数学计数原理
计数原理知识点
计数原理知识点
计数原理是组合数学中的基本概念之一，用于计算某个事件发生的可能性。
其核心思想是将复杂的问题拆解为若干个简单的子问题，然后通过对这些子问题进行计数来得到最终的答案。
计数原理包括三个基本概念：乘法原理、加法原理和排列组合。
1. 乘法原理：当一个事件可以分成多个独立的步骤时，可以通过将每个步骤的可能性相乘得到最终结果的总可能性。
例如，在一次实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个步骤
有n种可能性，那么整个实验的可能性就是m乘以n。
这个原理也可以推广到更多步骤的情况。
2. 加法原理：当一个事件可以通过多种不同的方式实现时，可以通过将每种方式的可能性相加得到最终结果的总可能性。
例如，在一个实验中，如果第一个步骤有m种可能性，第二个
步骤有n种可能性，而这两个步骤不能同时发生，那么整个实验的可能性就是m加上n。
3. 排列组合：当从一个集合中选择元素进行排列或组合时，可以使用排列和组合的方法进行计数。
- 排列是指在选择元素时考虑元素的顺序。
当从n个元素中选
择r个元素进行排列时，可以使用排列数P(n,r) = n! / (n-r)!来
计算不同排列的总数，其中n!表示n的阶乘。
- 组合是指在选择元素时不考虑元素的顺序。
当从n个元素中
选择r个元素进行组合时，可以使用组合数C(n,r) = n! / (r!(n-
r)!)来计算不同组合的总数。
通过灵活应用乘法原理、加法原理和排列组合，可以解决各种不同的计数问题，例如生日问题、抽签问题、排队问题等。
计数原理不仅在组合数学中有广泛的应用，也被应用于统计学、概率论等领域。
计数原理
计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法.注：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法. 注：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、典型习题导练1.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）种..A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）.A 300种 .B 240种 .C 144种 .D 96种4.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 （ ）.A 23种 .B 11种 .C 9种 .D 6种5.设集合{}54321，，，，=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）.A 50种 .B 49种 .C 48种 .D 47种6.从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有____个7三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到_______个不同的三位数（6不能作9用）.8集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立______个以A为定义域B为值域的不同函数9. 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？答案：1 解析每次取一本书分三类：取一本中文书有5种，取一本数学书有4种，取一本英语书有3种，共有5+4+3=12种. 答案B2解析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D．3 解析能去巴黎的有4个人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的有5个、4个、3个，∴不同的选择方案有：4×5×4×3=240种，∴选.B4 解析设4人为甲、乙、丙、丁分步进行，第一步，让甲拿，有三种方法，第二步，没拿到卡片的人去拿，有三种方法，剩余两人只有一种拿法，所以共有3×3=9种方法.答案C5 答案B6解析：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个7解析：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有32＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.解法二：第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.注：如果6能当作9用，解法1仍可行.8解析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.B从集合A 到集合B 的映射共有42=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A 为定义域B 为值域的不同函数共有16－2＝14个.9解析：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个.（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.非常规计数方法 一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?二.分类讨论思想 例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。
计数原理的含义
计数原理的含义计数原理是数学中的一个基本概念，也是概率论和组合数学中的基础概念，它涉及到对可数事物的计数和组合的原理。
通俗地讲，计数原理就是通过简单的计数方法，来求解某事件中某些元素出现的次数或可能的组合方式。
计数原理有不同的应用领域，如排列、组合、计数、概率、图形和代数等，是许多学科和职业领域中的重要基础。
计数原理包含三个基本原理，分别是基本计数原理、乘法原理和加法原理。
基本计数原理指的是当有一个实验或一项行动可以由若干个互不干扰的步骤完成时，步骤的总数就是每个步骤的情况数的乘积。
比如，从A、B、C中选出两个字母，可以有三个步骤：第一步选一个字母，共有3种选法；第二步再选一个字母，但要避免与第一步选的字母相同，也有两种选法。
则总方案数为3×2=6。
这就是基本计数原理的应用。
乘法原理是指当实验或行动必须按照一定次序组合完成时，总方案数就等于每个步骤的可能情况数相乘。
比如，从A、B、C、D、E中选出两个字母，要求选出的字母按字母表的顺序排列。
则先选第一个字母，共有5种情况。
再选第二个字母，由于第一个字母已经选定，只剩下4种可能性。
则总共的方案数为5×4=20。
这就是乘法原理的应用。
加法原理是指当实验或行动的结果可以通过两个或多个彼此排斥的情况得到时，总方案数就等于所有情况的可能性之和。
比如，从A、B、C中选出一个字母，或从X、Y、Z中也选出一个字母，则总方案数为3+3=6。
这就是加法原理的应用。
计数原理的应用非常广泛，如在排列和组合中，需要用到计数原理来计算元素或对象的个数或排列方式；在概率论中，需要使用计数原理来计算事件的可能性；在图形的计算中，需要使用计数原理来计算边的条数和不同颜色的方案数等。
在实际生活中，计数原理也有很多的应用，比如计算购物时的选择方案、确定菜单及套餐等。
总之，计数原理是数学中的一个重要概念，它不仅在理论上是一个重要的基础，也在实践中有广泛的应用。
对于数学学习者来说，在掌握计算基础的同时，也需要了解其实际应用，以应对实际问题的计算需求。
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
§10.1计数原理、排列与组合
栏目索引
(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,
Am 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 n 表示.
(3)排列数公式: Am n =n(n-1)…(n-m+1). (4)全排列:n个不同元素全部取出的排列,叫做n个不同元素的一个全排
不同的摆法. (2)不同的获奖情况可分为以下两类:
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2 C3 A2 ①有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 4
=36种获奖情况. ②有三个人各获得一张有奖奖券,有 =24种获奖情况. A3 4 故不同的获奖情况有36+24=60种.
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(1)解排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分 组,再对取出的元素或分好的组进行排列. (2)解决不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种 类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.无序分组要除以均匀组
1 3 = 3· (种).根据分步计数原理知,第二类中符合条件的五位数的个数为 · A1 3 A3 A3 3
54. 由分类计数原理知,符合条件的五位数共有24+54=78(个).
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组合问题
典例2 (2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医 生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有 ( A.60种
上的五位数?
解析
本题可分两类:第一类:0在十位位置上,这时,5不在十位位置上,所
以符合条件的五位数的个数为 =24.第二类:0不在十位位置上,这时,由于 A4 4 5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,这一步有 =3种 A1 3 方法.又由于0不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作 十位位置上的数字后余下的两个数字之一,这一步有方法 =3(种).十位、 A1 3 万位位置上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 =6
计数原理-完整版课件
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
计数原理
3、两个计数原理的区别n 元集合A={a 1，a 2⋯，a n }的不同子集有2n个。
4、排列： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
5、排列数 ： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.6、排列数公式：其中全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅= （叫做n 的阶乘）。
规定：0!=1mnA mn A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且7、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
8、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号mn C 表示。
9、组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 规定：10=nC10、性质： 1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2、一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同。
（1）从两个口袋里，各取1封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里，任取1封信，有多少种不同的取法？（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？3、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？4、在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?5、如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢?①③④② ①②③④④③ ②① 图一图二图三mn nm n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+6、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?7、用1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)8、用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)9、集合A=｛a,b,c,d,e ｝,集合B=｛1,2,3｝,问A 到B 的不同映射f 共有多少个?B 到A 的映射g 共有多少个?10、将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?11、4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.12、4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案?13、求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数14、用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？15、求下列集合的元素个数．（1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．16、有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？17、甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有 多少种不同的取法?18、全国甲级联赛共有14个队参加，每队要与其他队在主，客场分别比赛一次，共进行 多少场比赛？19、计算：①66248108!A A A +-； ② 11(1)!()!n m m A m n ----．20、解方程：3322126x x x A A A +=+．21、解不等式：2996x x A A ->．22、求证：（1）nmn mn n n m A A A --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅ ．23、化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯24、（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有几种不同送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同送法？25、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示几种不同的信号？26、将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位 司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？27、（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？28、若!3!n x =，则x = A 、3n A B 、3n n A - C 、3nA D 、33n A - 29、与37107A A ⋅不等的是A 、910AB 、8881AC 、9910AD 、1010A 30、若532m m A A =，则m 的值为A 、5B 、3C 、6D 、731、计算：5699610239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ． 32、若11(1)!242m m m A --+<≤，则m 的解集是 ． 33、（1）已知101095mA =⨯⨯⨯ ，那么m = ； （2）已知9!362880=，那么79A = ； （3）已知256n A =，那么n = ； （4）已知2247n n A A -=，那么n = ．34、一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每 股岔道只能停放1列火车）？35、将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方 格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.A ． 6B ． 9C ． 11D ． 2336、有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A 不能停在第三条轨道上，货车B 不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种. A ．78 B ．72 C ．120 D ．9637、从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？38、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法： （1）男女相间； （2）女生按指定顺序排列39、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起， 则停放方法数为A ．47AB ．37AC ．55AD ．5353A A ⋅40、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排， 则不同的排法共有A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种41、6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的 分法有A ．3334A A ⋅B ．3333A A ⋅C ．3344A A ⋅D ．33332A A ⋅ 42、某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人 射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有A ．720种B ．480种C ．24种D ．20种 43、一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方 法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同 的排课方法有 种44、某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3 台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方 式有多少种？45、计算：（1）47C ； （2）710C ；46、求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．47、设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值48、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共 有多少种？49、7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为 A ．42 B ．21 C ．7 D ．650、如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有 A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对51、设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素， 且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 A ．42 B ．21 C ．7 D ．352、从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法53、圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形54、（1）凸五边形有 条对角线； （2）凸n 五边形有 条对角线55、,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？ （2）若各队的得 分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？56、一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？57、（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：nm C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．58、解方程：（1）3213113-+=x x C C ； （2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 59、方程382828x x C C -=的解集为A ．{}4B ．{}9C ．φD ．{}4,9 60、式子2171010m m C C +-+（m N *∈）的值的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 61、化简：9981m m m C C C +-+= ；62、若108n n C C ，则20nC 的值为 ；63、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？64、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作 （其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？65、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六， 问可以排出多少种不同的值周表 ？66、有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点 作三角形，这样的三角形共有A ．70B ．80C ．82D ．8467、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分 配方案有 （ ）种 A ．4441284C C CB ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A 68、某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必 须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有 种选派方法； （2）从中选 派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有______种选派方法； （3）分成三组，每组3人，有 种不同分法69、某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每 组至多选一人，则不同的安排方法种数是A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A70、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第 一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B 、C 两校 必选，且B 在C 前问：此考生共有多少种不同的填表方法？1、二项式定理：01()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ⑴ ()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b⑵ 展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a b -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴01()()n n n r n r r n nnn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式。
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数学计数原理
数学计数原理是研究计算事物数量的方法和规律的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如概率论、组合数学、统计学等。
计数原理包括排列、组合和二项式定理等重要概念和定理。
排列是从给定对象中选取特定数量的对象按一定顺序排列的方法。
排列的个数可以通过阶乘来计算，即将给定数量的对象从大到小连乘。
排列的计算可以用于解决某些问题，如抽奖、密码破解等。
组合是从给定对象中选取特定数量的对象但不考虑顺序的方法。
组合的个数可以通过排列数的除法来计算，即先计算出排列数，再除以重复的次数。
组合的计算可以用于解决某些问题，如选课、分组等。
二项式定理是用于展开二项式（两个数相加或相乘的代数式）的定理。
根据二项式定理，当一个二项式被提高到某个正整数次幂时，可以通过展开系数来计算每一项的值。
二项式定理的应用非常广泛，在代数、概率论等领域中都有重要的作用。
除了排列、组合和二项式定理之外，计数原理还包括重复计数原理、容斥原理和组合恒等式等。
这些原理和定理为解决各种实际问题提供了有力的数学工具，帮助人们更好地理解和应用数学。