斐波那契数列与概率
斐波拉契数列(教师版)--高中数学
专题突破之--斐波那契数列意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在．比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连．数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.【数列表示】1.逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧2.递推公式：a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2(n ≥3)3.通项公式：a n =151+52n-1-52n【常考性质】性质1.前n 项和：S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a n +2-1性质2.奇数项和：a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=a 2n偶数项和：a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =a 2n +1-1性质3.平方性质：a n 2=a n a n +1-a n a n -1平方和性质：a 12+a 22+⋅⋅⋅+a n 2=a n a n +1性质4.中项性质：a n a n +2-a 2n +1=(-1)n +1；3a n =a n -2+a n +2性质5.余数列周期性：被2除的余数列周期为3：1,1,0,‧‧‧‧‧‧被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,‧‧‧‧‧‧被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,‧‧‧‧‧‧性质6.斐波那契不等式：n n -1<log a na n +1<n -1n -2性质7.质数数量：每3个连续的数中有且只有1个能被2整除；每4个连续的数中有且只有1个能被3整除；每5个连续的数中有且只有1个能被5整除；每6个连续的数中有且只有1个能被8整除；每7个连续的数中有且只有1个能被13整除；‧‧‧‧‧‧性质8.两倍数关系：a2n a n=a n -1+a n +1性质9.下标为3的倍数的项之和：a3+a6+⋅⋅⋅+a3n=12(a3n+2-1)性质10.a n+1+5-1 2a n是等比数列【两个重要关联】1.杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得1,1,2,3,5,8,‧‧‧‧‧‧，则a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)，表示如下：a1=C00=1a2=C01=1a3=C02+C11=1+1=2a4=C03+C12=1+2=3a5=C04+C13+C22=1+3+1=5a6=C05+C14+C23=1+4+3=8a7=C06+C15+C24+C33=1+5+6+1=13‧‧‧‧‧‧a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)2.计数问题问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要等上第10级台阶有几种走法？分析：设第n级台阶有a n种走法，则a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n≥3)，数列a n就是斐波那契数列，故有a10=89种走法.【训练题组】一、单选题1.(2023·上海市市辖区·单元测试)著名的波那契列{a n}：1，1，2，3，5，8，⋯，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021是斐波那契数列中的()A.第2020项B.第2021项C.第2022项D.第2023项【答案】C【解析】因为a1=a2=1，所以1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a4+a5+a7+a9+⋯+a2021=a6+a7+a9+⋯+a2021=⋯=a2020+a2021=a2022，故选：C．2.(2023·北京市市辖区·期末考试)斐波那契数列{F n}(n∈N*)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F1=F2=1，当n>2时，F n=F n-1+F n-2.若F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m，则m=()A.98B.99C.100D.101【答案】B【解析】由已知得F21=F2⋅F1，且F n-1=F n-F n-2，所以F22=F2⋅(F3-F1)=F2⋅F3-F2⋅F1，F23=F3⋅(F4-F2)=F4⋅F3-F3⋅F2，........F2m=F m⋅(F m+1-F m-1)=F m⋅F m+1-F3⋅F m-1，累加整理可得F21+F22+.....+F2m=F m⋅F m+1；又因为F100=F21+F22+F23+⋯+F2mF m=F m+1．即F m+1是该数列的第100项，所以m=99，所以B选项正确．故选：B．利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．3.(2023·河南省鹤壁市·单元测试)意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()A.13B.6732021C.12D.6742021【答案】B【解析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯可得每三个数中有一个偶数(并且是最后一个)，∴2021=673×3+2，∴该数列的前2021项中有673个偶数，∴从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P=6732021．故选：B．4.(2022·湖北省黄冈市·月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为a n+2=a n+1+a n,n∈N*，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列a n的通项公式为a n=A⋅1+52n+B⋅1-52n，其中A,B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.利用以上信息计算5+125= .(x 表示不超过x的最大整数)()A. 10B.11C.12D.13【答案】B【解析】由题意可令A=B=1，所以将数列a n逐个列举可得：a1=1，a2=3，a3=a1+a2=4，a4=a3+a2=7，a5=a4+a3=11，故a5=1+525+1-525=11，因为1-525∈-1,0，所以1+525∈11,12，故1+525=11．故选：B5.(2023·湖北省恩施土家族苗族自治州·单元测试)斐波那契数列{F n}，因数学家莱昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列{F n}满足F1=F2=1，且F n+2=F n+1+F n(n∈N*).卢卡斯数列{L n}是以数学家爱德华⋅卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且L n+1=F n+F n+2(n∈N* )，则F2023=()A.13L2022+16L2024 B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024 D.-15L2022+25L2024【答案】C【解析】因为F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，L n+1=F n+F n+2(n∈N*)，所以可得L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022L2024=F2023+F2025=2F2023+F2024=3F2023+F2022，解得F2023=15L2022+15L2024．6.(2022·广东省河源市·单元测试)斐波拉契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设S n=a1+a2+⋯+a n，T n=a21+a22+⋯+a2n，给出以下三个命题：①a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n；②S n=a n+2-1；③T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n．其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】a n+2=a n+1+a n⇒a n+2-a n+1=a n，a n+3=a n+2+a n+1，所以(a n+2+a n+1)(a n+2-a n+1)=a n+3⋅a n，即a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n，故①正确；a n+2=a n+1+a n，a n+1=a n+a n-1，a n=a n-1+a n-2，⋯⋯a3=a2+a1，相加可得：a n+2=a2+S n即S n=a n+2-1，故②正确；因为a n+1⋅a n=(a n+a n-1)⋅a n=a2n+a n⋅a n-1⇒a2n=a n+1⋅a n-a n⋅a n-1(n≥2)，所以T n+1=a21+a22+⋯+a2n+1=a21+a3⋅a2-a2⋅a1+a4⋅a3-a3⋅a2+⋅⋅⋅+a n+1⋅a n-a n⋅a n-1+a2n+1，又a1=1,a2=1，可得T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n，故③正确．7.(2022·湖北省·期中考试)若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n-1+ F n-2(n≥3)，则{F n}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近(备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61)A.31万B.51万C.217万D.317万【答案】C【解析】∵当n≥2时S n=F n+2-F2，则S28=F30-1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30-1+0.618F30+F30=2.618F30-1≈217万.故选C．8.(2023·山东省济南市·期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列F n称为斐波那契数列，则下列结论正确的是 ()A.F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021B.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022C.F1+F2+F3+⋯+F2021=F2023D.F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022-1【答案】B【解析】根据题意可知，F n+2=F n+1+F n，对于A，因为F2+F4+F6+⋯+F2020=F1+F2+F4+F6+⋯+F2020-1=F3+F4+F6+⋯+F2020-1=F5+F6+⋯+F2020-1=⋯=F2021-1，故A错误;对于D，因为F1+F3+F5+⋯+F2021=F2+F3+F5+⋯+F2021=F4+F5+⋯+F2021=⋯=F2022，故D错误;对于C，由F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021-1，F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022，可知F1+F2+F3+⋯+F2021=F2021-1+F2022=F2023-1，故C错误;对于B，因为F n+1=F n+2-F n，所以F2n+1=F n+1·F n+2-F n=F n+1F n+2-F n F n+1，即F22=F2F3-F1F2，F23=F3F4-F2F3，⋯，F22021=F2021F2022-F2020F2021，累加得F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022-F1F2，因为F1F2=F21，即F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022得证，故B正确．故选：B．9.(2022·江苏省南通市·月考试卷) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n，后来人们把这样的一列数组成的数列a n中，a n a n+2+a n+2a n+4称为“斐波那契数列”.则斐波那契数列a n=()A.a n a n+5B.a2n+3C.a n+2a n+3D.3a2n+2【答案】D【解析】因为a n+2=a n+1+a n，则a n+4=a n+2+a n+3=a n+2+a n+2+a n+1=2a n+2+a n+1，则a n a n+2+a n+2a n+4==a n a n+2+a n+2(2a n+2+a n+1)=a n+2(a n+a n+1)+2a2n+2=a n+2·a n+2+2a2n+2=3a2n+2．10.(2022·全国·月考试卷)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n≥3,n∈N*，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列a n，则数列a n的前2021项的和为()A.2020B.1348C.1347D.672【答案】B【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数，可得a n为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，所以a n是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1+1+0=2，因为2021=673×3+2，所以数列a n的前2021项的和为673×2+2=1348．故选B．11.(2022·安徽省六安市·单元测试)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯⋯即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，则b1 +b2+b3⋯+b52的值为()A.71B.72C.73D.74【答案】A【解析】由题意知：数列{b n}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，........故该数列的周期为6，所以b1+b2+b3⋯+b52=8×(1+1+2+3+1)+1+1+2+3=71．故选：A．12.(2023·单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”.设数列{a n}的前n项和为S n，记a2023=m，a2024=n，则S2023=()A.m+n-2B.m+nC.m+n-1D.m+n+1【答案】C【解析】因为a n+2=a n+1+a n，所以a2023=a2022+a2021=a2022+a2020+a2019=⋯=a2022+a2020+a2018+⋯+a2+a1 ①，a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=⋯=a2023+a2021+a2019+⋯+a5+a3+a2 ②，由 ①+ ②，得a2023+a2024=S2023+a2，又a2023=m，a2024=n，a2=1，即m+n=S2023+1，所以S2023=m+n-1.故选C．13.(2022·河南省·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n是数列{a n}的前n项和，则(a3 -S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=()A.0B.1C.98D.100【答案】C【解析】解：∵a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，∴a2+S n=a n+2，∴a n+2-S n=a2=1，∴(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=1×98=98，故选：C．由斐波那契数列可得：a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，相加可得a2+S n=a n+2，进而得出结论．本题考查了斐波那契数列的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.(2022·重庆市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21⋯.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)⋯(a2015a2017-a22016)=()A.1B.2017C.-1D.-2017【答案】C【解析】解：根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，所求式子最末项n=2015，从而可得结果．由题意得：a1a3-a22=1，a2a4-a23=-1，a3a5-a24=1，⋯，∴当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1∴(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a3-a34)⋅⋅⋅(a2015a2017-a22016)=-1．故选：C．根据a n+a n+1=a n+2，当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1，当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，从而可以求出结果．本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律，属中档题．15.已知55<84,134<85，设a=log53,b=log85c=log138，则A.a<b<cB.b<a<cC.b<a<cD.c<a<b【答案】A【解析】由斐波那契不等式：nn-1<log ana n+1<n-1n-2知答案为A.二、多选题1.(2023·山东省青岛市·期末考试)若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是()A.a7=13B.a1+a3+a5+⋯+a2019=a2020C.3a n=a n-2+a n+2(n≥3)D.a2+a4+a6+⋯+a2020=a2021【答案】ABC【解析】解：因为a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，a6=a5+a4=8，a7=a6+a5=13，所以A正确；a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，可得a n+2=a n+1+a n=2a n+a n-1=3a n-a n-2，即有3a n=a n-2+a n+2(n≥3)，故C正确；设数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3+a5+...+a2019=a1+(a2+a1)+(a4+a3)+⋯+(a2018+a2017)=a1+S2018=1+S2018，又a n+2=a n+1+a n=a n+a n-1+a n-1+a n-2=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-3+a n-4=⋯=S n+1，所以a2020=S2018+1=a1+a3+a5+⋯+a2019，所以B正确；a2+a4+a6+⋯⋯+a2020=a2+a3+a2+a5+a4+⋯+a2019+a2018=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2019=S2019，但S2019+1=a2021，所以a2+a4+a6+⋯+a2020≠a2021，所以D不正确．故选：ABC．根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A，由数列的递推式可判断C；然后根据递推关系求出a n+2=S n+1，从而可判断选项B和D．本题考查数列递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．2.(2022·湖北省荆门市·期末考试)2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为b n，则()A.b7=21B.b1+b2+b3+b5+b7=51C.b21+b22+⋯+b2n=b n⋅b n+1-1D.b n-2+b n+2=3b n【答案】ACD【解析】∵b1=1，b2=2，b3=3，b4=5，b5=8，∴当n≥3时，b n=b n-1+b n-2，∴b6=13，b7=21，A正确;b1+b2+b3+b5+b7=1+2+3+8+21=35，B错误;∵b21=1，b22=b2(b3-b1)=b2b3-b2b1，∴有b2n=b n(b n+1-b n-1)=b n b n+1-b n b n-1，∴b21+b22+⋯+b2n=1-b1b2+b n⋅b n+1=b n⋅b n+1-1，C正确;∵b n-2=b n-b n-1，b n+2=b n+b n+1，∴b n-2+b n+2=2b n+b n+1-b n-1=3b n，D正确．故选ACD．3. (2022·安徽省阜阳市·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N +).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{b n }，记{b n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是( )A.b n +9-b n +1=0 B.S n +10=S n +2+9C.b 2022=2 D.S 2022=2696【答案】ABC【解析】由题意，可知新数列{b n }：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，⋯，故新数列{b n }是以8为最小正周期的周期数列，∴b n +9=b n +1，故A 正确；∵2022÷8=252⋯6，且1+1+2+0+2+2+1+0=9，∴S n +10=S n +2+9，B 正确，b 2022=b 6=2，故C 正确∴{b n }的前2022项和为9×252+1+1+2+0+2+2=2276，故D 错误；故选：ABC ．4.(2022·全国·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3,n ∈N *).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格的边长为1，记每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为b n ，则下列结论正确的是( )A.4(b 2020-b 2019)=πa 2021⋅a 2018B.a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021-1C.a 21+a 22+a 23+⋯+a 22020=2a 2019⋅a 2021D.a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=0【答案】ABD 【解析】由题意得b n =π4a 2n ，则4(b 2020-b 2019)=4π4a 22020-π4a 22019=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2021⋅a 2018，故选项A 正确;因为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3)，a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+⋯+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1，故选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，即a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，两边同乘a n -1，可得a 2n -1=a n -1a n -a n -1a n -2，则a 21+a 22+a 23+⋯+a 22000=a 21+(a 3a 2-a 2a 1)+(a 3a 4-a 3a 2)+⋯+(a 2020a 2021-a 2020a 2019)=a 21+a 2020a 2021-a 2a 1=a 2020a 2021，故选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，则a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=a 2019⋅(a 2021-a 2019)+a 2020⋅(a 2018-a 2000)=a 2019⋅a 2020+a 2000⋅(-a 2019)=0，故选项D 正确.故选ABD ．5.(2023·浙江省·其他类型)意大利著名数学家莱昂纳多⋅斐波那契( Leonardo Fibonacci )在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割5-12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为a n=151+52n-1-52n，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为a n，其前n项和为S n，则下列结论正确的有()A.1010k=1a2k=a2021 B.S13=29a8C.2020k=1a k+2a k-a2k+1=0 D.S n=a n+2-1【答案】BCD【解析】通过给出数列的前9项，发现a2+a4=a5-1，a2+a4+a6=a7-1，⋯，因此我们归纳、猜想1010k=1a2k=a2021-1，事实上，1010k=1a2k=a2+a4+a6+a8+⋯+a2020=(a3-1)+a4+a6+a8+⋯+a2020=-1+a5+a6+a8+⋯+a2020=-1+a7+a8+⋯+a2020=⋯=-1+a2021，故选项A错误;可以运算得到S13=609=21×29=29a8，故选项B正确;可以发现，a3a1-a22=1，a4a2-a23=-1，a5a3-a24=1，a6a4-a25=-1，⋯，归纳得到2020k=1(a k+2a k-a2k+1)=0，故选项C正确;可以发现，S1=a3-1，S2=a4-1，S3=a5-1，⋯，归纳得到S n=a n+2-1，事实上，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+⋯+(a n+2-a n+1)=a n+2-a2=a n+2-1，故选项D正确．6.(2022·江苏省苏州市·期中考试)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列a n满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2 n≥3,n∈N*.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论正确的是( )A.S n+1=a2n+1+a n+1⋅a nB.a1+a2+a3+⋯+a n=a n+2-1C.a1+a3+a5+⋯+a2n-1=a2n-1D.4c n-c n-1=πa n-2⋅a n+1【答案】ABD【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足a n=a n-1+a n-2n≥3,n∈N*，所以a21=a2a1，a22=a2a2=a2a3-a1=a2a3-a2a1，a23=a3a3=a3a4-a2=a3a4-a3a2，类似的有，a2n=a n a n=a n a n+1-a n-1=a n a n+1-a n a n-1，累加得a21+a22+a23+⋯+a2n=a n⋅a n+1，由题知S n+1=a21+a22+a23+⋯+a2n+a2n+1=a n+1⋅a n+2=a2n+1+a n+1⋅a n，故选项A正确，对于B选项，因为a1=a1，a2=a3-a1，a3=a4-a2，类似的有a n=a n+1-a n-1，累加得a1+a2+a3+⋯+a n=a n+a n+1-a2=a n+2-1，故选项B正确，对于C选项，因为a1=a1，a3=a4-a2，a5=a6-a4，类似的有a2n-1=a2n-a2n-2，累加得a1+a3+⋯+a2n-1=a1+a2n-a2=a2n，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积c n=π⋅a2n4，故4c n-c n-1=4π⋅a2n4-π⋅a2n-14=πa2n-a2n-1=πa n-2⋅a n+1，故选项D正确，故选ABD．7.(2022·湖南省娄底市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{F n}称为斐波那契数列，现将{F n}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{M n}，则下列结论中正确的是A.M 2022=1B.M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1，n∈N *)C.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022D.F 1+F 2+F 3+⋯+F 2021=F 2022-1【答案】BC【解析】M1=1,M2=1,M3=2,M4=3,M5=1,M6=0,M7=1,M8=1,M9=2,M10=3,M11=1,M12=0，所以数列{M n}是以6为最小正周期的数列，又2022=6×337，所以M2022=0，故A选项错误；n≥1，n∈N*，则M6n-2=M4=3，M6n-4=M2=1，2M6n-5=2M1=2，故M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1,n∈N*)成立，B选项正确；对于n≥2，n∈N*，总有F2n=F n F n+1-F n-1=F n F n+1-F n F n-1，故F21+F22+F23+⋯+F22021=F21+F2F3-F1F2+F3F4-F2F3+⋯+F2021F2022-F2020F2021=F21-F1F2+F2021F2022=F2021F2022，故C选项正确；对于n≥1，n∈N*，总有F n=F n+2-F n+1，故F1+F2+F3+⋯+F2021=F3-F2+F4-F3+⋯+F2023-F2022=F2023-F2=F2023-1，故D选项错误．8.(2022·云南省·单元测试)斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()A.100B.143C.200D.256【答案】BC【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143，前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232，所以只需143≤a<232，BC均符合要求．故选：BC．三、填空题1.(2023·江西省赣州市·期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列a n为斐波那契数列，数 满足a1=a2=1，且a n+2=a n+1+a n，则称数列a n为斐波那契数列.已知数列a n 列b n的前12项和为86，则b1+b2=．满足b n+3+(-1)a n b n=n，若数列b n【答案】8【解析】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯.(特征：每三项中前两项为奇数后一项为偶数)由b n+3+(-1)a n b n=n得：b4-b1=1，b5-b2=2，b6+b3=3，则b1+b2+b4+b5=3+2(b1+b2)，同理：b7-b4=4，b8-b5=5，b10-b7=7，b11-b8=8，b12+b9=9，得：b7=5+b1，b8=7+b2，b10=12+b1，b11=15+b2，则b7+b8+b10+b11=39+2(b1+b2)，b3+b6+b9+b12=12，则s12=b1+b2+⋯+b12=54+4(b1+b2)=86，则b1+b2=8．2.(2023·湖北省黄冈市·单元测试)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列a n的前2022，则数列a n 项的和为．【答案】2276【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯各项除以3的余数，可得数列{a n}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1...，∴数列{a n}是周期为8的数列，一个周期中八项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9，又2022=252×8+6，∴数列{a n}的前2022项的和S2022=252×9+8=2276．故答案为：2276．3.(2022·海南省·期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{a n}满足a1=0，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，若记a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4 +a6+⋯+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)【答案】M+N+1【解析】因为a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以S2020=M+N，所以a1+(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2017+a2018)=a1+S2018=M，所以S2018=M-a1=M，因为a2+a4+a6+⋯+a2020=N，所以a2+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2018+a2019)=-a1+S2019+a2=S2019+1=N，所以S2019=N-1，所以a2020=S2020-S2019=(M+N)-(N-1)=M+1，a2019=S2019-S2018=(N-1)-M=N-M-1，所以a2021=a2019+a2020=N，a2022=a2020+a2021=M+N+1，故答案为：M+N+1．由已知两式相加得S2020=M+N，由a1+a3+a5+⋯+a2019=M得S2018=M-a1=M，由a2+a4+a6+⋯+a2020=N得S2019=N-1，从而得到a2020=S2020-S2019，a2019=S2019-S2018，利用a n+2=a n+1+a n(n∈N*)可得答案．本题考查数列的递推关系式及前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．4.(2022·陕西省咸阳市·模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、⋯⋯，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示．大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{a n}，其中a1=a2=1，有以下几个命题：①a n+a n+1=a n+2(n∈N+)；②a21+a22+a23+a24=a4⋅a5；③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；④a22n+1=a2n⋅a2n+2-1(n∈N+)．其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以a n+a n+1=a n+2(n∈N+)，①正确；a21+a22+a23+a24=1+1+4+9=15，a4⋅a5=3×5=15，②正确；a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=⋯=a2021+a2019+a2017+a2016=⋯=a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a2= a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a1，所以③正确．当n=1时，a22n+1=a23=4，a2n⋅a2n+2-1=a2⋅a4-1=1×3-1=2，所以④错误．故答案为：①②③．根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案．本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题．5.(2022·江苏省苏州市·单元测试)数列a n：1，1，2，3，5，8，⋯，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式a n=151+52n-1-52n等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到a2n+1=a n+1a n+2-a n=a n+2a n+1-a n+1a n，从而易得a21+a22+a23+⋯+a2126值的个位数为．【答案】4【解析】因为a2n+1=a n+1(a n+2-a n)=a n+2a n+1-a n+1a n，所以a21+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+⋯+(a126a127-a126a125)=1-a2a1+a126a127=a126a127．又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以a126，a6的个位数字相同，a127，a7的个位数字相同，易知a6=8，a7=a6+a5=13，则8×3=24，所以a126a127的个位数字为4．故答案为：4．6.(2022·全国·期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为F n.利用下图所揭示的F n的性质，则在等式F22022 -F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F2022⋅F m中，m=．【答案】2020【解析】由题意，F n+2=F n+1+F n，所以F2022⋅F2021=F2021+F2020⋅F2021=F22021+F2021⋅F2020，F2021⋅F2020=F22020+F2020⋅F2019，F2020⋅F2019=F22019+F2019⋅F2018，⋯F3⋅F2=F22+F2⋅F1=F22+F21，所以F2022⋅F2021=F22021+F22020+F22019+⋯+F22+F21，所以F22022-F21+F22+⋅⋅⋅+F22021=F22022-F2022⋅F2021=F2022F2022-F2021=F2022⋅F m，所以F2022-F2021=F m，所以F2022=F2021+F m，由F2022=F2021+F2020，所以F m=F2020，所以m=2020，故答案为 2020．。
斐波那契数列的研究与应用
一
下位置变成 ５ 、 ８ 、 １ ３ ，则它们恰好为斐波那契数列中相邻的三项 ，
由 斐波那契数列的性质 ２ ， 即Ｕ ｎ ＿ ｌ ｌ ｌ ｎ ＋ ｌ － Ｉ １ ： ＝ （ 一 １ ） “ ， 这里面的Ｕ ｎ － ｌ Ｕ … Ｔ Ｉ
，
所 以很容 易 便解 释 了 上述 拼 图 中 出现 的 问题 。 ２ ． ６斐 波那 契 数列 与 生 活 、 自然 界 的联 系 ’ 斐波那契数列与 自然界也有着紧密的联系。 下面举出几个例子 加以说明。 ２ ． ６ ． １斐 波 那契 数 列 与树 木 的生 长 树木在生长过程 中， 由于新生 的枝条 ， 往往需要一段 “ 休息” 时 间， 供 自身生长， 而后才能萌发新枝 。 所 以， 一株树苗在一段间隔 ， 例 如一年 ， 以后 长出一条新枝 ； 第二年新枝“ 休息” ， 老枝依旧萌发 ； 此 老枝与 “ 休息” 过一年的枝同时萌发 ， 当年生 的新枝则次年 “ 休 的科学家 。他涉及 的数学领域非 常的广泛 ， 他在 １ ２ ０ ２ 年写成的《 计 后 ， 。 这样 ， 一株 树 木各 个 年份 的枝 桠数 ， 便 构成 斐 波那 契 数 列 。 换 句 算之书》 中， 提 出了兔子问题 ， 即： 若每一对成兔每月生一对幼兔（ 一 息 ” 树 枝 的 繁衍 方 式是 按 照斐 波 那契 数 列增 长 的 。 这个 规律 ， 就 是 雌一雄１ ， 幼兔 经过 二个 月后 成为成兔 ， 即开始繁殖 ， 试问年初的一 话说 ， 鲁 德 维格 定 律 ” 。同样 ， 许 多 植 物 的花 瓣 数 目也 具 对幼兔（ 没有死亡疾病） 一年后能繁殖成多少对兔子？四百多年后 ， 生物 学 上著 名 的 “ 荷兰数学家 （ 吉拉尔 ） 注意到与兔 子问题有关的数列的一般递推关 有斐 波 那契 数 。 ２ ． ６ ． ２斐 波 那契 数 列 与 台阶 问题 系式 Ｕ － Ｕ 】 ＋ ｕ ｎ － ２ ’ 后来这个数列被 Ｆ ． Ｅ ． Ａ ． Ｌ ｕ ｃ ａ ｓ 首先命名为 Ｆ ｉ ｂ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｉ 有 一个 楼 梯 ， 要求 一 次最 多 只 能迈 两个 台阶 。 若 有 一 个 台 阶时 ， 数列。 只有 一 种 走 法 ， 我们把它记为 Ｆ ＝ ｌ ； 若有两个台阶 ， 则 有 两 种走 法 ， ２斐 波 那 契数 列 的应 用 即一 阶一阶的走 ， 记为（ １ ， １ ） ， 一步两阶的走 ， 记为（ ２ ） ， 即Ｆ ２ ＝ ２ ； 若有 ２ ． １黄 金数 与 斐 波那 契 数列 三个 台阶 ， 则有三种走法 ， 即（ １ ， １ ， １ ） 、 （ １ ， ２ ） 、 （ ２ ， １ ） ， 记为 Ｆ ３ ＝ ３ ； 若有 ２ ． １ ． １黄金数 ｗ ＝ ０ ． ６ １ ８ …与斐波那契数列｛ ｕ ｝ 之间有关系式 ： 四个 台阶 ， 则 有 五 种走 法 ， 即（ １ ， １ ， １ ， １ ） 、 （ １ ， ２ ， １ ） 、 （ １ ， １ ， ２ ） 、 （ ２ ， １ ， １ ） 、 ｌ ｉ ｍ ： ｗ ． （ ２ ， ２ ） ， 记为 Ｆ ４ ＝ ５ ； 若 有五个 台阶 ， 则有八 种走法 ， 即（ １ ， １ ， １ ， １ ， １ ） 、
斐波那契数列
阅读与思考----关于斐波那契数列山西省长治市武乡中学魏春妍高中数学必修五《数列》一章中有一篇阅读与思考---斐波那契数列。
斐波那契数列也称“兔子数列”，这是一个非常有趣的数列，它是自然界中经过长期的适应和进化隐藏着的神秘的数学规律，而且在现代物理、化学、经济等领域都有直接的应用。
为此，笔者对斐波那契数列进行了粗浅的收集整理，以供学生参考学习。
一、斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...二、相关公式（1）递推公式，，（n>=3,n∈N*）（2）前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+……+an=1+a1+a2+a3+……+an-1=a2+a1+a2+a3+……+an-1=a3+a2+a3+……+an-1=a4+a3+……+an-1……=an+an-1+an-1=2an+an-1-1（3）通项公式：三、斐波那契数列的由来兔子繁殖问题：斐波那契数列又因数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”。
问题：一般而言，若一对成年兔子每个月恰好生下一对小兔子(一雌一雄)。
在年初时，只有一对小兔子。
在第一个月结束时，他们成长为成年兔子，并且第二个月结束时，这对成年兔子将生下一对小兔子。
这种成长与繁殖的过程会一直持续下去，并假设生下的小兔子都不会死，那么一年之后共可有多少对小兔子？繁殖的过程可以通过一棵“家族树”来表示：让我们来推算一下在第五个月结束时兔子的总数：第1个月：只有1对兔子；第2个月：兔子没有长成，仍然只有1对兔子；第3个月：这对兔子生了1对小兔子，这时共有2对小兔子；第4个月：老兔子又生了1对小兔子，而上个月出生的兔子还未成熟，这时共有3对兔子；第5个月：这时已有2对兔子可以生殖，于是生了2对兔子，这时共有5对兔子；如此推算下去，我们不难得出下面的结果(如下表)：从表中可知，一年后(第13个月时)共有233对兔子。
这就是说，在短短的一年时间，一对兔子就能自由地繁殖成233对兔子，这是多么惊人的繁衍速度啊！如此往复继续下去，是否要一直这样麻烦地推算下去呢？不妨让我们仔细寻找一下这些数字之间的关系吧：即：“第n个月的兔子总数=第(n-1)个月的兔子总数+第(n-2)个月的兔子总数”四、有趣的关系（1）与黄金分割的关系：在斐波那契数列中，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。
斐波那契数列及其性质
裴波纳契数列及其性质在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，裴波纳契数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用裴波纳契数列表示，而且本质上就是裴波纳契数列，可见裴波纳契数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究裴波纳契数列非常必要。
本文通过探讨裴波纳契数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与裴波纳契数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。
1. 裴波纳契数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。
假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213小兔子数（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21345589大兔子数（对）0 1 1 2 3 5 8 13 21345589144兔子总数（对） 1 1 2 3 5 8 13 21345589144233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。
仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为裴波纳契数列，而将这个数列中的每一项称为“裴波纳契数”。
2. 生活中常见的裴波纳契数列数学模型:假如我们把设为裴波纳契数列，不难发现数列是由递推关系式：，，……，所给出的一个数列。
从而，我们就可以轻而易举地算出两年，三年……以后的兔子数。
菲波纳奇神奇数字与百分比之间的关系
菲波纳奇神奇数字与百分比之间的关系
通常，市场既不会直线上升，也不会竖直跌落，而是进两步、退一步。
在当前趋势继续发展之前，市场通常先要对已经形成的上涨进程或下跌进程作出一定程度的回撤。
在这类回撤水平中，较为常用的是50%回撤水平，以及38%和62%的菲波纳奇回撤水平(如图12.1和12.2所示)。
菲波纳奇是13世纪的一位数学家，他推导出一组特殊的数列。
用不着太深的研究，只要我们把这些数字相互除一下，就能够推算出一组比例数—毫不奇怪，这当然就是菲波纳奇比率。
在这组比率中，包括61.8%(或者它的倒数1.618)和38.2%(或者
它的倒数2.618)。
这正是62%(61.8%取整)回撤水平和38%(38.2%取整)回撤水平之所以广为流行的原因。
常见的50%回撤水平也属于菲波纳奇比率。
50%回撤水平可能是最受人关注的一个价格水平。
这是因为，不论是信奉江恩理论者，还是奉行艾略待波浪理论者，或者道氏理论的拥护者，统统应用了50%回撤水平。
菲波纳奇神奇数字：0.382 0.5 0.618 1.618 2.618。
费波那契数列
斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
斐波拉契数列的简介：“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算术平方根)(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856) 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提及了杨辉三角，斐波拉契数列可在其中寻得。
13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。
书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
斐波那契数列知识点
斐波那契数列知识点《聊聊斐波那契数列那些事儿》嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个特别有意思的知识点——斐波那契数列。
这可真是个神奇的玩意儿！斐波那契数列，听着好像挺高大上的，但其实啊，就是一串数字排排队。
可别小看了这串数字，它们背后藏着好多奥秘和乐趣呢！你看啊，这斐波那契数列一开始是0 和1，然后后面每个数都等于前两个数相加。
就这么简单的规则，却能变出好多花样儿来。
想象一下，就像一个数字小精灵在那蹦跶，一会儿加这个，一会儿加那个，就变出了一长串的数字。
就感觉特别神奇，是不是？我第一次接触斐波那契数列的时候，心里那叫一个好奇啊。
就琢磨着，这玩意儿到底有啥用啊？后来发现，用处可多啦！比如说在自然界里，很多东西的生长都跟斐波那契数列有关系。
像某些花朵的花瓣数量、松果的螺旋形状，都能看到斐波那契数列的影子。
有时候我就想，这大自然是不是也在跟我们玩数字游戏啊！还有呢，在一些艺术和设计领域，斐波那契数列也特别吃香。
它能给作品带来一种特别的美感和韵律。
就好像是给作品注入了灵魂一样，让它们变得更加吸引人。
而且啊，斐波那契数列还能用来解决一些实际问题呢！比如说排列组合啥的。
是不是感觉很厉害？我觉得学习斐波那契数列就像是在探索一个神秘的宝藏。
每发现一个它的新特点或者新用途，就像找到了一颗闪闪发光的宝石。
学习斐波那契数列还让我明白了一个道理，那就是很多看似简单的东西，背后可能藏着巨大的价值。
所以啊，朋友们，别小看了这些知识点。
它们就像隐藏在知识海洋里的小惊喜，等着你去发现呢！总之呢，斐波那契数列知识点真是太有趣啦！既能让我们感受到数字的魅力，又能让我们惊叹于自然和艺术的奇妙。
大家以后要是碰到了，可得好好研究研究，说不定还会有更多意想不到的收获哦！。
自然哲学的数学原理定义八
自然哲学的数学原理定义八自然哲学作为一门古老的学科，旨在探讨自然界的奥秘并寻求其中的规律。
数学作为一种强大的工具，被广泛运用在自然哲学研究中。
在本文中，我们将探讨自然哲学中的数学原理定义八。
1. 黄金比例黄金比例是自然界中的一个重要比例，也被称为神秘的比例。
它的数学定义是：如果一个长方形的宽与高之比等于其长与宽之比（即a/b = (a + b)/a），那么这个长方形就具有黄金比例。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数学序列，在自然界中也有广泛的应用。
该数列的定义是：第一个和第二个数字为1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。
这个数列展现了自然中很多规律和形态。
3. 微积分微积分是数学中的一个重要分支，它被广泛运用于自然哲学的研究中。
微积分通过对变化的量进行分析，帮助我们理解自然界中的各种现象，并发现其中隐藏的规律。
4. 基础数学公式在自然哲学中，许多基础数学公式也发挥着关键作用。
例如，牛顿第二定律、万有引力定律、麦克斯韦方程等公式都帮助我们解释和预测自然界中发生的现象。
5. 统计学统计学是一种描述和分析数据的工具，也被广泛应用于自然哲学的研究中。
通过统计学的方法，我们可以从大量数据中提取出规律，并进行推断和预测。
6. 概率论概率论是研究随机现象的数学理论，也在自然哲学中发挥着重要作用。
通过概率论的方法，我们可以计算各种事件发生的可能性，从而更好地理解自然界中的随机现象。
7. 矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，也被应用于自然哲学的研究中。
通过矩阵的运算和分析，我们可以描述和解释一些复杂的自然现象，洞察其中的规律。
8. 数学模型数学模型是自然哲学研究中的一种重要方法。
通过建立数学模型，我们可以简化和描述自然界中的复杂现象，进而进行预测和控制。
数学模型是自然哲学和数学相互结合的重要体现。
综上所述，自然哲学中的数学原理定义八包括了黄金比例、斐波那契数列、微积分、基础数学公式、统计学、概率论、矩阵论和数学模型等内容。