抽象函数的性质问题解析
抽象函数问题解法
抽象函数问题解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
抽象函数性质的万能结论
有关抽象函数性质问题的万能结论知识准备：1.奇函数与偶函数已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀ 若都有)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数； 若都有)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数.则类似的我们可以对周期性和对称性做形式类似的定义 2. 函数的对称性已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀若都有)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f 关于a x =对称； 若都有)()(x a f x a f --=+，则函数)(x f 关于），（0a 对称. 3. 函数的周期性已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀若都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，周期为T ； 若都有)()(x f T x f -=+， 则函数)(x f 为周期函数，周期为2T.由于上面三种定义的形式高度统一，所以我们可以把这三种性质用一个定义来表示：已知函数)(x f 的定义域为D ,对于D x ∈∀ 满足①)()( f f =，②)()( f f -=，①中括号里面的式子相加是常数a 2则具有对称性，关于a x =对称；②中括号里面的式子相加是常数a 2则具有对称性，关于()0,a 对称；①中括号里面的式子相减是常数T 则具有对周期性，周期为T ；②中括号里面的式子相减是常数T 则具有对周期性，周期为2T 。
4.对称性和周期性的关系只要一个函数具有两个对称性则一定是周期函数，对称性相同则周期为两倍的两对称之间的距离，对称性不同则周期为四倍的两对称之间的距离 例如：（1）若函数)(x f 同时关于a x =和bx=对称，则函数)(x f 周期为b a -2（2）若函数)(x f 同时关于a x =和)0,(b 对称，则函数)(x f 周期为b a -4 典型例题：1.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)()23(x f x f -=+且函数)43(-=x f y 是奇函数，给出下面4个命题，真命题的序号是______________①)(x f 为周期函数；②)(x f 关于)043(，-对称；③)(x f 为偶函数；④)(x f 在R上单调【解析】因为)()23(x f x f -=+3，①正确，④一定错误，周期函数不可能具有单调性；又)43(-=x f y 是奇函数，即)43()43(--=--x f x f ，则函数)(x f y =关于)043(，-对称，②正确；判断③的对错是个难点，此时可以联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=--(2))()23((1))43()43(x f x f x f x f将（1）式中的x 代换为43+x 得)()23(x f x f -=--，然后减去（2）式得0)23--(-)23(=+x f x f)(x f 关于0=x 对称，即为偶函数.2.（09全国I 理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数【说明】这是一道得分率很低的题目，但用上面的结论后会很简单，所以看答案之前不妨自己试探着做做.【解析】(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。
10 第二章 微专题 抽象函数的性质
THANKS
(3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
ห้องสมุดไป่ตู้
微专题 抽象函数的性质
类型三 抽象函数的奇偶性和对称性
【例3】已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，y＝f (x＋3)为偶函数．若
f (x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是( )
D．c>b>a
A
解析：因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有f
x1 －f
x1－x2
x2 >0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．
由f (x)为偶函数，得函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减．
因为0<sin 3<1，1<ln 3<2，21.5＞2，f
ln
1 3
＝f (－ln 3)＝f (ln 3)，
所以f (sin 3)>f (ln 3)>f (21.5)，即a>b>c.
微专题 抽象函数的性质
思维建模 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转 化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．
微专题 抽象函数的性质
类型二 抽象函数的周期性 【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f
22
所以∑ f k ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.故选A．
k=1
微专题 抽象函数的性质
思维建模
抽象函数的周期
(1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
借助抽象函数模型，解决函数性质问题
则 有 f(
-f(
1)
=-2,
4)
=f(
2)
=0,
1)+
f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
=0。
f(
所以 f(
1)+f (
2)+ … +f (
9
0)=2
2×
[
]
1)
+f(
2)
+f(
3)
+f(
4)
+f(
1)+f(
2)
f(
=2。
故选择答案:
C。
点评:
涉及 此 类 比 较 复 杂 且 有 明 显 规 律
的函数值之间的连续和、
-2<m <6,
m|-2<
故所求不 等 式 的 解 集 为 {
x|x < -2 或
。
m <6}
点评:
在涉 及 抽 象 函 数 的 单 调 性 的 判 定
定及相关 的 应 用 问 题 时,赋 值 法 思 维 是 一 种
与应用中,
特别是在解决与抽象函数的单调
常见的思 维 技 巧。 其 实,涉 及 抽 象 函 数 中 特
创新意识与创新应 用 问 题 可 以 很 好 地 考
可得a1·a2·…·an-1<n。
an <n
an ,
得 a1 =1,
于是 1+a2 =a2,
此时无解,
不存在满
足条件的“
创新集”
A;
当 n=3 时,有 a1a2 <3,故 只 能 a1 =1,
求得 a3 =3,
抽象函数的性质问题解析(数学)
抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。
所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。
解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。
材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）A 、直线0=y 对称B 直线0=x 对称C 直线1=y 对称D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
抽象函数的性质研究
抽象函数的性质研究抽象函数是计算机科学中的一个重要概念，它是一种没有具体实现的函数。
抽象函数仅仅定义了函数的输入和输出，而不涉及具体的算法或实现细节。
通过研究抽象函数的性质，我们可以更好地理解函数的本质和功能。
首先，抽象函数具有多态性。
多态性是指抽象函数可以被不同类型的对象调用，并且可以根据对象的类型自动选择相应的实现。
例如，在面向对象编程中，我们可以定义一个名为"draw"的抽象函数，然后在不同的子类中实现该函数，以实现不同的绘制方法。
通过使用多态性，我们可以在运行时根据对象的类型来选择适当的绘制方法，从而实现了抽象函数的多态性。
其次，抽象函数具有封装性。
封装性是指抽象函数的实现细节被隐藏起来，只暴露给外部的接口和方法。
这样做的好处是可以隐藏实现的复杂性，使得使用抽象函数的其他对象可以更加简单地调用和使用。
通过封装性，抽象函数的使用者只需关注函数的输入和输出，而不需要了解具体的实现细节，从而提高了代码的可读性和可维护性。
再次，抽象函数具有可替换性。
可替换性是指抽象函数可以被任意一种满足函数输入和输出规范的实现所替代。
这意味着我们可以通过不同的实现来改变抽象函数的行为，而不需要修改调用抽象函数的代码。
这种可替换性对于代码的扩展和维护非常有帮助，因为我们可以根据需求来选择不同的实现，而无需修改其他相关的代码。
此外，抽象函数还具有可重用性。
可重用性是指抽象函数可以在不同的上下文中被多次使用。
因为抽象函数通常是对其中一具体功能的概括和提炼，所以它们可以在不同的场景中被反复使用，以实现相似的功能需求。
通过抽象函数的可重用性，我们可以大大减少代码的重复编写，提高代码的效率和可维护性。
总结起来，抽象函数具有多态性、封装性、可替换性和可重用性等性质。
这些性质使得抽象函数在软件开发中起到重要的作用，具有较高的灵活性和可扩展性。
通过深入研究和理解抽象函数的性质，我们可以更好地设计和开发软件，提高其质量和可维护性。
从抽象函数形式看函数性质
从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。
则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。
推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。
②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。
()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。
③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。
联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。
11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。
-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽象函数的性质问题解析
抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域。
解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21
(+=x
f y 而言，有1124x
-≤
+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。
所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与
21+x 的范围等同。
2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。
解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。
材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）
A 、直线0=y 对称
B 直线0=x 对称
C 直线1=y 对称
D 直线1=x 对称
解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，
所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
解法二（图象变换法）：由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的图象；由函数)(x f y =的图象关于y 轴对称得到函数)(x f y -=的图象，再向右平移1个单位，得到)1()]1([x f x f y -=--=的图象。
如图所示，选D 。
解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(-f P 在函数)1(-=x f y 的图象上，点))1(,2(-f Q 在函数)1(x f y -=的图象上，又点P 、Q 关于直线1=x 对称，选D 。
总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。
如：函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的自对称轴为2
b a x +=
；函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的互对称轴为x b x a -=+，即2a b x -= 4、 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。
材料四：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。
证明)(x f y =是周期函数。
证明：由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，
又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-
∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+
由周期函数的定义可知4是它的一个周期。
总结：一般地，)()(x f T x f -=+,)
(1)(x f T x f ±=+均可断定函数的周期为2T 。
5、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。
材料五：已知)(x f y =是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的R b a ∈,，都满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅。
判断)(x f y =的奇偶性，并证明你的结论。
解析：令1==b a ，则)1(1)1(1)11(f f f ⋅+⋅=⋅，得0)1(=f ；
令1-==b a ，则)1()1()1()1()]1()1[(-⋅-+-⋅-=-⋅-f f f ，得0)1(=-f ；
令1-=a ，x b =得)1()()1(])1[(-⋅+⋅-=⋅-f x x f x f ，得)()(x f x f -=-
因此函数)(x f y =为奇函数。
总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。
6、 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。
材料六：设)(x f y =是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,-∈b a ，当0≠+b a 时，都有：0)()(>++b
a b f a f 。
若b a >，试比较)(a f 与)(b f 的大小。
解析：)]([)
()()()()()()(b a b a b f a f b f a f b f a f -+∙-+-+=-+=-， b a >，∴0>-b a ，又0)()(>++b
a b f a f ， ∴0)()(>-b f a f ，即)()(b f a f >。
总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到
1)()(12>x f x f （或1)
()(12<x f x f ）来判断。
抽象函数的单调性，一般不用导数判断。
7、 可解性：由抽象式求解析式问题——视)(x f 为未知数，构造方程（组）。
材料七：设函数)(x f 满足x x
x f x f +=-+1)1(
)(……①)10(≠≠x x 且，求)(x f 。
解析：以x x 1-代x ，得x
x x f x x f 12)11()1(-=--+-，……② 以11--x 代x ，得1
2)()11(--=+--x x x f x f ，……③ ①+③-②得：x x x x x x f 12121)(2----++= 所以)
1(21)(23---=x x x x x f )10(≠≠x x 且 总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(x f ，将其余的式子替换成)(x f ，构造一个或几个方程，然后设法求解。
8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。
材料八：如图所示，)(x f i )4,3,2,1(=i 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的1x 和2x ，任意]1,0[∈λ，)()1()(])1([2121x f x f x x f λλλλ-+<-+恒成立”的只有（ ）
A 、)(1x f
B 、)(2x f
C 、)(3x f
D 、)(4x f 解析：令21=λ，则不等式变为2
)()()2(2121x f x f x x f +<+，可知函数)(x f i 是一个凹函数，故只有)(1x f 正确，选A 。
总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。
总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。
因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。