非线性稳定性理论及其在重力坝分析中的应用_赵引

Abstract ： This paper discusses the concept of generalized stability of a 3D system ， and focuses on the application to 3D real space structures. Nonlinear stability theorቤተ መጻሕፍቲ ባይዱes are used to study the stability and loadbearing capacity of real space structures in consideration of the material nonlinearity and the geometric nonlinearity that may arise when the system is close to its unstable mode. A criterion of instability is obtained. The theory and method are applied to the stability analysis of a gravity dam-foundation system ，so the analysis has a more rigorous basis of mechanics. The results indicate that the method is theoretically correct and reliable with a potential of wide engineering application. Key words ： engineering mechanics ； nonlinear stability ； nonlinear finite element method ； gravity dam
时可能出现的几何非线性， 采用非线性稳定性理论研究空间 实 体 结 构 的 稳 定 性 和 承 载 能 力 ， 给 出 失 稳 的 判 别 准 则， 并将 此理论和方法应用于重力坝 -地基系统的稳定性分析中， 使分析具 有 更 为 严 谨 的 力 学 理 论 基 础 。 计 算 分 析 表 明，此 方 法 理论正确， 结果可靠， 具有广阔的工程应用前景 。 关键词 ： 工程力学；非线性稳定；非线性有限元法；重力坝 中图分类号 ： TV312 文献标识码 ： A
第 29 卷 第 5 期 2010 年 10 月
水 力 发 电 学 报 JOURNAL OF HYDROELECTRIC ENGINEERING
Vol. 29 No. 5 Oct. ，2010
非线性稳定性理论及其在重力坝分析中的应用
赵 引， 任青文
210098 ） （ 河海大学工程力学系， 南京
摘
要 ： 本文针对空间实体结构的稳定性问题， 给出三维系 统 的 广 义 稳 定 性 概 念 。 考 虑 材 料 非 线 性 以 及 系 统 接 近 失 稳
Nonlinear stability theory and its application to the analysis of gravity dams
ZHAO Yin ，REN Qingwen （ Department of Engineering Mechanics ，Hohai Univ. ，Nanjing 210098 ）
［ 1］
。 而且， 系统在破坏过程中， 荷载 与 变 形 的 关 系 曲 线 具 有 极 值 点， 应 当 属 于 极 值 点 失 稳 问 题 。 因 此， 大
坝 -地基系统的稳定性可以采用强度分析法进行研 究， 但 采 用 稳 定 性 理 论 研 究 更 为 合 适 。 由 此 可 见， 力学系统稳 形成一个广义稳定性的概念， 既包括几何稳定性也包括物 定性理论应在传统的屈曲稳定性理论基础上进行拓广，
［ 2］
， 即 系 统 受 载 过 程 中， 其状态量
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基于 U. L 法的弹塑性有限变形基本方程
对于材料和几何 双 重 非 线 性 问 题， 小 变 形 情 况 下 的 几 何 和 平 衡 方 程 不 再 适 用。 本 文 采 用 大 变 形 问 题 的
Updated Lagrange 描述方法，建立空间实体结构稳定分析的弹塑性大变形有限元模型， 并进行双重非线性的有限 元分析计算 。 t， t + Δ t］ 建立弹塑性有限变形条件下的基本方程时， 如果在时间间隔［ 内的增量求解期间， 所有变量都是以 t 时刻的构形为参考构形来定义的， 对每一增量步求解后，不断修改参考构形 珔 设 t + Δ t 时刻的位移 u i 用 t 时刻的构形来度量， 其中 珔 u i = Δu i ， δ珔 u i = δ（ Δu i ） 珔 Δui = xi － xi
06 08 收稿日期： 2010基金项目： 雅砻江水电开发联合基金资助项目（ 50539030 ）
E-mail ： zhaoyin01@ hhu. edu. cn 。 作者简介： 赵引（ 1963 － ） ， 女， 副教授， 博士，
第5期
赵
引等：非线性稳定性理论及其在重力坝分析中的应用
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理稳定性， 即：系统（ 包括空间实体结构） 处于某一平衡状态， 如果在干扰作用下， 系统状态不变， 则系统的平衡状 且不能恢复至原状态， 则平衡状态是不稳定的 。 根据这一特点， 广义稳定性 态是稳定的；如果系统状态发生改变， 动力学准 则 和 能 量 准 则 外， 还可以采用突变判据 的失稳判据除了静力学准则 、 发生突变或剧烈变化时， 标志系统失稳 。 系统失稳时， 有些是由于系统发生了 很 大 的 变 形， 应 变 -位 移 的 关 系 不 再 是 线 性 的， 而 材 料 的 应 力 -应 变 关 系 属于几何不稳定问题；有些是因为系统材料发生软化， 这时应力 -应变关系是非线性的， 但应变 -位 仍然是线性的， 即所谓物理不稳定问题 。 如果系统失稳过程中， 在发生有限变 形 的 同 时， 材料也是非线 移的关系仍然是线性的， 性的， 那么这一类的稳定性问题就是双重非线性 的 了 。 由 混 凝 土 、 岩 石 等 材 料 构 成 的 大 坝 -地 基 系 统 在 外 荷 载 作 其失稳过程是局部化变形的形成 和 发 展 的 结 果，累 积 的 塑 性 应 变 有 可 能 超 过 小 应 变 的 界 限，成 为 一 种 大 用下， 应变的弹塑性问题 。20 世纪 60 年代末，人们开始认识到这个问题并开展了一些研究工作，但迄今为止， 将双重 非线性理论运用到大体积空间结构的 稳 定 性 问 题 中 仍 然 非 常 少 见 。 本 文 针 对 大 体 积 空 间 实 体 结 构 的 稳 定 性 问 题， 并结合雅砻江水电开发联合基金 资 助 项 目 （ 50539030 ） ， 考虑材料非线性以及系统接近失稳时可能出现的几 何非线性， 采用稳定性理论研究空间结构的稳定性和承载能力， 给出失稳的判别准则， 并将 此 理 论 和 方 法 应 用 于 混凝土重力坝 -地基系统的稳定性分析中， 使分析具有更为严谨的力学理论基础 。
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弹塑性有限变形的有限元法
由上述弹塑性有限变形的基本方程， 可建立双重非线性的有限元分析方程
［ 3 － 4］
。 设在一个时间步长内，Δ a e
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学
报
2010 年
N 为形函数矩阵， 为单元结点位移增量， 点的位移或位移增量： u = Δu = NΔae Green 应变与单元结点位移的几何方程： E = ΔE = ΔE L + ΔE N = （ B L + 珟 B N ） Δae = 珟 BΔae B L = LN ， 其中 x1 L = 0 0 0 x2 0 0 0 x3 0 x3 x2 x3 0 x1 G = Δ A 是 Δ a e 的一次式， 故 δ（ ΔE） = δ（ ΔE L ） + δ（ ΔE N ） = （ B L + B N ） δ（ Δa e ） = Bδ（ Δa e ） 式中 B L 为线性应变分析的转换矩阵， 与（ Δ a e ） 无关； B N 为与非线性应变相关转换矩阵， 与（ Δ a e ） 有关： 珟 B N = 2 B N = Δ AG 根据式（ 6 ） ， 可得 t + Δ t 时刻的线性化平衡方程为： （ K L + K N ） Δa = 珚 R － RS KL = KN = 其中 S 11 I M = S 12 I S 13 I ^ S ～ M = 0 0 S 11 、 S 22 、 S 33 、 S 12 、 S 13 、 S 23 为六个应力分量 。 x1 = 0 0 1 2 x2 1 2 x1 0 1 2 x3 0 1 2 x1 1 2 x2 1 2 x1 0 RS =
0
引言
大体积空间实体结构的稳定与安全在工程上常 常 是 设 计 、 施 工 和 研 究 须 解 决 的 关 键 问 题 之 一 。 例 如， 大 坝-
地基系统是一个复杂的空间结构， 岩石 、 混凝土都是典型的非线性材料， 坝体 、 建基面 、 基岩和水体之间相互作用， 坝体和基岩的应力水平高， 还有渗流 、 洪水 、 地 震 等 不 确 定 因 素 的 影 响， 共同决定了高坝的稳定安全分析理论复 杂、 计算方法和实验条件要求高 、 计算规模较大 、 还要有相应的失稳判据等 。 但无论是弹性系统还是弹塑性系统， 传统力学上的稳定性都是对细长杆件和薄壁结构而言的， 而对三维块体结构来说， 认为不 存 在 稳 定 性 问 题， 只可 传统和现行的大坝 -地基系统的稳定性分析大多基于强度理论 。 对坝体破坏过程进行跟 能发生强度破坏 。 因此， 踪分析， 在一定程度上可解决大坝的整体失效问题， 然而在使系统到达极限平衡状态的方法以及系统进入失稳破 坏状态的判据等关键问题上还缺乏严密的力学理论基础， 安全度的确定有很大的人为性， 难以进行较为有效的稳 定性分析 。 事实上， 大坝 — 地基系统的破坏由局部开始， 表现出强度破坏的特 征 。 但 当 荷 载 达 到 某 一 数 值 后， 系 塑性屈服区扩展连通形成滑移通道或者产生过大的变形 、 总 势 能 增 量 变 负， 系统从 统总刚度明显减弱趋向于零 、 静止平衡状态向无限变形的机动状态转变， 最终导致整体破坏 。 所以， 从状态变化的角 度 来 看， 这就是一个稳定 性问题