华师大版九年级数学上册23.1.1成比例线段.docx
华师大版数学九年级上册课件 23.1_成比例线段_3(25p)
2.已知一个比例式的比例外项为m，n，比例内项为 p，q，则下面所给的比例式正确的是( )
A. m：n=p：q . B.m：p=n：q.
D
C.m：q=n：p. D.m：p=q：n.
3.己知 ad=bc (a，b，c，d不为零)，下 列各式中正确的是( B )
A. a b c d bc
C. a - c b - d cb
用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个
数成比例可写成怎样的形式？
如果
a b=
c d
，
或
a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
d 叫做 a、b、c的第四比例项.
1.
ac bd
a：b c：d
b、C叫比例内项，a、d叫比
例的外项，d叫做a、b、C的
第四比例项
ab bc
b叫做a和c的 比例中项.
做一做: 1.求下列线段a、b的比例中项.
（1）a＝3，b＝27； (2） a 5 1 ,b 5 1
2
2
2. 2和8两数的比例中项是______
温馨提示:
线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,前者是一个正 数,而后者是一对互为相反数.
2．已知：
a
线段a、b、c满足关系式
b
，
且b＝4，那么ac＝___b___c．
3．已知 a 3 b2
，那么 a b
b
a 、 ab
各等于多少？
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解
（1） ∵ a 4 2
【华师大版】九上数学：23.1.1成比例线段教学课件
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c， 则b叫做a,c的比例中项.
练一练
1．已知： 线段a、b、c满足关系式a b ， 且b＝4，那么ac＝___1_6_b_． c
2．已知 a 3 b2
，那么 a b b
a 、a b
各等于多少？
解： a 3 , a b a 1 5 . b2 b b 2
我们，还在路上……
5. 比例线段的等价变形：
a c
bd
a ：b=c：d
a b b2 ac
bc
ac bd
bd
a c
b d
d
b
c a
ac
课后作业
见《学练优》本课时练习
课后作业
见《学练优》本课时练习
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
b 2 , a b 1 b 1 , a 3.
a3 a
a 3 ab
典例精析
例：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段.
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解： （1） ∵ a 4 2
b63
c d
5 1 10 2
，
∴
ac
，
bd
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15 ，d＝ 5 3 ．
（2） ∵
a
2
2
5
c 2 15 2
5
b 5 5 d 53 5
∴ ac bd
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
• 注意:
• 1.若a:b=k , 说明a是b的k倍；
华师版九年级数学上册第二十三章教学课件 成比例线段
，故不是成比例线段.
答案：C
感悟新知
知识点 3 比例的性质
知3－讲
1. 比例的基本性质
如果
a b
c d
，那么ad=bc；如果ad=bc，那么
a b
c d
.
变式应用： 若a，b，c，d满足ad=bc，则
a
b
c ,
d
b ,
d
.
c da ba c
感悟新知
知3－讲
2. 比例的基本性质推广
a
(1)合比性质：b
感悟新知
特别解读：
知2－讲
●在通常情况下，四条线段a，b，c，d 的单位应该一致，
但有时为了计算方便，也可以使a与b的单位一致，c与
d 的单位一致.
●线段a，b，c，d 成比例，只可以写成
ac bd
或a ∶
b=c ∶ d，即四条线段a，b，c，d 成比例是有顺序的，
不能随便更改位置.
感悟新知
知2－讲
a
b ∵
c ad b
，把a，b，c
c d
，且a=2
的长代入式中就可以求出线段d 的长. cm，b=4 cm，c=5 cm，∴ 2 5 .
4d
∴ d=10 cm.
答案：B
感悟新知
例4
[一题多解]
已知
a 3
b 4
c 5
≠
0，求2aa－＋b3＋b c
知3－练
的值.
解题秘方：紧扣“比例的性质”用消元法或参数法求解.
比例的 性质
在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线
段的比.
线段a
与线段b
的比记作“a b
”或“a∶b”.
23.1.1.成比例线段
c d
（或a∶b＝c∶d），那么，
这四条线段叫做成比例线段，简称比例
线段．此时也称这四条线段成比例．
用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个
数成比例可写成怎样的形式？
如果
a b=
c d
，
或
a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫
C. a c 2e a - c b d 2f b - d
B. ac e bd f
D. 2a 2c e bd f
1.已知 x 3 ，求 x y 的值
y4
x y
变式：已知 x y 3，求 x 的值。 xy 4 y
2.已知x：y：z 3：4：5，求 x y 2z 的值 x y 2z
ad bc
在等式两边同减上ac，
∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c，
由a b,且 a c ,知c d,从而a b 0,且c d 0, bd
∴两边同a 除以（c a－b）（c－d），
ab cd
．
达标检测
1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m； （2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝2．4．
的前项和后项？
3、求线段的比时要注意哪些问题？
44、、什什么么叫做做成成比比例例线线段段？？
5/25/2019
温故知新
1、比例的意义：表示两个_比__相等 的式子叫做比例；
2、比例的基本性质：比例的_两_内__项_ 的乘积等于_两_外__项__的乘积。
探究新知
由下面的格点图可知， AB
AB
九年级数学上册 23.1 成比例线段教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册数学教
23．1 成比例线段23．成比例线段【知识与技能】1．掌握比例线段的概念及其性质．2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题．【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．【教学重点】线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质．【教学难点】用引入比值k的方法，探索比例的性质．一、创设情境，导入新知1．如何确定四个数成比例？数的比例式有什么基本性质？2．下面格点中的两个矩形相似吗？二、合作探究，理解新知探究一：成比例线段1．做一做(1)①在上面的格点图中，如果设水平(或竖直)的相邻两格点间的距离为1，那么AB＝________，BC＝________，A′B′＝________，B′C′＝________；②计算ABA′B′＝________，BCB′C′＝________；③显然AB、BC、A′B′、B′C′不相等，那么它们之间有什么关系呢？学生通过交流，得出结论：AB A ′B ′＝BCB ′C ′. (2)思考：换成其他线段如AD 、CD 、A ′D ′、C ′D ′是否也有类似的结论？若有，是什么？AD A ′D ′＝CDC ′D ′. 2．结论线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB 、CD 的长度，它们的长度比就是这两条线段的比．成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另两条线段的比，如a b ＝c d(或a ∶b ＝c ∶d )，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此外也称这四条线段成比例．3．议一议(1)在上面的格点图中，如果把格点去掉，通过度量，你还能验证上面的结论成立吗？ (2)如果在测量时，AB 的长度单位采用厘米而A ′B ′的长度单位采用分米，那么它们的比有没有变化？(3)两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 4．知识运用例1：判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： (1)a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；(2)a ＝2，b ＝5，c ＝215，d ＝5 3. 分析：利用成比例线段的定义求．解：(1)∵a b ＝46＝23，c d ＝510＝12，∴a b ≠c d.∴线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段． (2)∵a b＝25＝2 55，c d ＝2155 3＝2 55， ∴a b ＝cd.∴线段a 、b 、c 、d 是成比例线段． 例2：根据图示求线段的比：AC CD 、AC CB 、CDDB，并指出图中成比例的线段．解：由图可知：AC ＝1 cm ，CD ＝2 cm ，DB ＝4 cm ，CB ＝CD ＋DB ＝6 cm ，故AC CD ＝12，AC CB ＝16，CD DB ＝24＝12. 则有AC CD ＝CD DB.所以AC 、CD 、CD 、DB 是成比例线段．探究二：比例的性质1．在数的比例式中，若四个数a 、b 、c 、d 满足a b ＝c d，那么我们就说这四个数成比例，并且知道若a b ＝c d ，则有ad ＝bc ；若ad ＝bc ，则a b ＝c d.那么若线段成比例，是否也有上述结论？通过学生类比、讨论得出比例的基本性质．2．比例的基本性质如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc .如果ad ＝bc (a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝c d. 3．议一议(1)你会证明这两个命题吗？(引导学生从正反两个方面去证明) (2)由ad ＝bc ，除了得到a b ＝c d外，你还能得到哪些比例式？ 4．知识运用例3：证明(1)如果a b ＝c d ，那么a ＋b b ＝c ＋dd； (2)如果a b ＝cd(a ≠b )，那么a a －b ＝cc －d.证明：(1)∵a b ＝c d，在等式的两边同时加上1， ∴a b ＋1＝c d ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋dd. (2)∵a b ＝c d，∴ad ＝bc .在等式的两边同时加上ac ，∴ad ＋ac ＝bc ＋ac .∴ac －ad ＝ac －bc ，a (c －d )＝c (a －b )， ∵a ≠b ，由a b ＝c d得c ≠d ， ∴a －b ≠0，且c －d ≠0. 两边同时除以(a －b )(c －d )，∴aa －b ＝cc －d.练习：已知a b ＝23，求a ＋b b 、aa －b的值．引导学生练习，总结解题方法，最后教师归纳用设k 值的方法解与比例有关的题目．三、尝试练习，掌握新知1．若x 是3和12的比例中项，则3、x 、8的第四比例项为__±16__． 2．已知：3a ＝4b ，则a ＋b b ＝__73__． 3．若a b ＝c d ＝e f ＝34(b ＋2d －3f ≠0)，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f 的值．(答案：34)4．若b ＋c a ＝c ＋a b ＝a ＋bc＝k (a ＋b ＋c ≠0)，试求k 的值．(答案：2)5．如图，已知AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 的周长为36 cm ，求△ADE 的周长．(答案：24cm)6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分． 四、课堂小结，梳理新知 本节课你有什么收获和困惑？ 1．内容总结(1)成比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比值等于另外两条线段的比值，就称这四条线段是成比例线段．(2)比例的基本性质：如果a b ＝c d，那么ad ＝bc .如果ad ＝bc (a 、b 、c 、d 都不等于0)，那么a b ＝c d.2．方法归纳(1)在解决比例的有关问题中，用设k 值的方法；(2)判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等，相等则成比例，否则不成比例．3．注意的问题(1)在求两条线段的比时，单位必须统一；(2)线段a 、b 、c 、d 成比例，其表示方法是有顺序的，即a b ＝c d. 五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材第55页习题23.1的第1～6题． 23．1.2 平行线分线段成比例【知识与技能】在理解的基础上掌握三角形一边平行线的性质、平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理，并会灵活应用．会做已知线段成已知比和把线段进行等分的作图题．【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美．【教学重点】理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理，并能运用定理解决有关问题．【教学难点】平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究与归纳，以及如何将复杂的图形分解成一些简单的基本图形．一、创设情境，导入新知[温故而知新]问题：一组等距离的平行线截直线a 上所得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段有什么关系呢？(请同学们观看课件中的验证过程)[学生活动]学生观察、分析、思考、探究并与同学进行交流． [教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流． [小结]教师引导学生总结出如下结论：一组等距离的平行线在直线a 上所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等．[教师点拨]这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，它讨论的是平行线截直线截得的线段相等的情况，那么如果截得的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分线段成比例定理．【教学说明】通过对平行线等分线段定理的复习，为新课中引导学生归纳出平行线分线段成比例定理做铺垫．二、合作探究，理解新知[师生合作探究]师：同学们，请翻开数学作业本，我们可以发现每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，下面请同学先在作业本上任意画出一条直线m ，如图所示：师：从图形上我们可以看出直线m 与相邻的三条平行线相交于A 、B 、C 三点，由平行线等分线段定理可知AB ＝BC .如果再任意画一条直线n 与这一组平行线相交，那么同样可知DE ＝EF .由此我们可得AB BC ＝DEEF.[思维提升]如果将作业本上相邻的三条平行线换成不相邻的三条平行线，任意画两条直线m 、n 与它们相交，如图，当m 、n 这两条直线平行时，观察并思考这时所得的AD 、DB 、FE 、EC 这四条线段的长度有什么关系？如果m 、n 这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量一量算一算，看看它们是否存在类似的关系？[学生活动]学生自主探究并与同学进行交流．[教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流．[小结]教师引导学生探究并归纳出如下结论：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．用几何语言表示为：∵AD∥BE∥CF，∴ABBC＝DEEF.[教师点拨]点拨一：当上述图中的A点与F点重合时，如图，此时AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢？点拨二：如图，当直线m、n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？[小结]教师引导学生归纳出如下结论：三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．用几何语言表示为：∵DE∥BC，∴ADDB＝AEEC.∵DE∥BC，∴DADB＝EAEC.[教师点拨]这两幅图可以简称为“A”型和“X”型．例题讲解例1：如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝6，求BC的长．分析：考虑到题目中有一组平行线，故可尝试利用平行线分线段成比例定理来解题． 解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF(平行线分线段成比例)． ∵AB ＝4，DE ＝3，EF ＝6， ∴4BC ＝36. ∴BC ＝8.例2：如图，E 为▱ABCD 的边CD 延长线上的一点，连结BE ，交AC 于点O ，交AD 于点F . 求证：BO FO ＝EO BO.分析：由于比例式BO FO ＝EOBO中的线段都在同一条直线上，故应利用平行线分线段成比例定理分别找出BO FO 和EO BO的值．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC . ∵AB ∥CD ，∴CO AO ＝EOBO .∵AD ∥BC ，∴BO FO ＝COAO.∴BO FO ＝EO BO.三、尝试练习，掌握新知 1．教材第55页练习． 2．如图，DE ∥AF ∥BC ，试找出图中成比例的线段，与你的同伴比一比，看谁找得快， 找得多．第2题图第3题图3．已知：如图所示，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝m n ，求证：DE DF ＝mm ＋n.4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分． 四、课堂小结，梳理新知1．本节课主要学习了平行于三角形一边的平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及平行线等分线段定理，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行于三角形一边的平行线的性质来解决的．2．使用平行线分线段成比例定理，一要看清平行线组，二要找准平行线组截得的对应线段，否则会产生错误．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材第55页习题23.1的第7题．。
23.1.1 成比例线段 华师大版数学九年级上册课件2
2.比例的性质
（1）比例的基本性质
（2）比例的合比性质
∴
（2）比例的等比性质
巩固练习
答案：1.（1）是；（2）是. 2.16.
应用拓展
例3 若
，那么
各等于多少？
归纳小结
本节课我们学习了什么？
数论是人类知识最古老的一个分 支，然而他的一些最深奥的秘密 与其最平凡的真理是密切相连的。
④只要两条线段的长度单位一样，两条线段的比与所采用的单位 无关。
2.成比例线段及有关概念
由计算结果可知：
课本P49图
例1 判断下列线段a、b、c、d是否是成比例 线段：
（1）aБайду номын сангаас4，b=8，c=5，d=10 （2）a=2，b= ，c= ，d= 。
分析：判断线段a、b、c、d是否是成比例线段，关 键是看线段a、b、c、d中两两的比是否相等，需要 特别注意的是不一定按顺序计算a:b和c:d。
第23章 图形的相似
23.1 成比例线段（2课时）
23.1.1 成比例线段
情境导入
观察下列两张照片，你有什么发现？请与 同学交流。
课本P48图
像这种形状相同，大小不一定相同的图形叫相似形。 相似形的定义：具有相同形状的图形叫相似形。
探索新知
1.线段的比
如图，下列格点图中的格点小正方形的边长都是1，试计算：
课本P48、49图
（1）概念：一般地，若线段a、b的长度分别是m、n（单位相
同），那么就说这两条线段的比是ab=mn，或写成 数的比一样，a叫比的前项，b叫比的后项。
，和
（2）几点注意：
①两条线段的比是一个无单位的数；
②线段的比值是一个正数；
③两条线段的长度单位不同时，求两条线段的比时必须要先统一 长度单位。
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23.1.1成比例线段
班级 座号 姓名 成绩
一、填空与选择（每小题4分，共40分）．
1．具有相同 的图形称为相似图形.
2．在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，
简称 .
3．如果d
c b a =，那么其内项乘积等于外项乘积，即 ．如果a ·
d ＝b ·c （a 、b 、c 、d 都不等于 ），那么 ．以上结论称为比例的基本性质.
4．下列各组中四条线段成比例的是（ ）．
A ．4cm 、2cm 、1cm 、3cm
B ．1cm 、2cm 、3cm 、5cm
C ．3cm 、4cm 、5cm 、6cm
D ．1cm 、2cm 、2cm 、4cm
5．已知：230x y y =≠()，那么下列比例式中正确的是（ ）．
A ．x y 23=
B ．x y 32
= C ．x y =23 D ．x y 23= 6．若43x =
y ，则下列各式中正确的是（ ）．
A ．47=+y y x
B ．x y y -＝4
C ．3112=+x y x
D ．y y x -＝3
1 7．若
a b b
+=35，则b a ． 8．已知：a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中3,2,6a cm b cm c cm ===，则 d =______cm ． 9．已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .
10．已知)0(35≠++===g f e g c f b e a ，则=++++g
f e c b a _____________． 二、计算与解答（60分）．
11．（10分）如图，C 是线段AB 的中点，D 在BC 上，且AB=24cm ，
BD=5cm, 则AC ∶CB= ；AC ∶AB= ； BC ∶BD= ；CD ∶AB= ；AD ∶CD= .
12．（8分）判断下列各组线段是否成比例.
（1）4cm 、6cm 、8cm 、2cm （2）1.5cm 、4.5cm 、2.5cm 、7.5cm
（3）1.1cm 、2.2cm 、3.3cm 、6.6cm （4）2cm 、4cm 、4cm 、8cm ．
13．（10分）已知a b a -=32，求b
a b a +-34的值． 14．（10分）(1)已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=
a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点
吗？为什么？
(2)宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形。
请你设法作出一个黄金矩形.
15．（提升与拓展）（10分）已知x∶y∶z=3∶4∶5，①求
z y
x+
的值；②若x+y+z=6，求x、y、z. 16．（提升与拓展）（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、D（2，1），点B的纵坐标是2，且在直线y=2x上，点C、E在直线y=2x+3上，点C的横坐标是-1，点E的纵坐标是7，连接O、A、B得△AOB；连接C、D、E得△CDE．
（1）判断四条线段OA、AB、CD、DE是否成比例？
（2）△AOB和△CDE的形状是否相同？
（3）你能计算两个三角形的面积吗？
23.1.2平行线分线段成比例
班级座号姓名成绩
一、填空与选择（每小题4分，共40分）．
1．平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 .
2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 .
3．已知线段a、b、c，求作线段x使ax=bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（）A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若
AD=2BD，则CF
BF
的值为（）
A．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
2
3
5．2009年上海市)如图，已知AB CD EF
∥∥，那么下列结论正确的是（）
A．AD BC
DF CE
=B．
BC DF
CE AD
=C．
CD BC
EF BE
=D．
CD AD
EF AF
=
6．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于 .
(第5题）（第6题）（第7题）（第8题）
7．如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE：EB=2：3，FC=6，那么
DC= .
8．如图，AB∥EF∥DC，DE=2AE，CF=2BF，且DC=5，AB=8，则EF= .
9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE=2：3，BF=10，那么线段DF的长为 .
10．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 .
(第9题）（第10题）（第11题）
二、计算与解答（60分）．
11．（10分）已知：如上图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE=3，AC=5，BC=10，求CF.
12．（10分）已知：如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，
1
3
EO
OC
，AE=3，求EB .
13．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．
求：（1）DF
AB
的值；（2）线段GH的长．
14.（提升与拓展）（12分）如图，在直角坐标系中，已知点A（8，0）、B（0，6），点P由点B出发沿
BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向
向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜10
3
）秒．解
答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
15.（提升与拓展）（12分）如图，小明利用等距平行线
．．．．．解决了二等分线段的问题．
作法：（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E （2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；∴点M为线段AB的二等分点．
解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）
（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB的三等分点；
（2）点P是∠AOB内部一点，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，请找出一个满足下列条件的点P．（可以利用图1中的等距平行线）
①在图3中作出点P，使得PM=PN；
②在图4中作出点P，使得PM=2PN．
初中数学试卷
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