高斯积分点在有限元中应用
高斯公式应用案例
高斯公式应用案例高斯公式是数学中一个非常重要的公式，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍几个关于高斯公式应用的案例，分别来自物理学、工程学和金融学领域。
物理学：电场中的高斯定律高斯公式最早是由德国数学家高斯提出的，但在物理学中也有广泛的应用。
电场中的高斯定律就是一个非常经典的例子。
根据高斯定律，通过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内的电荷总量的1/ε0倍，其中ε0为真空介电常数。
这个定律在物理学中被广泛用于计算电场的分布。
我们可以通过高斯定律来计算一个均匀带电球的电场分布，或者通过选择适当的高斯曲面来计算复杂形状电荷分布的电场。
通过高斯公式的应用，我们可以更好地理解电场的性质，对电磁学的学习和实践有很大的帮助。
工程学：有限元分析中的面积分在工程学中，高斯公式也有着举足轻重的地位。
有限元分析是工程学领域中常用的一种数值分析方法，用于求解复杂结构的应力、位移和变形等问题。
在有限元分析中，经常需要对复杂的形状进行面积分计算，而高斯公式可以帮助我们高效地进行这些积分。
通过高斯公式，我们可以将复杂形状的面积分转化为一系列关于标准形状的积分，从而更方便地进行数值计算。
这种方法既可以提高计算效率，也可以提高计算的精度，因此在工程学中有着广泛的应用。
金融学：期权定价中的黑-斯科尔斯模型除了自然科学和工程学领域，高斯公式在金融学中也有一些重要的应用。
其中一个著名的例子就是在期权定价中的黑-斯科尔斯模型。
黑-斯科尔斯模型是用于计算欧式期权价格的数学模型，它可以根据标的资产的价格波动情况、执行价格、无风险利率等因素来估算期权的价格。
在这个模型中，高斯公式被用来计算标的资产价格的概率分布。
通过高斯公式，我们可以更准确地估算出期权的价格，对投资者和金融机构来说都具有重要的意义。
通过以上三个领域的案例，我们可以看到高斯公式在自然科学、工程学和金融学中都有着广泛的应用。
它不仅是一个重要的数学工具，也是连接数学与实际应用的桥梁。
各单元高斯点
各单元高斯点在有限元分析中，高斯点是一种用于数值计算的重要概念。
在分析结构或材料时，通常会将其离散成有限个单元来进行计算。
而每个单元都会包含若干个高斯点，用来近似表示单元内的物理量。
在这篇文章中，我将讨论各单元高斯点的重要性及其在有限元分析中的应用。
首先，让我们来了解一下高斯点的概念。
高斯点是一种数值积分点，通过在这些点上对被积函数进行数值积分，可以得到近似的积分值。
在有限元分析中，高斯点通常被用来近似表示单元内的应力、应变、位移等物理量。
通过在高斯点上对这些物理量进行插值，可以得到整个单元内的近似解。
在有限元分析中，单元是构成整个结构或材料的基本单位。
不同类型的单元可以用来表示不同的几何形状，比如一维线元、二维三角形元、四边形元等。
而每个单元内都包含若干个高斯点，这些高斯点的数量通常是提前确定的。
在进行有限元计算时，我们需要在每个单元内对物理量进行数值积分，而高斯点就是用来指定积分的位置和权重的。
在有限元分析中，各单元高斯点的选择对计算结果的精度和稳定性有着重要的影响。
一般来说，高斯点的数量越多，计算结果越精确，但计算量也会增加。
因此，在实际应用中，需要在计算精度和计算效率之间进行权衡。
通常情况下，工程师会根据具体问题的需求和计算资源的限制来选择合适的高斯点数量。
除了高斯点的数量，高斯点的位置也是至关重要的。
在有限元分析中，高斯点的位置通常被选取在单元的几何中点或者重心附近。
这样可以保证在近似表示单元内物理量时，能够更好地反映单元内部的特性。
而如果高斯点的位置选择不当，可能会导致计算结果出现偏差，甚至无法收敛。
在实际工程中，有限元分析是一种非常重要的工具，可以用来分析结构的应力、变形等物理量。
而各单元高斯点的选择是有限元分析中一个至关重要的环节。
通过合理选择高斯点的数量和位置，可以提高计算结果的精度和可靠性。
因此，在进行有限元分析时，工程师需要仔细考虑各单元高斯点的选择，以确保得到准确的计算结果。
c3d10的积分点
c3d10的积分点C3D10元素是有限元分析软件中常用的一个十节点立方体元素（brick element）。
它对于复杂的三维结构的有限元分析提供了很大的便利，能够有效地模拟力学行为并预测结构的响应。
本文将详细介绍C3D10元素的积分点，以及如何使用这些积分点进行分析。
首先，我们来了解C3D10元素的基本信息。
C3D10元素有十个节点，它按照正立方体的八个顶点和中心点的顺序进行编号。
同时，它有六个面，每个面都有四个节点。
此外，C3D10元素的两条棱上各带有一个节点，总共有十条棱。
这种节点的分布方式使得C3D10元素能够更好地适应结构的几何形状。
在有限元分析中，C3D10元素经常用于模拟具有复杂几何形状的结构，例如汽车车身、飞机机身和建筑物等。
其三维形状可以更好地模拟真实结构，并且由于具有足够的节点数目，能够精确地捕捉结构的力学行为。
在C3D10元素中，为了进行数值积分和力学计算，需要在元素内部选择一系列积分点。
这些积分点通常按照高斯积分点的规则进行选择，以获得更准确的结果。
积分点的数量和位置可以根据具体的分析要求进行选择。
一般来说，积分点越多，结果越准确，但计算量也会增加。
C3D10元素的常见积分点数目有1、8、27和64等。
1个积分点用于代表整个单元，它的位置位于单元的质心上。
8个积分点位于单元的八个顶点上，27个积分点则按照某种规律分布在元素内部的各个位置，64个积分点则进一步增加了积分精度，用于需要更高精度的分析场合。
使用C3D10元素进行有限元分析时，我们需要在每个元素内部选择合适数量的积分点，并计算每个积分点处的场量值。
这些场量通常包括位移、应力、应变等。
通过选择适当的积分点数量，我们能够获得足够准确的场量值，从而在整个结构中分析出力学响应。
C3D10元素的积分点选择与力学计算有着紧密的联系。
在弹性力学中，通常使用高斯积分点进行数值计算，以获得足够精确的结果。
在非线性力学中，由于材料性质的变化，可能需要更多的积分点来获得准确的结果。
高斯积分点以及有限元中应用
解析法
对于一些简单的函数，可以通过解析法直接计算高斯积分点的函数值。
02
有限元方法简介
有限元方法的定义
有限元方法是一种数值分析方法，通 过将复杂的物理系统离散化为有限个 简单元（或称为元素）的组合，来模 拟和分析系统的行为。
高斯积分点在求解偏微分方程中的应用
高斯积分点被用于求解偏微分方程的数值解，通过将偏微分方程离散化，将连续的求解 问题转化为离散的求解问题。
具体应用
在有限元方法中，高斯积分点被用于求解弹性力学、流体力学等领域的偏微分方程，得 到结构的应力、应变和位移等数值结果。
高斯积分点在优化设计中的应用
优化设计的概念
高斯积分点在形状函数中的应用
在有限元的离散化过程中，高斯积分点被用于计算形状函数的数值 积分，以获得场变量的近似值。
具体应用
通过高斯积分点，可以计算出每个节点的位移、应力和应变等数值 结果，进而得到整个结构的近似解。
高斯积分点在求解偏微分方程中的应用
偏微分方程的求解
偏微分方程是描述物理现象的数学模型，求解偏微分方程可以得到描述物理现象的数值 解。
04
有限元的实现过程
建立模型
确定分析对象和边界条件
根据实际问题，明确分析对象及其所受的边界条件，为建立有限 元模型做准备。
建立几何模型
根据分析对象的几何形状，使用CAD软件建立几何模型。
定义材料属性
根据实际材料的物理属性，如弹性模量、泊松比等，定义材料属性。
划分网格
1 2
选择合适的网格类型
根据分析对象的几何形状和边界条件，选择合适 的网格类型，如四边形网格、六面体网格等。
二阶六面体单元积分点个数
二阶六面体单元积分点个数1. 介绍在有限元分析中，常常需要对六面体单元进行积分以计算其质量矩阵、刚度矩阵等。
而对于二阶六面体单元，其积分点的个数是一个重要的参数，它决定了数值计算的精度和效率。
本文将介绍二阶六面体单元积分点个数的计算方法和应用。
2. 二阶六面体单元二阶六面体单元是一种常用的有限元单元，它由六个面构成，每个面都是一个四边形。
它的节点个数为27个，其中8个节点位于六面体的八个顶点上，剩下的19个节点位于六个面的中点上。
二阶六面体单元的形状函数通常采用三次Lagrange插值函数来表示。
3. 积分点个数的计算方法计算二阶六面体单元的积分点个数需要考虑到积分的精度和计算效率。
一般来说，积分点个数越多，计算结果越精确，但计算量也越大。
在实际应用中，需要根据具体问题的要求来选择合适的积分点个数。
一种常用的计算积分点个数的方法是根据六面体单元的阶数和积分点的阶数来确定。
二阶六面体单元的阶数为2，积分点的阶数为3。
根据经验公式，二阶六面体单元的积分点个数可以通过以下公式计算：N = (n+1)^3其中，N为积分点个数，n为积分点的阶数。
对于二阶六面体单元，带入n=3，可以得到N=64，即需要64个积分点来进行积分计算。
4. 积分点个数的应用二阶六面体单元的积分点个数在有限元分析中起着重要的作用。
它决定了计算结果的精度和计算效率。
4.1 精度积分点个数越多，计算结果越精确。
在求解复杂问题时，需要使用更多的积分点来提高计算精度。
通过增加积分点个数，可以减小数值计算误差，得到更接近真实解的结果。
4.2 计算效率积分点个数越多，计算量越大，计算效率越低。
在实际应用中，需要在精度和效率之间进行权衡。
如果问题的精度要求不高，可以选择较少的积分点个数来提高计算效率。
而对于精度要求较高的问题，需要使用更多的积分点来保证计算结果的准确性。
4.3 积分公式二阶六面体单元的积分通常采用高斯积分公式来计算。
高斯积分公式是一种常用的数值积分方法，它通过在积分区间上选择一些特定的节点和权重来近似计算积分结果。
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ，2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
U e 1 (x( )) (x( ))dV 1 x2 Ee (x( )) (x( ))Aedx
2 e
2 x1
U e 1 1 EeB( )qeB( )qe Ae (le / 2)d
2 1
U e
1 qeT [
1
(l e
/
T
2)B
( )Ee AeB( )d ]qe
2
1
U e 1 qeT Keqe 2
x(,) N(,)xe
u(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe
N1
1 4
(1
)(1 )
N2
1 4
(1
)(1 )
N3
1 4
(1
)(1 )
N4
1 4
(1 )(1)
ε(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe B(,)qe
x
B(
, )
0
y
0
x 1 2 3 4 N1x1 N2x2 N3x3 N4x4
y
1
2
3
4
N1 y1
N2
y2
N3
y3
N4
y4
N1
高斯公式应用案例
高斯公式应用案例高斯公式是数学上非常重要且广泛应用的公式。
它可以帮助我们计算各种形状的定积分，例如曲线下面积、曲线围成的曲边梯形面积、曲线周长等。
在不同的领域中，高斯公式都有着重要的应用。
本文将介绍高斯公式在物理、工程、经济和生物等领域中的应用案例，以及其在实际问题中的重要性。
一、物理高斯公式在物理学中有着广泛的应用，特别是在电磁学和力学领域。
在电场和磁场中，高斯公式可以用来计算电场线和磁场线的通量，从而求解电荷和磁荷的分布情况。
在引入高斯公式后，可以简化问题求解的复杂度，从而更方便地研究电磁场的性质。
在静电学中，高斯定律描述了电场的产生和分布。
利用高斯公式，可以求解由不同电荷分布所产生的电场强度，进而解决电场环绕导体的分布问题。
高斯公式还可以对电场在不同介质中的分布情况进行精确的描述，为电场的应用提供了重要的理论基础。
在力学领域，高斯公式也常用于计算曲线轨迹下物体的运动状态。
当一个物体沿着曲线运动时，我们可以利用高斯公式来计算曲线上的力的合成，求解物体的加速度和速度等动力学问题。
高斯公式的应用使得复杂的动力学问题变得更加清晰和可计算，为物理学研究提供了重要的数学工具。
二、工程在工程领域，高斯公式也有着重要的应用价值。
特别是在结构分析和流体力学中，高斯公式可以帮助工程师解决各种复杂的结构计算和流体运动问题。
在结构分析中，高斯公式可以用来计算不同形状结构的受力情况。
利用高斯公式可以求解曲线形状的梁在受力作用下的变形和内应力分布，为结构设计提供了重要的数学工具。
在有限元分析中，高斯公式也可以用来建立与结构形状相关的数学模型，进而对结构进行精确的应力分析和应变计算。
在流体力学中，高斯公式被广泛应用于计算流体在不同形状容器中的流动情况。
在管道工程中，高斯公式可以用来计算管道中流体的流速分布和流量情况，从而指导管道的设计和运行。
高斯公式还可以对复杂的流场进行数值模拟和计算，为工程师提供了重要的工具来研究流体动力学问题。
SolidWorks有限元高斯积分点
单元节点和积分点有什么区别学过数值积分的应该知道,有限元中的积分点指高斯积分点,因为这些点的收敛性好,精度高。
1、节点7_J1D o(^在单元内,采用形函数来表述单元内变量的分布规律。
而节点值是在节点处的对应物理量。
以简单矩形单元的温度为例:1n-]*}1p"g I }四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn.则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点,单元内温度分布为:T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}Si=1/4(1-x)(1-y)Sj=1/4(1+x)(1-y)] q v5uSm=1/4(1+x)(1+y) E g@0w4]y6l.?-aSn=1/4(1-x)(1+y)M r S1T~6]+d:C(单元的形函数我们可以从手册中查到)从而我们知道了温度在单元内的分布。
2、积分节点5G z)\ \我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时,因为节点的温度显然与x,y无关,我们只需要考虑对形函数积分。
f"X] r1O采用Gauss_Legendre多项式计算积分时,我们只需要计算根据特定积分点的值(在自然坐标系下是固定的,可以查手册,这些点也叫高斯点、积分点)并加以权重就可以。
这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。
因为形函数只有单元有关,所以积分点也只与单元形状有关。
3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。
这只是为了减少误差。
因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。
从理论上说,形函数已知后,用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话,是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵,但是这样做的话,对于工程实际应用来说并不合适(9W F;c#j原因:1,费时;2,Mindlin中厚板有剪力锁死问题,有时候需要采用缩聚积分),所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来,但是再复杂点的单元,就使用数值积分(Newton-Cotes积分和高斯积分)高斯积分的话,积分点不在节点上9B N V4L2K*o牛顿-科斯的积分点就是节点,这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式个人理解:1.节点作用构造形函数,节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况,并获取节点上的位移值m0D8Y.p5p2.积分点作用是构造规则形状单元与曲边(曲面)单元的转化的变换函数,积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”-y-j A.|K7r的精确程度,刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系,一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。
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i 1
或改写成
1 1
nm
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j 1
这就是二维的高斯积分公式。
高斯积分法
三维积分的高斯公式
同样，可以求得三维高斯积分公式：
1 1 1
nm l
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j1 k 1
中的n，m，l是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。
各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出 现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常 在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值
的数值时，可以先对ξ 、η 进行积分，
1
n
f ( ,)d
1
H i f (i ,) ()
i 1
1
m
()d
1
H j ( j )
j 1
1 1
m
n
f ( ,)dd
1 1
Hj
H i f (i , j )
j 1
高斯积分法
例如，n=1时 不论f(ξ )的次数是0还是1，只需取H１=2，
ξ 1＝０，上式均是精确成立的。因为
1
I 1 f ( )d H1 f (1 )
f ( ) C0 C1
1
I 1 f ( )d 2C0 2 f (0)
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
高斯积分法
高斯积分法
在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度 矩阵时，需用到如下形式的定积分：
11
f ( ,)dd 1 1
111
f ( ,, )ddd 1 1 1
其中被积分函数f(ξ ，η ，ζ )一般是很 复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也 是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函 数的定积分。
高斯积分法
数值积分：在积分区域内按一定规则选出 一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ ， η ，ζ )在这些积分点处的值，然后再乘以相 应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
数值积分的方法有多种，其中高斯积分法 可以用相同的积分点数达到较高的精度，或 者说用较少的积分数达到同样的精度。
高斯积分法
一、一维积分的高斯公式
1
n
f ( )d
1
H i f (i )
i 1
其中f(ξ i)是被积函数在积分点ξ i处的数值，Hi为 加数系数，n为积分点数目。
对于n个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点 位置，能够使式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时 精确成立。
由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应 于大多数函数。
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度 矩阵是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计 算，大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在 单元内分布一些高斯点
这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应 变，其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε }={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积
高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个 积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也 就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式， 用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分 结果。
积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工 作量。
积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全 精确积分）
很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精 确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分
f ( ) C0 C1 C2 2 C3 3
其精确积分为 数值积分为
I
1 1
f
( )d
2C0
2 3 C2
2
I H i f (i ) H1 f (1 ) H 2 f (2 ) i 1
H1 (C0
C1
C212
C313 )
1 1
nn
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j1
1 1 1
nnn
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j 1 k 1
高斯积分法
由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时 ，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高 斯求积公式求得的积分值是完全精确的。
反过来，对于m次多项式的被积函数，为了积分值 完全精确，积分点的数目必须取 。
高斯积分法
高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权 系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数 值，加权后求和，就得到了该函数的积分。
更好的精度。（减缩积分）
完全精确积分
减缩积分
线性单元
二次单元
有限元分析主要步骤
我们知道，经过单元方程的组装以后，结构静力学有 限元方程如下
{F}=[K]{U} 其中，{F}----节点载荷向量；[K]---总体刚度矩阵； {U}---节点位移向量 在引入边界条件以后，解上述方程组，就可以得到节 点位移向量{U}.这是求解结构静力学方程组所得到的第一 组解，它是最精确的。 得到节点的位移解后，下面是求取应变解和应力解。 与位移解不同，它们并不是直接在节点上获得，而是首先 在积分点上获得的。
H 2 (C0
C1
C2
2 2
C3
3 2
)
高斯积分法
，
，
为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精 确的，显然应有
H1 H2 2
H11 H 22 0
H
2
11
H
2
22
2 3
H
3
11
H
2
3 2
0
1 2
1 3
0.577 ,350,269,2
所以，应取
H1 H 2 1.000,000,000,0
高斯积分法
n个插值结点非等距分布
结点和积分权系数可以查表
1
n
f ( )d
1Ai f (i )i Nhomakorabea1高斯积分法
二维积分的高斯公式
以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维
重积分
11
f ( ,)dd 1 1