2015四校联考 山西省2015届高三第三次四校联考数学(理)试卷 Word版含答案

2015届高三年级第三次四校联考数学试题（理）命题：临汾一中 康杰中学 长治二中 忻州一中（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 已知集合},,4|{2R x x x A ∈≤=},4|{Z x x x B ∈≤=,则=⋂B A A.)2,0( B.]2,0[ C. }2,1,0{ D. }2,0{2. 复数24i1iz +=+（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 A.(3,1) B.(1,3)- C.(3,1)- D.(2,4)3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.163π C.8π D.16π 4. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,1n a q >>，352620,64a a a a +==，则5S =A.31B. 36C. 42D.485. 设z x y =+，其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大为6，则z 的最小值为A.3-B.2-C.1-D.06. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为A.150B.180C.200D.280 7. 执行如图的程序框图，则输出S 的值为 A. 2016 B. 2 C.12D.8. 若n xx x )1(6+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于A.3B.4C.5D.69. 已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象.关于函数)(x g ，下列说法正确的是A. 在]2,4[ππ上是增函数 B. 其图象关于直线4π-=x 对称 C. 函数)(x g 是奇函数 D. 当]32,6[ππ∈x 时，函数)(x g 的值域是]1,2[-10. 函数14)62sin(2-+=xx x y π的图象大致为11. 在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥,底面边长AB =则正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为A. 6πB.12πC.32πD.36π12. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为11D.12第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知(1,2),(0,2)=-+=a a b ，则||=b ____________.14. 设随机变量X ～),3(2σN ，若()0.3P X m >=，则(6)P X m >-=____________.15. 函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,1)(2x x x x x f ，若方程21)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是____________.16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，{}(2)n n nS n a ++为等差数列，则{}n a 的通项公式n a =____________.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知b A c C a 232cos 2cos 22=+ （1）求证：c b a 、、成等差数列； （2）若，34,3==S B π求b .18.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C - 中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点. （1）证明：DF AE ⊥;（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14?若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为4,(,)33bA P 是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由． 21. (本小题满分12分) 函数xxa x f ln )(+=，若曲线)(x f 在点))(,e f e （处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（1）若)(x f 在)1,(+m m 上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1>x 时，)1)(1(21)(1++>+-xx xe x e e x f . 请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、EB C 1B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O于点D ,若BC MC =. （1）求证:△APM ∽△ABP ;（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设()f x =|1||1|x x -++. （1）求()2f x x ≤+的解集; （2）若不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.2015届高三年级第三次四校联考理科数学参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1-5： CABAA 6-10：ABCDD 11-12：BD 二、填空题(每小题5分，共20分)1314. 0.7 15. )1,21(e16. 12n n -三、解答题：17.解：（1）由正弦定理得：B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+ 即B A C C Asin 232cos 1sin 2cos 1sin =+++ ………2分 ∴B C A C A C A sin 3sin cos cos sin sin sin =+++即B C A C A sin 3)sin(sin sin =+++ ………4分 ∵B C A sin )sin(=+∴B C A sin 2sin sin =+ 即b c a 2=+∴c b a 、、成等差数列。

………6分（2）∵3443sin 21===ac B ac S ∴16=ac ………8分 又ac c a ac c a B ac c a b 3)(cos 2222222-+=-+=-+= ………10分由（1）得：b c a 2=+ ∴48422-=b b∴162=b 即4=b ………12分 18.解：（1）设事件A 为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ………4分（2）依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C ………6分 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ………7分24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P 72541185)2(=⨯==X P ………10分 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ………12分 19. （1）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥ABAB AE ∴⊥ 又1AB AA ⊥ 1A E A AA⋂= AB ∴⊥面11A ACC 又AC ⊂面11A ACCA B A C ∴⊥ ………2分以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B设(),,D x y z ，111AD AB λ= 且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=(),0,1D λ∴11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ………5分∴11022DF AE =-= DF AE ∴⊥ ………6分（2）假设存在,设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，则 0n FE n DF ⎧=⎨=⎩111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩令()21z λ=- ()()3,12,21n λλ∴=+- . ………8分 由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = ………9分平面DEF 与平面ABC所成锐二面的余弦值为14()14cos ,m nm n m n ∴===12λ∴=或74λ= （舍） ………11分 ∴ 当点D 为11A B 中点时，满足要求. ………12分20.解：（1）(,0),(0,)F c A b ，由题设可知0FA FP ⋅=，得224033b c c -+=① ………1分 又点P 在椭圆C 上，2222161,299b a a b ∴+=⇒=②2222b c a +==③ ………3分①③联立解得，21,1c b == ………4分故所求椭圆的方程为2212x y += ………5分（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理得222(21)4220k x kmx m +++-=（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2210k +>，所以0,∆=得2221m k =+ ………8分 假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由 221212121222()21()()11k km k k m k m d d k k ++++++⋅==++λλλλλλ 212122(2)()111k km k ++++==+λλλλ对任意的实数k 恒成立,所以， 1212210+=⎧⎨+=⎩λλλλ 解得，11221111==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或 当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，使它们到直线l 的距离之积等于1. ………12分21.解：（1）∵2ln 1)(x xa x f --='由已知21)(e e f -=' ∴221-ee a -= 得1=a ………2分∴)0(ln )(ln 1)(2>-='+=x xxx f x x x f当)(,0)(,)1,0(x f x f x >'∈时为增函数； 当),1(+∞∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数。