2.3__连续型随机变量的数学期望与方差
η
b0
b1
L
P p(b0 )x0 p(b1)x1
L
bn1
p(bn 1 )xn 1
n
E 与E 很接近，E = bi p(bi )xi
i 1
n
nn ,maxxi0 lim 如果 bi p(bi )xi的极限存在 n
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY
(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
17
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
p(x)
0
当x 0或x 1时
求随机变量的方差。
13
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
14
下页
三、练习
• 课本第90页 第6题
i 1
bi p(bi )xi
xp(x)dx
E
i1
8
1、连续型随机变量的数学期望的定义
设连续型随机变量 的密度函数为 p(x)
若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：
E( ) xp(x)dx
例1 随机变量的概率密度函数
p(
x)
(1)D(c) 0
(3)D( b) D( )
(2)D(k ) k 2D( ) (4)D(k b) k 2D( )
6
二、新课
（一）连续型随机变量ξ取值x)
在x轴上取很密的分点： y
x0 x1 x2 L xn
1、方差的定义
D( ) E[ E( )]2
(刻画了随机变量ξ与其均值 E(的) 平均偏离程度)
2、标准差的定义
D( )
18
3、方差的常用的计算公式
(1)D( )
E[
E( )]2
[x
E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
（二）离散型随机变量取值的方差 1、方差的定义
D( ) E[ E( )]2
(刻画了随机变量ξ与其均值 E(的) 平均偏离程度)
2、标准差的定义 D( )
4
随 3、方差的常用的计算公式
机 变 量
x1
x2
[ E( )]2 [x1 E( )]2 [x2 E( )]2
xi xi1 xi
b i
【xi
,
xi
）
+1
y p(x)
o
x0b0 x1 xi bi xi1
xn x
7
连续型随机变量ξ的概率分布
ξ 【x0 , x1）【x1, x2）
L
P p(b0 )x0 p(b1)x1
L
【xn1, xn）
p(bn 1 )xn 1
离散型随机变量η的概率分布表:
(6)E( f ( )) f (x)p(x)dx
(6)E f ( ) f (xk )PK
k
10
（二）连续型随机变量ξ取值的方差
1、方差的定义
D( ) E[ E( )]2
(刻画了随机变量ξ与其均值 E(的) 平均偏离程度)
2、标准差的定义
D( )
11
x2 p(x)dx
x p( x)dx
19
4、方差的性质 设 k ,b,c均为常数，则有
(1)D(c) 0
(2)D(k ) k 2D( ) (3)D( b) D( )
(4)D(k b) k 2D( )
20
下页
五、作业
• 课本第90页 第5题
2020年2月29日星期六
1
一、复习
（一）离散型随机变量取值的数学期望
1、数学期望的定义
X x1 x2 ··· xk ···
P p1 p2 ··· pk ···
EX x1 p1 x2 p2 xk pk
说明:(1)E(X)它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
(2)当k 时， xk pk 收敛，E(X) 才存在。
12
3、方差的常用的计算公式
(1)D( )
E[
E( )]2
[x
E( )]2
p( x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
例2 随机变量的概率密度函数
6x(1 x)，当0 x 1
6x(1 x)，当0 x 1
0
当x 0或x 1时
求随机变量的数学期望。
9
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
(2)EaX aEX
(3)EX b EX b
(4)Eb b
(5)EX Y EX EY
3、方差的常用的计算公式
(1)D(
)
E[
E(
)]2
[x
E(
)]2
p( x)dx
根据数学期望(6)E( f ( ))
f (x)p(x)dx
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
x2 p(x)dx
x p( x)dx
P
p1
p2
··· xn
···[xn E( )]2
··· pn
(1)D( ) E[ E( )]2 [x1 E( )]2 P1 [x2 E( )]2 P2 [xn E( )]2 Pn
(2)方差的简便计算公式
D( )=E（ 2） E（2 ）
5
4、方差的性质
21
k
2
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b (2)EaX aEX (3)EX b EX b
(4)Eb b X b P1
(5)EX Y EX EY
(6)E f ( ) f (xk )PK 3 k
15
四、小结 （一）连续型随机变量ξ取值的数学期望
1、连续型随机变量的数学期望的定义 p(x) 设连续型随机变量 的密度函数为
若积分 xp(x绝)d对x 收敛，则 的数学期望为：
E( ) xp(x)dx
16
2、数学期望的性质
(1)EaX b aEX b
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概率论与数理统计教程茆诗松版二
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
分布列的基本性质
(1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
注 意 点 (1)
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
注 意 点 (2)
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
若级数绝对收敛则称该级数为x的1iiixp???数学期望记为1iiiexxp????第二章随机变量及其分布华东师范大学18december2019第28页连续随机变量的数学期望定义222设连续随机变量x的密度函数为px若积分绝对收敛则称该积分为x的xpxdx????数学期望记为exxpxdx?????第二章随机变量及其分布华东师范大学18december2019第29页例221则ex?10200110420308
= 1+3/4+6/4 = 13/4
数学期望的性质
(1) E(c) = c (2) E(aX) = aE(X) (3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X))
例2.2.3
设X~
2x,
p(x)
0,
0x<1 其它
求下列 X 的函数的数学期望.
(1) 2X1, (2) (X 2)2
绝对收敛，则称该积分为X 的
数学期望，记为
E(X)xp(x)dx
例2.2.1 X 1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.4 0.3
《概率与统计》课程标准
《概率与统计》课程标准一、课程基本信息二、课程性质与作用（一）课程性质本课程为数学教育专业必修课，其目标在于培养学生掌握概率和统计应用的基本技能，培养和提高学生的数学文化素质，为学生学习其他课程打下良好的基础。
因此，《概率与统计》在数学教育专业所开设的课程中占有十分重要的地位，是本专业学生的专业必修课。
（二）课程作用本课程立足于社会对小学数学教师的职业要求出发，按实际工作过程设计教学，模拟工作案例进行教学，充分体现职业性、实践性、开放性。
本课程以学生就业需求和长足发展着想，培养其理性处理随机现象能力、相应职业素养、分析解决问题的能力、创新敬业的精神、沟通协调能力和自主学习能力。
三、课程设计思路本课程的基本设计思路是力争用较为通俗的语语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法，理论和方法相结合，以体现数理统计的应用价值。
课程讲解中少证明，多实例解释；尽量少抽象概念，多具体问题。
通过培养学生利用学科知识解决实际问题的能力。
按照小学数学教师的实际教学所需要的知识、能力、素质要求，选取课程教学内容，并为学生可持续发现奠定良好的基础。
四、课程目标(一）总体目标《概率与统计》是一门几乎遍及所有科学技术领域的专业课，通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决实践中遇到的各种问题。
（二）具体目标1.知识目标（1）理解掌握概率论中相关的概念和定理（2）学会利用概率论的知识解决一些实际问题（3）理解数理统计中的基本思想和解决问题的方法2.能力目标力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生在以后的教学工作和实际生活中，能灵活自如的应用这些理论。
3.素质目标（1）培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神（2）培养具有认真、细致严谨的职业能力五、课程内容(一）课程内容安排表（二）课程内容与要求六、教学基本条件本门课程须拥有一支“以骨干教师为支撑，专兼结合”的师资队伍。
数学期望与方差
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数
第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
下 回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1
PX xk pk , k 1,2,.
记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .
比如
X的分布律为
正态分布 指数分布
1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
下 回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1
PX xk pk , k 1,2,.
记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .
比如
X的分布律为
正态分布 指数分布
1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
常见的连续型随机变量
02 均匀分布
定义和性质
定义
均匀分布是一种连续型概率分布，在 概率论和统计学中，均匀分布也叫矩 形分布，它是对称概率分布，在相同 长度间隔的分布概率是等可能的。
性质
均匀分布具有等可能性、对称性、均 匀性等特点。其分布函数是一条斜线 ，概率密度函数是一个常数。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数
均匀分布的概率密度函数是一个常 数，表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a 和b是区间的端点，x属于[a, b]。
伽玛分布的概率密度函数具有指数函数和幂函数的乘积形式，形状 参数和尺度参数分别控制分布的形状和尺度。
性质
伽玛分布具有可加性，即多个独立同分布的伽玛随机变量的和仍然 服从伽玛分布。
贝塔分布
定义
贝塔分布是一种在[0,1]区间上的连续型概率分布，常用于描述比例、概率等随机变量的分布情况。
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
跨学科交叉融合
连续型随机变量的研究涉及数学、统 计学、计算机科学等多个学科领域。 未来，跨学科交叉融合将成为推动连 续型随机变量研究发展的重要趋势。 通过整合不同学科的优势和资源，我 们可以更深入地理解连续型随机变量 的本质和规律，为解决实际问题提供 更有效的手段和方法。
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均匀分布
在某一区间内，每个取值的可能性都 相等。
03
指数分布
描述某些随机事件发生的时间间隔的概率分 布，如放射性元素的衰变时间、电话交换台
的呼叫间隔时间等。
05
04
正态分布
一种钟形曲线分布，具有广泛的应用 背景，如自然和社会科学中的各种测 量误差、产品质量控制等。
概率统计2-3
1−p o p 1
p x
9
例题与解答
例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ξ,η表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
ξ
P
8
9
10
η
P
8
9
10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
解 Eξ=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是9.3和9.1, 故甲射手较乙射手的技术好。
+ ∫ ( 55 − x )dx + ∫ ( 65 − x )dx ]
25 55
55
60
E(Y)=E(g(X))=
∫
+∞
−∞
g( x ) f ( x )dx
1 = ( 12.5 + 200 + 450 + 37.5 ) 60 =11.67(分)
21
例题与解答
*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 X≥y 3y y∈[2000,4000],且有 Y = g( X ) = 3X − ( y − X ) X < y +∞ 4000 1 EY = ∫ g( x) f ( x)dx = 2000 g ( x ) dx −∞ 由微积分可知： 由微积分可知： 2000 4000 y 1 y=3500时 = 2000 [ ∫ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx 当y=3500时， 2000 y EY最大 EY最大。 最大。 2
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲英文名称：Probability and statistics课程代码：221101008课程类别：专业基础课课程性质：必修开课学期：第三学期总学时： 54学时总学分：3考核方式：闭卷先修课程：高等数学适用专业：经济学专业一、课程简介概率论与数理统计是经济学专业的一门专业基础课。
概率论与数理统计是研究不确定性现象的数量规律性的一门学科，是对随机现象进行定量分析的重要工具，它在现代科学技术中占有很重要的地位，是研究自然现象、处理现代工程技术、解决科研和生产实际问题的一种有力的数学工具，已被广泛应用于每一学科领域、工农业生产和经济管理部门中。
开设本课程的目的在于，通过本课程的学习，使学生初步掌握概率论与数理统计等方面的基础知识，了解它的基本理论与基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运动所学知识解决实际问题的能力，同时使学生了解概率论与数理统计在经济方面的应用，具备概率思想分析实际随机问题的能力，为专业课程的学习打下基础。
学生在进入本课程学习之前，应学过高等数学课程，该课程的学习为本课程提供了必须的数学基础知识。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础。
本课程总54学时，其中理论课47学时，习题课7学时，考核方式为闭卷考试，根据平时考勤成绩、习题作业成绩、阶段性单元检测成绩及闭卷期末考试成绩综合给予最终成绩评定。
二、课程目标及其对毕业要求的支撑目标1人文素养目标：教育学生认真学习马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”、科学发展观和新时代中国特色社会主义的重要思想；忠诚党的教育事业和体育事业，培养学生互教互学、团结友爱、共同提高的集体主义精神；培养学生有严格组织纪律性，吃苦耐劳和勇敢顽强的意志品质。
目标2理论知识培养目标：使学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基础知识，初步掌握处理随机事件的基本思想和方法。
概率论 2.3(连续型随机变量)
x
a
[ x由概率密度求分布函数]
5.F ( x) f ( x)(x为f ( x)的连续点 ).[由分布函数求概率密度]
由性质5在f(x)的连续点x 处有
F ( x Δ x) F ( x) f ( x) lim Δ x 0 Δx P( x X x Δ x) lim . Δ x 0 Δx
2.3.2 常用连续分布
【补充例】 （等待时间）公共汽车每10分钟按时
通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时
间不超过3分钟的概率. 解 设X表示他等车时间（以分计），则X是 一个随机变量，且 X ~ U (0,10). X的概率密度为
1 , 0 x 10, f ( x ) 10 其 它. 0,
这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量 X的概率 牛顿-莱布 尼兹公式 密度函数的充要条件 .
[确定待定参数]
b
3.P{a X b} 1 f ( x)dx F (b) F (a); [求概率]
4.F ( x)
f ( x)
f (t )odt( x );
解: (1) 由
f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1
f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度
即 有C 1
3 0
所求概率为 P{ X 3}
3 f ( x )dx , 10
2.3.2 常用连续分布
【例2.12】设随机变量 X在(2,5)上服从均匀分布，
随机变量的数学期望
思考 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、数学期望的概念 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
xk pk k 1
绝对收敛，则称级数
xk pk k 1
例8 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率
密度
1 0va f (v ) a 0 其它
2
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W kV ( k 0, 常数), 求W的数学期望.
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分 望不存在。
x f ( x)dx 发散，则称X的数学期
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
第三节课,第一章2. §2.3.连续型随机变量概念§2.4 数字特征
1
x α dx
1 α 1 x C α 1
2
3 1
0.9
1 0.972 0.028
7
答： 供电量不足的概率为0.028 .
典型问题——求概率密度中参数 例2. 设连续型随机变量 X 的概率密度 (x)为：
cx 2 0 x 1 ，求常数c的值. ( x) 其他 0
即：E(C) = C , D(C) = 0
(2) 变量和的期望与方差等于它们期望与方差的和;
即：E(X+Y) = E(X)+E(Y) , D(X+Y) = D(X)+D(Y) (3)常量因子可以提到期望外面. 即：E(kX) = kE(X) (4)常量因子平方可以提到方差外面. 即:D(kX) = k2D(X)
例5. 若 D( X ) 2, 则D(2 X 5) __
解: 随机变量的期望与方差的性质
D( 2 X 5) D(2 X ) D(5)
(2)2 D( X ) 0 4 2 8
18
作
业:
74页2.01、2.02、2.04、2.05、2.06、2.08 题 74页2.09题、 2.10题、 2.14题、 2.16题、2.17题
方差D(X)等于X平方的数学期望减数学期望平方.
80 13 2 80 169 D( X ) ( ) 16 6 16 36
14
典型问题—求连续型随机变量的参数 例3. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 a bx2 0 x 1 3 ( x) ，若数学期望E ( X ) 5 其他 0 求: 常数 a, b的值 解: 因为有两个未知参数, 所以需要建立两个方程 根据概率密度 (x)性质 ( x )dx 1
2.3 随机变量的数字特征
X3
E(Y ) 10 0.328 5 0.410 00.205 20.057
5.216 (万元)
26
例题与解答
例8 设随机变量X的概率密度为 ex x 0
f (x) 0 x 0
求 Y e2X 的数学期望。 解：Y是随机变量X的函数，
E(Y
)
e2x
f
(x)dx
e2xex dx
8
数学期望的力学解释
在坐标轴上的 X1, X2, , Xn, 等点处放置质量 p1, p2 , , pn 的为质点, 则数学期望处为整个质量体系的重心。,
E(X)
x1
x2
x3
p1
p2
p3
9
例题与解 答
例1 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 表示)
的分布律如下表所示, 试比较甲、乙两射手的技术。
解:由题意 X~
1 f ( x ) 60
x [ 0,60 ]
g( x)f ( x)dx
设Y表示旅客候车时间0 , 其它
则
Y=g(X)=
5-X 25-X 55-X
0<X≤5, 5<X≤25, 25<X≤55,
60 1 g( x )dx 0 60
15
25
60 [ 0 ( 5 x )dx 5 ( 25 x)dx
2
2.3.1 数学期 望
问题的提出
1654年, 一个名叫梅累的法国贵族就“两个赌 徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望。
E(Y ) 10 0.328 5 0.410 00.205 20.057
5.216 (万元)
26
例题与解答
例8 设随机变量X的概率密度为 ex x 0
f (x) 0 x 0
求 Y e2X 的数学期望。 解：Y是随机变量X的函数，
E(Y
)
e2x
f
(x)dx
e2xex dx
8
数学期望的力学解释
在坐标轴上的 X1, X2, , Xn, 等点处放置质量 p1, p2 , , pn 的为质点, 则数学期望处为整个质量体系的重心。,
E(X)
x1
x2
x3
p1
p2
p3
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例题与解 答
例1 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 表示)
的分布律如下表所示, 试比较甲、乙两射手的技术。
解:由题意 X~
1 f ( x ) 60
x [ 0,60 ]
g( x)f ( x)dx
设Y表示旅客候车时间0 , 其它
则
Y=g(X)=
5-X 25-X 55-X
0<X≤5, 5<X≤25, 25<X≤55,
60 1 g( x )dx 0 60
15
25
60 [ 0 ( 5 x )dx 5 ( 25 x)dx
2
2.3.1 数学期 望
问题的提出
1654年, 一个名叫梅累的法国贵族就“两个赌 徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望。