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数字信号处理 第三章
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
数字信号处理-第3版-答案(PDF)
2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( （2）x(n)= e (
j
π 5π n+ ) 8 6
n −π) 8 π 3π （3）x(n)=Asin( n+ ) 4 3
(1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( ωn + ϕ )，得出 ω =
k = −∞
∑ u (k ) a
∞
n−k
u (n − k ) =
k = −∞
∑a
∞
n−k
=
1 − a n +1 u(n) 1− a
2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)= λ
n
u(n)*u(n)
解：(1)
y(n)=
k = −∞ ∞
∑ u(k )u(n − k )
π 2π (n-k)+ ]| 3 6 π 2π =|x(n)|| sin[ (n-k)+ ]| 3 6
≤M|sin[
π 2π (n- k)+ ]|≤M 3 6
故系统是稳定系统。 因 y(n)只取决于现在和过去的输入 x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （3）设 y1(n)=
k = −∞
−n
u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求
2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。
证明
（1）交换律 X(n) * y(n) =
k = −∞
∑ x(k ) y (n − k )
∞
令 k=n-t,所以 t=n-k,又- ∞ <k< ∞ ,所以- ∞ <t< ∞ ,因此线性卷积公式变成
《数字信号处理》作业程佩青(第2版)清华大学出版社课后答案
0.588
0.5
0
0
0
0
-0.5 -0.588
-1 -0.951
-0.588
-0.951
-1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
绘图程序如下： n = 0:10; % 定义时间长度 xa = cos(40*pi*n*0.02 + pi/2); stem(n,xa,'filled'),title('cos(40*\pi*n*0.02 + \pi/2)') axis([-1,n(end)+1,-1.5,1.5]) for i = 1:11
N −1
∑ X (k) = −
[ x(( N
−1−
n))N
RN
(n)WN−
k
(
N
W −1−n) k N
(
N
−1)
]
n=0
N −1
∑ = − [x(n)N WN−kn ]WNk (N −1) n=0
N −1
∑ = − [x(n)N WN(−k )n ] •WNk (N −1) n=0
N −1
∑ = − [x(n)N WN(−k )n ] •WNk (N −1) n=0
课后答案网
2.8 P140 题 10
12 3 4 0 00 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 2 3 40 00 1 2 3 4 00 0 -1 -2 -3 -4 0 0 0 -1 -2 -3 -4 0 0 0 -1 -2 -3 -4 0 0 0 -1 -2 -3 -4 0 0 0 -1 -2 -3 -4 0 0 0 -1 -3 -6 -10 -10 -8 -4 1 7 4 0 0 0 -1 -3 -6 -10 -10 -8 -4 17 40 0 0 0 4 -2 -10 -10 -8 -4
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
3.1 图 P3.1 所示的序列 x(n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X (k) 。
∑ ∑ ∑ 解： X (k)
=
N −1
x(n)WNnk
=
N −1
x(−n)WNnk
=
−( N −1)
x(n)WN−nk
=
X (−k)
解：图 P3.5_1 所示的是计算这两个序列的周期卷积 x3 (n) 的过程，可以看出，x3 (n) 是 x1 (n) 延时 1 的结果， 即 x3(n) = x1(n −1) 。
3.6 计算下列序列的N点DFT：
(1) x(n) = δ (n)
(2) x(n) = δ [(n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N
总计需要时间： (105 + 21)s = 126s
用 FFT 计算 DFT：
复数乘法：
N 2
log2
N
=
5120次, 5120 ×100μ s
≈
0.512s
复数加法： N log2 N = 10240次,10240× 20μs ≈ 0.2048s
总计需要时间： (0.512 + 0.2048)s = 0.7168s
（2） x2 (n) = x ⎡⎣(2 − n)⎤⎦4 R4 (n)
解： x1(n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x(n) 。 （1）绘出 x(n) 与 x(n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x(n) 与 x(n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x(n) 与 x(n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列(xn 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数(X k。
解:(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.2 (1设(xn 为实周期序列,证明(x n 的傅里叶级数(X k 是共轭对称的,即*((X k X k =− 。
(2证明当(xn 为实偶函数时,(X k 也是实偶函数。
证明:(1 111**((([(]((N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X−−=−−−==−=−===∑∑∑ k(2因(xn 为实函数,故由(1知有 *((Xk X k =− 或*((X k X k −= 又因(xn 为偶函数,即((x n x n =− ,所以有(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号(xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果,不直接计算其傅里叶级数的系数(Xk ,确定以下式子是否正确。
(1,对于所有的k; ((10Xk X k =+ (2((Xk X k =− ,对于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k eπ,对所有的k是实函数。
解:(1正确。
因为(x n 一个周期为N =10的周期序列,故(X k 也是一个周期为N=10的周期序列。
(2不正确。
因为(xn 一个实数周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共轭对称的,即应有*((Xk X = k −,这里(X k 不一定是实数序列。
(3正确。
因为(xn (0n ==在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等,所以有 10(0N n Xx −=∑ (4不正确。
第三章Z变换(数字信号处理)
n2
X (z) x(n)zn
n
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
数字信号处理课后第三章习题答案
1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)
n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )
n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0
数字信号处理第三章习题作业答案
1 e 当 k 2, 4, 6,... 时，X 1 (k ) 0
序列3:
x3 (n) x1 (n) x1 (n 4)
根据序列移位性质可知
X 3 (k ) X1 ( k ) e j k X1 ( k ) (1 e j k )
即 x(n) 是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
（3）由于是8点周期序列，其DFS:
nk X (k ) x(n )WN x (n )e n 0 n 0 N 1 7 j 2 nk 8
序列1:
X 1 (k ) e
n 0
3
y 解: 序列 x(n) 的点数为 N1 6 ， (n) 的点数为 N 2 15， 故 x(n) y (n) 的点数应为
N N1 N 2 1 20
是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列 19( N 1) 0
15 ( L)
又 f (n) 为 x(n) 与 y (n) 的15点的圆周卷积，即L＝15。
第三章习题讲解
n 1, 0 n 4 h(n) R4 (n 2) 3．设 x(n) 其他n 0, h 令 x(n) x((n))6 ， ( n) h((n)) 6 ，
试求 x(n) 与 h (n) 的周期卷积并作图。
解：
y ( n ) x ( m )h ( n m )
4 ( L N 1)
15 ( L)
34 ( L N 1)
混叠点数为N－L＝20－15＝5 n 0 ~ n 4( N L 1) 故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y (n)
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数字信号处理第三章作业
1．(第三章习题3)在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期性序列，确定这个两个序列的周期卷积的结果3()x n ，并画出草图。
2．(第三章习题5)如果()x n 是一个具有周期为N 的周期性序列，它也是具有周期为2N 的周期性序列。
令~1()X k 表示当()x n 看做是具有周期为N 的周期性序列的DFS 系数。
而~2()X k 表示当()x n 看作是具有周期为2N 的周期性序列的DFS 系数。
当然~1()X k 是具有周期为N 的周期性序列，而~2()X k 是具有周期为2N 的周期性序列，试根据~1()X k 确定~2()X k 。
3．(第三章习题6)
（a ）试证明下面列出的周期性序列离散傅里叶级数的对称特性。
在证明中，可以利用离散傅里叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质③时可以利用性质①和②。
序列
离散傅里叶级数 ① *()x n
~*()X k - ②*()x n -
~*()X k ③Re ()x n ⎡⎤⎣⎦
~
e ()X k ④Im ()j x n ⎡⎤⎣⎦ ~()o X k
（b ）根据已在（a ）部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅里叶级数的下列对称性质成立。
①~~Re ()Re ()X k X k ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
②~~Im ()Im ()X k X k ⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
③~~()()X k X k =- ④~~arg ()arg ()X k X k ⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
4．(第三章习题7)求下列序列的DFT
(a) {}11
1-，，，-1 (b) {}1
j 1j -，，，- (c) ()cn 0n 1x n N =≤≤-，
(d) 2n ()sin 0n 1x n N N π⎛⎫=≤≤- ⎪⎝⎭
， 5．(第三章习题8)计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长度为N ）
1
0)()(0)
()()()
()()(00-≤≤=<<-==N n a n x c N n n n n x b n n x a n δδ 6．(第三章习题9)在图P3-4中表示了一有限长序列)(n x ，画出序列)(1n x 和)(2n x 的草图。
（注意：)(1n x 是)(n x 圆周移位两个点）
)())(()()
())2(()(442441n R n x n x n R n x n x -=-=
7．(第三章习题10)在图P3-5中表示了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。
11．有限长序列的DFT 对应于序列在单位圆上的z 变换的取样。
例如一个10点序列)(n x 的DFT 对应于图P3-6-1表示的10个等间隔点上)(z X 的取样。
我们希望找出在图P3-6-2所示的围线上)(z X 的等间隔取样，即)]10()102[(5.0|)(ππ+=k j e z z X 。
证明如何修改)(n x 以获得一个序列)(1n x 致使)(1n x 的DFT 对应于所希望的)(z X 的取样。
8．(第三章习题13)列长为8的一个有限长序列列具有8点离散傅里叶变换X(k)，如图P3-7-1所示。
列长为16点的一个信号的序列y(n)定义为：
n n ⎧ ⎪⎨⎪
⎩n x()为偶数y(n)=2
0为奇数 试从P3-7-2的几个图中选出相当于y(n)的16点离散傅里叶变换序列图。
9．(第三章习题14)图P3-8表示一个四点序列x(n)
(a)试绘出x(n)同x(n)线性卷积略图
(b)试绘出x(n)同x(n)四点圆周卷积略图
(c)试绘出x(n)同x(n)十点圆周卷积略图
(d)若x(n)同x(n)的某个N点圆周卷积同其线性卷积相同，试问此时N点的最小值是多少？
10. (第三章习题15)研究两个有限长序列x(n)和y(n)，此二序列当n<0时皆为零，并且
各作其20点DFT，然后将两个DFT相乘，再计算其乘积序列的逆DFT，设r(n)表示逆DFT，试指出r(n)哪些点对应于x(n)与y(n)作线性卷积应得到的点。
11.(第三章习题16)现有一为随机信号谱分析所使用的处理器，该处理器使用的取样点数必须是2的整数次方，并假设没有采取任何特特殊的数据处理措施。
已给条件是：(1) 频率的分辨率5Hz，(2)信号的最高频率 1.25kHz，要求确定下列参量：(a)最小记录长度；(b)取样点间的最大时间间隔；(c)在一个记录中的最少点数。