碟形弹簧的非线性稳定性分析

， 竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺 竺 ＝ 一
５ ９
４ ４ ｝ 号ｒ “ 一ｌ ｉ ｋ ａ Ａ Ｉ Ｍ Ａ 的 ，
Ｕ （ ｘ ） － 单位质量质点的势能；
奇点， 如图２ 所示
（ ２ ） Ｎ ｈ ｏ ｝Ｊ ２ Ｓ 时， ｆ （ ｘ ） 有 Ｋ 大 值／ （二）
当ｆ （ － ｏ ） ＜０ 时， 状态方程（ ４ ） ｉ ｓ 奇点 〔 Ｉ （ ． ｒ ） 为ｑ ｌＭ ．降Ｐ Ａ 数， 相轨线为向右开ｎ的曲线， 无实际意义 当ｆ （ ｘ ｏ ） ＝０ 时， 状态方程（ ４ ） ｆ １ － ｇ ｆ ， ｋ ｝ ， Ｕ （ 对 为单调降 函数， 但有一个 拐点， 在拐点的左侧， Ｕ （ ｘ ） 具有极小浪， 奇点为 稳定的中心； 在拐点的右侧， Ｕ （ 二 ） 具有极大值， 奇点为不稳定 的鞍点。 这时的奇点是一个尖点， ‘ 已 是不稳定的 当ｆ （ ｘ ｏ ） ＞０ ， 且ｆ （ ｈ ｏ ） ＞ ０ 时。 状态方程（ ４ ） 有一奇点， 在 该奇点处， Ｕ （ 二 ） 有极小值， 故奇点是隐定的中心。 当ｆ （ ｘ ， ） ＞０ ， ｔ ｉ ． ｆ （ ｈ ｏ ） ＜。 时， 状态方程（ ４ ） 有ｖ ｉ ｔ 个奇点 （ ｘ ， ， ０ ） 和〔 Ｘ ２ ， ０ ） ， 其中 二 」 ＜ｉ ＇ ａ ， ｚ ＇ ２）１ ｐ在第 ， 个奇点处， Ｕ （ ｘ ） 有极小值， 故奇点是稳定的中心； 在第二个ｈ点处，
为 ： ， （ ＊ 。 ） 一 粤一 ｍ ｇ ｏ
当ｆ （ ｈ ｕ ） ＜。 时， 状态方程（ ４ ） 无奇点， 势能函数 Ｕ （ 对为 单调降函数， 相轨线为向右开口的曲线， 无实际意义。 当ｆ （ ｈ ｕ ） － ｝ ＞ ０时， 状态方程（ ４ ） 有一奇点， 在该奇点处，
。 收摘日期： ２ ０ ０ ２ 一１ １ 一 １ １ ； 修订日期： ２ ０ ０ ３ － ０ ３ 一 ０ ６ 作者简介： 李忠〔 １ ９ ６ ６ 一） ， 男， 山西洪洞人， 副教授， 博士， 主要从事机械设计、 机械传动、 润滑理论及磨擦学研究
万方数据
２ ０ ０ ３ 年１ ０ 月
李忠， 等： 碟形弹簧的非线性稳定性分析
碟 形 弹 簧 的 刚 度 曰为：
、 一 ） ａ （ ｆ Ｏ ｄ ｒ 一 二 ［ （ 韵 “ 一 ３ ｈ ｓ ｏ 音 ・ 合 （ ０・ ‘ 〕（ ７ ）
由 于 。 、 了 、 ｈ ｏ ， 则 ｄ ｋ ． ｚ 一 － ａ ３ Ｄ ８ （ ｈ 。 一 ） 、 。 ， 所 以 ， 当 碟 形
（ ８ ）
２ （ ） 当弹簧极限行程与弹簧钢板厚度之比小于泛 时， 若 ｆ （ ｈ ｏ ） ＜。状态方 程（ ４ ） 无奇 点． 无实际意义； 若／ （ ｈ ｕ ） 。 时，
状态方程（ ４ ） 有 一 奇点、 该奇点是稳定的中心；
窦 、 。 ， 故 ｆ （ 二 ） 的 曲 线 是 凸 的 ， 如 果 １ ０ 存 在 ，
（ １ ） 当ｈ ｕ ＜ｆ８ 时， ｆ （ 对无 极值， 为 单调 增函 数， 最大值
ａ〕 ｀
分
（ ３ ） 当弹簧极限行程与 弹簧钢板厚度之比大于， ／ ２时， 若 ） ｕ ， （ ／ ＞０ ， 且ｆ （ １ １ ０ ） ＞０ ， 状态方ｆ Ｙ（ ４ ） 有一奇点， 该奇 点是稳 定的中 心； 若Ｊ （ ｓ ） ） ＞ ０ ， 且ｆ （ ｈ） ＜ ０ ， 状态 方程（ ４ ） 有两个 奇 点， 变形量较小时的奇点是稳定的中心， 变形最较大时的奇点是
不稳定ห้องสมุดไป่ตู้鞍点
参考文献
Ｌｌ 圈 ［３］
周纪卿， 朱因远 非线性振动ｔ Ｍ」 西安： 西安交通 友 学出版社
１ ９ ９ ８
徐瀚， 邱宣怀， 蔡春源， 等 机械设计 手 册「 ６ ７ １北京 机械 １ 业出
版社 １ ９ ９ ５
舒仲周 运动稳定性「 Ｍ」 成都： 西南交通大学出 版社， １ ９ ８ ９
万方数据
解的周期为 ：
一 ： 界 七 一
朴 。
图２ ｈ 硒 ＞径 时势能函傲
在极小值附近的相轨线
圈３ ｈ ／ ６ ＞ａ ２时势能函傲在极
大值和极小值附近的相轨线
式 中： ，， ｈ
令１ ｄ ａ －
可求得
则ｆ （ 二 ） 在二 。 处取得极大值 在以下的算例分析中， 取弹簧材料
为弹簧钢， Ｐ二。３ ， Ｅ＝２ － ０ ６ Ｘ １ ０ ＂ Ｐ ａ ， Ｄ二１ ４ ０ ｍ ｍ ， ｄ＝７ ０ ８ ｍ ｍ ， ｈ ｕ ＝４ ． ９ ｍ ｍ， Ｓ＝３ ． ８ ． ． ． 或３ ． ０ ｍ ｍ由 式（ ８ ） 知：
守系统的非线性振动及其稳定性进行定性分析， 并指明在什么
Ｓ － 碟形弹簧 钢板厚度：
９ — 重力加速度
（ ３ ）
情况下出现稳定平衡点和不稳定平衡点， 从而为碟形弹簧的设
计提供 ｒ 理论依据
。 ＿ 二 ＿ ＿ （ Ｌ Ｃ １ ） ｚ 、
式 中 ： Ｃ 一 ； Ｄ
ｐ — Ｅ －
｜ 、 ｒ
Ｘ
１ 控制方程
泊松比； 弹性模量。
Ｕ（ 二 、 有极小值 。 相轨线退化为一点 ， 即为中心， 中心是稳定的
喇
ｄ ｚ
丫 厄 了了 厄 百石）
一 相轨线与横轴的两个交点
４ 结论
（ １ ） 碟形弹簧是物理非线性软弹簧；
ｋ ＝ ０
Ｊ “ 一 ｈ ａ 一 Ｎ告 。 。 ， 卜 ｓ 心 ＿ ｗ｝ １ １ ｝ ２ －
将式（ １ ） 化为状态方程： 碟形弹簧的简图如图１ 所示， 当其作用于一个质量为 二的 质点时， 形成一个碟形弹簧的单自由度保守系统， 如果质点作 自由振动， 则控制方程为： 分（ 了 ） 二＋ １ 〔 二 ） ＝ ０ （ １ ） 从式（ ４ ） 中消去时间 ｔ ， 得：
参 考文 献
况 系 数凡 ＝１ ． ２ ， 查 手 册 Ｌ ３ １ ０ ８ Ａ 链 条 的 极限 拉 伸 载 荷Ｑｐ ＝
１ ３ ８ ０ ０ Ｎ ， 将这些数值代人式（ １ ０ ） 得：
５ 二５ ． ３ ７
由式（ １ ０ ） 可知， 链条的传动强度满足设计要求。
「 川 曲秀全， 戴恒震． 踏杆式齿条齿轮无级变速器 ［ Ｊ ７机械传动，
文童编号 ： １ ０ ０ １ 一 ２ ３ ５ ４ １ ２ ０ ０ ３ １ ０ ９ 一 （ １ ０ ５ ８ 一 ９ ０ 质点的 重力； 。 ￣ 一 一碟 形弹 黄的 外径；
ｈ ｝ － 极限行程；
碟形弹簧是用钢板冲压成形的截锥形压缩弹簧， 具有刚度 大和变刚性等特点， 能够以小变形承受大载荷， 适用于轴向空 间要求较小的场合， 如在推力轴承系统中用于支承可倾瓦。由 于碟形弹簧的结构特性， 其弹性力、 弹簧刚度及弹簧功等， 均是 弹性变化量的非线性函数。文中拟就碟形弹簧的单自由度保
定 性、 研究 表明， 碟形弹簧属于物理非线性软弹黄； 当弹妥极限行程与弹妥钢板厚度之比小于 拒时， 若该系统有一奇 点， 则该奇点是德定的中 心； 当该比大于 拒时， 碟形弹簧既具有德定的中心， 也具有不德定的鞍点， 从而为碟形弹畏的设
计提供 了理论依据
关健词： 碟形弹簧； 非线性 ； 德定性 中图分类号： １ Ｈ １ １ ２ 文献标识码： Ａ
Ｕ （ ． ｒ ） 有极大值， 故奇点是不稳定的鞍点 如图 ３ 所示
，
Ｕ （ ｘ ， 一 ｍ Ｊ ｎ ｆ （ ｘ ） ｄ ＝ 一 １ 烹「 （ ｈ Ｓ ｏ 一 。 ５ ５ ； Ｓ・ ） ｚ １ ｛ 一 二
日 。 — 单位质量质点的总能量 为积分常数， 由 初试条件确定。
图 １ 砚形弹位简图
２ 碟形弹簧属于物理非线性软弹簧
２ ０ ０ ２ ， （ ２ ６ ） ： ６ ３ － ６ ４
４ 结论
该变速器除 了用于人力轿车上外 ， 也可以用干其它小功
［ ２ ］ 浪良贵 机械设计【 Ｍ〕 北京： 高等教育出版社， １ ９ ９ ５
［ ３ ］ 蔡春源 新编机械设计手册 【 ５ 〕沈 阳： 辽宁科学技术出版社，
１ ９ ９ ６
ｙ
（ ４ ）
式中： 。 — 质点的质量； 二 — 碟形弹簧的变形量
五 ＿＿ １ 一 左 卫 二
ｄ ｘ 朋 。
（ ５ ）
， ‘ 了 卜８ Ｄ ＇ Ｌ （ Ｓ 一 Ｓ ） （ ８ 一 。 ５ 李 ） ＋ ， 〕 一 、 （ ２ ）
式中： ｊ （ ， ） — 质点所受 外力， 等 式右边第一 项为弹 性力［ ２ １ 第二项为
第２ ０ 卷第 １ ０ 期
２ ０ ０ ３ 年１ ０ 月
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ０ Ｎ ｏ ． １ ０ （ ｋｃ ． ２ ０ ０ ３
碟形弹簧的非线性稳定性分析‘
李忠， 李自 新
（ 湛江师范学院 机电工程系． 广东 湛江 ５ ２ ４ ０ ４ ８
摘要： 建立了 碟形弹赞的单自由度保守系统的非线性振动控制方程， 通过对其奇点性质的分析， 研究了该系统的稳
Ｋ ， — 工况系数；
对式 （ ５ ） 积分 ． 得：
２ １ ｙ ， 十 Ｕ （ ＋ ： ， 一 Ｕ
（ ６ ）
Ｆ ， — 有效 圆周 拉力（ Ｎ ） ；
Ｆ ， 一 一． 悬垂力（ Ｎ ） ；
Ｑ ， 一 链条的 极限 拉伸载 荷（ Ｎ ）
悬 垂 力Ｆ ｆ 是 由 链 条 的自 重 所 产 生的 ， 其 相 对有 效圆 周 拉
力Ｆ ， 小很多， 可以忽略不计。 在设计时考虑有中等冲击， 取工
率、 中小有级机械传动中。在实际设计中， 可以改变变速器中 链轮４ ， 链轮 ８ ， 链轮 ２ 和链轮 １ ３ 的齿数， 即可以改变变速器的 四个传动比的范围来达到所要求设计值。同时， 可以看出， 链 传动变速器与齿轮变速器相比， 它具有结构简单、 成本低。在 某此情况下， 对润滑要求不高， 不需要密封， 即可以进行开式传 动等优点， 因此可以推广应用。
弹簧的变形量增大时， 其刚度变小， 故碟形弹簧是物理非线性