的参数t t ������ １, ２ , 由根与系数的关系 , 得t 即t t ������ t t t １＋ ２ ＝２ ３＋１ １ ２ ＝３ １, ２ 同正 ． | P A|＋| P B |＝| t |＋| t |＝ t t ������ １ ２ １＋ ２ ＝２ ３＋１ 由直线方程参数的几何意义 , 知
－ － ^ ^＝ a b x＝２ １ ������ ５－０ ������ ２ˑ６ ３＝８ ������ ９ ������ y－ ^＝０ 故所求线性回归方程为 y ������ ２ x＋８ ������ ９ ������
i＝１
８ ４ ４ ０－６ˑ６ ３ˑ２ １ ������ ５ ＝ ʈ０ ������ ２, ２ ５ ５ ６ ４－６ˑ６ ３ˑ６ ３
������������������８ 分 ������������������１ ０分
x x x ( ) (x－１) a x e －e a x－e ( 解: 由题意 , 知f ２ １． Ⅰ) ᶄ( x) ＝－ － ＋ a＝ ������ ２ x x x２ x 有a ȵ 当 a＜０, x＞０ 时 , x－e ＜０ ������
６ ６
１ １ １ １ １ １ １ ʑ VM －PAD ＝ VC－PAD ＝ ˑ SәPAD ������AH ＝ ˑ ˑ ˑ ３ˑ２ˑ ３＝ ． ２ ２ ３ ２ ３ ２ ２ ������������������１ ２分 ������������������１ 分 ������������������２ 分 ������������������５ 分 ������������������７ 分 ������������������８ 分
３ ８＋４ ８＋５ ８＋６ ８＋７ ８＋８ ８ － ( 解: 由题意 , 得x １ ９． Ⅰ) ＝ ＝６ ３, ６ １ ６ ������ ８＋１ ８ ������ ８＋２ ０ ������ ８＋２ ２ ������ ８＋２ ４＋２ ５ ������ ８ － ＝２ １ ������ ５, y＝ ６
i＝１
２ ２ 即ρ ＝２ s i n θ＋２ c o s θ ������ʑx２ ＋ x ������ y ＝２ y＋２ ρ ρ ２ ２ )＋ ( ) 故曲线 C 的直角坐标方程为 ( x－１ ＝２ ������ y－１
２ ２ ( ) ) 将直线l 的参数方程代入 ( 得 Ⅱ) x－１ ＋( ＝２ 中 , y－１
１ ６ x２ ２ ȵm２ ＋ n２ ＝１ ６, ʑ ＋１ ６ ６ ������ y ＝１ ９
x＋ t ì y＝２ ï ï ２ ２ , ( ) 联立 í 消去 y, 得３ ７ x２ ＋３ ６ t x＋９ t －１ ＝０ ������ x ２ ï ＋ y ＝１ î９
２ ２ ( ) 由 Δ＝ ( 可得 － ３ ３ ６ t) －４ˑ３ ７ˑ９ t －１ ＞０, ７＜ t＜ ３ ７ ������ ) , 又直线 y＝２ 且直线 HM 与 HN 的斜率存在 , x＋ t 不经过点 H ( ０, １
在 (０, 在 (１, ʑ 函数 f( x) １) 上单调递增 , ＋ ¥ ) 上单调递减������
易知 , 当bɤ０ 时 , 不合题意������ h( x) ＞０, ʑ b＞０ ������ １ x , ) 又h ᶄ( x) ＝ － b x e h ᶄ( １ ＝１－ b e ������ x ① 当bȡ
������������������１ ０分
������������������２ 分
１ １ ì ì ï ï x＜－２ ì －２ɤxɤ x＞ ï ï ï ２ ２ ï , , 由 f (x ) －３＜０, 可得 í ５ 或í 或í ������ x ï ï ３ ï x ５ x ï－ －３＜０ î ２ ï－ ＋２－３＜０ ï －３＜０ î ２ î２ 解得 － ２ １ １ ６ 或 ＜x＜ ������ ＜xɤ , ３ ２ ２ ５ ２ ６ , ) ������ ３ ５
１ x ( , 由题意, 当a＝ 不等式f( 时恒成立������ Ⅱ) １时, x) ＋( b x－ b＋ ) e－ xȡ ０在xɪ( １ ＋¥ ) x
x ) 整理 , 得l 上恒成立������ n x－ b( x－１ e ɤ０ 在 ( １, ＋ ¥) x ) 令 h( x) ＝ l n x－ b( x－１ e ������
时, 当 xɪ ( 时, ʑ 当 xɪ ( １, x０) h ᶄ( x) ＞０; x０ , ＋ ¥) h ᶄ( x) ＜０ ������ 在( 上单调递增 , 在( 上单调递减������ ʑ h( x) １, x０) x０ , ＋ ¥) ) 又 h( 在 x＝１ 处连续 , 上恒成立 , 不合题意������ x) h( １ ＝０, ʑ h( x) ＞０ 在 ( １, x０) １ 综上所述 , 实数b 的取值范围为 [ , ＋ ¥) ������ e 得直线l 的普通方程为 ３ x－ ������ y－１＝０
2019年四川省成都市高三一诊模拟考试(文科)数学试题及答案
高考数学精品复习资料2019.5四川省成都市高三一诊模拟考试文科数学试题（考试时间： 12月27日 总分：150分）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．不等式223x x -≤+的解集是（ ） A (,8](3,)-∞-⋃-+∞ B (,8][3,)-∞-⋃-+∞ C ．[3,2]- D (3,2]-2．若复数（，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A -2B 4C 6D -63．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知平面向量a ，b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则“m=1”是“()a mb a -⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．关于命题p ：A φφ⋂=，命题q ：A A φ=，则下列说法正确的是（ ） A ．()p q ⌝∨为假B ．()()p q ⌝∧⌝为真C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真6．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为23π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，最小正周期为π2D ．非周期函数7．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：( )①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π9．设集合11[0,),[,1]22A B ==，函数1,()()22(1),()x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩00[()]x A f f x A ∈∈且，则0x 的取值范围是（ ） A ．(10,4] B ．(11,42] C ．(11,42) D ．[0，38] 10．定义在(1,1)-上的函数()()()1x yf x f y f xy--=-；当(1,0)()0x f x ∈->时，若111()(),(),(0),,,5112P f f Q f R f P Q R =+==则的大小关系为（ ）A ．R Q P >> B. R P Q >> C. P R Q >> D.Q P R >> 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．若24log 3,(22)x x x -=-=则12.某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为 13．在正方体!111D C B A ABCD -中,Q P N M 、、、分别是1111CC D C AA AB 、、、的中点,给出以下四个结论:①1AC MN ⊥； ②1AC //平面MNPQ ； ③1AC 与PM 相交； ④1NC 与PM 异面其中正确结论的序号是 .14已知函数()321f x x x =---，则其最大值为 。
四川省成都市2019届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)试题
成都市2019届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3 （C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为54．函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是 （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ”y x OxyO x y Ox yOG FEHPACBDA B C D （C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是 （A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]7．已知F 是椭圆22221+=x y a b（0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x 轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是 （A ）14（B ）34 （C ）12 （D 8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDDC 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时， 2HP 的最小值是 （A ）21（B ）22 （C ）23 （D ）25二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．12．二项式261()x x-的展开式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (n （0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论： ①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54； ③当*n ∈N 时，n k <； ④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则1)n S ．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率； （Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值； （Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为43（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程； （Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且32AB =若点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值． 21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()emx mx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和极小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明： 10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f x g x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.4332.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时）53.522.753.1252.3752.5632.469数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．A ； 2．C ； 3．D ；4．A ；5．C ；6．B ；7．B ；8．D ；9．A ；10．B ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．90︒ 12．20- 1314.[2,0]- 15．①③④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ……………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C ………………………………………………………2分 1(2)()5===P X P A ………………………………………………………………2分 ∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………2分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分（Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图． 则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E，D ． ∴(2,0,2)=-AE，(1=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n，即2200-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴121212,2⋅>===cos <n n n n n n ． ∴平面DEA 与平面ABC．…………………………8分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．………………………………………4分 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………………2分（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ………………………………………………1分 ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n …………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n …………………………………………………1分 ∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………………3分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22minmax =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ． （Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ．又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）20.（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知2=a=a，又=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-==AB x又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=， ①当2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分 ②当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分 综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．……………………1分 ∴函数)(x f的单调递减区间是，单调递增区间是),(+∞e ．………………2分 ∴me e f x f 2)()(-==极小值.………………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e--'=-=>． ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m+∞上单调递增． ∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ． ∴02<<me …………………………………………………………………………………3分 由(1)(1)0-=-=-<mmg m me m e ．∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max ()()>f x g x ∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x 由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增．∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分 ∵(2)()-'=mxmx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m-∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减．∴max 224()()==-g x g m m e m ．……………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e．∴224(21)e m e+>，即224(21)m e e >+．由0<m ，解得(21)m e e <-+．综上所述，存在这样的负数(,(21)∈-∞-+m e e 满足题意．……………………………1分。
四川省成都市2019届高三毕业班第一次诊断性检测数学(文)试题(精编含解析)
成都市2016级高中毕业班第一次诊断性检测数学（文科）一、选择题：本大题共2小题,每小题5分,共60分.1.已知集合2Ax x ＞,1B x x ,则A B （ ） A. 2x x ＞ B. 21x x ＜C. 2x xD. 1x x【答案】A 【解析】 【分析】直接利用集合并集的定义求解即可. 【详解】因为2Ax x ＞,1B x x ,所以，根据集合并集的定义可得2A Bx x ＞，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合. 2.复数2(izi i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数2izi，求出z 在复平面内对应点的坐标即可得结果. 【详解】22ii2+i 12i iiz,复数2+iiz在复平面内对应的点的坐标为1,2,位于第四象限，故选D . 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱AO与底OCB垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，6OA，棱锥的体积11246832V，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数,x y满足约束条件121010xx yx y,则3z x y的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数,x y满足约束条件121010xx yx y表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x yx y得0,1A，由3z x y得3y x z，平移3y x z，直线3y x z过点A时，直线在y轴上截距最小，min 3011z，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】执行程序框图，1n 时，11133S；3n 时，11213355S； 5n 时，11131335577S； 7n 时，11114133557799S， 9n ，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.设n S 为等差数列n a 的前n 项和,且5632a a a ,则7S （ ）A. 28B. 14C. 7D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质求得42a ，利用等差数列的前n 项和公式结合等差的性质可得结果.【详解】因为563542a a a a a ，所以42a177477142a a S a ，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a （2p qm n r ）与前n 项和的关系.7.下列判断正确的是（ ）A. “2x ＜”是“ln 30x ＜”的充分不必要条件B. 函数22199f xx x的最小值为2C. 当,R 时，命题“若,则sinsin ”的逆否命题为真命题D. 命题“0x ＞,201920190x ＞”的否定是“00x ,020*******x ”【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断A ；利用基本不等式的条件 “一正二定三相等”判断B ，利用原命题与逆否命题的等价性判断C ；利用全称命题的否定判断D . 【详解】当4x 时，2x ＜成立，ln 30x ＜不成立，所以A 不正确；对221929f xx x 22199x x 291x 293x ，所以221929f xx x,22199x x的最小值不为2，所以B 不正确；由三角函数的性质得 “若,则sin sin ”正确，故其逆否命题为真命题，所以C 正确；命题“0x ＞,201920190x ＞”的否定是“00x ,020*******x ”，所以D 不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题. 8.已知函数()32cos f x x x ,若2(3)af ,(2)b f ,2(log 7)cf ,则,,a b c 的大小关系是（ ）A. ab c B. c a b C. b a c D. b c a【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数,由导函数的符号可得f x 在R 上为增函数，由2222log 4log 733，利用单调性可得结果.【详解】因为函数32cos f x x x ，所以导数函数'32f x sinx ，可得'320f xsinx 在R 上恒成立，所以f x 在R 上为增函数， 又因为2222log 4log 733，所以bc a ，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.9.在各棱长均相等的四面体A BCD 中,已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为（ ） A.2 B. 2 C.3 D. 2【解析】 【分析】取CD 中点N ,连结,MN BN ，则//MN AC ,从而BMN 是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线BM 与AC 所成角的余弦值.【详解】各棱长均相等的四面体A BCD 中棱长为2， 设取CD 中点N ,连结,MN BN ，M 是棱AD 的中点，//MN AC ,BMN 是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角）， 413,1AM BN MN ，2223133cos 26231BM MN BN BMNBM MN， 异面直线BM 与AC 3C. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.10.齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（ ） A.49 B. 59 C. 23 D. 79【答案】C【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：,,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种, 齐王的马获胜的概率为6293P，故选C. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线(0)x a a ＞对称，且当x a 时，2()xa e f x e，过点(,0)P a 作曲线()y f x 的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数()f x 的最小值为（ ）A. 12eB. 1e C. 32eD. 2e【答案】B 【解析】 【分析】 当xa 时，22x xaae f xe e ，可得函数f x 在,a 为增函数，结合函数的对称性可得函数的最小值为f a ,进而分析可得点,0P a 作曲线y f x 的两条切线的斜率1k，设x a 右侧的切点为2,mam e ，求出函数的导数，由导数的几何意义可得2'1maf m e ，即20m a ，结合两点间连线的斜率公式可得201m a e m a ，即11m a，联立两式求出a 的值，代入函数的解析式可得结果.【详解】根据题意，分析可得当x a 时，22xxaae f xe e ，则函数f x 在,a 为增函数，又由函数f x 的图象关于直线x a 对称，函数f x 在,a 为减函数，所以函数的最小值为f a ， 点,0P a 作曲线yf x 的两条切线，则两条切线的关于直线xa 对称，即两条切线的斜率互为相反数，若两条切线互相垂直，切线的斜率1k ，设xa 右侧的切点为2,,mam e m a ，因为2xaf x e ，所以导数2'xaf xe ，则有2'1maf me ，即20m a ，①又由切线过点,0a ，可得201m a e m a，即11m a，解可得1m a ，②联立①②可得1a ， 则函数f x 的最小值为21aaf ae e ，故选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的斜率公式，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数0kfx ；(2) 己知斜率k 求切点11,,A x f x 即解方程1fx k ；(3) 巳知切线过某点11,M x f x (不是切点)求切点, 设出切点00,,A x f x 利用1010f x f x kfx x x 求解.12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b ＞＞的左,右顶点为,,A B P 是椭圆上不同于,A B 的一点,设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ,则当ln ln am n b取得最小值时,椭圆C 的离心率为（ ） A.15 B. 22 C. 45D. 3【答案】D 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，利用斜率公式求得,m n ，结合00(,)P x y 在椭圆上，化简可得22b mna ，令1at b，则12ln f tt t ，利用导数求得使f t 取最小值的t ，可得2a tb时，ln ln am n b取得最小值，根据离心率定义可得结果. 【详解】由椭圆方程可得,0,,0Aa B a ，设00,P x y ，则2220202b a x y a,则0000,y y mnx ax a，2202220y b mnx a a， ln ln ln 2ln a a a b m n mn b b b a ， 令1a t b ，则12ln f t t t， 22'1t f t t t ， 12ln f t t t在,2上递减，在2,上递增， 可知当2t 时，函数f t 取得最小值1222ln 22ln 22f ，2ab， 2222312c a b b eaa a，故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、直线的斜率公式的应用，以及椭圆的离心率，利用导数求函数的最值，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题：本大题共4个小题,满分20分13.已知双曲线22:1C x y 的右焦点为F ,则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_____.【答案】1 【解析】 【分析】 由221x y 可得焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结果.【详解】双曲线22:1C x y 的1,a b ，所以2,2,0cF ,设双曲线的一条渐近线方程为y x ，则F 到渐近线的距离为2111d，故答案为1 .【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 若双曲线方程为22221x y ab ，则渐近线方程为b yx a. 14.已知函数42()3x af x x 是奇函数,则实数a 的值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】 由函数423x af x x 是奇函数可得00f ，求出a 的值，再验证所求函数的奇偶性即可.【详解】f x 的定义域为R ，且f x 是奇函数，2003a f ，2a ，此时，43x f xx是奇函数，符合题意，故答案为2.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由+0f x fx 恒成立求解，（2）偶函数由0f x f x 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由00f 求解，偶函数一般由110f f求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.15.设n S 为数列n a 的前n 项和,且14a ,1,n n a S n N ,则5a _____.【答案】32 【解析】 【分析】 由1nn a S 可得1n n a S ，2n，两式相减可化为12n na a ，可得242n na (首项不符合通项），从而可得结果.【详解】n S 为数列n a 的前n 项和，且14a ,*1,n n a S nN ，①则当2n 时，1nn a S ,②-②得1n n n a a a ,所以12n na a (常数）， 则数列n a 是从第二项起，公比2的等比数列， 求得214a S ，242n na (2n）， 故241422n n n a n ， 当5n时，54832a ，故答案为32.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2nn n S n a S S n ，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意验证1n 的情况.16.已知G 为ABC 的重心，过点G 的直线与边,AB AC 分别相交于点,P Q ，若35APAB ,则ABC 与APQ 的面积之比为_____.【答案】209【解析】 【分析】 设AQx AC ， 1AG AP AQ ，利用三角形重心的性质以及平面向量的运算法则可得1131335AB AC AB xAC ，利用向量相等列方程组解得34x ，可得34AQ AC ，结合35AP AB ，利用三角形面积公式可得结果.【详解】设AQx AC ，,,P G Q 三点共线，可设1AGAPAQ ，315AGAB xAC ，G 为ABC 的重心，13AGAB AC ， 1131335AB AC AB xAC ，1335113x，解得5934x， 34AQAC ， 1sin 20219sin 2ABC APQAB AC A S SAP AQ A ，故答案为209. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算及三角形面积公式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．三、解答题+选做题：7小题70分17.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3A ,22233b c abc a .（1）求a 的值；（2）若1b ,求ABC 的面积. 【答案】（13（2）32. 【解析】 【分析】 （1）由22233b c abc a ，利用余弦定理可得32cos 3bc Aabc ,结合3A 可得结果；（2）由正弦定理1sin 2B，π6B , 利用三角形内角和定理可得π2C ，由三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）由题意，得22233b c a abc . ∵2222cos b c a bc A .∴32cos 3bc Aabc ,∵π3A，∴23cos 3a A .（2）∵3a ，由正弦定理sin sin a bA B ，可得1sin 2B. ∵a>b ，∴π6B ,∴ππ2C A B .∴13sin 22ABCSab C . 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos abcbc A ；（2）222cos 2b c a A bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18.如图,四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形,3ABC,PA平面ABCD ,点M 是棱PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BMD ； （2）当3PA时,求三棱锥M PAD 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接O M ，则M ，O 分别为PC ，AC 中点，由三角形中位线定理可得//O PA M ,从而可得结论；（2）取线段BC 的中点H ，先证明AH 垂直于平面PAD ，则点H 到平面PAD的距离即为AH 的长度. 结合//BC A D ，可得点C 到平面PAD 的距离即为AH 的长度. 由M 为PC 的中点，可得点M 到平面PAD 的距离即为12AH 的长度，利用1132M PADPADV S AH 即可得结果. 【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，连接MO. ∵M，O 分别为PC ，AC 中点， ∴PA ∥MO ,∵PA 不在平面BMD 内，MO 平面BMD. ∴PA∥平面BMD.（2）如图，取线段BC 的中点H ，连结AH. ∵ABCD 是菱形，π3ABC，∴AH ⊥AD.∵PA⊥平面ABCD ，∴AH⊥PA. 又PA∩AD=A，PA ，AD 平面PAD.AH⊥平面PAD.∴点H 到平面PAD 的距离即为AH 的长度. ∴BC∥AD，∴点C 到平面PAD 的距离即为AH 的长度. ∵M 为PC 的中点，∴点M 到平面PAD 的距离即为12AH 的长度.111111323322322MPADPADV S AH . 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19.在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系,经统计得到如下数据： 等级代码数值x384858687888销售单价y (元/)kg 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8（1）已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系,求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？参考公式：对一组数据11(,)x y ,22(,)x y ，····(,)n n x y ,其回归直线y bx a 的斜率和截距最小二乘估计分别为：12211ˆni i i n i x y nxybx nx ,ay bx .参考数据：618440i ii x y ,61225564i i x .【答案】（1）0.2.9ˆ8y x ；（2）28.5. 【解析】 【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，根据最小二乘法所需要的数据做出线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，可得线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程,将98x代入线性回归方程求出对应的y 的值，即可估计该等级的中国小龙虾销售单价.【详解】（1）由题意得，1384858687888636x，116.818.820.822.82425.821.56y ，844066321.50.225664663ˆ63b ，21.50ˆˆ.2638.9ay bx.所以回归方程为0.2.9ˆ8y x ；（2）由（1）知当98x时，0.2988.928.5y ，故估计该等级的中国小龙虾销售单价为28.5元.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n n ii i i i x y x x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bxa ； 回归直线过样本点中心,x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 20.已知点(,0)A m 和(0,)B n ,且2216m n ,动点P 满足3BP PA ，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程； （2）设不经过点0,1H 的直线2y x t 与曲线C 相交于两点,M N ,若直线HM 与HN 的斜率之和为1,求实数t 的值.【答案】（1）2219x y ；（2）3. 【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，由3BP PA ，可得434mx n y，代入2216m n ，整理即可得结果；（2）设1122,,,M x y N x y .联立22219y x t x y ，可得2237369(1)0x tx t ，根据直线HM 与HN 的斜率之和为1,利用斜率公式，结合韦达定理可得4411tt ，从而可得结果.【详解】（1）设(,)P x y .∵3BP PA ，∴(,)3(,)(33,3)x y n m x y m x y ,即333x m xy n y∴434mxn y.∵2216mn,∴221616169x y ∴曲线C 的方程2219x y（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）.联立22219yx t x y ，消去y ，得2237369(1)0x tx t .由22(36)4379(1)0t ，可得3737t .又直线y=2x+t 不经过点H （0，1），且直线HM 与HN 的斜率存在，1t ，则3737t 且1t ，212123699,3737tt x x x x ， 由121212121241114411HM HNx x t x x y y tk k x x x x t ， 解得3t，t 的值为3.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标,x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将00x g xy h x代入00,0f x y .21.已知函数()ln ,xe f x a xax a R x.（1）当0a ＜时,讨论函数()f x 的单调性； （2）当1a 时,若不等式1()()0xf x bx be x x在(1,)x 时恒成立,求实数b 的取值范围.【答案】（1）f x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减；（2）1,e.【解析】 【分析】（1）求出'f x ，在定义域内，分别令'0f x求得x 的范围，可得函数f x 增区间，'0f x求得x 的范围，可得函数f x 的减区间；（2）当1a 时，不等式10xf x bx be xx在1x 时恒成立,等价于ln 10xx b x e 在(1，+∞)上恒成立，令ln 1x h xx b x e ，先证明当0b 时，不合题意，再分两种情况讨论即可筛选出符合题意的实数b 的取值范围. 【详解】（1）由题意，知221xx xax e x axe e f xaxx x,∵当a<0，x>0时，有0x ax e .∴x>1时，0fx ；当0<x<1时，0f x .∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减. （2）由题意，当a=1时，不等式10xf x bx be x x在x∈(1，+∞)时恒成立.整理，得ln 10x x b x e 在(1，+∞)上恒成立.令ln 1x h xx b x e .易知，当b≤0时，0h x ，不合题意.∴b>0 又1x h x bxe x ，11h be .①当b≥1e时，110h be .又1x h xbxe x在[1，+∞)上单调递减.∴0h x 在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减. 所以h 10xh ,符合题意；②10be时，110h be ,1110h e bb, 又1x h xbxe x在[1，+∞)上单调递减, ∴存在唯一x 0∈(1，+∞)，使得00h x .∴当h(x)在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，+∞)上单调递减.又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x 0)上恒成立，不合题意. 综上所述，实数b 的取值范围为[1e，+∞ ). 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数a f x 恒成立(maxa f x即可)或a f x 恒成立（minaf x即可）；② 数形结合(yf x 图象在yg x 上方即可)；③ 讨论最值min0f x 或max0f x 恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.选做题：10分22.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为12312xt yt （t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是22sin4.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设点0,1P .若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB 的值.【答案】（1310x y ，22(1)(1)2x y ；（2）31. 【解析】 【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用222,cos,sin x y x y ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得 直线l 310xy .将曲线C 的极坐标方程化为22222sin cos 22.即22sin 2cos .∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为22112x y .（2）将直线l 的参数方程代入22112x y 中，得221312222t t .化简，得212330t t .∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2. 由根与系数的关系，得12231t t ，123t t ，即t 1，t 2同正.由直线方程参数的几何意义知,1212231PA PBt t t t .【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos 和sin 换成x 和y 即可. 23.已知函数2112xf xx . （1）求不等式30f x ＜的解集；（2）若关于x 的方程252-04f x m m 无实数解,求实数m 的取值范围.【答案】（1）26()35，；（2）2,0.【解析】 【分析】（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）由（1）知函数f x 的最小值为为54，若关于x 的方程25204f x m m无实数解，解不等式220m m ，即可得结果.【详解】（1）由题意，知52231211222225122xx x xf xx x x x ，，，， 由f(x)-3<0，可得25302xx，或12232302xx，或125302xx.解得2132x，或1625x. ∴不等式的解集为2635， . （2）由（1）知函数f (x)的值域为[54，+∞）. 若关于x 的方程2524f x m m 无实数解，则m 2+2m<0，解得-2<m<0，∴实数m 的取值范围为(-2，0).【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【精品解析】四川省成都市2019届高三上学期第一次诊断性检测数学(文)试题 (附解析)
2019届高三第一次诊断性检测数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x =-＞,{}1B x x =?,则A B ?（ ）A. {}2x x -＞B. {}21x x -?＜ C. {}2x x ? D. {}1x x ³ 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为{}2A x x =-＞,{}1B x x =?, 所以，根据集合并集的定义可得{}2A Bx x ?-＞，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合. 2.复数2(iz i i+=为虚数单位)在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数2iz i+=，求出z 在复平面内对应点的坐标即可得结果. 【详解】()()22i i 2+i 12i i iz +-===--, \复数2+iiz =在复平面内对应的点的坐标为()1,2-,位于第四象限，故选D .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱AO与底OCB垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，6OA\=，\棱锥的体积11246832V=创创=，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数,x y满足约束条件121010xx yx yì£ïï-+?íï+-?ïî,则3z x y=+的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数,x y满足约束条件121010xx yx yì£ïï-+?íï+-?ïî表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由21010x yx yì-+=ïí+-=ïî得()0,1A，由3z x y=+得3y x z=-+，平移3y x z=-+，直线3y x z=-+过点A时，直线在y轴上截距最小，min 3011z\=?=，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】执行程序框图，1n =时，11133S ==´； 3n =时，11213355S =+=创；5n =时，11131335577S =++=创?；7n =时，11114133557799S =+++=创创，9n =，满足循环终止条件，退出循环，输出的n 值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且5632a a a +=+,则7S =（ ） A. 28 B. 14 C. 7 D. 2 【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质求得42a =，利用等差数列的前n 项和公式结合等差的性质可得结果. 【详解】因为563542a a a a a +=+=+， 所以42a =177477142a a S a +=?=，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系. 7.下列判断正确的是（ ）A. “2x -＜”是“()ln 30x +＜”的充分不必要条件 B. 函数()2299f x x x =++的最小值为2C. 当,R a b Î时，命题“若a b =,则sin sin a b =”的逆否命题为真命题D. 命题“0x "＞,201920190x +＞”的否定是“00x $?,020*******x +?” 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断A ；利用基本不等式的条件 “一正二定三相等”判断B ，利用原命题与逆否命题的等价性判断C ；利用全称命题的否定判断D .【详解】当4x =-时，2x -＜成立，()ln 30x +＜不成立，所以A 不正确； 对()22929f x x x +?+2299x x +=+291x +=293x +?，所以()229f x x >+,2299x x ++的最小值不为2，所以B 不正确；由三角函数的性质得 “若a b =,则sin sin a b =”正确，故其逆否命题为真命题，所以C 正确； 命题“0x "＞,201920190x +＞”的否定是“00x $>,020*******x +?”，所以D 不正确，故选C. 【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.8.已知函数()32cos f x x x =+,若2(3a f =,(2)b f =,2(log 7)c f =,则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b << C. b a c << D. b c a << 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数,由导函数的符号可得()f x 在R 上为增函数，由2222log 4log 733=<<<利用单调性可得结果.【详解】因为函数()32cos f x x x =+， 所以导数函数()'32f x sinx =-， 可得()'320f x sinx =->在R 上恒成立， 所以()f x 在R 上为增函数， 又因为2222log 4log 733=<<< 所以b c a <<，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.9.在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中,已知M 是棱1BB 的中点,N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为（ ）62【答案】C 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1A M 与NB 所成角的正切值 ．【详解】解：各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中,棱长为 2,以A 为原点,AC 为y 轴,1AA 为z 轴,建立空间直角坐标系，则)1(00,2A ，，)M ，)B ，)(01,0N ，， 1(3,1AM =,1)-，)(BN =-,设异面直线1A M 与BN 所成角为q，则11·cos 5?3·A M BN A M BNq ===， 6tanq \=．\异面直线1A M 与BN 6．故选：C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面,面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题 ．10.齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（ ） A.49 B. 59 C. 23 D. 79【答案】C 【解析】 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,\齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线(0)x a a =＞对称，且当x a ³时,2()x a f x e =－.过点(,0)P a 作曲线()y f x =的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 12e- B. 1e - C. 32e-D. 2e -【答案】B 【解析】 【分析】根据两条切线垂直可知，其中一条切线的倾斜角为π4，斜率为1.对函数求导后，利用斜率和切线方程，求得a 的值，再根据单调性求得函数的最小值.【详解】由于函数关于直线x a =对称，且过点(),0P a 的函数切线相互垂直，根据对称性可知，一条切线的倾斜角为π4，斜率为1.设切点为()020,e x a x -，()2e x a f x -=¢，故()020e x a f x -=，故切线方程为()00220e e x a x a y x x ---=-.依题意可知，斜率02e 1x a -=①，将(),0P a 代入切线方程得()00220e e x a x a a x ---=-②，联立①②解得02,1x a ==.故函数为()2e x f x -=，导数为()2e 0x f x -=¢>，函数在1x ³时单调递增，且函数关于1x =对称，故在1x =处取得最小值为121e e --=.故选B.【点睛】本小题主要考查利用切线方程求函数的解析式，考查利用导数求函数的最小值，属于中档题.12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的左,右顶点为,A B 。
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷(文科)(解析版)
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|x≤﹣2}D．{x|x≥1}2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．16D．244．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．1B．2C．3D．65．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．116．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且2+a5＝a6+a3，则S7＝（）A．28B．14C．7D．27．（5分）下列判断正确的是（）A．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件B．函数的最小值为2C．当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题D．命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”8．（5分）已知函数f（x）＝3x+2cos x，若，b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）在各棱长均相等的四面体A﹣BCD中，已知M是棱AD的中点，则异面直线BM 与AC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，且当x≥a 时，．过点P（a，0）作曲线y＝f（x）的两条切线，若这两条切线互相垂直，则该函数f（x）的最小值为（）A．B．e﹣1C．D．e﹣212．（5分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B．P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取得最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届四川省成都市高三上学期第一次诊断性检测数学(文)试题
D. 命题“" x＞0 , 2019x + 2019＞0 ”的否定是“ $ x0 £ 0 , 2019x0 + 2019 £ 0 ”
【答案】C
8.已知函数 f (x) = 3x + 2 cos x ,若 a = f (3 2 ) , b = f (2) , c = f (log2 7) ,则 a, b, c 的大小关系是（ ） A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a
4.设实数
x,
y
满足约束条件
ìïïí2x
£1 x- y
+1
³
0
,则
z
=
3x
+
y
的最小值为（
）
ï
ïîx + y - 1³ 0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】A
5.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 值是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C
{ } 6.设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,且 2 + a5 = a6 + a3 ,则 S7 = （ ）
为得到小龙虾等级代码数值 x 与销售单价 y 之间的关系,经统计得到如下数据：
等级代码数值 x
38
48
58
68
78
88
销售单价 y (元 /kg)
16.8
18.8
20.8
பைடு நூலகம்
22.8
24
25.8
（1）已知销售单价 y 与等级代码数值 x 之间存在线性相关关系,求 y 关于 x 的线性回归方程(系数精确到
2019届成都市高三一诊文科数学试题及答案
O 分别为 PC ,
AC 中点,
∴PA ∥MO ．
∵PA ⊄ 平面 BMD ,
MO ⊂ 平面 BMD ,
２ 分
４ 分
６ 分
∴PA ∥ 平面 BMD ．
(Ⅱ )如图,取线段 BC 的中点 H ,连结 AH ．
∵ABCD 是菱形,∠ABC ＝
π
,∴AH ⊥AD ．
３
∵PA ⊥ 平面 ABCD ,∴AH ⊥PA ．
N(
x２ ,
y１),
y２)
ìïy＝２x＋t
ï
,消去 y,得 ３７x２ ＋３６
联立 íx２
tx＋９(
t２ －１)＝０
ï ＋y２ ＝１
î９
２
由 Δ＝ (
３６
t)
－４×３７×９(
t２ －１)＞０,可得 － ３７＜t＜ ３７
又直线 y＝２x＋t 不经过点 H (
０,
１),且直线 HM 与 HN 的斜率存在,
－
１９．解:(Ⅰ )由题意,得 x＝
＝６３,
６
１ 分
１６
８＋１８
８＋２０
８＋２２
８＋２４＋２５
８
－
＝２１
５,
y＝
６
^＝
b
６
∑xiyi －６xy
i＝１
６
－－
∑xi２ －６x２
i＝１
－
２ 分
８４４０－６×６３×２１
５
＝
≈０
２,
２５５６４－６×６３×６３
５ 分
－
－
^x
^＝y
二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分)
２０
１３．１; １４．２; １５．３２; １６． ．
成都市2019级高中毕业班第一次诊断性检测文科数学试卷及答案
２
∴Δ＝ ２ ＋４＞０,y３ ＋y４ ＝ ,
y３y４ ＝－１
k
k
１
１
∴|MN |＝ １＋ ２ |y３ －y４ |＝ １＋ ２
k
k
８ 分
１
２
(
１＋ ２ )
y３ ＋y４) －４y３y４ ＝２(
k
１
１
又 |AP |＝ １＋ ２ |y１ |,|AQ |＝ １＋ ２ |y２ | ,
k
k
９ 分
１
１
成都市 ２０１９ 级高中毕业班第一次诊断性检测
数学一诊 (文科 )参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题,共 ６０ 分)
一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分)
１．
C; ２．
A; ３．
C; ４．
D; ５．
D; ６．
B; ７．
B; ８．
C; ９．
B; １０．
D; １１．
D; １２．
A．
第 Ⅱ 卷 (非选择题,共 ９０ 分)
２
消去x ,得 y２ － y －４＝０
２
k
y ＝２x
{
４
２
∴Δ＝ ２ ＋１６＞０,y１ ＋y２ ＝ ,
y１y２ ＝－４
k
k
２ 分
∵k１ ＋k２ ＝０,
∴
y２
y１y２(
y１ ＋y２)
＋ ２
＝０,即
－m (
y１ ＋y２)＝０
２
y
y２
－m
－m
２
２
y１
２
１
２
２
－４
∴ ( －m ) ＝０,即 (
四川省成都市2019届高三第一次诊断性检测数学(文)试题(附解析)
2019届高三第一次诊断性检测数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为,,所以，根据集合并集的定义可得，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.复数为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应点的坐标即可得结果.【详解】,复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限，故选D .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数满足约束条件,则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数满足约束条件表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由得，由得，平移，直线过点时，直线在轴上截距最小，，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.执行如图所示的程序框图,则输出的值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，，，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.设为等差数列的前项和,且,则（）A. 28B. 14C. 7D. 2【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质求得，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.7.下列判断正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 函数的最小值为2C. 当时，命题“若,则”的逆否命题为真命题D. 命题“,”的否定是“,”【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断；利用基本不等式的条件“一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断.【详解】当时，成立，不成立，所以不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以不正确；由三角函数的性质得“若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；命题“,”的否定是“,”，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.8.已知函数,若,,,则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数,由导函数的符号可得在上为增函数，由，利用单调性可得结果. 【详解】因为函数，所以导数函数，可得在上恒成立，所以在上为增函数，又因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.9.在各棱长均相等的直三棱柱中,已知M是棱的中点,是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的正切值．【详解】解：各棱长均相等的直三棱柱中,棱长为 2,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系，则，，，，,，,设异面直线与所成角为，则，．异面直线与所成角的正切值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面,面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题．10.齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为，田忌上等、中等、下等马分别为，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：，共 6种,齐王的马获胜的概率为，故选C.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.11.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.过点作曲线的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据两条切线垂直可知，其中一条切线的倾斜角为，斜率为.对函数求导后，利用斜率和切线方程，求得的值，再根据单调性求得函数的最小值. 【详解】由于函数关于直线对称，且过点的函数切线相互垂直，根据对称性可知，一条切线的倾斜角为，斜率为.设切点为，，故，故切线方程为.依题意可知，斜率①，将代入切线方程得②，联立①②解得.故函数为，导数为，函数在时单调递增，且函数关于对称，故在处取得最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查利用切线方程求函数的解析式，考查利用导数求函数的最小值，属于中档题.12.设椭圆：的左，右顶点为，.是椭圆上不同于 ，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当 取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则． 利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．【详解】解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时， 函数取得最小值（2）．．，故选：．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的右焦点为,则点到双曲线的一条渐近线的距离为_____.【答案】1【解析】【分析】由可得焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结果.【详解】双曲线的，所以,设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，故答案为1 .【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.14.已知函数是奇函数,则实数的值为_____.【答案】2【解析】【分析】由函数是奇函数可得，求出的值，再验证所求函数的奇偶性即可.【详解】的定义域为，且是奇函数，，，此时，是奇函数，符合题意，故答案为2.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.15.设为数列的前项和,且,,则_____.【答案】32【解析】【分析】由可得，，两式相减可化为，可得 (首项不符合通项），从而可得结果.【详解】为数列的前项和，且,，①则当时，,②-②得 ,所以 (常数），则数列是从第二项起，公比2的等比数列，求得，(），故，当时，，故答案为32.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意验证的情况.16.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则与的面积之比为________.【答案】【解析】【分析】根据，求得的比值，然后利用三角形的面积公式，求得两个三角形面积的比值.【详解】设，，由于三点共线，故.由于与有公共角，由三角形面积公式得. 【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的面积公式，考查三角形重心的性质，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在中,内角所对的边分别为，已知,.（1）求的值；（2）若,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【详解】（1）由题意，得.∵.∴,∵，∴ .（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18.如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,,平面,点是棱的中点.（1）证明：平面；（2）当时,求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则，分别为，中点，由三角形中位线定理可得 ,从而可得结论；（2）取线段的中点，先证明垂直于平面，则点到平面的距离即为的长度. 结合A，可得点到平面的距离即为的长度. 由为的中点，可得点到平面的距离即为的长度，利用即可得结果.【详解】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接MO.∵M，O分别为PC，AC中点，∴PA∥MO ,∵PA不在平面BMD内，MO平面BMD.∴PA∥平面BMD.（2）如图，取线段BC的中点H，连结AH.∵ABCD是菱形，，∴AH⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，∴AH⊥PA.又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD.AH⊥平面PAD.∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度.∴BC∥AD，∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度.∵M为PC的中点，∴点M到平面PAD的距离即为AH的长度..【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19.在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系,经统计得到如下数据：等级代码数值销售单价元（1）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系,求关于的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？参考公式：对一组数据,，····,其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为：,.参考数据：,.【答案】（1）；（2）28.5.【解析】【分析】(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，根据最小二乘法所需要的数据做出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，可得线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程,将代入线性回归方程求出对应的的值，即可估计该等级的中国小龙虾销售单价.【详解】（1）由题意得，，，，.所以回归方程为；（2）由（1）知当时，，故估计该等级的中国小龙虾销售单价为元.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知点和,且,动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点,若直线与的斜率之和为1,求实数的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由，可得，代入，整理即可得结果；（2）设.联立，可得，根据直线与的斜率之和为1,利用斜率公式，结合韦达定理可得，从而可得结果.【详解】（1）设.∵，∴,即∴.∵,∴∴曲线的方程（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立，消去y，得.由，可得.又直线y=2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，，则且，，由，解得，的值为3.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.21.已知函数.（1）当时,讨论函数的单调性；（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，不等式在时恒成立,等价于在(1，+∞)上恒成立，令，先证明当时，不合题意，再分两种情况讨论即可筛选出符合题意的实数的取值范围.【详解】（1）由题意，知,∵当a<0，x>0时，有.∴x>1时，；当0<x<1时，.∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.（2）由题意，当a=1时，不等式在x∈(1，+∞)时恒成立.整理，得在(1，+∞)上恒成立.令.易知，当b≤0时，，不合题意.∴b>0又，.①当b≥时，.又在[1，+∞)上单调递减.∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.所以,符合题意；②时，,,又在[1，+∞)上单调递减,∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意.综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ).【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用，即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为.将曲线C的极坐标方程化为.即.∴x2+y2=2y+2x.故曲线C的直角坐标方程为.（2）将直线l的参数方程代入中，得.化简，得.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正.由直线方程参数的几何意义知,.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程无实数解,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）由（1）知函数的最小值为为，若关于的方程无实数解，解不等式，即可得结果.【详解】（1）由题意，知，由f(x)-3<0，可得，或，或.解得，或.∴不等式的解集为 .（2）由（1）知函数f(x)的值域为[，+∞）.若关于x的方程无实数解，则m2+2m<0，解得-2<m<0，∴实数m的取值范围为(-2，0).【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2019届四川省四市高三第一次诊断性联考数学试题Word版含解析
2019届四川省四市高三第一次诊断性联考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}9,U x x x N +=∈≤，集合{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B ⋃=ð（ ）A ．{}3B ．{}7,8C ．{}7,8,9D ．{}1,2,3,4,5,6 【答案】C考点：集合的并集与补集运算．2.已知i 是虚数单位，若()113z i i +=+，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得13(13)(1)21(1)(1)i i i z i i i i ++-===+++-，故选A ． 考点：复数的运算．3. 若3sin 052a πα⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，则sin 6a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A【答案】B 【解析】试题分析：因为02απ<<，3sin 5α=，所以4cos 5α=，所以sin()sin cos cos sin 666αααπππ+=+＝341552⨯=，故选B ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和的正弦公式．4.已知命题p ，q 是简单命题，则“p q ∨是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分有不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由p q ∨是真命题，可得p 真q 假或p 假q 真或p 真q 真；由p ⌝是假命题，知p 为真命题，则p q ∨是真命题，所以已知命题p ，q 是简单命题，则“p q ∨是真命题”是“p ⌝是假命题”的必要不充分条件，故选B ．考点：1、充分条件与必要条件；2、命题的真假．5.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+，则λμ+=（ ）A ．3B ．52C ．2D ．1 【答案】B考点：向量的坐标运算．6.如图，是某算法的程序框图，当输出29T ＞时，正整数n 的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：程序框图．【方法点晴】对于循环结构有两种形式应用，其中当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型是先循环后判断，此类问题的解答的关键是根据每次循环，把握好判断的条件，准确计算S的结果，直到最后终止循环，输出结果．7.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．23B．35C．12D．25【答案】D 【解析】试题分析：从1,3,5,7,9中选3个数字，有3510C=种不同选法，从2,4,6,8中选2个数字，有246C=种不同选法，共组成3255457200C C A=个不同的五位数，其中偶数的个数为314153442880C C A C=，所以该五位数为偶数的概率为2880272005＝，故选D．考点：1、排列与组合的应用；2、古典概型．8.已知数列{}n a 满足()()1116,26,n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+⎪⎪=⎝⎭⎨⎪⎩＜≥若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +＞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：因为1n n a a +>恒成立，又数列在6n ≥时为等比数列，所以01>>a ．当102a <≤时，6n ≥，n a 递减，n a a ≤，当6n <，n a 为递增数列，不满足1n n a a +>；当112a <<时，6n ≥，n a 递减，n a a ≤，当6n <，n a 为递减数列，又因1n n a a +>成立，所以65a a <，即1()512a a <-⨯+，解得712a <，所以17212a <<，故选B ． 考点：数列的单调性．9.2cos 0444x x x m +-≥对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A．(,-∞ B．⎛-∞ ⎝⎦ C ．⎣ D．)+∞ 【答案】B考点：1、倍角公式；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的性质．【方法点睛】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化，使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题，使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．10.如图，在三棱锥A BCD -中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，AB BD =，23CBA CBD π∠=∠=，则直线AD 与平面BCD 所角的大小是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B考点：直线与平面的所成角．11.椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足OAF ∆是等边三角形（O 为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）A 1B ．21 D ．2【答案】A 【解析】试题分析：不妨设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限内，则由题意，得()2c A ，代入椭圆方程，得22223144c c a b+=，结合222b a c =-，化简整理，得4224840c a c a -+=，即42840e e -+=，解得1e =，故选A ．考点：椭圆的几何性质．【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12.已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：1、新定义；2、函数的图象． y=|2x-t|第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．【答案】24 【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式为44241442()2rrr r r r r T C x C x x---+=⋅=．令240r -=，得2r =，所以二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为224224C =．考点：二项式定理．14.学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 【答案】B考点：归纳与推理．15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为 ．【答案】48π 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体为一个底面腰长为4的等腰直角三角形、高为4的三棱锥，且有一侧棱与底面的两腰两两垂直，所以可将此三棱锥补形为棱长为4的正方体，所以该三棱锥外接球的直径2R ＝=R =2448R π=π．考点：1、空间几何体的三视图；2、球的表面积．【思路点晴】求解几何体外接球的表面积和体积问题的关键在于找到球心和求出半径.找外接球圆心的方法是：先找到一个面的中心，如本题的1O ，然后过中心做这个面的垂线，球心就在这条垂线上，然后假设球心的位置，根据球心到表面的距离相等列方程，从而求出半径．16.若一直线与圆22240x y x y a +--+=和函数24x y =的图象相切于同一点，则a 的值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：设切点为00(,)P x y ，则由24x y =，得2x y '=，所以切线的斜率为02x ，又点P 在函数24x y =的图象上，所以204x y = ①．化圆的方程为22(1)(2)5x y a -+-=-，则圆心(1,2)C 与点00(,)P x y 连线的斜率000212PC y xk x -==-- ②．联立①②解得002,1x y ==，代入圆的方程解得3a =． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、导数的几何意义．【思路点晴】求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点；(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组；(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin cos A B 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）23C π=；（Ⅱ）⎛ ⎝⎭．考点：1、正弦定理；2、两角和与差的正弦与余弦公式．18.（本小题满分12分）张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表：（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()111211ni ni xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-．【答案】（Ⅰ）13762y x =+；（Ⅱ）173．5cm ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得a ，由此求得线性回归方程；（Ⅱ）将15x =代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高． 试题解析：（Ⅰ）由题意得()178910111213107x =++++++=，()11211281351411481541601417y =++++++=． ()721941014928i i x x =-=++++++=∑，()()()()()()()()71320213160017213319182iii xxy y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，所以()()()12118213282ii i i i xx y y b x xππ==--===-∑∑，1314110762a yb x =-=-⨯=， 所求回归方程为13762y x =+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1302b =＞， 故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6．5cm ． 将15x =代入（Ⅰ）中的回归方程，得131576173.52y =⨯+=， 故预测张三同学15岁的身高为173．5cm ． 考点：线性回归方程．19.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()()313f x x ax a R =+∈，且曲线()f x 在12x =处的切线与直线314y x =--平行． （Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f xm =-在区间⎡-⎣上有三个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1a =-，()313f x x x =-；（Ⅱ）2,03⎛⎤- ⎥⎝⎦．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()36f -=-，()213f -=，()213f =-，0f =，所以函数()y f x m =-在区间⎡-⎣上有三个零点，等价于函数()f x 在⎡-⎣上的图象与y m =有三个公共点．结合函数()f x 在区间⎡-⎣上大致图象可知，实数m 的取值范围是2,03⎛⎤- ⎥⎝⎦． 考点：1、导数几何意义；2、函数的零点；3、函数的图象．【知识点睛】对于函数零点的判定：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()·0f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．20.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1n a n N +∈︒． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12n n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1431499n n n T +-=+⋅．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()212122224an n n n n n b a n n n -=+⋅=⋅=⋅=⋅． 所以231424344n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，()23414142434144n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， 两式相减得()2311414344444414n nn n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-141433n n +⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭，所以1431499n n n T +-=+⋅． 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、错位相减法求数列的和．【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法．常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等．21.（本小题满分12分）已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）11,2e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立，即[]1,2x ∈，21xx xe a e+≥恒成立，令()21xx xe g x e +=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．由()()()()221214212x xx xxe exe e x e xxx e g x e '+-+--'==，当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减， 所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2111g e e=+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为11,2e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题常用分离参数法，即将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．请从下面所给的22 , 23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线133cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32xx y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，后的曲线为2C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求2C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线3C 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且曲线3C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的值．【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线2C 是以()1,0为圆心，半径为1的圆， 而曲线3C 为直线，直角坐标方程为320x -=． 曲线2C 的圆心()1,0到直线3C 的距离13021213d -⨯-==+， 所以弦PQ 的值为2212132⎛⎫-= ⎪⎝⎭考点：1、参数方程与极坐标方程之间的互化；2、直线与圆的位置关系． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x b x =+--+，()2222g x x a c x b =+++-，其中a ，b ，c 均为正实数，且1ab bc ac ++=．（Ⅰ）当1b =时，求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x R ∈时，求证()()f x g x ≤． 【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将函数解析式写成分段形式，然后分段求解不等式，最后取它们的并集；（Ⅱ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得函数()f x 的最大值与()g x 的最小值，然后利用基本不等式求证即可． 试题解析：（Ⅰ）由题意，当1b =时，()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x --⎧⎪=-⎨⎪⎩≤＜＜≥当1x -≤时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．当1x ≥时，()21f x =≥恒成立， 所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角绝对值不等式的性质；3、基本不等式．。