10材料力学课程教案第4次课
材料力学教案
材料力学教案教案标题：材料力学教案教案目标：1. 理解材料力学的基本概念和原理。
2. 学习力学性能测试方法和实验技术。
3. 分析和解决材料力学问题。
教案步骤：步骤1：导入（5分钟）a. 引入材料力学的概念和重要性。
b. 激发学生对材料力学的学习兴趣。
步骤2：讲解基本概念（15分钟）a. 解释力学的基本原理和定义。
b. 介绍材料力学的相关概念，如力、应力、应变等。
c. 解释不同材料的力学性能和特征。
步骤3：示范实验（20分钟）a. 展示常见的材料力学实验仪器和装置。
b. 演示材料力学实验的步骤和操作技巧。
c. 强调实验安全和正确操作的重要性。
步骤4：实践练习（25分钟）a. 提供一些练习题，让学生应用所学知识解决问题。
b. 指导学生使用适当的公式和方法计算力学性能。
c. 鼓励学生分组合作，共同解决复杂问题。
步骤5：讨论和总结（10分钟）a. 引导学生讨论他们的解决方案和思路。
b. 提供反馈和建议，帮助学生改进解决问题的方法。
c. 总结本节课的重点和要点。
步骤6：作业布置（5分钟）a. 分发相关的阅读材料或作业题目。
b. 强调完成作业的重要性，并确定截止日期。
教案评估：1. 学生参与度：观察学生是否积极参与课堂活动和讨论。
2. 解决问题的能力：评估学生在练习和讨论中解决问题的能力。
3. 完成作业：评估学生是否按时完成作业，并分析其质量。
教学资源：1. 材料力学教材和参考书籍。
2. 材料力学实验仪器和装置。
3. 练习题和作业材料。
教学拓展：1. 引导学生进行小组研究项目，探索和应用材料力学的实际应用。
2. 组织学生参观相关的实验室或企业，了解材料力学的实际应用场景。
备注：以上教案是一个简化版本，可根据实际教学需要进行调整和补充。
材料力学教案
材料力学教案材料力学是力学的一个重要分支，它研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律。
在工程实践中，材料力学的理论知识对于材料的选择、设计和加工具有重要指导作用。
本教案将从材料的应力、应变、弹性模量、屈服强度等基本概念入手，系统介绍材料力学的相关知识，帮助学生掌握材料力学的基本原理和应用技能。
一、材料的应力和应变。
材料在受力作用下会产生应力和应变，应力是单位面积上的力，应变是材料单位长度上的形变。
材料的应力和应变之间存在着一定的关系，可以通过应力-应变曲线来描述。
了解材料的应力和应变特性对于材料的选择和设计至关重要。
二、材料的弹性模量。
材料的弹性模量是衡量材料抵抗变形能力的重要参数，它反映了材料在受力后的变形程度。
不同材料的弹性模量不同，对于工程材料的选择和设计具有重要的指导意义。
学生需要掌握不同材料的弹性模量及其在工程实践中的应用。
三、材料的屈服强度。
材料的屈服强度是材料在受力作用下发生塑性变形的临界应力值，它是衡量材料抗拉伸能力的重要参数。
了解材料的屈服强度有助于合理选择材料并预测材料在受力下的变形情况，对于工程结构的设计和安全具有重要意义。
四、材料的断裂韧性。
材料的断裂韧性是材料抗破坏能力的重要指标，它反映了材料在受力作用下的抗破坏能力。
了解材料的断裂韧性有助于预测材料在受力下的破坏模式，为工程结构的设计和安全提供重要参考。
五、材料的疲劳特性。
材料在长期受到交变应力作用下会发生疲劳破坏，了解材料的疲劳特性对于预防疲劳破坏具有重要意义。
学生需要了解材料的疲劳寿命、疲劳极限等参数，并掌握疲劳寿命预测的方法和技术。
六、材料的应用。
材料力学的理论知识在工程实践中具有广泛的应用，包括材料的选择、设计、加工和使用等方面。
学生需要通过实际案例分析和工程实践来应用所学的材料力学知识，提高解决工程问题的能力。
七、教学方法。
本教案将采用理论讲解、案例分析和实验操作相结合的教学方法，通过理论与实践相结合，帮助学生深入理解和掌握材料力学的相关知识。
材料力学教案(全套)
第一章绪论一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴了解材料力学的任务和研究内容；(2) 了解变形固体的基本假设；(3) 构件分类，知道材料力学主要研究等直杆；(4)具有截面法和应力、应变的概念。
2、教学内容(1) 构件的强度、刚度和稳定性概念，安全性和经济性，材料力学的任务；(2)变形固体的连续性、均匀性和各向同性假设，材料的弹性假设，小变形假设；(3)构件的形式，杆的概念，杆件变形的基本形式;(4)截面法，应力和应变。
二、重点与难点重点同教学内容，基本上无难点。
三、教学方式讲解，用多媒体显示工程图片资料，提出问题，引导学生思考，讨论。
四、建议学时1～2学时五、实施学时六、讲课提纲1、由结构与构件的工作条件引出构件的强度、刚度和稳定性问题。
强度：构件抵抗破坏的能力；刚度：构件抵抗变形的能力；稳定性：构件保持自身的平衡状态为。
2、安全性和经济性是一对矛盾，由此引出材料力学的任务。
3、引入变形固体基本假设的必要性和可能性连续性假设：材料连续地、不间断地充满了变形固体所占据的空间；均匀性假设：材料性质在变形固体内处处相同；各向同性假设：材料性质在各个方向都是相同的。
弹性假设：材料在弹性范围内工作。
所谓弹性，是指作用在构件上的荷载撤消后，构件的变形全部小时的这种性质；小变形假设：构件的变形与构件尺寸相比非常小。
4、构件分类杆，板与壳，块体。
它们的几何特征。
5、杆件变形的基本形式基本变形：轴向拉伸与压缩，剪切，扭转，弯曲。
各种基本变形的定义、特征。
几种基本变形的组合。
6、截面法，应力和应变截面法的定义和用法；为什么要引入应力，应力的定义，正应力，切应力；为什么要引入应变，应变的定义，正应变，切应变。
第二章轴向拉伸与压缩一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴掌握轴向拉伸与压缩基本概念；⑵熟练掌握用截面法求轴向内力及内力图的绘制；⑶熟练掌握横截面上的应力计算方法，掌握斜截面上的应力计算方法；⑷具有胡克定律，弹性模量与泊松比的概念，能熟练地计算轴向拉压情况下杆的变形；⑸了解低碳钢和铸铁，作为两种典型的材料，在拉伸和压缩试验时的性质。
《材料力学》课程教案1
《材料力学》课程教案1（一）轴向拉伸或压缩时的变形教学安排 ● 新课引入工程当中的构件要满足强度、刚度和稳定性的要求。
之前学习了轴向拉伸或压缩时杆的内力，应力，也就是强度问题。
今天转而讨论刚度问题。
工程当中构件因不满足刚度要求而失效的例子比比皆是，所谓刚度就是构件抵抗变形的能力，即一根杆件在设计好了之后，在正常的使用情况下，不能发生太大的弹性变形。
要想限制变形，首先应计算出变形。
如何计算？● 新课讲授一、纵向变形 （一）实验：杆件在受轴向拉伸时，在产生纵向变形的同时也产生横向变形。
纵向尺寸有所增大，横向尺寸有所减少。
思考：如图所示，杆件的纵向变形（axial deformation ）的大小？ 实验结论：F l ∝∆、l l ∝∆、A l 1∝∆AlF l ⋅∝∆⇒ 需引入比例常数，方可写成等式。
比例常数？ （二）推导：杆件原长为l ，受轴向拉力F 之后，杆件长度由l 变成l 1，杆件纵向的绝对变形l l l -=∆1。
为了消除杆件长度对变形的影响，引入应变的概念ε。
当变形是均匀变形时，应变等于平均应变等于单位长度上的变形量，因此l l∆=ε。
学过的有关于ε的知识，即拉伸压缩的胡克定律（Hook’s law ）：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，写成表达式即：εσ⋅=E )(p σσ<，σ（stress)，ε(strain)。
杆件横截面上的应力：AF A F N ==σ 将应力和应变两式代入胡克定律中，得到：l lE AF ∆⋅=结论：纵向变形l ∆的表达式：EAFll =∆ )(p σσ< ——胡克定律（重点）含义：①E ——弹性模量，反映材料软硬的程度。
单位MPa 。
②在应力不超过比例极限时，杆件的伸长量l ∆与拉力F 成正比，与杆件的原长l 成正比，与弹性模量E 和横截面积A 成反比。
EA ——抗拉刚度，EA 越大，变形越小。
③两个胡克定律，一个是描述应力和应变的关系，一个是表示力和变形的关系，但本质上都是一样的。
材料力学教案
材料力学教案材料力学是工程学和材料科学中的重要基础学科，它研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律。
本教案将介绍材料力学的基本概念、理论模型和应用技术，帮助学生全面理解材料力学的基本原理和应用方法。
一、材料力学基本概念。
材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科。
它包括静力学、动力学和弹性力学等内容，主要研究材料的应力、应变、弹性模量、屈服强度、断裂韧性等力学性能。
二、材料力学理论模型。
1. 应力分析。
材料在外力作用下会产生内部应力，主要包括拉伸应力、压缩应力、剪切应力等。
应力分析是材料力学的重要内容，通过分析应力分布规律可以预测材料的破坏形式和破坏条件。
2. 应变分析。
材料在外力作用下会发生变形，主要包括弹性变形和塑性变形。
应变分析是材料力学研究的重点之一，通过分析应变规律可以评估材料的变形能力和变形稳定性。
3. 弹性模量。
材料在受力时会产生弹性变形，弹性模量是衡量材料抗弹性变形能力的重要参数。
不同材料的弹性模量不同，可以通过弹性模量来评估材料的弹性性能。
4. 屈服强度。
材料在受力时会产生塑性变形，屈服强度是衡量材料抗塑性变形能力的重要参数。
不同材料的屈服强度不同，可以通过屈服强度来评估材料的塑性性能。
5. 断裂韧性。
材料在受力时会产生断裂现象，断裂韧性是衡量材料抗断裂能力的重要参数。
不同材料的断裂韧性不同，可以通过断裂韧性来评估材料的断裂性能。
三、材料力学应用技术。
1. 材料力学测试。
材料力学测试是评估材料力学性能的重要手段，包括拉伸试验、压缩试验、弯曲试验、冲击试验等。
通过测试可以获取材料的应力-应变曲线和力学性能参数，为材料设计和选择提供依据。
2. 材料力学模拟。
材料力学模拟是预测材料力学性能的重要手段，包括有限元分析、分子动力学模拟、离散元法等。
通过模拟可以预测材料的应力分布、应变分布和破坏形式，为材料设计和优化提供参考。
3. 材料力学设计。
材料力学设计是根据材料力学性能进行工程设计的重要手段，包括材料选择、结构设计、寿命评估等。
材料力学基础教案
材料力学基础教案一、课程目标本课程旨在为学生提供材料力学的基础知识，使学生理解材料在受力情况下的行为和性能，掌握材料力学的基本理论和分析方法，能够解决简单的工程力学问题，并为后续的专业课程和实际工程应用打下坚实的基础。
二、课程内容（一）绪论1、材料力学的任务和研究对象介绍材料力学在工程中的地位和作用明确研究对象为杆件2、基本假设连续性假设均匀性假设各向同性假设（二）轴向拉伸与压缩1、内力与截面法介绍内力的概念详细讲解截面法求内力的步骤2、轴力图绘制轴力图的方法和要点通过实例进行练习3、应力正应力和切应力的概念应力的计算方法4、胡克定律胡克定律的表达式弹性模量和泊松比的概念（三）剪切与挤压1、剪切的实用计算剪切面和剪力的确定剪切强度条件2、挤压的实用计算挤压面和挤压力的确定挤压强度条件（四）扭转1、外力偶矩的计算功率、转速与外力偶矩的关系2、扭矩与扭矩图扭矩的计算扭矩图的绘制3、圆轴扭转时的应力和变形横截面上的切应力分布规律扭转角的计算（五）弯曲内力1、梁的分类和受力特点简支梁、悬臂梁、外伸梁集中力、集中力偶、分布载荷2、剪力和弯矩剪力和弯矩的计算剪力方程和弯矩方程3、剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图的方法和规律（六）弯曲应力1、纯弯曲时的正应力正应力的分布规律和计算公式2、横力弯曲时的正应力考虑切应力影响的修正3、弯曲切应力切应力的分布规律和计算公式（七）弯曲变形1、挠曲线方程挠曲线的近似微分方程2、用叠加法求梁的变形常见简单载荷下梁的变形叠加原理的应用（八）应力状态与强度理论1、一点的应力状态主应力和主平面的概念2、平面应力状态分析解析法和图解法3、强度理论四种常用强度理论及其应用（九）组合变形1、组合变形的概念和类型拉伸（压缩）与弯曲的组合扭转与弯曲的组合2、组合变形的强度计算分别计算各基本变形下的应力，然后进行叠加（十）压杆稳定1、压杆稳定的概念失稳现象和临界压力2、细长压杆的临界压力欧拉公式3、压杆的稳定性计算安全系数法三、教学方法1、课堂讲授讲解基本概念、原理和公式，通过实例加深学生的理解。
材料力学性能教案
材料力学性能教案第一章：材料力学性能概述教学目标：1. 理解材料力学性能的概念及其重要性。
2. 掌握材料力学性能的主要指标。
3. 了解不同材料的力学性能特点。
教学内容：1. 材料力学性能的概念：定义、重要性。
2. 材料力学性能的主要指标：弹性模量、屈服强度、抗拉强度、韧性、硬度等。
3. 不同材料的力学性能特点：金属材料、非金属材料、复合材料等。
教学活动：1. 引入讨论：为什么了解材料的力学性能很重要？2. 讲解材料力学性能的概念及其重要性。
3. 通过示例介绍不同材料的力学性能特点。
4. 练习计算材料力学性能指标。
作业：1. 复习材料力学性能的主要指标及其计算方法。
2. 选择一种材料，描述其力学性能特点，并解释其在实际应用中的作用。
第二章：弹性模量教学目标：1. 理解弹性模量的概念及其物理意义。
2. 掌握弹性模量的计算方法。
3. 了解弹性模量在不同材料中的变化规律。
教学内容：1. 弹性模量的概念：定义、物理意义。
2. 弹性模量的计算方法：胡克定律、应力-应变关系。
3. 弹性模量在不同材料中的变化规律：金属材料、非金属材料、复合材料等。
教学活动：1. 复习上一章的内容，引入弹性模量的概念。
2. 讲解弹性模量的计算方法，并通过示例进行演示。
3. 通过实验或示例观察不同材料的弹性模量变化规律。
作业：1. 复习弹性模量的概念及其计算方法。
2. 完成弹性模量的计算练习题。
第三章：屈服强度与抗拉强度教学目标：1. 理解屈服强度与抗拉强度的概念及其物理意义。
2. 掌握屈服强度与抗拉强度的计算方法。
3. 了解屈服强度与抗拉强度在不同材料中的变化规律。
教学内容：1. 屈服强度与抗拉强度的概念：定义、物理意义。
2. 屈服强度与抗拉强度的计算方法：应力-应变关系、极限状态方程。
3. 屈服强度与抗拉强度在不同材料中的变化规律：金属材料、非金属材料、复合材料等。
教学活动：1. 复习上一章的内容，引入屈服强度与抗拉强度的概念。
材料力学电子教案
材料力学电子教案第一章：材料力学概述1.1 材料力学的定义和研究对象1.2 材料力学的发展简史1.3 材料力学的研究方法1.4 材料力学的应用领域第二章：内力、截面法和剪切力2.1 内力的概念及其计算2.2 截面法的基本原理与应用2.3 剪切力的概念及其计算2.4 剪切强度计算及剪切失效分析第三章：弯曲和扭转3.1 弯曲的基本概念3.2 纯弯曲梁的应力和应变3.3 弯曲强度计算3.4 扭转的基本概念3.5 扭转应力计算及扭转失效分析第四章：材料的基本力学性能4.1 弹性变形与弹性模量4.2 塑性变形与塑性极限4.3 材料的其他力学性能4.4 材料力学性能的测定方法第五章：应力-应变关系与胡克定律5.1 应力与应变的定义及关系5.2 胡克定律的表述及应用5.3 非线性材料的应力-应变关系5.4 弹性模量的测定方法及应用第六章：材料力学中的能量原理6.1 能量原理概述6.2 势能和弹性势能6.3 能量原理在材料力学中的应用6.4 能量原理在弹性问题求解中的应用第七章：材料力学中的强度理论7.1 强度理论概述7.2 强度条件及其应用7.3 安全系数的概念及其计算7.4 材料力学中的失效准则及应用第八章：梁的弯曲与扭转组合8.1 梁的弯曲与扭转组合问题概述8.2 纯弯曲梁的扭转应力8.3 扭转梁的弯曲应力8.4 弯曲与扭转组合问题的求解方法第九章：壳体力学9.1 壳体力学概述9.2 壳体的基本方程及其求解9.3 壳体的弯曲与轴向变形9.4 壳体的稳定性问题及其求解方法第十章：材料力学在工程中的应用10.1 材料力学在结构设计中的应用10.2 材料力学在机械设计中的应用10.3 材料力学在材料加工中的应用10.4 材料力学在其他工程领域的应用重点和难点解析1. 第一章中“材料力学的研究方法”是重点内容，因为它涉及到材料力学的基本研究方法和思维方式。
补充和说明：材料力学的研究方法包括实验研究、理论分析和数值模拟等。
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§2.7 失效、安全因数和强度计算一．失效：工程中将构件不能正常工作称为失效。
①脆性断裂①塑性变形②弹性变形过大 ②冲断（冲击、撞击） ③疲劳③失稳④蠕变（高温） ④腐蚀（等等）二．破坏准则：就强度而言 塑性材料：σ=σs 脆性材料：σ=σb 强度条件：σ≤[σ] σ——工作应力 [σ]——许用应力ssn σσ=][（塑性材料）bbn σσ=][（脆性材料）三．安全因数：（1）n s 、n b 称为安全因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的构件：n s =1.2~2.5 n b =2.0~3.5（2）确定安全因数应考虑的主要因素（P32）①材料素质（均匀程度、质地好坏、塑性、脆性） ②载荷情况（静载、动载，估计准确度） ③简化过程，计算方法精确度④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。
⑤设备机动性、自重的要求。
⑥其它尚无考虑的因素。
综合考虑后确定。
四．强度条件][σσ≤=NAF①强度校核：认为安全5%100][][<⨯-σσσ 强度计算 ②设计截面：][σN≥F A ③确定许用载荷：A F N ][σ≤例2.7.1 已知F =130kN α=30°AC 为钢杆：d =30mm [σ]s =160MPa BC 为铝杆：d =40mm [σ]a =60MPa试校核结构的强度。
解：（1）求各杆轴力F NAC ，F NBCACBC AC BC x F F F F F ..0sin sin 0N ⋅N N ⋅N ==-=∑αα0cos cos 0.=-+=∑N ⋅N F F F Fy BC AC αα1.752/32130cos 2..N ====N αF F F BC AC kN（2）求各杆应力 2.106430101.7523.=⨯⨯==N πσAC AC ACA F N/mm 2 8.594/40101.7523.=⨯⨯==N πσBC BC BCA F N/mm 28.59=MPa a ][σ<∴安全例2.7.2 图示托架，已知：F =60kN ，α=30° AC 为圆钢杆[σ]s =160MPa BC 为方木杆[σ]w =4MPa 试求钢杆直径d ，木杆截面边长b解：（1）求各杆轴力N⨯=⨯===-=∑432210125.01060sin 0sin 0ααF F F F F yN⨯===-=∑42112104.10cos 0cos 0ααF F F F F y（2）设计截面 AC 杆：[]sF A σ11≥[]sF d σπ124≥[]8.28160104.104441=⨯⨯⨯=≥πσπsF d mmBC 杆：[]wF A σ22≥[]wF b σ22≥[]1734101242=⨯=≥wF b σmm例2.7.3 滑轮结构已知AB 为圆钢杆d =20mm ，[σ]s =160MPa BC 为方木杆a =60mm ，[σ]w =12MPa 试求此结构的许用载荷W解：（1）求各杆的轴力与W 的关系1212030cos 30cos 0F F F F F x ==︒-︒=∑WWF F W F F F y 260cos 220260cos 60cos 02121=︒===-︒+︒=∑（2）分别按各杆强度条件确定WAB 杆：[]s A F σ≤11[]s A Wσ≤12 ∴[]1.25101.2524201602321=⨯=⨯⨯=≤N A W s πσkNBC 杆：[]W A F σ≤22[]W A Wσ≤22 ∴[]6.21106.21260122322=⨯=⨯=≤N A W W σkN取[W ]=21.6kN§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形1．轴向变形AF A F l ll l l ==∆=-=∆N σε1胡克定律：llE AF E ∆=→=N εσ ∴EAlF l N =∆(胡克定律的另一种形式) EA ——杆件抗拉（或抗压）刚度2．横向变形bbb b b -=∆='1ε试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的绝对值是一个常数。
μεε='μ——横向变形因数（泊松比）为材料常数（弹性常数） ∴-='εμε3．渐变杆轴力变化时变形计算 微段伸长：()()()x EA xx F l d d N =∆杆件伸长：()()x EA xx F l l d N ⎰=∆例1 除梯杆、求总变形总l ∆ 已知：A 1=400mm 2l 1=200mm A 2=800mm 2 l 2=200mm E =200GPa解：（1）求各段轴力并作轴力图（2）求各段变形及总变形1.0400102002001040331111=⨯⨯⨯⨯==∆N EA l F l mm 025.0800102002001020332222=⨯⨯⨯⨯==∆N EA l F l mm 075.0025.01.021=-=∆+∆=∑=∆N l l A E l F l ii ii 总mm例2 求节点A 的位移已知：F =10kN α=45°AB 为钢杆E 1=200GPa A 1=100mm 2 l 1=1000mm AC 为松木杆E 2=10GPa A 2=4000mm 2 l 2=707mm 解：（1）求轴力45045sin 01=-︒=∑F F F y14.1421045sin 1==︒=FF kN (拉)045sin 012=︒-=∑F F F x102114.1445cos 12=⨯=︒=F F kN(压)（2）轴向变形707.0100102001001014.143311111=⨯⨯⨯⨯==∆A E l F l mm 177.04000101070710103322222=⨯⨯⨯⨯==∆A E l F l mm（3）A 点位移31A A00.145cos AA 15=︒∆=l mm177.0A A 254=∆=l mm∴ 177.15454=+=A A AA AA mm ∴193.1177.0177.12243243=+=+=A A AA AA mm例3 结构如图CD 为刚杆AB 杆为钢杆，d =30mm ，a =1m ，E =210GPa（1）试验测得标距S =20mm 内的伸长变形ΔS =14.3×10-3mm ，试求F 力为若干。
（2）若AB 杆的材料[σ]=160MPa ，试求许用载荷[F ]，及此时D 点的位移δD解：（1）求AB 杆的轴力F N∵EASF S N =∆∴203.1443010210·23⨯⨯⨯⨯=∆=N πSSEA F1.106101.1063=N ⨯=kN求载荷F02··0=-=∑M N a F a F C5321.1062===N F F kN （2）求[F ][][]1131011343016032=⨯=⨯⨯==N πσA F kN[][]5.562==N F F kN（3）求δD∵[]762.030102104100010113233=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==πδEA aF NB ∴524.1762.022=⨯==B D δδmm§2.9 轴向拉伸或压缩的应变能1．变形能（应变能）固体受外功作用而变形，在变形过程中，外力所作的功转变为储存于固体内的能量，固体在外力作用下，因变形而储存能量称为变形能或应变能。
变形能有弹性变形能与塑性变形能。
当外力逐渐减小，变形逐渐减小，固体会释放出部分能量而作功，这部分能量为弹性变形能。
2．轴向拉（压）时的应变能()()⎰∆∆=∆=10d d d l l F W l F W线弹性应变能：（三角形面积）V εlF W V lF W ∆==∆=2121ε胡克定律EA Fll =∆，则EAlF l F W V 2212=∆==ε 3．应变能密度（比能） 力（σz y d d ）位移εdxd 单元体内应变能：V x z y V x z y W d d d d d d d d d d d d 111000⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰⎰εεεεεσεσεσ d V ——单元体的体积单位体积内的应变能：⎰==10d d d εεεεσVV V 结论：V ε为应力—应变曲线（σ-ε）下的面积 线弹性应变能密度：σεε21=v由胡克定律：σ=E ε，则EE v 222122σεσεε===注：v ε的单位为J/m 3以比例极限σp 代入上式可求出的应变能密度，称为回弹模量，它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。
Ev P P 2212σεσε==例1 利用功能原理求A 点的垂直位移δ 已知：F =10kN α=45°杆（1）为钢杆E 1=200GPa ，A 1=100mm 2，l 1=1000mm 杆（2）为木杆E 2=10GPa ，A 2=4000mm 2，l 2=707mm 解：（1）求轴力045sin 01=-︒=∑N F F F y14.1445sin 1=︒=N FF kN1045cos 012=︒-=∑N N F F F x kN（2）求位移（视作弹性杆系）V ε=W22222111212221A E l F A E l F F N N +=δ ()()3323323222221112110104000101070710101001020010001014.14/⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N N F A E l F A E l F δ =1.18mm（3）此法只求杆系上只作用一个载荷，求载荷作用点处的位移。
能量法求位移见下册13章。
§2.10 拉伸、压缩超静定问题 一． 超静定问题图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即E 1A 1=E 2A 2，F 、α、l 、E 3、A 3已知，试求三杆内力F N1、F N2、F N3。
解：（1）静力平衡方程⎪⎭⎪⎬⎫=-+=∑==-=∑N N N N N N 0cos 200sin sin 0132112F F F F F F F F F y x ααα （a ） 利用静力平衡方程，不能确定全部未知力的问题，称为超静定问题。
此问题称一次静不定问题，未知力的数与独立平衡数目之差数称为超静定次数。
二． 超静定问题解法 （1）建立足够的补充方程（a ）静力学方面——平衡方程 （b ）几何学方面——变形协调条件 （c ）物理学方面——物理条件 （b ）（c ）补充方程。
（2）变形协调条件αcos 31l l ∆=∆（b ）（3）物理条件⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆=∆N N 3333311111A E l F l A E l F l （c ）式（c ）代入式（b ）αcos 33331111A E l F A E l F N N = ∵ l 3=ll 1=l /cos α，故3331111cos /1A E lF A E F N N =α（d ）式（d ）为补充方程。