非线性系统李雅普诺夫稳定性分析共35页
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第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
5.4_非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析解析
克拉索夫斯基法(3/7)
V ( x ) [ f ( x ) f ( x )] f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
V ( x) x x f ( x) f ( x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
由于 V ( x) f ( x) f ( x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x) f ( x) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
0 1 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 1 14
不是负定矩阵 , 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若 V(x)=f(x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量xi, 否则 , 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性分析方法
则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
李雅普洛夫稳定性分析精品PPT课件
4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样 的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，
为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差
向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
①范数 X 0 X e 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的 闭球域S(δ)内.
（2） 求系统的特征方程：
det(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
6
1
(
2)(
3)
0
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
向于无穷大时，有：
lim x
t
xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
如果 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
Hale Waihona Puke 3、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
4、不稳定 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( )内
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
2.2 状态向量范数
符号 称为向量的范数，
为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差
向量”的空间距离的尺度，其定义式为：
①范数 X 0 X e 表示初始偏差都在以Xe 为中心，δ为半径的 闭球域S(δ)内.
（2） 求系统的特征方程：
det(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
6
1
(
2)(
3)
0
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 X f (X ,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
向于无穷大时，有：
lim x
t
xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
如果 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
Hale Waihona Puke 3、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
4、不稳定 如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由 S( )内
域 S( ) ，当初始状态 x0 满足 x0 xe ( , t0 ) 时，对由此出发
5李雅普诺夫稳定性分析.ppt
李雅普诺夫意义下的稳定性-球域(1/1)
2) 球域
以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长 度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,), ➢ 即S(xe,)包含满足||x-xe||的n维空间中的各点x.
x2
x2
x2
xe
x1 2范 数 下 球 域
x1
2020/3/28
• 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定 量方法研究和表示的定性指标.
• 它反映的是系统的一种本质特征.这种特征不随系 统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制.
• 这也是控制理论和控制工程的精髓.
– 在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是 否产生有界输出的输入输出稳定性问题.
• 从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性 取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关, 而非线性系统则不然.
• 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法.
– 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来 判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫 函数的标量函数来分析判别稳定性.
• 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法.
2020/3/28
概述(8/5)
• 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性 定常系统,而且也能用来研究
xe
x1 1范 数 下 球 域
x1
xe
x1 范 数 下 球 域
x1
李雅普诺夫意义下的稳定性—
稳定性定义(1/4)
3) 李雅普诺夫稳定性定义
x2
基于上述数学定义和符号,我们有如下 李雅普诺夫意义下稳定性的定义.
x(0) x(0)
x1
第十一章 李雅普诺夫稳定性分析
原 理 中 所 讲 的 也 有 所 不同 。
一 ， 李 雅 普 诺 夫 意 义 下的 稳 定 性 的 含 义
当
f(X e ,t) 0 时
则Xe被 称 为 系 统 的 平 衡 状 态。
应
用
范
数
表
示
以
平
衡
状态X
为
e
圆
心,
半
径
为R的 球 域 时,可 写 成 X Xe R 其 中 X Xe
被 称 为 欧 几 里 德 范 数 。它 等 于 ：
自 动 调 速 系 统 中 保 持 电机 转 速 为 一 定 的 能
力,以 及 火 箭 飞 行 中 保 持 航行 为 一 定 的 能 力 等 都 是 。 具 有 稳 定 性 的系 统 被 称 为 稳 定 的
系 统;反 之 不 具 有 稳 定 性 的 系统 被 称 为 不 稳 定系统。
由 上 面 所 讲 的 含 义 可 见,所 谓 系 统 的 稳 定 性 就 是 系 统 受 到 小 的外 界 干 扰 后,系 统 的 偏 差 量 的 过 渡 过 程 的 收敛 性, 假 如 系 统 在 受 到 外 界 干 扰 后,其 偏 差 量 越 来 越 大,显 然 它 不 可 能 是 一 个 稳 定 的 系 统。 可 见 稳 定 性 乃 是
第十一章李雅普诺夫稳定性分析
$1
概述
一 个 自 动 控 制 系 统 要 能正 常 的 工 作 ， 它 必 须 首 先 是 一 个 稳 定 的 系 统 。也 就 是 说 ， 当 系 统 受 到外 界 干 扰 后,虽 然 它 的 原 有 平 衡 状 态(相 对 稳 定 状 态)被 破 坏, 但 在 外 部 干 扰 去 掉 后,仍 有 能 力 自 动 地 在 另 一新 的 平 衡 状 态(相 对 稳 定 状 态)下 继 续 工 作 下 去,系 统 的 这 一 种 本 能 通 常 叫 做 系统 的 稳 定 性 。 例 如,常 见 的 电 压 自 动 调 节 系 统 中 保 持电 机 电 压 为 恒 定 的 能 力,电 机
李雅普诺夫稳定性理论PPT学习教案
xe 0
的解
Axe 是系统唯一存在的平衡状态，当A为非奇异时，则
0
xe
会有无穷多个。
5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将其变
0
换到坐标原点 xe 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的
稳定性就可以了。
6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从
线性定常系统中的描述中可以得到理解)
种平衡状态xe不稳定。
第26页/共66页
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由 响
(t ; x0 , t0 )
应 x(t ) 的边界。
如果x(t)为有界，则称xe稳定。
如果x(t)不仅有界而且有： lim x(t ) 0 则称 xe 渐近稳定
如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的
第22页/共66页
。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长使，从
s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的
幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，
简称为稳定。
第23页/共66页
第28页/共66页
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
如果系统 对于有 界输入 u所引 起的输 出y是有 界的， 则称系 统为输 出稳定 。
线性定常 系统 ∑＝（A ，b，c ）输出 稳定的 充要条 件是其 传递函 数
W s c sI A b
1
的极点全 部位于s 的左半 平面。
线性系统的稳定判据
线性定常 系统 ∑＝（A ，b，c ）
第四章李雅普诺夫稳定性理论
即:
(1) p11 0,
(1)2 p11 p21
p12 0, ,(1)n p22
p11 p12 p1n
p21
p22
p2n
0
pn1 pn2 pnn
28
第29页/共73页
例 判断下列二次型函数的正定性。
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
其平衡状态满足
(
)，并设在原点邻域存在
V (x,t)
x f (x,t)
，假定状态空间原点作为平衡状态
f (0, t) 0 对 x 的连续的一阶偏导数。 xe 0
30
第31页/共73页
• 定理1：若(1)
V ( 正定； x,t)
V (x, t) (2)
负定；
则原点是渐近稳定的。
(3) 当
时
,
V ( x, t) x 则系统在原点处是大范围渐近稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2 9 第10页/共73页
2.渐近稳定
1）是李雅普诺夫意义下的稳定
2）lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
都有lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
10
第11页/共73页
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
❖线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。