人教版高中数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》公开课教学课件共21张PPT (共21张PPT) (1)
E
B
A D F ( B)
D
H E
H
F
直线EF和直线HG 直线AB和直线CD 直线AB和直线HG
想一想,做一做： 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点， 那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1
M
C1
A1
D
A
B1
N
C
B
3.空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
2.异面直线的画法:
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常
借助一个或两个平面来衬托。 如图：
b
a
A
a b
(3)
a
(1)
b
(2)
探 究 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。 3
C G
A
G(C )
图示：p47
a
b
b′ θ
O
a′
？O
a′
取值范围：若两异面直线夹角为θ ，则 0, 2
如果两条异面直线a、b所成的角是直角 ，则称两条直线互相垂直, 记作a⊥b.(P47)
例2.P47例3改编. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求直线BA1与CC1的夹角； (2)求直线BA1与 B1D1的夹角 ； (3)哪些棱所在直线与直线 A A1垂直；
问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A1B1C1D1的底
面是平行四边形,∠ADC与∠A1D1C1, ∠ADC与∠B1A1D1的两边分别对应平行，这 两组角的大小关系如何 ? C
王新敞
奎屯 新疆
课堂小结
1.异面直线的定义及其画法
2.空间两直线的位置关系 3.公理４ 4.等角定理 5.异面直线所成的角 6.异面直线夹角的求法
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线
位置关系
相交
只有一个 没有 没有
公共点个 数
是否共面
共面 共面 不共面
平行
异面
二、空间直线的平行关系
1、平行线的传递性 问题2：在同一平面内,平行于同一直线的两直线有
什么位置关系？在空间这一规律是否还成立呢?
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ——平行线的传递性 作用：判断空间两条直线平行的依据。 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若
新课导入
回顾旧知
同一平面内的直线有哪些位置关系？
a
o
相交
b
平行
a b
如何判断两直线相交？ a o b
两直线有公共交点。
如何判断两直线平行？ a b 两直线在同一平面，且无公共交点。
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系 ？
既非平行 又非相交
D1 B1
C1
点评：这种方法称为补形法，是 找异面直线所成角常用方法之一 .
A
D B
C
求两异面直线所成的角的一般步骤：
①作：由定义，用平移法作出异面直线所成的 角； ②证：证明作出的角或其补角就是要求的角； ③算：在三角形中求角的值或三角函数值． 概括为：一作二证三算．
课堂小结 知新（一）: 点与椭圆的 位置关系 (1) 空间两条直线的位置关系 ; 1.知识：
六角螺母
D C A B
既非平行 又非相交
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）
空间两条直线的位置关系： 相交直线 平行直线 异面直线 同一平面内，有且只有一个公共点。 同一平面内，没有公共点。
共面直线
不同在任何一个平面内，没有公共点。
注
两直线异面的判别一 : 两条直线不同在任何一个平面内. 两直线异面的判别二 : 两条直线 既不相交、又不平行.
EH∥FG且EH＝FG
B
F
C
EFGH是一个平行四边形
变式： 在例1中，如果再加上条件AC=BD，那 A 么四边形EFGH是什么图形? 菱形 H E 分析： 在例题2的基础上 D 我们只需要证明平行四 B G 边形的两条邻边相等。 F
C
思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一 个角的两边分别平行，那么这两个角的大小 有什么关系？
A1 D1 C1
B1
D A B
C
(4*)求直线BA1与 AC1夹角的正弦值.
解1：如图，在正方体上方重一 个 完全一样的正方体 将BA1经两次平移到C1D0 ∴∠A1C1D0或其补角即为所求
D0 A0 B0
C1D0= ， AD0= 由勾股定理逆定理知∠ A1C1D0=90º A1 ∴sin∠A1C1D0=1.
(2)求两异面直线所成角 ： 两准备（一公理一定理 ) 定义→平移 ； ； 三环节：作、证、算 ④一范围 ； . 2.思想方法： （1）循序渐进； （2）具体问题具体分析 ；3）转化与化归. （
巩固练习： 1. 判断: ×） （1）垂直于同一直线的两条直线平行.（ （2）若一个角的两边分别与另一个角的两边平 ×） 行，那么这两个角相等（ （3）平行于同一直线的两条直线平行.（ √ ） × （4）不在同一平面内的两条直线叫异面直线（ ）
C1 C B1 B D
1
B1 B
D1 D
A1 A
D1
C
A1 A
相等
互补
(1)等角定理：（p45公理4）
空间中如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补.
（2）异面直线所成的角 定义→作法—平移：P46 经过空间任一点分别作两条直线的平 行线，这两条平行线所成的锐角(或直 角)叫做两条异面直线所成的角或夹角 .
a∥ b
c∥ b
a∥ c
a b
c
例题分析
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结BD A H E D G
E、F、G、H分别是各边中点 1 EH ∥BD且EH ＝ BD 2
1 FG ∥BD且FG ＝ BD 2
B
A D F ( B)
D
H E
H
F
直线EF和直线HG 直线AB和直线CD 直线AB和直线HG
想一想,做一做： 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点， 那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1
M
C1
A1
D
A
B1
N
C
B
3.空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
2.异面直线的画法:
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常
借助一个或两个平面来衬托。 如图：
b
a
A
a b
(3)
a
(1)
b
(2)
探 究 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD， EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。 3
C G
A
G(C )
图示：p47
a
b
b′ θ
O
a′
？O
a′
取值范围：若两异面直线夹角为θ ，则 0, 2
如果两条异面直线a、b所成的角是直角 ，则称两条直线互相垂直, 记作a⊥b.(P47)
例2.P47例3改编. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求直线BA1与CC1的夹角； (2)求直线BA1与 B1D1的夹角 ； (3)哪些棱所在直线与直线 A A1垂直；
问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?
思考2: 如图,四棱柱ABCD--A1B1C1D1的底
面是平行四边形,∠ADC与∠A1D1C1, ∠ADC与∠B1A1D1的两边分别对应平行，这 两组角的大小关系如何 ? C
王新敞
奎屯 新疆
课堂小结
1.异面直线的定义及其画法
2.空间两直线的位置关系 3.公理４ 4.等角定理 5.异面直线所成的角 6.异面直线夹角的求法
平行直线 共面直线 相交直线 异面直线
位置关系
相交
只有一个 没有 没有
公共点个 数
是否共面
共面 共面 不共面
平行
异面
二、空间直线的平行关系
1、平行线的传递性 问题2：在同一平面内,平行于同一直线的两直线有
什么位置关系？在空间这一规律是否还成立呢?
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ——平行线的传递性 作用：判断空间两条直线平行的依据。 符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c, 若
新课导入
回顾旧知
同一平面内的直线有哪些位置关系？
a
o
相交
b
平行
a b
如何判断两直线相交？ a o b
两直线有公共交点。
如何判断两直线平行？ a b 两直线在同一平面，且无公共交点。
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系
黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系 ？
既非平行 又非相交
D1 B1
C1
点评：这种方法称为补形法，是 找异面直线所成角常用方法之一 .
A
D B
C
求两异面直线所成的角的一般步骤：
①作：由定义，用平移法作出异面直线所成的 角； ②证：证明作出的角或其补角就是要求的角； ③算：在三角形中求角的值或三角函数值． 概括为：一作二证三算．
课堂小结 知新（一）: 点与椭圆的 位置关系 (1) 空间两条直线的位置关系 ; 1.知识：
六角螺母
D C A B
既非平行 又非相交
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）
空间两条直线的位置关系： 相交直线 平行直线 异面直线 同一平面内，有且只有一个公共点。 同一平面内，没有公共点。
共面直线
不同在任何一个平面内，没有公共点。
注
两直线异面的判别一 : 两条直线不同在任何一个平面内. 两直线异面的判别二 : 两条直线 既不相交、又不平行.
EH∥FG且EH＝FG
B
F
C
EFGH是一个平行四边形
变式： 在例1中，如果再加上条件AC=BD，那 A 么四边形EFGH是什么图形? 菱形 H E 分析： 在例题2的基础上 D 我们只需要证明平行四 B G 边形的两条邻边相等。 F
C
思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一 个角的两边分别平行，那么这两个角的大小 有什么关系？
A1 D1 C1
B1
D A B
C
(4*)求直线BA1与 AC1夹角的正弦值.
解1：如图，在正方体上方重一 个 完全一样的正方体 将BA1经两次平移到C1D0 ∴∠A1C1D0或其补角即为所求
D0 A0 B0
C1D0= ， AD0= 由勾股定理逆定理知∠ A1C1D0=90º A1 ∴sin∠A1C1D0=1.
(2)求两异面直线所成角 ： 两准备（一公理一定理 ) 定义→平移 ； ； 三环节：作、证、算 ④一范围 ； . 2.思想方法： （1）循序渐进； （2）具体问题具体分析 ；3）转化与化归. （
巩固练习： 1. 判断: ×） （1）垂直于同一直线的两条直线平行.（ （2）若一个角的两边分别与另一个角的两边平 ×） 行，那么这两个角相等（ （3）平行于同一直线的两条直线平行.（ √ ） × （4）不在同一平面内的两条直线叫异面直线（ ）
C1 C B1 B D
1
B1 B
D1 D
A1 A
D1
C
A1 A
相等
互补
(1)等角定理：（p45公理4）
空间中如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补.
（2）异面直线所成的角 定义→作法—平移：P46 经过空间任一点分别作两条直线的平 行线，这两条平行线所成的锐角(或直 角)叫做两条异面直线所成的角或夹角 .
a∥ b
c∥ b
a∥ c
a b
c
例题分析
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结BD A H E D G
E、F、G、H分别是各边中点 1 EH ∥BD且EH ＝ BD 2
1 FG ∥BD且FG ＝ BD 2
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高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2
问题：空间中是否有类似规律？
提示：有．
2．观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
问题 1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行． 问题 2：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等．
两直线位置关系的判定
[例 1] 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判 断下列直线的位置关系：
[导入新知]
1．异面直线 (1)定义：不同在 任何一个平面内 的两条直线． (2)异面直线的画法Biblioteka 2．空间两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行
异面直线
特点
同一平面内，有且只有 一公个共点 同一平面内， 没公有共点
不同在 任何一个平面内， 没公有共 点
[提出问题]
平行公理及等角定理
1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线互相平行．
2.探究空间中四边形的形状问题
[典例] 在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB， BC，CD，DA 的中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[随堂即时演练]
1．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面
的棱的条数是
()
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
(1) 直 线 A1B 与 直 线 D1C 的 位 置 关 系 是 ________；
(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
提示：有．
2．观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
问题 1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行． 问题 2：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等．
两直线位置关系的判定
[例 1] 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判 断下列直线的位置关系：
[导入新知]
1．异面直线 (1)定义：不同在 任何一个平面内 的两条直线． (2)异面直线的画法Biblioteka 2．空间两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行
异面直线
特点
同一平面内，有且只有 一公个共点 同一平面内， 没公有共点
不同在 任何一个平面内， 没公有共 点
[提出问题]
平行公理及等角定理
1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线互相平行．
2.探究空间中四边形的形状问题
[典例] 在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB， BC，CD，DA 的中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[随堂即时演练]
1．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面
的棱的条数是
()
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
(1) 直 线 A1B 与 直 线 D1C 的 位 置 关 系 是 ________；
(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
人教A版 必修二 第2章 1 2 空间中直线与直线之间的位置关系 公开课一等奖课件
高中数学人教版必修2课件
2．空间两条互相平行的直线指的是( A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线
D )
C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线．
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
3．若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则(
A．a∥c B．a 和 c 是异面直线 C．a 和 c 相交 D．a 和 c 或平行或相交或异面
高中数学人教版必修2课件
求异面直线所成的角． 例 3：如图 3，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中．
图3
(1)哪些棱所在的直线与直线 BA1 是异面直线？ (2)哪些棱所在的直线与直线 AA1 垂直？
(3)直线 BA1 和 CC1 的夹角是多少？
(4)直线 BA1 和 B1C 的夹角是多少？ (5)直线 BD 和 AC1 的夹角是多少？
高中数学人教版必修2课件
2－1.如图 2，已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，E、F、G、H 分别为 AB、AD、C1B1、C1D1 的中点，试判断下列直线是否平行．
(1)AD1 与 BC1；(2)EF 与 GH；(3)DE 与 HB1.
解：(1)平行． ∴ABC1D1 是平行四边形，∴AD1∥BC1. (2)平行． ∵EF∥BD∥B1D1∥GH. (3)平行． 取CD 中点为 S，连接 BS，可证 DE∥BS∥HB1. 图2
1－1.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1、AB
的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
异面 ；(2)A B 与 DC _____ 平行 ； (1)AB 与 CC1 _______ 1 1 相交 ；(4)DC 与 BD ________ 异面 ； (3)A1C 与 D1B _____ 1 相交 ． (5)D1E 与 CF _____ 1－2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一 条的位置关系是( D ) A．平行 C．异面 B．相交 D．相交或异面
人教版高中数学必修二2.《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件共21张PPT
450 。
D
C
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
(3) 直线AB, BC,CD, DA, AB, A
B
BC,CD, DA 与直线 AA都垂直.
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
•
6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
•
7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
(3)
想一想,做一做：
1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点， 那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1 A1
D
A
M
C1
B1
N
C
B
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T 人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T 人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
2、 等角定理
A
A
B
C
高一数学(人教A版)必修2课件：2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 2.1 2.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2 第二章 2.1 2.1.2
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数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
锐角(或直角) 成的_______________ ． 90°
(2)范围：0°<θ ≤90°.特别地，当 θ＝_______时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( (2)两条直线垂直，则一定相交．( ) ) )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(
答案：(1)×
(2)×
(3)×
2．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面的 棱的条数是( )
A．6 C．5
答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCDA1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
(1)说出下列直线的位置关系： AE 与 DD1 是________直线； A1B1 与 CD 是________直线． (2)异面直线 AE 与 B1C1 所成的角的大小为________．
[解析] 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、 B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直 线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该 填“异面” ；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填 “相交”．
1.若 a、 b 是异面直线， b、 c 是异面直线， 则( A．a∥c B．a、c 是异面直线 C．a、c 相交 D．a、c 平行或相交或异面
)
解析：选 D.若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行，可以相交，可以异面．
[证明] (1)连接 BD，B1D1， 在△ABD 中， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EF 同理，E1F1 1 BD. 2 1 BD. 2 1 1 B 1 B， A 1 A D 1 D， D1D.所以四边形 BDD1B1 是平行四边形，所以 BD E 1F 1.
(2)范围：0°<θ ≤90°.特别地，当 θ＝_______时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( (2)两条直线垂直，则一定相交．( ) ) )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(
答案：(1)×
(2)×
(3)×
2．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面的 棱的条数是( )
A．6 C．5
答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCDA1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
(1)说出下列直线的位置关系： AE 与 DD1 是________直线； A1B1 与 CD 是________直线． (2)异面直线 AE 与 B1C1 所成的角的大小为________．
[解析] 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、 B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直 线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该 填“异面” ；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填 “相交”．
1.若 a、 b 是异面直线， b、 c 是异面直线， 则( A．a∥c B．a、c 是异面直线 C．a、c 相交 D．a、c 平行或相交或异面
)
解析：选 D.若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行，可以相交，可以异面．
[证明] (1)连接 BD，B1D1， 在△ABD 中， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EF 同理，E1F1 1 BD. 2 1 BD. 2 1 1 B 1 B， A 1 A D 1 D， D1D.所以四边形 BDD1B1 是平行四边形，所以 BD E 1F 1.
2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》课件(新人教A版必修2)
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上 的所有点都在这个平面内。（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平 面只有一个公共点。 （ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点 必在同一个平面内。 （ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可 以确定一个平面。 （）
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一 点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角 （或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例 如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b 所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。 想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那 么四边形EFGH是什么图形? A
菱形
分析： 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B
E
H
D G F C
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中 CF CG 2 点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， CB CD 3 A 求证:四边形ABCD为梯形.
两直线的夹角： 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90
的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 则这两条线所成 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 称为异面直线a，b所成的角。 的锐角θ （或直角）， b a′ ？ O P a b′
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上 的所有点都在这个平面内。（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平 面只有一个公共点。 （ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点 必在同一个平面内。 （ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可 以确定一个平面。 （）
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一 点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角 （或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例 如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a' 和b 所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。 想一想:a'与b' 所成角的大小与点O的位置有关吗?
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那 么四边形EFGH是什么图形? A
菱形
分析： 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B
E
H
D G F C
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中 CF CG 2 点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， CB CD 3 A 求证:四边形ABCD为梯形.
两直线的夹角： 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90
的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 则这两条线所成 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 称为异面直线a，b所成的角。 的锐角θ （或直角）， b a′ ？ O P a b′
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
张喜林制[2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条共面直线直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△A BD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
最新人教A版必修二高一数学2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系公开课课件
∴FG∥BD ，
∴EH∥FG.
解析答
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和
A1D1的中点.
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
证明
在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1
的中点， ∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形， ∴A1A綊M1M. 又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B， ∴四边形BB1M1M为平行四边形.∴B1M1∥BM. 同 理 可 得 四 边 形 CC1M1M 为 平 行 四 边 形 ，
反思与
解析答
跟踪训练3
如图所示，在正方体AC1中，E、F分别
是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的
大小.
解析答
返回
达标检测
置关系是(
1 2 3 4
1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和cD 的位
)
A.异面或平行
C.异面
B.异面或相交
D.相交、平行或异面
解析
异面直线不具有传递性，可以以长方体为载
反思与 解析答
跟踪训练 2
如图，已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-
A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
证明 如图 ，连接AC，
在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线， 1 ∴MN∥AC，MN＝2AC. 由正方体的性质得： AC∥A1C1 ， 1 AC ＝ A . MN＝ A1C1，即 MN≠A C ， ∴ MN ∥ A11C C11 ，且 1 1 2 ∴ 四 边 形 MNA1C1 是 梯
思考 答案
在平面内，直线 a ， b ， c ，若 a∥b ， b∥c 则 成立
∴EH∥FG.
解析答
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和
A1D1的中点.
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
证明
在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1
的中点， ∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形， ∴A1A綊M1M. 又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B， ∴四边形BB1M1M为平行四边形.∴B1M1∥BM. 同 理 可 得 四 边 形 CC1M1M 为 平 行 四 边 形 ，
反思与
解析答
跟踪训练3
如图所示，在正方体AC1中，E、F分别
是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的
大小.
解析答
返回
达标检测
置关系是(
1 2 3 4
1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和cD 的位
)
A.异面或平行
C.异面
B.异面或相交
D.相交、平行或异面
解析
异面直线不具有传递性，可以以长方体为载
反思与 解析答
跟踪训练 2
如图，已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-
A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
证明 如图 ，连接AC，
在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线， 1 ∴MN∥AC，MN＝2AC. 由正方体的性质得： AC∥A1C1 ， 1 AC ＝ A . MN＝ A1C1，即 MN≠A C ， ∴ MN ∥ A11C C11 ，且 1 1 2 ∴ 四 边 形 MNA1C1 是 梯
思考 答案
在平面内，直线 a ， b ， c ，若 a∥b ， b∥c 则 成立
高中教材数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件
Ｂ、互相平行 Ｄ、或交于一点或互相平行
练习反馈：
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（√ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ×）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行 . （ √ ） 新疆 王新敞 奎屯
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只
有两条. （×）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平
一组对边平行，但不相等。
B
D G
F C
同一平面内：
A'
B'
B
C'
A
C
AB// A'B', AC// A'C' BAC B' A'C'
A
B
C
D
E
F
等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
A
B
C
D
F
E
夹角
在平面内两直线相交成四个角，不大于 90°的角成为夹角。
空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
l1
A
l2
记作：l1 l2 A
l1
两直线平行
l2
②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
①在同一平面内
两直线相交 两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
(3) 直线 AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA
与直线 AA都垂直.
《空间中直线与直线之间的位置关系》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.1.2课时)__收 (1)
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
新知探究
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图： a
b
(2)
b
A
a (1)
a
b
(3)
新知探究
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
感谢你的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
直线AB和直线CD
新知探究
空间两直线平行的判定公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. 若 a//b，c//b 则 a//c.
平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
b
a c
新知探究
例：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形
EFGH是平行四边形. A
新知探究
B
A
C
D
E
F
AB // DE, BC // EF ABC DEF
新知探究
定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
AB // DE, BC // EF E 互补
新知探究
夹角 在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角.
a b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画.
既非平行 又非相交
D1 A1
D A
C1 B1
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
新知探究
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图： a
b
(2)
b
A
a (1)
a
b
(3)
新知探究
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
感谢你的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
直线AB和直线CD
新知探究
空间两直线平行的判定公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. 若 a//b，c//b 则 a//c.
平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
b
a c
新知探究
例：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形
EFGH是平行四边形. A
新知探究
B
A
C
D
E
F
AB // DE, BC // EF ABC DEF
新知探究
定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
AB // DE, BC // EF E 互补
新知探究
夹角 在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角.
a b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画.
既非平行 又非相交
D1 A1
D A
C1 B1