7. 第七讲 范数理论及其应用之一

定义:有限维线性空间 V n 中任意两个向量范数 x α 和 x β ,如果存在着正常数 c 和 c , 1 2 使得 c 1 x
β
≤ x
α
≤ c2 x
β
β
( x ∈ V n )
则称范数 x α 与 x
1 x c2
等价
1 ≤ x α , x ∈ V n c1
α β
α
(1)自反性: 1i x α ≤ x α ≤ 1i x α , x ∈ V n
2006-12-1
A
= B ( x + y)
(
)
, λn )QT
12 T
可得 A = BT B
12
2
= ( Bx ) ( Bx ) = Bx 2 ≤ Bx 2 + By 2 = x A + y
A
例5:设 y α 是 C m 中的一个向量范数,给定矩阵
A∈C
m×n
,它的n个列向量线性无关.对于 C
T
n
有
x + y β = A( x + y) α = Ax + Ay α ≤ Ax α + Ay α = x β + y β
所以, x
β
是 C n 中的一个向量范数.
由此可知,当给定 A ∈ C m×n 时,可以由 C m 中的一个 向量范数确定 C n 中的一个向量范数.
2006-12-1
三,范数等价
∴ 1i x
∞
∞
x 1 ≥ ∑ ξ i = 1i x
≤ x 1 ≤ ni x
1 2 2 i
∞
(2)
x2=
( ∑ ξ ) ≤ ( nimax ξ )
i i
1 2 2
= n x
∞
x 2 ≥ max ξ i
i
(
1 2 2
)
= 1i x
∞
∴ 1i x
∞
≤ x 2 ≤ ni x
∞
(3)
1 i x 2 ≤ x 1 ≤ ni x n
f ( x)
p
p
=
(∫
a
∞
= max f ( x )
t∈[ a , b ]
b
a
f ( x ) dt
)
1 p
,1 < p < ∞
例4:设A为n阶实对称正定矩阵,对x∈Rn, 定义 x A = ( x Ax )
T 12
称为加权范数或椭圆范数
x
A
由正定矩阵定义可知 x A = 0 x = 0; 对任意数 α ∈ R ,有
(k)
= x x , lim x x = x
x =0
证明:只需对
1
证明即可.
, n) , n)
x k → x ξ i( k ) → ξ i ( i = 1, 2,
ξ i( k ) ξ i → 0( i = 1, 2,
∑ξ
i =1
n
(k) i
ξi → 0
1
k x( ) x → 0
2006-12-1
作业
P121:4 P122:5
2006-12-1
�
n
序列,如果存在 x ∈ V ,使得 lim x
k →+∞
(k)
x
则称序列
{ }
k x( )
α
=0
按 α 范数收敛于 x
定理:向量空间C n 中,
k →+∞
lim x
(k)
= x x , lim x
k →+∞
(k)
x =0
2006-12-1
Cn 定理:向量空间
k →+∞
中,
(k)
k →+∞
lim x
p
= ∑ ξ i + ηi
i =1 p 1 n
n
p
= ∑ ξ i + ηi i ξ i + ηi
i =1 p 1
n
(
p 1
≤ ∑ ξ i ξ i + ηi
P ≤ ∑ ξi i =1
1 P
+∑ ηi ξ i + ηi
i =1
∑ ai bi
n
) ≤ (∑ a ) (∑ b )
p 1 p i i
1
p > 1: x + y = θ 时,结论成立; x + y ≠ θ 时,应用Holder不等式
∑ ai bi ≤
(利用
(
∑ ai
p
)(
1 p
∑ bi
1 q q
)
( p > 1, q > 1,
1 1 + = 1) p q
( p 1) q = p )
2006-12-1
( x+ y )
p n i =1 n
线性无关.
即
2006-12-1
x
β
>0
当 x = 0 时,Ax = 0 ,所以 2) k ∈ C,
x
β
= Ax
α
=0
kx β = A(kx) α = kAx α = k Ax α = k x β
3) x = ( x1 , x2 ,
, xn ) , y = ( y1 , y2 ,
T
, yn ) ∈ C
αx
A
≠0 x≠0
=
(α x )
T
2 T Aα x = α x Ax
=α
xT Ax = α x
,n
A
由 A正定且实对称 正交矩阵Q,使得 T Q AQ = diag ( λ1 , , λn ), λi > 0, i = 1, 定义 B = diag ( λ1 ,
∵ x
A
= x B Bx
T T
∴ x+ y
x
p
n pp = ∑ xi i =1
(1 ≤ p < ∞ )
证:性质(1),(2)显然是满足的 设 x = ( ξ1 , ξ 2 , , ξ n ) , y = (η1 ,η 2 , ,η n ) ,则
p = 1 : x + y 1 = ∑ ξ i + ηi ≤ ∑ ξ i + ηi = x 1 + y
2
2006-12-1
定理:有限维线性空间中任意两个向量范数都等价. 证明思路 1)范数等价为等价关系,满足传递性; 2)任意范数为坐标函数的连续函数; 3)在单位超球面上有大于零的极大极小值, 与2-范数等价.
2006-12-1
定义:若 {
k x( )
( k = 1, 2, ) 是线性空间V n 中的向量 }
1 P
1 q q
≤ x
(∑ ξ +η + y = ( x + y )( x + y ) 因此: ( x + y ) ≥
p 1 q p i i
p p p
∑ ξ i + ηi
( )

p 1 q
p
) (∑ ξ +η )
1 q
P + ∑ ηi i =1
p 1 q i
∑ ξ i + ηi
是一种向量范数,记为1-范数
( x , x ) 是一种向量范数,记2-范数
3: x = max xi 是一种向量范数,记为 ∞ -范数 i 4: x
n p = ∑ xi i =1
1 p
p
(1 ≤ p < ∞ )
是一种向量范数,记为p-范数或 l p 范数
2006-12-1
证明:向量p -范数
(
p 1 q
)
1
q
i
p 1
1 p 1 = q p
p
p
x+ y
p
所以
2006-12-1
x
p
n p = ∑ xi i =1
1 p
( 1 ≤ p < ∞ ) 是向量 x 的范数
例2:线性空间V n中,任取它的一组基 则对于任意向量x,它可以表示为
x = ξ1 x1 + + ξ n xn
T
x1 ,
2006-12-1
向量的范数具有下列简单性质:
(1) 当 x ≠ 0 时, 1 x = 1
x
1 1 x = x =1 ∵ x x
(2) x ∈ V (3) x, y ∈ V
∵ x =
, x = x ,x y ≤ x y
∵
x = 1 x = x
(x y) + y
≤ x y + y x y ≤ x y
≤ xβ (2)对称性: α (3)传递性:c 1 x β ≤ x c3 x γ ≤ x
≤ c2 x ≤ c4 x
β γ
γ
c5 x
2006-12-1
γ
≤ x
≤ c6 x
x ∈ V
n
例6:向量空间 V 中,对 x = ( ξ1 , ξ 2 , , ξ n )
n
T
,有
∞
(1) x 1 = ∑ ξ i ≤ ni max ξ i = n x i
, xn
与
α = ( ξ1 ,
,ξn ) ∈ C n
p
是同构的
所以 x p = α
是V n中元素x的p-范数
例3: C[a, b]为闭区间 [a , b]上的所有实连续函数所成 线性空间,可以验证以下定义式均满足范数条件
f ( x ) 1 = ∫ f ( x )dt f ( x)
2006-12-1
b
T
m
中的一个向量 x = ( x1 , x2 , 也是 C m β 证:1)设 A = ( a1 , a2 ,