版高考数学一轮复习7.1空间几何体的结构特征及其三视图和直观图随堂训练文【含答案】
高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇 立体几何 第1节 空间几何体的结构及三视图和直观图(含答案)
第七篇立体几何(必修2)第1节空间几何体的结构及三视图和直观图课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013山东烟台模拟)如图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧(左)视图的面积为( C )(A)8π(B)6π(C)4+(D)2+解析:该组合体的侧(左)视图为其中正方形的边长为2,三角形为边长为2的三角形,所以侧(左)视图的面积为22+×22×=4+,故选C.2.(2013山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是( C )(A)①(B)② (C)③ (D)④解析:当该几何体的俯视图为圆时,由三视图知,该几何体为圆柱,此时,正(主)视图和侧(左)视图应相同,所以该几何体的俯视图不可能是圆,其余都有可能.故选C.3.(2013韶关市高三调研)某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( B )(A)4+4 (B)4+4(C) (D)12解析:由三视图知该几何体为正四棱锥P ABCD,底面边长为2,高PO=2,如图所示,取CD的中点E,连接OE、PE,则PE==,因此几何体的表面积为2×2+×2×4×=4+4,故选B.4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A )(A)2+(B)(C)(D)1+解析:由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为45°,腰和上底长度均为1,得下底长为1+,所以原图上、下底分别为1,1+,高为2的直角梯形.所以面积S=(1++1)×2=2+.故选A.5.(2013北京东城区模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示,利用长方体模型可知,此三棱锥A BCD的四个面中,全部是直角三角形.故选D.6.(2013广州市毕业班测试(二))一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示,若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1∶7的上、下两部分,则截面的面积为( C )(A)π(B)π (C)π(D)4π解析:由题意知,该几何体是底面半径为3,高为4的圆锥.由截面性质知截面圆半径为×3=,故截面的面积为π·（）2=,故选C.7.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题为( D )(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面与底面垂直且互相平行,而另两个相对侧面可能与底面不垂直,则不是直棱柱,故①假;对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真;对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱(如图(1)所示),故③假;对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一条对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一条对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.故选D.二、填空题8.如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是.解析:过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB,垂足为D,所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到的是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体.答案:两个圆锥的组合体9.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.解析:显然①②⑤均有可能;当三棱柱放倒时,其正(主)视图可能是三角形,所以③有可能,④不可能.答案:①②③⑤10.如图,点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是(填出所有可能的序号).解析:空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①;在平面BCC′B′上的投影是②;在平面ABCD上的投影是③,而不可能出现投影为④的情况.答案:①②③11.(2013山东烟台模拟)如图,三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形,AA1⊥面A1B1C1,正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则侧(左)视图的面积为.解析:因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为,侧视图为两直角边分别为2、的矩形,所以侧(左)视图的面积为2.答案:2三、解答题12.(2013西工大附中模拟)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,求此四棱锥的四个侧面的面积中最大值.解:由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥,顶点P在底面的射影是底面矩形的顶点D.底面矩形边长分别为3,2,△PDC是直角三角形,直角边为3与2,所以S△PDC=×2×3=3.△PBC是直角三角形,直角边长为2,,三角形的面积为×2×=.△PAB是直角三角形,直角边长为3,2;其面积为×3×2=3.△PAD也是直角三角形,直角边长为2,2,三角形的面积为×2×2=2. 所以四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为3.13.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.解:圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x,OO1=2x.又×(6x+2x)×2x=392,解得x=7.所以圆台高OO母线长l=OO1=14 cm,底面半径分别为7 cm和21 cm.B组14.(2013广州高三调研)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是( C )(A)3 (B)2(C)6 (D)8解析:四棱锥如图所示,PM=3,×4×=2,S△PDC=S△PAB=×4×3=6,S△PBC=S△PAD=×2×3=3,故四个侧面中面积最大的是6.15.(2013北京西城检测)三棱锥D ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为.解析:取AC的中点E,连结BE,DE,由正(主)视图可知BE⊥AC,BE⊥DE.DC⊥平面ABC且DC=4,BE=2,AE=EC=2.所以BC====4,即BD====4.答案:416.三棱锥V ABC的底面是正三角形,顶点在底面ABC上的射影为正△ABC的中心,其三视图如图所示:(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧(左)视图的面积.解:(1)直观图如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC=2,作AM⊥BC于M,连结VM,过V作VO⊥AM于O,过O作EF∥BC交AB,AC于F、E,则△VEF即侧(左)视图.由=,得EF=.又VA=4,AM==3.则AO=2,VO===2.××2=4.所以S即侧(左)视图的面积为4.。
高考一轮练习(7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图)
课时提升作业(四十二)一、选择题1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④3.(2013·沈阳模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=错误！未找到引用源。
BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的主视图是( )5.(2013·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )(A)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(B)2+错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
6.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为( )7.(2013·西安模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是( )(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④二、填空题8.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=错误！未找到引用源。
,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.9.(2013·临沂模拟)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是错误！未找到引用源。
高考数学一轮复习 第七章 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件 文
ppt精选
14
[做一做] 3．(2014·高考江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的 四个俯视图中正确的是( B )
ppt精选
15
解析：该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体， 下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个 面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边 距离相等，因此选 B．
ppt精选
7
3．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图 中，x′轴，y′ 轴的夹角为4_5°__(_或__1_3_5°__)____,z′轴与x′轴和y′轴 所在 平 面垂 直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴. 平行于x轴和z轴的线段在直观变图为中原保来持的原一长半度不变，平行于 y轴的线段长度在直观图中_________________________.
ppt精选
3
知识点
第七章 立体几何
考纲下载
空间中的 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和 平行关系 理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．
空间中的 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和 垂直关系 理解空间中线面垂直的判定定理与有关性质．
ppt精选
4
第七章 立体几何
第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直 观图
ppt精选
16
4．如图所示的直观图，其表示的平面图形是( D )
A．正三角形 C．钝角三角形
B．锐角三角形 D．直角三角形
ppt精选
17
考点一 考点二 考点三
空间几何体的结构特征 空间几何体的三视图(高频考点)
空间几何体的直观图
高考数学(文)一轮复习 7-1空间几何体的结构及其三视图和直观图
2S 直观图)．
11
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．球的任何截面都是圆．( × ) 2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体 是棱锥．( × ) 3．棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底 面之间的部分．( √ )
36
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
触类旁通
平面图形与其直观图的关系
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，注意
“三变”与“三不变”．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与
原图形的面积的关系：S
＝ 直观图
2 4S
原图形．
37
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
考向 空间几何体的三视图
命题角度 1 由空间几何体的直观图识别三视图 例 2 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的 体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同 的四个曲面构成，相对的两个曲面在同 一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合) 在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图 1， 图 2 中四边形是为体现其直观性所作的 辅助线，当其正视图和侧视图完全相同 时，它的正视图和俯视图分别可能是
中
， ∠ABC
＝
高考数学一轮总复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时训练理(2021年整
2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.1 空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.1 空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.1 空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时跟踪检测理的全部内容。
7。
1 空间几何体的结构特征及三视图与直观图[课时跟踪检测］[基础达标]1．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：因为正(主)视图和侧（左）视图都为三角形,可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．答案：A2．(2017年浙江卷)某几何体的三视图如图所示（单位：cm),则该几何体的体积(单位：cm3）是( )A.错误!＋1 B．错误!＋3C。
错误!＋1 D．错误!＋3解析:由图可知,几何体由半个圆锥与一个三棱锥构成，∵半圆锥的体积V＝错误!×(π×12）×3×错误!＝错误!，三棱锥的体积V2＝错误!×3×错误!＝11，∴该几何体的体积V＝V1＋V2＝错误!＋1.答案:A3．（2017年全国卷Ⅱ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为（)A．π B．错误!C.错误!D．错误!解析: 过圆柱的轴作截面,所得截面如图，则圆柱的底面半径为r＝错误!＝错误!，所以圆柱的体积为πr2·h＝π×错误!2×1＝错误!。
2020版高考数学一轮复习第7章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图学案文
7．1 空间几何体的结构及其三视图和直观图[知识梳理]1．多面体的结构特征2．旋转体的结构特征3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．[诊断自测]1．概念思辨(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A2P15T4)如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是( )答案 A解析对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，不符合题意．故选A.(2)(必修A2P28T3)如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( )答案 C解析由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，侧棱B1B是看不见的，在直观图中用虚线表示．所以正视图是选项C中的图形．故选C.3．小题热身(1)(2017·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图，俯视图是(注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图)( )答案 A解析正视图是等腰直角三角形，且AD棱属于看不见的部分，用虚线表示，俯视图也是等腰直角三角形，且BD棱属于看不见的部分，用虚线表示．故选A.(2)(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2答案 B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.题型1 空间几何体的结构特征典例下列结论正确的个数是________．(1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；(3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．举反例．答案0个解析(1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．(5)平行于轴的连线才是母线．空间几何体结构特征有关问题的解题策略1．关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意应用“还台为锥”的解题策略．冲关针对训练下列结论正确的是________．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥．②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形．④一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．答案③解析①错误，如图1；②错误，若两个垂直于底面的侧面平行，则可为斜棱柱；③正确，如图2，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，那么四棱锥P－ABCD四个侧面都是直角三角形；④错误，当截面与底面不平行时，不正确．题型2 空间几何体的直观图典例(2017·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2根据平面图形的原图形与直观图的关系求解．解析 如图(1)所示的是△ABC 的实际图形，图(2)是△ABC 的直观图．由图(2)可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. [条件探究] 若将典例条件变为“△ABC 的直观图△A 1B 1C 1是边长为a 的正三角形”，则△ABC 的面积是多少？解在△A 1D 1C 1中，由正弦定理a sin45°＝xsin120°，得x ＝62a ，∴S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2. 方法技巧用斜二测画法画直观图的技巧1．在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中仍然与x ′轴或y ′轴平行． 2．原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．3．原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接．冲关针对训练用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为( )A．4 cm2 B．4 2 cm2C．8 cm2 D．8 2 cm2答案 C解析依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD 相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.题型3 空间几何体的三视图角度1 已知几何体识别三视图E，F，G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱典例(2018·湖南长沙三校一模)已知点AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是( )答案 C解析当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.不管M，N，P，Q在什么位置，三棱锥P－MNQ的俯视图都不可能是正三角形．故选C.角度2 已知三视图还原几何体A为此几何体所典例(2018·河北名师俱乐部模拟)某几何体的三视图如图所示，记有棱的长度构成的集合，则 ( )A．3∈A B．5∈A C．26∈A D．43∈A答案 D解析由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF ⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为43，BF的长为25，EF的长为25，EC的长为4 2.故选D.方法技巧1．已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．2．已知三视图，判断几何体的技巧(1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体．(2)根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置．(3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．提醒：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．冲关针对训练(2017·文登市三模)空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为( )答案 A解析由已知三视图的上部分是锥体，是三棱锥，三棱锥的底面是等腰三角形，但不是直角三角形，排除B，C.等腰三角形的一个顶点在正方体一条棱的中点，故排除D.故选A.1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16 答案 B解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中共有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17π B．18π C．20π D．28π 答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个球被截去18后剩下的部分，设球的半径为R ，则该几何体的体积为78×43πR 3，即283π＝78×43πR 3，解得R ＝2.故其表面积为78×4π×22＋3×14×π×22＝17π.故选A.3．(2018·山西模拟)某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧(左)视图的面积为( )A.152B ．6＋ 3 C.32＋3 3 D ．4 3 答案 A解析 由题图可知该几何体的侧视图如图，则该几何体的侧(左)视图的面积为3×2＋12×3×3＝152，故选A.4．(2018·济宁模拟)点M ，N 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过A ，M ，N 和D ，N ，C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的 ( )A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④③答案 B解析由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是点D，C，C1，线段AN 在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )答案 D解析由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，故选D.2．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，E是AB的三等分点，G，N是CD 的三等分点，F，H分别是BC，MN的中点，则四棱锥A′－EFGH的侧视图为 ( )答案 C解析侧视图中A′E，A′G重合，A′H成为A′N，A′F，A′B重合，侧视图为向左倾斜的三角形．故选C.3．(2017·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )答案 C解析由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD 在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直．故选C.4．(2018·江西景德镇质检)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1上、下底面中心分别为O1，O2，将正方体绕直线O1O2旋转一周，其中由线段BC1旋转所得图形是( )答案 D解析 由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在B ，D 中选，显然B 不对，因为BC 1中点绕O 1O 2旋转得到的圆比B 点和C 1点的小．故选D.5．(2017·内江模拟)如图，已知三棱锥P －ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB ＝π2，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB ＝PA ＝PB ＝2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ，y ，z 分别是( )A.3，1， 2B.3，1,1 C ．2,1， 2 D ．2,1,1 答案 B解析 ∵三棱锥P －ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB ＝π2，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB ＝PA ＝PB ＝2；∴x 是等边△PAB 边AB 上的高，x ＝2sin60°＝3，y 是边AB 的一半，y ＝12AB ＝1，z 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的中线，z ＝12AB ＝1；∴x ，y ，z 分别是3，1,1.故选B.6．(2017·南昌二模)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到侧(左)视图可以为( )答案 B解析 满足条件的四面体如下图，依题意投影到yOz 平面为正投影，所以侧(左)视方向如图所示，所以得到侧(左)视图效果如上图．故选B.7．(2018·湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A ．①② B．①③ C．③④ D．②④ 答案 D解析 由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB 1A 1和平面BCC 1B 1展到同一个平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过BB 1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD 和平面CDD 1C 1展到同一个平面内，连接AC 1，则AC 1是最短路线，且AC 1会经过CD 的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.8．(2018·山西康杰中学模拟)已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为233，则该锥体的俯视图可能是( )答案 C解析 由正视图得该锥体的高是h ＝22－12＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥体的底面面积是S ＝23313h＝23333＝2，A项的正方形的面积是2×2＝4，B项的圆的面积是π×12＝π，C项的大三角形的面积是12×2×2＝2，D项图形不满足三视图“宽相等”原则，所以不可能是该锥体的俯视图．故选C.9．早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为( )A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4答案 B解析由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，利用体积及已知线段长度即可求出x.故其体积为(5.4－x)×3×1＋π×⎝⎛⎭⎪⎫122×x＝16.2－3x＋14πx＝12.6，又π＝3，故x＝1.6.故选B.10．(2018·辽宁六校联考)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )答案 B解析 根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥，设圆锥的底面半径为R ，高为H ，水流的速度是v ，则由题意得vt ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫h H 2R 2h .当vt >0时，解得h ＝33vH 2t πR 2，这是一个幂型函数，所以容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象类似于幂函数y ＝3x 的图象，故选B.二、填空题11．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.答案 8解析 根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC 为平行四边形，且有OB ⊥OA ，OB ＝22，OA ＝1，所以AB ＝3.从而原图的周长为8 cm.12．如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为平面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是 (填出所有可能的序号)．答案 ①②③解析 空间四边形D ′OEF 在正方体的平面DCC ′D ′上的投影是①；在平面BCC ′B ′上的投影是②；在平面ABCD 上的投影是③，而不可能出现的投影为④的情况．13．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是________．答案 2 3解析 由三视图可知该四面体为D －BD 1C 1，由直观图可知面积最大的面为△BDC 1.在正三角形BDC 1中，BD ＝22，所以面积S ＝12×(22)2×32＝2 3.14．(2018·大连模拟)某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．答案27解析由三视图可知该四面体为V－ABC，如图所示．其中AE⊥BE，VC⊥平面ABE.EC＝CB＝2，AE＝23，VC＝2，所以VB2＝VC2＋CB2＝8，AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，VA＝20＝2 5.AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，所以AB＝28＝27>25，所以该四面体的六条棱的长度中，最大的为27.三、解答题15．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解 (1)如下图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝ 23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232 ＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6. 16．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解 由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 边上的高，VE ＝VO 2＋OE 2＝4 2.同理侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5. ∴S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.。
高考数学(理)一轮复习文档 第七章 立体几何 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图 Word版含答案
第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．(2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．2．由三视图还原几何体的方法3．用斜二测画法画直观图(1)一般在已知原图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(2)一定要注意在原图形中与y轴平行的线段的长度在直观图中变为原来的一半，在由直观图还原时，与y′轴平行的线段的长度要变为原来的二倍．在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是22∶1.1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球D．圆柱、圆锥、球的组合体C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )B 根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．4.教材习题改编若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体5.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.矩形8空间几何体的结构特征(1)下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．【答案】(1)B (2)B判定与空间几何体结构特征有关命题的方法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．①②③④空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据几何体的结构特征确认其三视图；(2)根据三视图还原直观图；(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．(1)(2015·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B． 2C. 3 D．2(2)(2017·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为( )【解析】(1)根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.(2)如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥PA1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．【答案】(1)C (2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1)已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找到各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．(2)已知三视图，判断几何体的技巧①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．③遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．角度一根据几何体的结构特征确认其三视图1．(2017·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．角度二根据三视图还原直观图2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台A 因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥形，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图3.(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.空间几何体的直观图如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C.【答案】 C若本例中直观图为如图所示的一个边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是多少？将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝22，AB＝12＋（22）2＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2.2＋ 2——忽视三视图中的虚实线而致误将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )【解析】 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B1C 不平行，投影为相交线，故应选B ．【答案】 B(1)因对三视图的含义认识不到位，区分不清选项A 和B ，而易误选A ；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D ．在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图．(2017·河北省五校联盟质量检测)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2C. 3 D．2 3D 在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2，22，22，23，故选D．1．(2017·沈阳质检)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是ADB 由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上B 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A 、C 正确，且在它的高所在的直线上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．4．(2017·山西省四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5A 根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2017·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A.152B ．6＋ 3 C.32＋3 3 D ．4 3A 侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152.6．(2017·海口市调研测试)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )A.33 B．17C.41 D．42C 依题意，题中的几何体是四棱锥EABB1A1，如图所示(其中ABCDA1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E＝1)，EA＝32＋42＋42＝41，EA1＝12＋42＋42＝33，EB＝32＋42＝5，EB1＝12＋42＝17，AB＝BB1＝B1A1＝A1A＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为41，选C.7．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝24S＝52(cm2)．5 2 cm28．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．两个圆锥的组合体9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．210.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正(主)视图的面积为2 3.2 311.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝63(cm)．12．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥VABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA 1的中点D ， 连接VD ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°. 在Rt△VAD 中，AD ＝VA ·sin 60°＝3，所以AA 1＝2AD ＝6， 即△AEF 周长的最小值为6.13．(2017·石家庄市教学质量检测(二))一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )D 分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD ，故选D ．14.如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．设三棱锥V ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33.3315．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． (1)正六棱锥． (2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.16．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．。
高考数学一轮复习第七章空间几何体的结构特征及三视图与直观图学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习第七章：第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，空间几何体的三视图是高考的重点，多以三视图为背景考查几何体的结构特征，一般是选择题、填空题，难度中等．通过空间几何体的结构、三视图考查学生的直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第134页知识点一简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．(2)简单多面体的结构特征：①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．•温馨提醒•1．认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识．2．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．1．下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的侧棱总与底面垂直解析：由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；因为平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确．故选B．答案：B2．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：长方体ABCD-A′B′C′D截去图中部分后，因为EH∥A′D′，所以FG∥A′D′，所以剩下的几何体是五棱柱ABFEA′DCGHD′．答案：C知识点二直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．•温馨提醒•直观图与原图形面积的关系S直观图＝24S原图形(或S原图形＝22S直观图)．1．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析：由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．答案：D2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC 的面积为( )A ．242B ．12 2C ．48 2D ．20 2解析：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝242．答案：A知识点三 三视图(1)几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：主视图也称正视图，左视图也称侧视图． (2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：主左一样高，主俯一样长，左俯一样宽；看不到的线画虚线． • 温馨提醒 •1．画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示． 2．一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．1．(易错题)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )解析：给几何体的各顶点标上字母，如图1．A ，E 在侧投影面上的投影重合，C ，G 在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B ．答案：B2．如图为一个几何体的三视图，则该几何体是()A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥解析：将三视图还原为直观图，如图所示，该几何体为三棱柱．答案：B授课提示：对应学生用书第135页题型一空间几何体的结构特征1．下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图，若△ABC不是直角三角形，所得几何体不是圆锥；若△ABC是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体也不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是_________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④空间几何体概念辨析题的常用方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可题型二空间几何体的直观图1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状为（）A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形解析：由斜二测画法可知在原四边形ABCD中DA⊥AB并且AD∥BC，AB∥CD，故四边形ABCD为矩形．答案：D2．（2021·桂林模拟）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．34a2B．38a2C．68a2D．616a2解析：如图①、②为所示的平面图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a．∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2．答案：D画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（两坐标轴成45°或135°）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变）来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．题型三空间几何体的三视图空间几何体的三视图是考查重点，主要在选择题、填空题中考查，归纳起来常考角度有：（1）由空间几何体判定三视图．（2）由三视图还原几何体．（3）空间几何体的三视图的计算问题．考法（一）由空间几何体判定三视图[例1]（2021·宜宾模拟）已知棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1的直观图如图．若正三棱柱ABC-A1B1C1绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的左视图可以为（）[解析]由题知，四个选项的高都是2．若左视图为A，则中间应该有一条竖直的实线或虚线；若左视图为C，则其中两条侧棱重合，不应有中间竖线；若左视图为D，则长度应为3，而不是1．[答案] B由空间几何体判定三视图的方法（1）根据三视图的有关定义和规则先确定主视图，再确定俯视图，最后确定左视图．（2）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．考法（二）由三视图还原几何体[例2]（2020·高考全国卷Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在主视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在左视图中对应的点为（）A．E B．FC．G D．H[解析]由三视图还原几何体，如图所示，由图可知，M点在左视图中对应的点为E．[答案] A熟练掌握规则几何体的三视图是由三视图还原几何体的基础，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决此类问题：考法（三）空间几何体三视图的有关计算问题[例3]（2021·衡阳模拟）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，B在平面α上，AB＝2．若平面A1B1C1D1与平面α所成角为30°，由如图所示的俯视方向，正方体ABCD-A1B1C1D1在平面α上的俯视图的面积为（）A．2 B．1＋ 3C．2 3 D．2 2[解析]由题意得AB在平面α内，且平面α与平面ABCD所成的角为30°，与平面B1A1AB所成的角为60°，故所得的俯视图的面积S＝2×（2cos 30°＋2cos 60°）＝2（cos 30°＋cos 60°）＝1＋3．[答案] B在求解有关计算问题时，一定要注意抓住三视图的要求，避免数据读错，导致失误．[题组突破]1．（2021·福州模拟）如图为一圆柱切削后的几何体及其主视图，则相应的左视图可以是（）解析：圆柱被不平行于底面的平面所截，得到的截面为椭圆，结合主视图，可知左视图最高点在中间．答案：B2．（2021·武汉市高三二调）某几何体的三视图如图所示，则从该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A． 3 B． 6C．2 3 D．2 6解析：由三视图知，该几何体是一个四棱柱，记为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，将其放在如图所示的长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，四棱柱的高为1，连接AC1，观察图形可知，几何体中两顶点间距离的最大值为AC1的长，即22＋12＋12＝6．答案：B3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）解析：选项A的主视图、俯视图不符合要求，选项B的主视图、左视图不符合要求，选项C 的俯视图不符合要求，通过观察，选项D满足要求．答案：D空间几何体应用中的核心素养直观想象——空间几何体的创新应用[例]（2019·高考全国卷Ⅱ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图①）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．[解析]先求面数，有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26（个）面．法二：一般地，对于凸多面体顶点数（V）＋面数（F）－棱数（E）＝2．（欧拉公式）由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24．故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26．再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝22x ． 又AM ＋MN ＋NF ＝1，∴22x ＋x ＋22x ＝1． ∴x ＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1．[答案] 26 2－1通过直观想象，化空间图形为平面问题是求解此题的关键．[对点训练]（2020·高考全国卷Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．5－14B ．5－12C ．5＋14D ．5＋12解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高（斜高）为h ′．由已知得h 2＝12ah ′． 又∵h ′2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫a 22，∴h ′2＝12ah ′＋14a 2， ∴⎝⎛⎭⎫h ′a 2－12×h ′a －14＝0，解得h ′a ＝5＋14（负值舍去）． 答案：C。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 7.1空间几何体的结构特
征及其三视图和直观图随堂训练 文
1．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A ．圆柱
B ．圆锥
C ．四面体
D ．三棱柱
解析：因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.
答案：A 2.
(2015·广州综合测试(二))一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示．若用一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1∶7的上、下两部分，则截面的面积为( )
A.14
π B ．π C.94π D ．4π
解析：由截面与底面平行，可知截面圆与底面圆相似，而上部分的体积是整个圆锥体积的18，而体积比为相似比的立方，所以r 3＝12，求得r ＝32，所以截面圆的面积S ＝94
π，故选C.
答案：C
3．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．一般的平行四边形
解析：将直观图还原得▱OABC，则
∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，
OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，
C′D′＝O′C′＝2 (cm)，
∴CD＝2 (cm)，
OC ＝CD2＋OD2＝22＋22＝6 (cm)，
OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，
故原图形为菱形．
答案：C
4．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F 为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
解析：空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的
正投影是③，故填①②③.
答案：①②③。