两道骰子问题(数学概率问题)
两道骰子问题(数学概率问题)
题目一题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
解：（没学过《组合数学》的请略过）设P（N=n）表示第n次（n>2）抛出后1，2，3都出现的概率，问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.写程序求解#include <iostream>using namespace std;float f(float x){return (1/(1-x)/(1-x)-1-2*x);}int main(){float p=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));cout<<e<<endl;return 0;}在Visual Studio下的运行结果为：7.3答案7.3题目二假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。
现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。
一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的n 个正面？它的答案是2^(n+1) - 2 。
取n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷6 次硬币，才能得到两个连续的正面。
或许这个期望次数比你想象中的要多吧。
我们不妨试着来验证一下这一结果。
由简单的递推可得，所有 1 都不相邻的k 位01 串有F k+2个，其中F i表示Fibonacci 数列中的第i 项。
而“抛掷第k 次才出现连续两个正面”的意思就是，k 位01 串的末三位是011 ，并且前面k - 3 位中的数字1 都不相邻。
有趣的概率问题
有趣的概率问题
概率是数学中的一个分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
在日常生活中，我们会遇到很多有趣的概率问题，下面就介绍一些常见的概率问题：
1、掷骰子问题：如果我们掷一个六面骰子，那么每个数字出现的概率是相等的，即1/6。
那么如果我们掷两个骰子，两个骰子点数之和为7的概率是多少呢？答案是1/6，因为掷两个骰子，总共有36种可能的结果，其中只有6种结果是点数之和为7的，所以概率为
6/36=1/6。
2、生日问题：如果一个房间里有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率是多少呢？答案是50.7%。
这个问题的解法比较复杂，需要用到排列组合的知识，有兴趣的读者可以自行搜索。
3、扑克牌问题：如果我们从一副扑克牌中随机抽取5张牌，那么这5张牌中有至少一张红桃的概率是多少呢？答案是52.5%。
这个问题的解法也比较复杂，需要用到加法原理和减法原理，有兴趣的读者可以自行搜索。
以上只是一些常见的概率问题，实际上概率问题的种类非常多，而且很多问题的解法都比较复杂，需要用到高等数学知识。
但是对于日常生活中的一些简单问题，我们可以通过简单的计算和推理来得到答案，这不仅可以锻炼我们的数学能力，还可以让我们更好地理解概率的应用。
- 1 -。
概率题目有兄弟两个人掷一对骰子一次,决定奖品归属,
概率题目：有兄弟两个人掷一对骰子一次，决定奖品归属，如果骰子正面的点数和为单数，那么哥哥就获胜，如果点数和为双数，那么就弟弟获胜。
问题：（1）你认为游戏是否公平，并讲述理由。
（2）请你设计一种方式，让兄弟两人比较快分出胜负的又公平的方式。
参考答案：（1）公平。
因为共计36种，和为单数的有18种，刚好一半所以公平。
5分（2）答案不止一种。
10分试题说明和分析：此题主要是考察概率的基本知识，会用列举法解决实际问题，第2小题让学生还会使用知识设计，做到学以致用。
几何题目： 已知：如图，等边△ABC 中，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ．（1）猜想：线段AE 、MD 之间有怎样的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连接CP ，若AB ＝7，AE ＝72，求tan ∠BCP 的值．（1）猜想：2AE MD = ------------------------------------------1分证明：∵ △ABC 是等边三角形，点D 为BC 边的中点，∴ 2AB BC BD ==∵ ∠BAE ＝∠BDF , ∠ABE ＝∠DBM∴ ABE ∆∽DBM ∆∴2AE AB DM DB== 即 2AE MD = -------------3分（2）解：如图， 连接EP由（1）ABE ∆∽DBM ∆∴2BE AB BM DB== ∴2BE BM =∵MP BM =∴ 2BP BM =∴ BE BP =∵ 60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴EBP ∆为等边三角形 ----------------------6分∴ EM BP ⊥∴ 90BMD ∠=︒∴90AEB ∠=︒ -----------------------7分在Rt △AEB 中，AB ＝7，AE ＝72∴ BE =21=22AE -AB∴ tan 2BAE ∠=分 ∵ AB CB = ，BE BP = ，∠ABE ＝∠DBM∴ ABE CBP ∆≅∆∴ BCP BAE ∠=∠∴ tan BCP ∠=tan BAE ∠=分 试题分析说明：本题主要考察三角形全等，相似，三角函数，和特殊三角形（等边三角形，直角三角形）等知识安，猜想证明。
简单的统计与概率问题
简单的统计与概率问题统计和概率是数学中重要的概念和工具。
在日常生活中，我们经常遇到一些与统计和概率相关的问题。
本文将介绍几个简单的例子，以帮助读者理解统计和概率的应用。
一、骰子问题：假设有一个六面骰子，每个面的数字分别为1、2、3、4、5、6。
如果我们扔一次骰子，每个数字出现的概率是相等的（即1/6）。
那么，如果我们扔两次骰子，我们可以得到哪些数字？当我们扔两次骰子时，总共可能的结果有36种（6个数字的组合）。
我们可以列出所有可能的情况：1+1、1+2、1+3、1+4、1+5、1+62+1、2+2、2+3、2+4、2+5、2+6...6+1、6+2、6+3、6+4、6+5、6+6我们可以通过统计的方法计算每个结果的概率。
例如，我们可以计算两个骰子点数之和为7的概率。
当两个骰子点数之和为7的情况有6种（1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1），因此，两个骰子点数之和为7的概率为6/36，约等于0.167。
这个例子展示了如何利用统计和概率的知识解决简单的问题。
我们可以通过计算每个结果的概率来得出结论。
二、生日悖论问题：生日悖论是一个经典的概率问题。
假设有一个房间里有23个人，他们中是否有两个人生日相同的概率是多少？我们可以使用统计和概率的方法来解答这个问题。
首先，我们需要确定每个人的生日是否是相同的概率。
一年有365天，所以一个人的生日是任意一天的概率是1/365。
当有多个人的时候，我们需要计算他们中没有人生日相同的概率。
假设第一个人的生日是任意一天，那么第二个人的生日不应该和第一个人相同，所以他的概率是364/365。
同理，第三个人的概率是363/365，以此类推。
最后，我们可以计算没有人生日相同的概率。
将所有的概率相乘：(365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (343/365)计算结果约等于0.492。
因此，当有23个人的时候，他们中至少有两个人生日相同的概率约为0.508。
【数学】骰子问题
【数学】骰⼦问题骰⼦问题问题描述：众所周知，骰⼦是⼀个六⾯分别刻有1到6点的⽴⽅体，每次投掷骰⼦，从理论上讲得到1点到6点的概率都是1/6。
今有骰⼦⼀颗，连续投掷n次，问点数总和⼤于x的概率是多少？输⼊格式：仅有⼀⾏，包含两个⽤空格隔开的整数，分别表⽰n和x，其中1<=n<=24，0<=x<150。
输出格式：输出⽂件仅有⼀⾏，为⼀个分数。
要求以最简的形式精确地表达出连续投掷n次骰⼦，总点数⼤于等于x的概率。
输⼊：3 9输出：20/27试题分析：好，现在我告诉你分数原型是160/216，你是否明⽩了呢？没错，216就是6^3，因为每⼀次扔骰⼦可以有1~6任意⼀种，那么和（不考虑重复的）就为6^3这是总的种数，那么160是什么呢？就是满⾜⼤于等于X的⽅法数(⽅法数也不考虑重复)那么就可以设F(i,j)为要组成等于i，扔j次骰⼦的⽅法种数可以得到，我们可以循环加上去的1~6（k），再循环现在的数字(j)那么可以得到F(i,j)=sum(F(k+j,i+1)) (0≤i<N，0≤j≤i*6，0<l<7)代码如下（压位不会啊QAQ）：#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#define LL long longusing namespace std;LL f[1001][1001];LL N,X;LL tmp=1;LL ans;long long Gcd(LL a,LL b){//最⼤公约数if(b==0) return a;return Gcd(b,a%b);}int main(){cin>>N>>X;f[0][0]=1;for(LL i=0;i<N;i++){tmp*=6;//(216)for(LL j=0;j<=i*6;j++)//枚举现在的数字for(LL k=1;k<=6;k++)f[k+j][i+1]+=f[j][i];}for(LL i=X;i<=6*N;i++) ans+=f[i][N];//(ans=160)，加上符合条件的⽅法数LL K=Gcd(ans,tmp);ans/=K,tmp/=K;//约分if(tmp==1) cout<<1;else cout<<ans<<"/"<<tmp;}。
概率试题及答案
概率试题及答案在数学学科中，概率是一个非常重要的概念。
它与我们日常生活息息相关，也被广泛运用于各个领域，如统计学、金融学、工程学等。
本文将介绍几道常见的概率试题，并给出详细的答案解析。
1. 一枚骰子投掷，求出现奇数的概率。
解析：一枚骰子共有6个面，每个面的数字分别为1、2、3、4、5、6。
其中3个是奇数，分别是1、3、5。
因此，出现奇数的概率为3/6，或简化为1/2。
2. 从扑克牌中抽取一张牌，求抽到红心的概率。
解析：一副扑克牌共有52张牌。
其中有26张红心牌。
所以，抽到红心的概率为26/52，或简化为1/2。
3. 一批产品中，有10%的次品。
从中抽取3件产品，求至少有1件次品的概率。
解析：要求至少有1件次品，可以反过来思考即至多没有次品的情况。
没有次品的概率为90%*90%*90% = 0.729，那么至少有1件次品的概率为1-0.729 = 0.271。
4. 一箱中有5个红球、3个蓝球、2个绿球，现从中无放回地抽取2个球，求抽出两个都是红球的概率。
解析：首先计算总抽取可能数，即从10个球中抽取任意2个球的组合数。
组合数的计算公式为C(10,2) = 10!/(2!(10-2)!) = 45。
其次计算取出两个红球的可能数，为从5个红球中抽取2个红球的组合数，即C(5,2) = 5!/(2!(5-2)!) = 10。
因此，抽出两个都是红球的概率为10/45，或简化为2/9。
5. 在一个班级中，有25名男生和15名女生。
从中任选4名学生组成一个小组，求该小组恰好有2名男生和2名女生的概率。
解析：首先计算总抽取可能数，即从40名学生中抽取任意4名学生的组合数。
组合数的计算公式为C(40,4) = 40!/(4!(40-4)!) = 91,390。
其次计算抽取2名男生和2名女生的可能数。
男生的选择组合数为C(25,2) = 25!/(2!(25-2)!) = 300，女生的选择组合数为C(15,2) =15!/(2!(15-2)!) = 105。
概率论与数理统计案例
概率论与数理统计案例概率论与数理统计是数学学科的两个分支，它们研究与概率和随机变量相关的问题，可以应用于统计、经济、金融等领域。
下面将介绍一些概率论与数理统计的案例。
案例一：骰子游戏在玩一个骰子游戏时，每次掷一个骰子，如果骰子点数为1或6，则游戏结束，否则游戏继续。
假设你可以决定掷骰子的次数，掷的次数越多，结束游戏的概率越大，但可能会因为掷的次数过多而浪费时间。
现在假设你只能掷骰子n次，问你应该掷几次骰子可以使结束游戏的概率最大？解题思路：对于这个问题，我们可以使用概率论的方法来求解。
假设掷骰子的次数为k，那么结束游戏的概率为：$P_k$ = $\frac{1}{3} + \frac{4}{9}(\frac{2}{3})^k +\frac{2}{9}(\frac{1}{2})^k(\frac{2}{3})^{n-k}$为了使结束游戏的概率最大，我们需要求出这个概率关于k的一阶导数，并令其等于0。
对上式求导，得到：令$P'_k$ = 0，解得：$k$ = $\frac{n}{2}$因此，在保证掷骰子次数不超过n的情况下，掷骰子次数为$\frac{n}{2}$时可以使结束游戏的概率最大。
案例二：股票涨跌预测对于投资者来说，股票的涨跌是一个重要的决策因素，如果能准确预测股票涨跌，可以获得更高的投资收益。
根据概率论和数理统计的方法，我们可以尝试分析股票涨跌的概率和趋势，并根据分析结果制定投资策略。
对于股票涨跌的预测，我们可以使用概率论中的二项分布来进行分析。
假设一个股票价格在一段时间内有50%的概率上涨，50%的概率下跌，我们可以将上涨定义为成功事件，下跌定义为失败事件，那么在n次交易中，股票涨k次的概率为：$P(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$其中，p为股票价格上涨的概率，k为股票涨的次数。
对于预测股票涨跌的趋势，我们可以使用时间序列分析的方法来进行分析。
高中概率问题练习题及讲解
高中概率问题练习题及讲解1. 掷骰子问题- 题目：一个均匀的六面骰子被掷两次，求两次掷出的点数之和为7的概率。
- 解析：首先确定所有可能的结果总数，即6*6=36种。
然后找出两次掷骰子点数和为7的组合，它们是(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)，共6种。
因此，所求概率为6/36，简化后为1/6。
2. 抽卡片问题- 题目：从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，求抽到黑桃A的概率。
- 解析：一副标准扑克牌中有13张黑桃，其中只有1张是黑桃A。
因此，抽到黑桃A的概率为1/52。
3. 独立事件问题- 题目：如果一个事件A发生的概率是0.3，另一个事件B发生的概率是0.5，且A和B是相互独立的，求A和B同时发生的概率。
- 解析：独立事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。
因此，A和B同时发生的概率为0.3*0.5=0.15。
4. 互斥事件问题- 题目：如果事件A和事件B是互斥的，且它们发生的概率分别为0.4和0.3，求至少有一个事件发生的概率。
- 解析：互斥事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生概率的和，减去它们同时发生的概率（如果有的话）。
由于A和B互斥，它们不可能同时发生，所以同时发生的概率为0。
因此，至少有一个事件发生的概率为0.4+0.3=0.7。
5. 条件概率问题- 题目：已知事件A发生的概率为0.5，事件B在A发生条件下发生的概率为0.7，求事件B发生的概率。
- 解析：事件B发生的总概率等于事件A发生且B发生的概率加上事件A不发生且B发生的概率。
由于A和B在A发生条件下是相关的，我们只能计算A发生且B发生的概率，即0.5*0.7=0.35。
事件A不发生且B发生的概率需要额外信息才能计算。
6. 全概率公式问题- 题目：如果事件A1、A2、A3是两两互斥的事件，它们发生的概率分别为p1、p2、p3，且它们的并集概率为1，求事件B在这些条件下发生的概率，已知B在A1、A2、A3条件下发生的概率分别为p(B|A1)、p(B|A2)、p(B|A3)。
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题目一
题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
解：（没学过《组合数学》的请略过）
设P（N=n）表示第n次（n>2）抛出后1，2，3都出现的概率，问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.
写程序求解
#include <iostream>
using namespace std;
float f(float x)
{
return (1/(1-x)/(1-x)-1-2*x);
}
int main()
{
float p=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;
e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));
cout<<e<<endl;
return 0;
}
在Visual Studio下的运行结果为：7.3
答案7.3
题目二
假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。
现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个―字‖向上游戏就结束了，不用继续抛。
一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的n 个正面？它的答案是2^(n+1) - 2 。
取n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷6 次硬币，才能得到两个连续的正面。
或许这个期望次数比你想象中的要多吧。
我们不妨试着来验证一下这一结果。
由简单的递推可得，所有 1 都不相邻的k 位01 串有F k+2个，其中F i表示Fibonacci 数列中的第i 项。
而―抛掷第k 次才出现连续两个正面‖的意思就是，k 位01 串的末三位是011 ，并且前面k - 3 位中的数字1 都不相邻。
因此，在所有2^k 个k 位01 串中，只有F k-1个是满足要求的。
因此，我们要求的期望值就等于∑ (k=2..∞) k * F k-1 / 2^k 。
这个无穷级数就等于 6 。
我怎么算的呢？我用Mathematica 算的。
显然，当n 更大的时候，期望值的计算更加复杂。
而简单美妙的结论让我们不由得开始思考，这个问题有没有什么可以避免计算的巧妙思路？万万没有想到的是，在赌博问题的研究中，概率论帮了不少大忙；而这一回，该轮到赌博问题反过来立功了。
设想有这么一家赌场，赌场里只有一个游戏：猜正反。
游戏规则很简单，玩家下注x 元钱，赌正面或者反面；然后庄家抛出硬币，如果玩家猜错了他就会输掉这x 元，如果玩家猜对了他将得到2x 元的回报（也就是净赚x 元）。
让我们假设每一回合开始之前，都会有一个新的玩家加入游戏，与仍然在场的玩家们一同赌博。
每个玩家最初都只有 1 元钱，并且他们的策略也都是相同的：每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。
运气好的话，从加入游戏开始，庄家抛掷出来的硬币一直是正面，这个玩家就会一直赢钱；如果连续n 次硬币都是正面朝上，他将会赢得2^n 元钱。
这个2^n 就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了2^n 元钱，赌场老板便会下令停止游戏，关闭赌场。
让我们来看看，在这场游戏中存在哪些有趣的结论。
首先，连续n 次正面朝上的概率虽然很小，但确实是有可能发生的，因此总有一个时候赌场将被关闭。
赌场关闭之时，唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那n 个人。
每个人都只花费了 1 元钱，但他们却赢得了不同数量的钱。
其中，最后进来的人赢回了 2 元，倒数第二进来的人赢回了 4 元，倒数第n 进来的人则赢得了2^n 元（他就是赌场关闭的原因），他们一共赚取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) - 2 元。
其余所有人初始时的1 元钱都打了水漂，因为没有人挺过了倒数第n + 1 轮游戏。
另外，由于这个游戏是一个完全公平的游戏，因此赌场的盈亏应该是平衡的。
换句话说，有多少钱流出了赌场，就该有多少的钱流进赌场。
既然赌场的钱最终被赢走了2^(n+1) - 2 元，因此赌场的期望收入也就是2^(n+1) - 2 元。
而赌场收入的唯一来源是每人 1 元的初始赌金，这就表明游戏者的期望数量是2^(n+1) - 2 个。
换句话说，游戏平均进行了2^(n+1) - 2 次。
再换句话说，平均抛掷2^(n+1) - 2 次硬币才会出现n 连正的情况。
数学解法：
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为Shuo Chen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。
根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系
T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T)
解方程可得到T = 6. 由于上面这个方法只能得到期望，而无法得到方差以及具体某个事件的概率，后来我又仔细分析了一下，推出了概率生成函数为（推导的过程暂时略过，后面你会看到一个更一般、更简单的推导）
于是可以算出方差V = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 22。
将G(z)根据Rational Expansion Theorem [CMath 7.3]展开，可以得到需要抛n次硬币的概率为
其中Fn是Fibonacci数列的第n项。
到这里，我觉得这个问题似乎已经完全解决了，直到昨天看到Matrix67的牛B帖。
在此帖中Matrix67大牛用他那神一般的数学直觉一下将需要连续抛出n个字的一般情形给解决了，而且得出的结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) - 2，其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。
这也给了我一些启发，我试着将上面的过程进行推广，居然得到一个简单得出人意料的解法（甚至比上面n=2的推导过程还简单）。
这个解法的关键在于下面这个递推关系
Tn = Tn-1 + 1 + 0.5 * Tn
也即是有 Tn = 2 * Tn-1 + 2。
由于T1 = 2，因此可以得到 Tn = 2^(n+1) – 2。
上面的递推关系是怎么来的呢，一个直观的理解是这样的：首先先抛掷Tn-1次，得到连续的n-1个字，然后再抛一次，若是字，则游戏结束；否则需要重头开始，也就是说又需要Tn 次。
期望投掷次数已经得出来了，但是我们还想知道方差、恰好需要投掷m 次的概率等其它一些更具体的性质。
为了方便理解概率的分布情况，我先用程序生成了一个概率表如下所示。
在下表中，第n行、第m列的元素为Pnm，表示首次出现连续n个字的投掷数为m的概率。
仔细观察上表，你发现什么有趣的性质没？如果忽略掉分母的话，那么第n行恰好是一个n阶Fibonacci数列。
例如可以考查各行的最后一列，有
第一行：1 = 1
第二行：34 = 21 + 13
第三行：44 = 24 + 13 + 7
第四行：29 = 15 + 8 + 4 + 2
第五行：16 = 8 + 4 + 2 + 1 + 1
怎么解释这个现象呢？我们再来仔细考虑一下掷硬币的过程，为方便在下文中用1表示字，用0表示花，于是我们的目标是要恰好使用m次投掷，得到连续的n 个1.
若第一次的结果为0，那么剩下的任务就是恰好使用m-1次投掷得到到连续的n 个1.
若前两次的结果为10, 那么剩下的任务就是恰好使用m-2次投掷得到到连续的n个1.
若前三次的结果为110, 那么剩下的任务就是恰好使用m-3次投掷得到到连续的n个1.
若前四次的结果为1110, 那么剩下的任务就是恰好使用m-4次投掷得到到连续的n个1.
…
若前n-1次的结果为1…10(n-2个1), 那么剩下的任务就是恰好使用1次投掷得到到连续的n个1.
你或许已经看出来了，这里实际上是在枚举首次出现0的位置。
由于首个0出现在位置i的概率为1/2^i，于是得到Pnm的递推公式
于是根据初始条件：，，我们可以推出所有事
件的概率。
现在来推一下概率生成函数，设需要得到连续n个1的投掷数的概率生成函数为Gn(z)，于是有
根据上面的递推公式和初始条件，可以得到
于是可解得
分别代入n = 1 和n = 2 可以得到
以我们前面得到的结果一致，这证明这个概率生成函数的确是正确的。
有了生成函数后，我们又多了一种计算期望的方式
而方差也可以非常容易的得到
至此，这个抛硬币的问题终于应该算是被完全解决了，完。