东南大学信号与系统课件第八章

第八章离散时间系统的变换域分析§8-1 引言一、变换域分析的目的✧变换域分析的目的，在于将原来的求解问题简化。

✧对于连续时间系统，通过L.T.，可以将原来求解微分方程的问题转变为求解代数方程的问题；对于离散时间系统，通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题。

二、Z变换的发展史✧十八世纪，DeMoivre提出生成函数，并应用于概率论；✧十九世纪Laplace、二十世纪Seal对其进行了进一步深入研究；✧二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。

✧作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，现在其用途甚至超过了L.T.三、离散时间序列的频域分析方法✧离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解的方法，在频域进行分析。

这就是离散时间序列傅里叶变换（DTFT）。

✧DTFT可以看成是Z变换的一个特例——正如连续时间系统中傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换的一个特例一样。

✧离散系统也有频率响应（对各种频率的离散正弦信号的响应）。

✧傅利叶变换的离散形式——离散傅利叶变换（DFT）——在离散时间系统分析中占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。

✧除了DFT以外，对于离散时间序列还有其它分析方法，例如离散沃尔什变换、离散余弦变换等，它们在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。

离散时间系统的变换域分析方法与连续时间系统也有很多相似之处。

§8-2 Z 变换定义及其收敛域一、Z 变换的定义✧ Z 变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的角度提出。

后者更加容易理解。

✧ 本课程中，通过连续时间系统的F.T.，导出Z.T.。

这样可以视其物理意义更加明确。

离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列：)(k f ——>∑+∞-∞=-=k kT t k f t f )()()(δδ对其)(t f δ进行F.T.：()∑∑∑⎰∑⎰⎰∑⎰∞+-∞=-∞+-∞=-∞+-∞=∞+∞--∞+-∞=∞+∞--∞+∞--∞+-∞=∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==k kTj k kT j k tj k t j tj k t j e k f e k f dt ekT t k f dte kT t kf dtekT t k f dte tf j F ωωωωωωδδδδω)()()()()()()()()()(根据Dirichlet 条件，只有在信号满足绝对可积条件——这里可以变成绝对可和条件：+∞<∑+∞-∞=k k f )(——时，FT 才存在。

如果不满足，可以利用LT 中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子rkTe-，然后再求FT 。

这样一来上式就可以变成为：()∑⎰∞+-∞=-++∞∞---==+k kTj r t j rkT ek f dte e tf j r F ωωδω)()()(为了简化，假设T=1，则：()∑+∞-∞=-+=+k kj r e k f j r F ωω)()(设)(ωj r ez +=，带入：∑-∞=-=k k z k f z F )()(上式称为序列f(k)的Z 变换。

F(z)由被称为序列f(k)的生成函数，用它可以导出f(k)。

● 上面的推导反映了抽样信号的FT 与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT 之间的关系，即：ωωj e z z F j F ==)()(而抽样信号的LT 与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT 之间的关系为：s e z z F s F ==)()(● 如果实际抽样序列的抽样间隔T 不等于1,则上面两个关系变为：T j e z z F j F ωω==)()(，sT e z z F s F ==)()( ● 在某些情况下，Z 变换的求和限可以简化： 1、 如果f(k)是一个左边序列（其在k<0时才有非零值），则： ∑--∞=-=1)()(k k z k f z F2、 如果f(k)是一个右边序列，则：∑=-=) ()(kkz kfzF3、如果f(k)是一个有限长序列，则：∑=-=21) ()(kkkkz kfzF二、单边Z变换与双边Z变换✧上面定义的Z变换中的求和在（-∞，0）和[0，+∞）中进行，称为双边Z变换。

✧实际工作中，信号是有始信号，系统也是因果系统，其单位函数响应也是一个有始信号，所以只要考虑[0，+∞）一边就可以了，响应的变换称为单边Z变换：∑+∞=-=) ()(kkz kfzF✧与单边LT一样，单边Z变换也是离散时间系统研究的重点。

通过它可以自动引入系统的初始条件，得到系统的全响应。

三、Z变换的收敛域✧和LT一样，ZT也有收敛域的问题。

✧ZT是一个级数求和问题。

ZT存在意味着级数收敛。

Z 变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部z 的集合。

1、 级数收敛的判别方法：1） 比值法：1lim 1<=+∞→ρk k k a a2） 根值法：1lim <=∞→ρk k k a2、 几种常见序列的收敛域： 1） 有限长序列：∑=-=21)()(k k k k z k f z Fa 、 当01<k ,02<k ,收敛域+∞<≤z 0b 、 当01<k ,02>k ,收敛域+∞<<z 0c 、 当01>k ,02>k ,收敛域+∞≤<z 02） 右边序列：∑+∞=-=)()(k k z k f z F利用根值法，有：1)(lim )(lim lim 1<==-∞→-∞→∞→kk k k k k k k k f zz k f aR k f z k k =>∴∞→)(lim所以，右边信号的收敛域为是半径R 、圆心在原点的圆以外的全部区域。

例：单边指数序列)(k a kε的z 变换和收敛域。

解：用定义可以求出该序列的z 变换为：{}az z az z a z a az k a Z k -=-=++++=----13322111......1)(ε 其中倒数第二个等号成立的条件为：11<-az 或者：a z >这就是其收敛条件。

收敛条件也可以用根值法得到：a a z k k k =>∴∞→lim思考：如果右边序列的起始点不在0,收敛区间应该怎样？提示：收敛域是否包含+∞？3） 左边序列∑--∞=-=1)()(k k z k f z F同上可得左边序列的收敛域为：Rk f z k k =-<∴∞→)(lim 1即左边信号的收敛域为是半径R 、圆心在原点的圆以内的全部区域。

例：单边指数序列)1(--k b kε的Z 变换和收敛域。

解：用定义可以求出该序列的z 变换为：{}bz zz b z b z b z b z b z b k b Z k --=-=++++=--------1144332211......)1(ε其中倒数第二个等号成立的条件为：11<-z b 或者：b z <这就是其收敛条件。

收敛区也可以用根值法：bb z k kk =<∴-∞→lim 1思考：如果左边序列的起始点不在-1,收敛区间应该怎样？提示：收敛域是否包含原点？综合上面的左右边序列的Z 变换的例子，可以见到：{}vz zk v Z k-=)(ε 收敛域：v z >{}vz z k v Z k-=---)1(ε 收敛域：v z <可见：右边序列)(k v kε与左边序列)1(---k v k ε有着相同的ZT 表达式，但是其收敛区不同。

这与连续时间系统中的左右边信号的LT 的相关关系相似。

4） 双边序列与连续时间系统一样，双边序列也可以看成右边序列和左边序列之和，收敛域为两个序列的公共收敛域。

收敛域可能存在（当两个序列的收(a)()k v k ε的极点与收敛区 (c) (1)k v k ε---的极点与收敛区左边指数序列与右边指数序列的极点与收敛区z )敛域公共区间时），也可能不存在（当两个序列的收敛域没有公共区间）。

如果存在，其收敛域为一个环行区域。

例：求序列)()1(k a k b kk εε+--的收敛区。

解：它的收敛域为左边序列)1(--k b kε和右边序列)(k a k ε的公共收敛区间，1、 当b a ≥时，两者没有公共收敛区间，Z 变换不存在。

2、 当b a <时，收敛域为b z a <<四、常见序列的单边ZT 1、 单位函数：{}1)(=k Z δ，收敛域：全平面 2、 单位阶跃信号：{}111)(1-=-=-z zzk Z ε，收敛域：1>z(a)右边序列的收敛区 (b) 左边序列的收敛区 (c) 双边序列的收敛区3、 单边指数序列：{}νεν-=z zk Z k)(，收敛域：ν>z4、 单边正弦和余弦序列：可以通过上面指数序列推导出。

其它常见ZT ：见P54,表8-1五、左边和双边序列的ZT 计算方法： 1、 左边序列ZT 求法：左边序列的ZT 可以根据定义求解。

例如，根据上面的例题，可以得到：{}v z z k v Z k--=--)1(ε收敛域为ν<z但是左边序列的ZT 也可以通过右边序列的ZT 计算出。

)0()()()()(011f zk f z k f z k f z F k kk kk k --=-==∑∑∑∞+=+∞=--∞=-由此可以得到由右边序列计算左边序列ZT 计算方法：1） 将序列f(k)反褶，称为右边序列f(-k)； 2） 求f(-k)的单边ZT ，假设为)(z F s ，收敛域为R z >；3） 得到左边序列的ZT ：)0()()(1f z F z F s -=-，收敛域为1-<R z2、 双边序列ZT 求法：与双边信号的LT 一样，可以将双边序列分解为左边序列和右边序列之和，分别求解。

例：求kk f ν=)(的ZT解：)()()()(k k k k f k k kδενενν--+==-其中：1）{}νεν-=z zk Z k)(，收敛域：ν>z2）为了求{})(k Z k--εν， a 、 将信号反褶，成为新的右边序列：)(k kενb 、 求右边序列ZT ：ν-w w，收敛域：ν>w c 、 得到原序列ZT ：{}z v v vw wk Z z w k-=-=---=--111)(εν，收敛域：1-<νz4） 综合得到双边序列的LT ：a 、 如果1≥ν，则f(k)的双边ZT 不存在；b 、 如果1<ν，则f(k)的双边ZT 为：1)()())(()(1)(12111111++--=---=-+-=--+-=-------z v z z z z v z z zz v z z z z v v z F νννννννν 收敛域：1-<<ννz§8-3 Z 变换性质一、 ZT 性质： 1、 线性 2、 移序特性： 1） 单边ZT 移序特性： a 、 增序：{}{}[])0()()()1(f z F z k f S Z k f Z -=⋅=+ {}{}[]122)1()0()()()2(---=⋅=+z f f z F z k f S Z k f Z{}{}[]11)1(...)1()0()()()(-------=⋅=+n n n z n f z f f z F z k f S Z n k f Z● 移序算子S 的作用相当于乘z; ● 移序计算不影响收敛域；● 移序特性与LT 中的微分特性很相似：)0()()(--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧f s sF t f dt d Lb 、 减序：{}{})()()1(11z F z k f S Z k f Z --==-推广：{}{})()()(z F z k f S Z n k f Z n n --==-● 减序计算中，默认信号是一个右边序列。