高考以立体几何为背景的新颖问题

立体几何为背景的新颖问题

以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.

【例1】（2020?全国二模）我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑的体积最小值为()

A．2B．6+C．2+D．1+

解：已知可得，堑堵的内切球直径恰为堑堵的边长a，则2

a=．

易知，截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为r，则1

r=．如图可知，

根据三角形面积公式可得：11

(22bc r b c =+，则222b c bc +=+，

0b >，0c >，222224b c b c bc ∴+b c =时取等号．

24bc bc ∴+，即220-．解得：022<-或22+．

又内切圆半径1r b =<，r c <，∴1>．∴22+，即642bc +．

∴鳖臑的体积为1

1142

23233

V a

bc bc ==+

．故选：C ． 【例2】（2020?3月份模拟）

111ABC A B C -中，ABC ?的边长为2，D 为棱11B C 的中点，若一只蚂蚁从点A 沿表面爬向点D ，则蚂蚁爬行的最短距离为( )

A ．3

B ．

C ．

D ．2

解：如图：

当按图①走时，DE =

；13

222

AE =-=；3AD ===；

当按图②走时，DE =；213AE =+=；AD 故蚂蚁爬行的最短距离为：3；故选：A ．

【例3】（2019?全国三模）如图，直角梯形ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=?，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ?沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为( )

A ．

1

2

B C D ．1

解：直角梯形ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=?，2CD =，1AB BC ==，

E 是边CD 中点，ADE ?沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，

当D E CE '⊥时，点C 到平面ABD '距离取最大值，

D E AE '⊥，CE AE E =，D E ∴'⊥平面ABCE ，

以E 为原点，EC 为x 轴，EA 为y 轴，ED '为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0A ，1，0)，(1C ，0，0)，(0D '，0，1)，(1B ，1，0)， (1AB =，0，0)，(1AC =，1-，0)，(0AD '=，1-，1)，

设平面ABD '的法向量(n x =，y ，)z ，

则00n AB x n AD y z ?==??'=-+=??

，取1y =，得(0n =，1，1)，

∴点C 到平面ABD '距离的最大值为：||||2

AC n d n =

==．故选：B ．

【变式训练】（2020?4月份模拟）如图所示，三棱锥A BCD -的顶点A ，B ，C ，D

面上，ABD ?与BCD ?为直角三角形，ABC ?是边长为2的等边三角形，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为 ．

解：设AP x =，x ∈．由题意可知：BD 的中点O 为球心，当平面ABD ⊥平面BCD 时， 三棱锥P QCO -体积21111121

(2)2sin 45(2)(3326612

OCQ x V PO S x x x x ?+==?-???==

，当

且仅当x 时取等号． ∴三棱锥P QCO -体积的最大值为

112．故答案为：112

．

1．（2020?吉林模拟）我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M 、N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形的面积为( )

A B C D 解：延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C ， 连结PM ，与11B C 交于点E ，连结NE ，

得到的四边形AMEN 是平面AMN 截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形，

由题意得NE ME ==

，AM AN =，MN AMN ∴截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形面积为：

1122S =

． 故选：A ．

2．（2020春?全国月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且BD CD ⊥，AB BD CD ==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是( )

A B ．2

C D

解：在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且BD CD ⊥，AB BD CD ==， CD AB ∴⊥，CD BD ⊥， AB

BD B =，CD ∴⊥平面ABD ，CD AD ∴⊥，

CAD ∴∠是直线AC 与平面ABD 所成角，

设1AB BD CD ===，

则直线AC 与平面ABD

所成角正切值是：tan CD CAD AD ∠===．

故选：B ．

3．（2020?石嘴山二模）《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积2

136

V L h ≈的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式2

3112

V L h ≈相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为( ) A ．

22

7

B ．

157

50

C ．

289

D ．

337

115

解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ， 依题意，2L r π=，2213

(2)3112

r h r h ππ=，

∴21

123112ππ=

，即289π=．即π的近似值为28

9

．故选：C ． 4．（2020?3月份模拟）一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ．如图2放置容器，液面以上空余部分的高为2h ．则

1

2

(h h = )

A ．

2

1

r r B ．221

()r r

C ．321

()r r

D

解：在图1中，液面以上空余部分的体积为：211r h π， 在图2中，液面以上空余部分的体积为：222r h π，

221122r h r h ππ=，∴

21221

()h r

h r =． 故选：B ．

5．（2019?新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别

为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14.3AA cm D =打印所用原料密度为30.9/g cm ．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g ．

解：该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，

E ，

F ，

G ，

H ，分别为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14AA cm =，

∴该模型体积为：

1111ABCD A B C D O EFGH V V ---

11

664(46432)332

=??-??-????

314412132()cm =-=，

3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，

∴制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8()g ?=．

故答案为：118.8．

6．（2019?新课标Ⅲ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．

解：该半正多面体共有888226+++=个面，设其棱长为x ，则1x ++=，解得1x =．

故答案为：261．

7．（2019?钟祥市一模）如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，//AD BC ，1

12

AB BC AD ==

=，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF AD ⊥于点F ，将DEF ?沿EF 折起到PEF ?的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为 ．

解：

PF AF ⊥，PF EF ⊥，AF EF F =，PF ∴⊥平面ABCD ．

设PF x =，则01x <<，且EF DF x ==．

∴五边形ABCEF 的面积为()()22111

1213222DEF ABCD S S S x x ?=-=?+?-=-梯形． ∴五棱锥P ABCEF -的体积23111

(3)(3)32

6

V x x x x =?-=

-，

设31()(3)6f x x x =-，则2211

()(33)(1)62

f x x x '=-=-，

∴当01x <<时，()0f x '>，

()f x ∴在(0,1)上单调递增，又(0)0f =，f （1）1

3

=．

∴五棱锥P ABCEF -的体积的范围是1(0,)3

．

故答案为：1

(0,)3

．

8．（2018?全国模拟）如图：边长为ABCD ，60DAB ∠=?，将ABD ?沿BD 折起到图中PBD ?的位置，使得二面角P BD C --的大小为60?，则三棱锥P BCD -的外接球表面积等于 ．

解：由题意，如图：取BD 中点M ，

则60DAB ∠=?为二面角P BD C --的平面角，

PMC ?是边长为3的正三角形，E ，F 分别为PM ，CM 靠近M 的三等分点，

作EO ⊥面PBD ，FO ⊥面BCD ，则O 为外接球球心．

1MF =，60PMC =?，连接OC ，OM ，可得30OMC ∠=?，

1

2

OF MO ∴=

OF ∴=2FC =222133R OF FC ∴=+=

三棱锥P BCD -的外接球表面积25243S R ππ==故答案为：523

π

．

9．（2017?新课标Ⅲ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、

E 、

F 为圆O 上的点，DBC ?，ECA ?，FAB ?分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪

开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ?，ECA ?，FAB ?，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当ABC ?的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3)cm 的最大值为 ．

【分析】法一：由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =

，

设OG x =，则BC =，

5DG x =-，三棱锥的高h ，求出2ABC S ?=，41

3

25103

ABC V S h x ?=?=-，令

45()2510f x x x =-，5

(0,)2

x ∈，34()10050f x x x '=-，()f x f （2）80=，由此能求出体积最大值．

法二：设正三角形的边长为x ，则13OG ==，5FG SG ==-

，

SO h ===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．

【解答】解法一：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度成正比，

设OG x =，则BC =，5DG x =-，

三棱锥的高h =，

221)2ABC S ?==，

则241

3

25103

ABC V S h x ?=?=-

令45()2510f x x x =-，5

(0,)2

x ∈，34()10050f x x x '=-，

令()0f x '，即4320x x -，解得2x ， 则()f x f （2）80=，

3

380V ∴?=，∴体积最大值为3．

故答案为：3．

解法二：如图，设正三角形的边长为x

，则

1

3

OG==，

5

FG SG x ∴==

，SO h

==，

∴三棱锥的体积

1

3ABC V S h

?

=

1

3

=，

令45

()5

b x x

=-

，则34

()20

b x x

'=，

令()0

b x

'=

，则

4

3

40

x=

，解得x=

∴3

48)

max

V cm

==．

故答案为：3．

10．（2020春?全国月考）如图，长方体

1111

ABCD A B C D

-，中，AB BC

=，

1

3

BE AB

=，点F为

11

A D的中点，

O为直线

1

DB与平面EFC的交点，则

1

DO

OB

=．

解：找

11

D C的六等分点H，且1

11

1

6

D H

D C

=．

易证//

FH CE，设

11

FH B D N

=，CE BD M

=．

连接MN，则M，N，O三点共线(平面EFC?平面11)

BB D MN

=

13BM DM =，∴3

4DM BD =， 易证11118D N B D =，∴11178

NB B D =．

所以

11376

487

DO DM OB NB ==÷=． 故答案为：

67

．

11．（2020春?柳东新区校级月考）已知三棱锥P ABC -中，PAB ?

是面积为4

ACB π

∠=，

则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ． 解：面CAB ⊥面PAB 时，C 到平面PAB 的距离最大，

设D ，E 分别为PAB ?，ACB ?的外心，并过D ，E 做两个三角形所在的平面的垂线，两条垂线交于O ， 则O 为三棱锥的外接球的球心，AO 即为球的半径，； 因为PAB ?

是面积为 所以4AB =，在ABC ?，4

ACB π

∠=，

则90AEB ∠=? 由正弦定理可得：

2sin AB

AE ACB

=∠，

故AE EB EC ===AB 的中点F ，则11323

33OE

DF PF AB ===

=

， 故OA 2

112

43

S R π

π==，故答案为：1123π．

12．（2020?芮城县模拟）如图，三棱锥A BCD

AB=，12

====，8

CD=，点P在

AC AD BC BD

-中，10

侧面ACD上，且到直线AB PB的最大值是．

解：取CD中点K，连接AK，BK，

⊥，

∴⊥，BK CD

AC AD BC BD

===，K是CD的中点，AK CD

又AK BK K

=，

=，AK?平面ABK，BK?平面ABK，AK BK K

∴⊥平面ABK，又CD?平面ACD，∴平面ABK⊥平面ACD．

CD

B

∴在平面ACD内的投影在直线AK上，

由对称性可知当P在AC（或)

AD上时，PB取得最大值．

过P作PM AB

⊥于M，过C作CN AB

⊥于N，

∴=

AB=，CN

10

AC BC

==，8

∴是AC的中点，M是AN的中点，

21

PM=，P

∴=，BP==

BM

6

13．（2019?全国二模）《九章算术》是我国现存的一部最古老的数学书籍．通过“牟合方盖”解決了球体体积计算的难题，其中一段记载：“今有方锥，下方八尺，高八尺．同：积几何？术日：下方自乘，以高乘之，三而一，若以立圆外接，问积几何？”意思是：“假设有一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥），下底边长是8尺，高8尺，则它的体积是多少？方法是：下底边长自乘，以高

乘之，再除以3．若这个正四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为 立方尺．” 解：如图，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，底面ABCD 是边长为8的正方形， 高8PG =，设其外接球的球心为O ，则O 在PG 上， 连接OA ，设OA OP R ==，

则222(8)R R =-+，解得6R =．

∴球O 的体积为3462883

V ππ=?=．

故答案为：288π．