数列求和方法大全例题变式解析答案——强烈推荐
1.7 数列前n 项和求法
知识点一 倒序相加法
特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中
112n n a a a a -+=+= ,具有这样特点的数列．
思考： 你能区分这类特征吗？
知识点二 错位相减法
特征描述：此种方法主要用于数列}{n n b a 的求和，其中}{n a 为等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列，只需用n n S qS -便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q ≠1两种情况．
思考：错位时是怎样的对应关系？
知识点三 分组划归法
特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如1，112+
，11
124
++，……， 11124+
++……+11
2
n -，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．
思考：求出通项公式后如何分组？
知识点四 奇偶求合法
特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列 例如1
1357(1)(21)n n S n -=-++++-- ，
要求S n ，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合． 思考：如何讨论？
知识点五 裂项相消法 特征描述：此方法主要针对
12231111
n n
a a a a a a -+++
这样的求和，其中{a n }是等差数列． 思考：裂项公式你知道几个？
知识点六 分类讨论法
特征描述：此方法是针对数列{n a }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求. 思考：如何表示分段求和？
考点一 倒序相加法
例题1：等差数列求和12n n S a a a =+++
变式1：求证：n n
n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++
变式2：数列求和2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++
考点二 错位相减法
例题2：试化简下列和式： 2
1
123(0)n n S x x nx x -=++++≠
变式1：已知数列)0()12(,,5,3,11
2
≠--a a n a a n ，求前n 项和。
变式2：求数列23,2,3,,,n a a a na ；的前n 项和
变式3：求和：n n a
n a a a S ++++= 32321
考点三：分组划归法 例三：求数列1，112+，11124++，……，11124+++……+11
2
n -的和.
变式1：5，55，555，5555，…，5
(101)9
n
-，…；
变式2：13,24,35,,(2),n n ???+ ；
变式3：数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2+…+2 n －
1),……前n 项的和是
（ ）
A ．2 n
B ．2 n －2
C ．2 n+1－n －2
D ．n2n
考点四：奇偶求合法
例四：1
1357(1)(21)n n S n -=-++++--
变式1：求和：
n 1n S n-3-+
=1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N
变式2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 变式3：
已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n
考点五：裂项相消法
例五：{a n }为首项为a 1,公差为d 的等差数列，求12233411111
n n n
S a a a a a a a a -=
++++
变式1：1111,,,,,132435(2)
n n ???+ ；
变式2：数列通项公式为11
n a n n =++；求该数列前n 项和
变式3：：求和)
12)(12()2(5343122
22+-++?+?=n n n S n
考点六：分类讨论法
例六：在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；
(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
变式1：在等差数列}{n a 中，,369181716-==++a a a a 其前n 项和为n S . （1）求n S 的最小值，并求出n S 的最小值时n 的值； （2）求n n a a a T +++= 21.
变式2：设数列}{n a 满足132,511++=-=+n a a a n n ，已知存在常数q p ,使数列
}{q pn a n ++ 为等比数列.求n a a a +++ 21.
变式3：已知等比数列{n a }中，1a =64，q=2
1
，设n b =log 2n a ，求数列{|n b |}的前n 项和n S .
答案及解析 考点一 例一： 等差数列求和
12n n S a a a =+++
111()[(1)]a a d a n d =+++++- ①
把项的次序反过来，则：
()[(1)]n n n n S a a d a n d =+-++-- ②
①+②得：
()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++ 个
1()n n a a =+
1()
2
n n n a a S +=
变式1：
思路分析：由m
n n m n C C -=可用倒序相加法求和。 证：令)1()12(53210n n
n n n n C n C C C S +++++=
则)2(35)12()12(0121n n n n n n n n C C C C n C n S ++++-++=-
m n n
m n C C -= n
n n n n n C n C n C n C n S )22()22()22()22(2:)2()1(210++++++++=+∴ 有 n n
n n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(210?+=+++++=∴ 等式成立
变式2：
设22
2
2
sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++
，
又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++
， ∴ 289S =，892
S =． 考点二 例二：
21123(0)n n S x x nx x -=++++≠
解：①若x=1，则S n =1+2+3+…+n =
(1)
2
n n + ②若x ≠1,则21123n n S x x nx -=++++ 2323n n xS x x x nx =++++ 两式相减得：
2(1)1n x S x x -=+++…+n n nx x --1 11n
n x nx x
-=
-- ∴ 21(1)1n n
n x nx S x x
-=-
-- 变式1：
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,-n a a a a 对应项积，可用错位相减法求和。 解
：
()1)12(53112--++++=n n a n a a S
()2)12(5332n
n a n a a a aS -++++=
()()n n n a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---
当
n
n n n a a a S a a )12()
1()1(21)1(,12
1----+=-≠-时 2
1
)
1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2,1n S a n ==时 变式2：
2323n n S a a a na =++++ ，
当1a =时，123n S =+++ (1)
2n n n ++=
， 当1a ≠时，2323n S a a a =+++…n
na + ，
23423n aS a a a =+++…1n na ++，
两式相减得 2
3
(1)n a S a a a -=+++ (1)
1(1)1n n
n n a a a na
na a
++-+-=--，
∴212
(1)(1)
n n n na n a a
S a ++-++=-．
变式3：
n n a
n a a a S ++++=
32321 解：⑴
2
)
1(3211+=
+++==n n n S a n 时， ⑵01
≠≠a a 时，因为 n n a n
a a a S ++++= 32321 ① 1
321211++-+++=n n n a
n
a n a a S a ② 由①－②得：
???
????≠----=+=----=
---=-+++=-++)
1)1()1()1()1(2)1()1()
1()1(11)
11(1111)11(2211
2a a a a n a a a n n S a a a n a a S a n a
a a
a
n a a a S a n n
n n n n n n n n n 综上所述，
所以
考点三
例三：求数列1，112+
，11124++，……，11124+++……+11
2
n -的和. 解：∵ 11111242
n n a -=+
+++ 111()1221212
n
n --==-- ∴111
1(1)(1)224
n S =++++
++
1111(1)242
n -++
+++ 211
(21)(2)(2)22=-+-+-
1
1(2)2n -++-
1111
2(1)242n n -=-++++
1
1222n n -=-+
变式1：
555555555n n S =++++ 个5(999999999)9
n =++++
个
235
[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505
[10101010](101)9819
n n n n =++++-=-- ． 变式2：
∵2(2)2n n n n +=+，
∴ 原式222(123=+++…2)2(123n ++?+++…)n +(1)(27)
6
n n n ++=．
变式3：C 考点四 例四：
解：当n = 2k (k ∈N +)时,
2(13)(57)n k S S ==-+-+
[(43)(41)]k k +---
2k n =-=-
当21()n k k N +=-∈时，
21222[(41)]n k k k S S S a k k -==-=----
21k n
=-=
综合得：1(1)n n S n +=-
变式1：
解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+?+(4-7) - (4-3) =-=-2n
n n n
当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+?+(4-11) - (4-7) +=
-+=2-1（4-3）（4-）n -1
n n n n
变式2：
解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++…
12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=
?=…
②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++ (13)
222
n n -+=+
= 变式3：
解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）
∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列
当n 为奇数时：1
1(1)22n n a n +=+-?= 当n 为偶数时：4(1)222
n n
a n =+-?=+
即n ∈N +时， 1(1)n n a n ??=++-??
∴①n 为奇数时：
1(1)
(123)2122n n n n S n n -+=+++++
?=+-…
②n 为偶数时：(1)
(123)222n n n n S n n
+=+++++?=+…
考点五
例五： 解：
∵
1111()()
k k
k k k k k k a d a a a a a d d a a d ++-==++
1
111111()()k k k k d a a d d a a +=
-=-+ ∴1223
111111()()n S d a a d a a =
-+- 1111()n n
d a a -++
- 122311111111[()()()]n n d a a a a a a -=
-+-++- 1111()n
d a a =
- 111
[(1)]n a a n d -=
+-
变式1： ∵
1111
()(2)22
n n n n =-++，
∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-
+ 1111
(1)2212
n n =+--++．
变式2： 解：∵1
111(1)(1)
n n n
a n n n n n n n n +-=
=
=+-+++++-
∴11
1
21321n S n n
=
+++++++ (21)(32)(1)n n =-+-
+++- 11n =+-．
变式3：
思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解
:
)1
21
121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k
1
2)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=
+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n
练习:求n n a n a a a S ++++= 32321 答案: ???????≠----=+=)1()1()1()1()1(2
)
1(2a a a a n a a a n n S n n
n
考点六 例六：
解：(1))由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2
，
即d 2
－3d －4＝0. 所以d ＝－1或d ＝4.
所以a n ＝－n ＋11，n∈N *或a n ＝4n ＋6，n∈N *
.
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
＝－12n 2＋212
n.
当n≥12时， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21
2n ＋110.
综上所述，|a 1
|＋|a 2
|＋|a 3
|＋…＋|a n
|＝?????－12n 2
＋21
2
n ，n≤11，12n 2
－212n ＋110，n≥12.
变式1：
解：（1）当20=n 或21时，n S 的最小值为-630.
（2）?????
>+-≤+-=21
,126021232
321,21232322n n n n n n T n
变式2：
???
????>-+-≤-++=+++++3,26011323,224
1132
11221n n n n n n a a a n n n
变式3： 解：n a =1
a 1-n q =n -72
∴n b = log 2n a =n 7 （1）当n ≤7时，n b ≥0
此时，n S =－
212n +2
13n （2）当n ＞7时，n b <0
此时，n S =
212n －2
13
n +42（n ≥8） －
212n +2
13n （n ≤7） ∴n S = 212n －2
13n +42（n ≥8）
数列求和方法和经典例题
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：
解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．．
∴．3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标
●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
数列求和方法分类及经典例题
数列求和方法总结 一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型 裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，， 二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比 错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-
{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比 分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同 分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号 例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数 例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数 例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数 例：，求及 三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S
(完整版)数列求和经典题型总结
三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =
等比数列求和公式
等比数列求和公式 万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π 2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义
数列求和汇总例题与答案)
数列求和汇总答案 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积 设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………①
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
数列求和方法及典型例题
数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中，公差2 1= d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二 拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和：) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三 裂项相消法求和 [例].求和： n n +++++++++11341231121 . [例]求和：n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+
等差数列求和及练习题(整理)
等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）
（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项 及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题）
数列常见题型总结经典(超级经典)
高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1．前n 项和法（知n S 求n a ）?? ?-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ，求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法） （1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3 ,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a
1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(11≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 3.形如 )(1n f a a n n =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+= =n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中1111,1-+-= =n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。 2、求数列)2(1232,11 1≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
数列求和与求通项方法汇总与经典例题
15 数列求通项问题 数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式； 解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1， 累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型 例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ； 解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴； 例 数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式． 解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ） 所以，所以数列{a n +n }为等比数列． 数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2． 所以，所以． 例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式． 解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1． 两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1． 因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列． 得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣．
数列求和方法及典型例题
数列求和方法及典型例题 1?基本数列的前n 项和 门佝 aQ 2 1 ⑴等差数列a n 的前n 项和：S n na n(n 1)d an bn ⑵等比数列a n 的前n 项和S n : ①当q 1时，S n na i ;②当q 1时，& a i (1 q n ) a 1 a .q ； ； 1 q 1 q 2.数列求和的常用方法： 公式法：性质法：拆项分组法：裂项相消法；错位相减法；倒序相加法 题型一公式法、性质法求和 a 99 ______________________ 2?等差数列 a n 中，公差d 2，且a1 a 3 a 5 a 99 60，贝V a 1 a ? a 3 a 100 111 ［例1］求数列1 一,2 — ,3-， ,(n 右), 的前n 项和S n ? 题型二拆项分组法求和 (1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ,求S n 。 ［练］?求数列(2n 1)2的前n 项和S n . ［例］?求和: 1 n(n 1) 题型三裂项相消法求和 ［例］?求和: 1 , 2 1 1 ■ 4 “3 ［例］求和：1 ［练4］已知数列a n 满足a 1 1,a n 1 2a n 1 nN 1?已知S n 为等比数列 a n 的前n 项和，公比q 2,S g9 7 ,贝V a 3 a 6 a 9 ［练2］在数列 a n 中，已知 a 1=2, a n+1=4a n — 3n + 1, n € N
h 1 O h 1 1 nh 1 n (1)求数列a n的通项公式。⑵若数列b n满足41 4 2 4 3 4 n a n 1 ，求数列 2n 若c n，求数列c n的前n项和S n。 a n a n 1 题型四错位相减法求和 ［例］?设数列a n为1 2,2 22,3 2 3,4 2 3 n 2n x 0求此数列前n项的和. ［例］?设数列｛a n｝满足a1+ 3a2 + 32a3 + …+ 3n_ 1a n=￡, n€ N*. (1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n= n，求数列｛b n｝的前n项和S n. ［练1］已知数列｛ a n｝、｛b n｝满足a11 , a2 3, b n 1 2(n N*)，b n a n 1 a n。 b n (1)求数列｛b n｝的通项公式； (2)数列｛ C n｝满足C n b n log 2( a n 1)(n * N ),求S n C1 C2 ........ C n。 ［练4］等比数列a n中，已知对任意自然数n, a〔a? a3 a n 2n 1,求a；a；a3 2 A.2n 1 B.12n 1 C.4n 1 1 n . D.— 4 1 3 3 a；的值 b n的通项公式。(3)
详解数列求和的方法+典型例题
详解数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+ =+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(2 1 3211+= +?+++== ∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6 1 321222212++= +?+++== ∑=n n n n k S n k n （3）、23 3331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 }{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1 -n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1 321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则1 2 321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ②
①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1 321)1( ?)1(11 132n n n nq q q q q q S -+?++++-= - ?)11(11n n n nq q q q S ----= ?q nq q q S n n n ----=1) 1(12 综上所述：????????? ≠≠----=+==)10(1) 1(1)1)(1(2 1 )0(02 q q q nq q q q n n q S n n n 且 解析：数列}{1 -n nq 是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的， 此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。 第三类：裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如： （1）、1 1 1)1(1+- =+= n n n n a n （2）、)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （3）、]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n （ 4 ） 、 n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 2、根式形式，如：
数列经典例题(裂项相消法)20392
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；
涵盖所有高中数列求和的方法和典型例题
数列的求和 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2 ． 公 式 法 ： 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=++++= ∑L 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =++++=????∑L 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项公式 ： 1 11)1(1+-=+n n n n ； 1111 ()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1 (n n n x x x x x x S ++++ ++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 1 10101011112-= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ])101010[(9 1)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[ 911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ n x x x x x x n n 2)1 11()(242242++++++++=ΛΛ （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2) 1() 1)(1(21)1(1)1(2 2222222222+-+-=+--+--=+---
数列求和题型归纳
数列求和题型归纳Revised on November 25, 2020
数列求和 考点1 错位相减法：求{}n n b a 型数列的前n 项和，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列 例1：已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为－4. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1(4)((0,)n n n b a q q n N -*=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 例2：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡,数列{b n }满足 a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ； （2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 练习1：推导等比数列求和公式q q a S n n --=1) 1(1 （1≠q ） 练习2：已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （1）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列12n n a -?? ?? ?? 的前n 项和 练习3：在数列{}n a 中，11a =，211 2(1)n n a a n +=+?． （Ⅰ）证明数列2{}n a n 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11 2 n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S 考点二 裂项相消法： （1）111)1(1+-=+?n n n n （2）) 1 1(1)(1d n n d d n n +-=+?
（3）) 1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 其中d 是等差数列{}n a 的公差 例1：已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令2 1 1 n n b a = -（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 例2：等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ????的前项和. 练习1：已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数() y f x =的图像上。 （Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）、设1 3 +=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T 练习2：设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(4 1 +=n n a S ． （I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）设1 1 +?= n n n a a b ，求数列{n b }的前n 项和 n T
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。
例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。