北京市通州区2019届高三第一学期期中数学(文)试题(含答案)

北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学文试题(word版)

通州区高三年级摸底考试数学（文）试卷2019年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,22．在复平面内，复数21ii-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为（A ）()0,1 （B ）()0,1- （C ）()1,0（D ）()1,0-4．设函数()22,0,log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）1- （B ）1 （C ）2-（D ）25．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（A）16+（B ）12+（C ）8 （D ）46．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）5122- （B ）5022- （C）5121- （D ）5021-7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（A （B ）2 （C ）115（D ）3正（主）视图侧（左）视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = ．10．已知,x y 满足约束条件24,24,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥则z x y =+的最大值为．11．若10x +>，则11x x ++的最小值为． 12．在边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是． 13．奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是．14．对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,,,.x x x max x x x x x ⎧=⎨<⎩≥若()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ， AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别为CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ． 17．（本小题满分13分）N MB 1A 1C 1CBA某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．19.（本小题满分13分）已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈ （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =()011n n y a a a T=+++()0,1,2,3,4,5n =，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线．（Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；（Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．2 1 2 4 43 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲乙通州区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷答案高三数学（文科） 2019.1第Ⅰ卷（选择题共40分）9． 4025 10． 83 11． 112．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ 14． 1-三、解答题 15．解：（Ⅰ）由已知，得()11sin 2cos222f x x x =+ ……………………2分224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………………4分所以 22T ππ==，即 ()f x 的最小正周期为π； ……………………6分（Ⅱ）因为 82x ππ-≤≤，所以 50244x ππ≤+≤． ……………… 7分于是，当242x ππ+=时，即8x π=时，()f x取得最大值2；…… 10分当5244x ππ+=时，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．……………13分16．证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，所以 CC 1⊥BC ． …………………………………………1分因为 AC =BC =2，AB =所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………………2分又因为AC ∩CC 1=C ，所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………4分因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，所以 BC ⊥AM ． ……………………6分（Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则NP ∥CC 1． ………………8分因为 M ,N 分别为CC 1, AB 中点，所以 112CM CC =，112NP BB =． …………9分因为 BB 1=CC 1，所以 NP =CM ． ……………………10分所以四边形MCNP 是平行四边形．…………11分所以 CN //MP ． ……………………12分因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………13分所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………14分17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲、X 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙，PN MB 1A 1C 1CBA则1221141131111111071136X +++++==甲， ……………………1分1241101121151081091136X +++++==乙， ……………………2分()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=， ……………………4分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=， ……………………6分由于 22s s <甲乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109． ………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． (11)分所以 ()415P A =． ………………13分18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，…………………… 1分则 a =2c =． …………………………………………2分所以 b == …………………………………3分所以椭圆方程为221106x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 21222035k x x k +=+， ………………………………………… 9分所以 1221235ky y k+=-+． ……………………………………… 10分因为四边形AOBC 为平行四边形，所以 OA OB OC +=， ……………………………………… 11分所以点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， ……………………………13分解得21k =，所以1k =±． ………………………………14分19．解：（Ⅰ）()232f x x ax b '=++， ………………………………1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩ 解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩……………………3分当411a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分所以 11b =-． …… …………………………………………………… 6分（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立，即 ()2max38b x x≥-+. ……………………………………11分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以当43x =时，()2max 16383x x -+=， ……………………………12分所以 163b ≥，所以 b 的最小值为163． ………………………………13分法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max32b x ax ≥--． …………………………………………8分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，…………………………… 9分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分当40a -≤<时，()2max33a aF x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．……11分又2max1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以163b ≥． ………………………………12分综上，b 的最小值为163． ………………………………13分 20．（Ⅰ）解：()001234500a f a a a a a a ==+++++， ……………………………… 2分()01234501234511a a a a a a f a a a a a a +++++==+++++； ………………………………4分（Ⅱ）解：115n n n n n n y y k a x x T---==-，1,2,3,4,5n =． ……………………………… 6分因为 012345a a a a a a <<<<<，所以 12345k k k k k <<<<． ………………………………8分（Ⅲ）证：由于()f x 的图象是连接各点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线，要证明()f x x <()01x <<，只需证明()n n f x x <()1,2,3,4n =．…………9分事实上，当()1,n n x x x -∈时，()()()()()1111n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=⋅-+-()()1111n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=+--1111n n n n n n n n x x x x x x x x x x ------<+--x =．下面证明()n n f x x <．法一：对任何n ()1,2,3,4n =，数学试卷()()()121255n n a a a n n a a a +++=+-+++⎡⎤⎣⎦………………10分()()()12125n n n a a a n a a a =++++-+++()()125n n n a a a n na ≤++++-……………………………………11分()125n n n a a a n a =++++-⎡⎤⎣⎦()1215n n n a a a a a nT +<++++++= …………………………12分所以 ()125nn n a a a nf x x T+++=<=．…………………………13分法二：对任何n ()1,2,3,4n =，当1n k <时，()()()10211n n n y y y y y y y -=-+-++-()12155n n nk k k x =+++<=；………………………………………10分当1n k ≥时，()55n n y y y y =--()()()121541n n n n y y y y y y +++=--+-++-⎡⎤⎣⎦()125115n n k k k ++=-+++ ()115.55n nn x <--==综上，()n n f x x <． ………………………………………13分。

北京市通州区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用并集的定义求解即可．【详解】集合，，，，故选A．【点睛】本题主要考查并集的定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。

输出k=4。

选B。

3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中，，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果．【详解】等差数列的前项和为，，，，解得，，数列的公差为1，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解．4.最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】由于函数的最小正周期为，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，是最大值，故函数的图象关于直线对称，故正确；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除，故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性以及三角函数图象的对称性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.在中，，，，则解的情况是A. 一解B. 两解C. 无解D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，根据大边对大角可知必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，从而可得结果．【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，，，必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，此三角形有二解，故选B．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6.是命题“，”为真命题的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，而，有，所以，由，可得成立，即，成立；反之，，成立，可得，不能推出．是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设从甲地到乙地距离为，其全程的平均速度为，利用基本不等式可得，由不等式的性质可得，从而可得结果．【详解】设从甲地到乙地距离为，往返的速度分别为，，其全程的平均速度为，因为,所以．，故选C．【点睛】本题考查了基本不等式的应用、不等式性质，属于基础题．比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）利用不等式性质；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.8.已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a<b<c，由已知条件可知：0<a<1<b<e<c<e2，∵−ln a=ln b，∴ab=1∵ln b=2−1nc∴bc=e2，∴,(1<b<e)，，故选A.点睛：对于连等问题，常规的方法有两个，一是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的变量，进而研究范围，二是数形结合，根据函数的集合特征建立变量间的关系进行运算.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数______．【答案】【解析】【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可．【详解】由复数除法运算法则可得，，故答案为.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．10.，，三个数的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性、指数函数的单调性、幂函数的单调性分别比较三个数与1和2的大小，即可得结果．【详解】由对数函数的单调性可得，化简，由幂函数及指数函数的单调性可得．．故答案为．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数以及幂函数的单调性，比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.曲线在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】求出，得到的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程．【详解】，，则，即曲线在点处的切线斜率，则对应的切线方程为，即，故答案为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12.已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为.【答案】1【解析】试题分析：设，，所以的最大值为1.考点：平面向量的线性运算和数量积.13.能说明“若是奇函数，则”为假命题的一个函数是______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】由奇函数的性质分析：“若是奇函数，则”为假命题，必有函数的定义域不包含0，据此分析可得结果．【详解】根据题意，若是奇函数，且0在函数定义域中，则必有，“若是奇函数，则”为假命题，则0不在函数的定义域，则能说明“若是奇函数，则”为假命题，只需函数的定义域不包含0即可，故这个函数可以是，故答案为.【点睛】本题主要考查奇函数的定义与性质，属于基础题．对于奇函数的性质，一定要注意，只有函数定义域内包含时才能应用.14.设函数，若在单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】分离常数得出，分析得不合题意，必须，从而得出在上单调递减，令是的子集，从而可求出实数的取值范围．【详解】；时；在上单调递增，不合题意；所以；在上单调递减；又在上单调递减；所以是的子集，所以，的取值范围是，故答案为．【点睛】本题主要考查分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性．利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．Ⅰ画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ求函数在上的解析式．【答案】Ⅰ和；Ⅱ.【解析】【分析】Ⅰ根据偶函数的图象关于轴对称，画出轴右侧的图象即可，根据图象即可写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ可设，从而，根据时的解析式，求出，根据是上的偶函数即可求出时的解析式，从而得出在上的解析式．【详解】Ⅰ图象如下：函数的单调增区间为和；Ⅱ设，则；函数是定义在R上的偶函数，且当时，；；．【点睛】本题主要考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及根据图象写出函数单调区间，偶函数在对称区间上的函数解析式的求法，属于中档题．“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则当时，函数的解析式为．16.(本小题满分12分)已知函数。

北京市通州区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年北京市通州区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用并集的定义求解即可．【详解】集合，，，，故选A．【点睛】本题主要考查并集的定义，是基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。

输出k=4。

选B。

3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中，，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果．【详解】等差数列的前项和为，，，，解得，，数列的公差为1，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解．4.最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性以及图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】由于函数的最小正周期为，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除；由于函数的最小正周期为，当时，，是最大值，故函数的图象关于直线对称，故正确；由于函数的最小正周期为，当时，，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除，故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性以及三角函数图象的对称性，属于基础题．由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.5.在中，，，，则解的情况是A. 一解B. 两解C. 无解D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，根据大边对大角可知必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，从而可得结果．【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，，，必为大于的角，故可以为锐角，也可以是钝角，此三角形有二解，故选B．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6.是命题“，”为真命题的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，而，有，所以，由，可得成立，即，成立；反之，，成立，可得，不能推出．是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设从甲地到乙地距离为，其全程的平均速度为，利用基本不等式可得，由不等式的性质可得，从而可得结果．【详解】设从甲地到乙地距离为，往返的速度分别为，，其全程的平均速度为，因为,所以．，故选C．【点睛】本题考查了基本不等式的应用、不等式性质，属于基础题．比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）利用不等式性质；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.8.已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a<b<c，由已知条件可知：0<a<1<b<e<c<e2，∵−ln a=ln b，∴ab=1∵ln b=2−1nc∴bc=e2，∴,(1<b<e)，，故选A.点睛：对于连等问题，常规的方法有两个，一是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的变量，进而研究范围，二是数形结合，根据函数的集合特征建立变量间的关系进行运算.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数______．【答案】【解析】【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可．【详解】由复数除法运算法则可得，，故答案为.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．10.，，三个数的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性、指数函数的单调性、幂函数的单调性分别比较三个数与1和2的大小，即可得结果．【详解】由对数函数的单调性可得，化简，由幂函数及指数函数的单调性可得．．故答案为．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性、指数函数以及幂函数的单调性，比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.曲线在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】求出，得到的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程．【详解】，，则，即曲线在点处的切线斜率，则对应的切线方程为，即，故答案为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.12.已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为.【答案】1【解析】试题分析：设，，所以的最大值为1.考点：平面向量的线性运算和数量积.13.能说明“若是奇函数，则”为假命题的一个函数是______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】由奇函数的性质分析：“若是奇函数，则”为假命题，必有函数的定义域不包含0，据此分析可得结果．【详解】根据题意，若是奇函数，且0在函数定义域中，则必有，“若是奇函数，则”为假命题，则0不在函数的定义域，则能说明“若是奇函数，则”为假命题，只需函数的定义域不包含0即可，故这个函数可以是，故答案为.【点睛】本题主要考查奇函数的定义与性质，属于基础题．对于奇函数的性质，一定要注意，只有函数定义域内包含时才能应用.14.设函数，若在单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】分离常数得出，分析得不合题意，必须，从而得出在上单调递减，令是的子集，从而可求出实数的取值范围．【详解】；时；在上单调递增，不合题意；所以；在上单调递减；又在上单调递减；所以是的子集，所以，的取值范围是，故答案为．【点睛】本题主要考查分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性．利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法① 求解的．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．Ⅰ画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ求函数在上的解析式．【答案】Ⅰ和；Ⅱ.【解析】【分析】Ⅰ根据偶函数的图象关于轴对称，画出轴右侧的图象即可，根据图象即可写出函数在上的单调递增区间；Ⅱ可设，从而，根据时的解析式，求出，根据是上的偶函数即可求出时的解析式，从而得出在上的解析式．【详解】Ⅰ图象如下：函数的单调增区间为和；Ⅱ设，则；函数是定义在R上的偶函数，且当时，；；．【点睛】本题主要考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及根据图象写出函数单调区间，偶函数在对称区间上的函数解析式的求法，属于中档题．“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则当时，函数的解析式为．16.(本小题满分12分)已知函数。

北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学高三期末文科试题(含答案)

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤ 0}，则A B 等于A.{}1 B . {}12，C. {}0123，，，D. {}10123，，，，- 2. 已知向量(),2a =m ,()1,1a =+n ，若 m n ，则实数a 的值为A. 23-B. 2-C. 2或1- D . 2-或13. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，()31xf x =-，则()2f -等于A . 8- B. 8 C. 109-D. 89.4. 执行右面的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为A.5k <？B. 5?k ≥ C . 6?k < D.6?k ≥5. 已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.B.C.D.6. “0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A. 24B. 28 C.20+D. 20+8.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 按逆时针方向旋转至OD ．在旋转的过程中，记AOP ∠ 为x ，OP 所经过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ．对于函数()f x 给出以下4个结论：①142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，为减函数；③()()4f x f x π+-=； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称．其中正确结论的个数为A. 1 B . 2 C. 3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i(1+i)的虚部为______．10.若点()2,0P 到双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =______ ．11. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值等于______ ．12．若锐角△ABC 的面积为，且AB=5，AC=8，则BC 等于______．13．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．14. 已知函数()22,2,log , 2.x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知函数()2sin 22sin 16f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前4项依次成公比为q 的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且18a =，41a =-.（Ⅰ）求q 及5a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .17．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价为5元的概率；求,,,a b c n 的值，并计算这n 名乘客乘车平均消费金额；（Ⅲ）某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站，中途任选一站出站一次，之后再从该站乘车．若想两次乘车花费总金额最少，可以选择中途哪站下车？（写出一个即可） 18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A BC - 中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =， E ，F 分别为BC ，11A B 的中点．（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11BBC C ；（Ⅱ）求三棱锥11C EFB -的体积；（Ⅲ）在线段1AE 上是否存在一点M ，使直线MF 与平面11BBC C 没有公共点？若存在，求1A MME的值；若不存在，请说明理由. 19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点()0,1A(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若在直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．20．（本小题13分）已知函数()21()R 2xf x e x ax a =--∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 是R 上的单调递增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()()()322,0,152,0f x x t x x a a x x x ⎧>⎪=⎨--++-<⎪⎩对任意的实数()110x x ≠，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，求a 的值．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．110 11．212．713．254 14．114k ≤≤三、解答题：（本大题共6小题，共80分．） 15．解：（Ⅰ）()12cos 2cos 222f x x x x =-+ 12cos 22x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以的最小正周期为22T ππ==． ………………7分（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值1；当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．………………………13分16．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前4项依次成等比数列，所以341a a q =⋅，即318q -=⋅．所以12q =-，从而2312a a q =⋅=．因为数列{}n a 从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d ，所以433d a a =-=-，从而544a a d =+=-．所以12q =-，54a =-； …………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，214a a q ==-．当1n =时，118S a ==，当2n =时，2124S a a =+=，当3n ≥时，2123(2)[(2)1)]319(2)9222n n n S a a n a d n n ---=++-+=-+-，此式对2n =也成立．综上所述，2813199,222n n S n n n =⎧⎪=⎨-+-≥⎪⎩，，．…………………………………………13分17．（Ӏ）记两站间票价5元为事件A ．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A 中基本事件数为15个. 所以两站间票价为5元的概率()526P A =. .............4分（Ⅱ）由表格数据知10.20.8a b +=-=，所以15250.8n +=，即50n =．所以150.3a n ==，250.5b n==，50(1525)10c =-+=． .............8分记n 名乘客乘车平均消费金额为x ，3104155254.350x ⨯+⨯+⨯== ............10分（Ⅲ）双桥，通州北苑．（写出一个即可） . ........... 13分18．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A BC -中，因为△ABC 为等边三角形，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ． ……………………………… ………………1分又1AA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以1AA AE ⊥．因为11BB AA ，所以． ……………………………………………2分因为1BC BB B = ，BC ⊂平面11BBC C ，1BB ⊂平面11BBC C ，所以． …………………………………………………3分所以平面ABC ⊥平面11BBC C ； …………………………………………………4分（Ⅱ）解：………………5分取11BC 的中点D ，连结DE ，则 1DE BB ，1DE BB =，所以，3DE =． ………………6分又F 是11A B 的中点，所以111C F AB ⊥，1C F =7分所以1111111111111111332322FB C A B C E FB C V S DE S DE A B C F DE -∆∆=⋅=⨯⋅=⨯⨯⋅⋅=即三棱锥11C EFB -的体积为2．………………9分（Ⅲ）解：在1AE 上存在一点M ，满足题意. 取1AE 中点M ，连结MF ． ………………10分因为F 是11A B 的中点，所以MF 是11AB E ∆的中位线，所以1MFB E ． ………………………………………………………………11分因为MF ⊄平面11BBC C ，1B E ⊂平面11BBC C ，所以MF 平面11BBC C ， ………………………………………………12分即直线MF 与平面11BBC C 没有公共点． ………………………………………………13分所以11A MME=． ………………………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ． ………………………………5分由2213x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分过M 做MQ ⊥NP 于Q ，则Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，，所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）当1a =时，21()2xf x e x x =--，所以'()1xf x e x =--，'(0)0f =，()01f =．所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y =． …………………………………3分（Ⅱ）因为()f x 在R 上为单调递增函数，所以'()0xf x e x a =--≥恒成立，即'()f x 的最小值()min 0f x '≥．令()'()xg x f x e x a ==--，则'()1x g x e =-．在(,0)-∞，'()0g x <，()f x '单调递减；在(0,)+∞，'()0g x >，()f x '单调递增．所以min ()(0)1f x f a '==-．所以10a -≥，即1a ≤．所以若()f x 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是(]1-∞，．……………………7分（Ⅲ）当0x <时，22()32(1)5t x x a a x '=--++，因为30>，2103a a -+>，所以()t x '在(,0)-∞单调递减，且()5t x '>；当0x >时，()()x t x f x e x a ''==--，由（Ⅱ）知()t x '在(0,)+∞递增，且()1t x a '>-．若对任意的实数1x ，存在唯一的实数2x （21x x ≠），使得12'()'()t x t x =成立，则（ⅰ）当10x <时，20x >．所以15a -≤，即4a ≥-；（ⅱ）当10x >时，20x <．所以15a -≥，即4a ≤-．综合（ⅰ）（ⅱ）可得4a =-．……………………………………………………13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分。

【最新】北京市通州区2019届高三第一学期期中考试数学(文)答案.doc

通州区2019-2020学年第一学期高三年级期中考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCCACB第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i10．1322log 53211．20x y12．113．1f xx14．0,1三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）15．解：（Ⅰ）图略； 3分函数f x 的单调增区间为1,0和1,；6分（Ⅱ）设0x，则0x ． 7分因为函数f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x时，22f xxx ，所以222fx． 10分所以222,2,xx f xx x x，．13分16．解：（Ⅰ）因为*65()na n n N 所以*1[6(1)5](65)6()nna a n n nN ，所以数列{}n a 是等公差为6的等差数列．………………………………………………………….3分又因为111a ，所以数列{}n a 的前n 项和：21()[11(65)]3822n nn a a n n S nn……………………………………… ……………….6分（Ⅱ）因为1n n na b b 所以1a bb，223a b b ………………………………………………. ………………………………8分所以12231117b b b b ，，………………………………………………………………………………………………………10分设数列{}n b 的公差为d ，则112+112317b d b d ，，所以143b d，，……………….……………….……………….………………. …................ . (12)分所以数列{}n b 的通项公式：31n b n ，n N．…………….………………………………. 13分17．．解：（Ⅰ）由21cos sin cos2222x x xf x，得11121cos sin cos 22224f xx x x ．3分所以f x 的最小正周期为2，最大值为22，最小值为22；6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，232cos2410f，所以3cos45． 7分所以si28分cos2410分212cos412分18712525．13分18．解：（Ⅰ）在ABC 中，由由正弦定理s insi na b A B ，得si n b A a B． 2分由3sin cos b Aa B ，得3sin cos 3b Aa B ．所以3s i 3BB ． 4分因为0B，所以sin 0B，因而cos 0B ．所以sin 3tan cos 3B B B，所以6B． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a c AC，而sin 3sin C A ，所以3ca①9分由余弦定理22cos ba c ac B ，得2292cos6a c ac ，即2239acac②12分把①代入②得3a ，33c .13分19．（Ⅰ）证明：因为E ，F 分别为PC ，PB 的中点，所以E，………………………………………………. ……………… 2分又因为EF 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以E平面；……… ……………………………… ………………………………………….4分（Ⅱ）证明：因为P A A 平面，所以PA．………………………………………………５分又因为90ACB ，即AC BC ，且PA AC A ，所以B 平面，………………………………………………………………………………………7分所以BC AE ．因为EF BC ，所以E；………………………………………………………………………………………….10分（Ⅲ）解：因为PA ABC 平面，所以PA AC ．所以112222422PACS PA AC ．因为BCPAC平面所以三棱锥-P ABC 的体积：11182422333PACV SBC因为EFPAE 平面，122PAEPACS S ，122EFBC所以三棱锥-P AEF 的体积：2112222333PAEV SEF所以几何体EFABC的体积：1222V V V . …………………………………………14分20．（Ⅰ）解：函数f x的定义域为0,． 1分因为11x f xxxx，2分所以在0,1内，0f x ，f x 单调递增；在1,内，0f x，f x 单调递减．所以函数f x 在1x 处取得唯一的极大值，即f x 的最大值1ln11f a ．因为函数f x的最大值为3，3分所以ln113a ，解得4a ． 4分（Ⅱ）因为当1,x时，3122f x k xf x a k x 恒成立，所以3ln 112x xak xax，所以ln 13x x k x ，即ln 130x x k x ． 5分令ln 13g x x x k x ，则ln 2g xx k ． 6分因为2k，所以0g x．所以g x 在1,单调递增． 7分所以1g x g 12k ，所以120k，所以12k．即实数k的取值范围是1,22；8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：10,1x ，21,x ．所以210,x ． 9分因为1x ，2x 是函数f x 的两个零点，所以120f x f x ． 10分因为122211f x f f x f x x 222211ln ln x x x x 22212ln x x x ． 11分令12ln h xxx x，则22222121211x xx h xxx xx．所以在1,，0h x ，h x 单调递减．所以10h xh ．所以1210fx fx ，即121fx f x ． 13分由（Ⅰ）知，f x 在0,1单调递增，所以121x x ，所以121x x ． 14分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分。

【精编】北京市通州区2019届高三第一学期期中考试数学(文)试题.doc

通州区2019-2020学年第一学期高三年级期中考试数学（文科）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合31M x x ，3Nx x ，则MN A ．1x x B ．1x x C ．3x xD ．2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为A．3 B ．4 C ．5 D ．63.设等差数列n a 的前n 项和为n S ，若1326S ，61a ，则数列n a 的公差为A ．2B ．1C ．2D．14．最小正周期为，且图象关于直线3x对称的一个函数是A ．sin()26x y B ．sin(2)6y x C ．sin(2)6yxD ．cos(2)6yx5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱与最短棱的棱长之比为A ．2 B．3考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．4.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．侧（左）视图正（主）视图122C ．2 D．66．设a ，b 是非零向量，则2ab 是a 与b 共线的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ab ，其全程的平均速度为v ，则A ．2a b v B．v ab C ．av abD ．2a babv8.已知函数2,1,,1,xx e x f xex 若实数a ，b ，c 互不相等，且f a f b f c ，则a b c 的取值范围是A ．0,1B ．1,2 C．1,3 D．2,3第二部分（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．复数12i =2i ．10．2log 5，32，123三个数的大小关系是．11．曲线1xye在点0,2处的切线方程为．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC 的最大值为．13．能说明“若f x 是奇函数，则00f ”为假命题的一个函数是．14．设函数0x f xaxa，若f x 在1,单调递减，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，当FEBAP0x 时，22f x xx ．现已画出函数f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数f x 在R 上的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f x 在R 上的解析式．16．（本小题13分）已知数列n a 的通项公式为65()na n nN ，数列nb 是等差数列，且1.nnn a b b （Ⅰ）求数列n a 的前n 项和；（Ⅱ）求数列n b 的通项公式．17．（本小题13分）已知函数21cossincos2222x x x f x ．（Ⅰ）求函数f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若3210f，求sin2的值．18．（本小题13分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3sin cos b Aa B ．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b ，sin 3sin CA ，求a ，c ．19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PC ，PB 的中点，90ACB ．（Ⅰ）求证：EF ABC 平面；（Ⅱ）求证：EF AE ；（Ⅲ）若PA AC CB ，4AB，求几何体EFABC 的体积．20．（本小题14分）已知函数ln R f x x x a a ．（Ⅰ）若函数f x 的最大值为3，求a 的值；（Ⅱ）若当1,x时，3122fx k xf x a k x恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数f x 的两个零点，且12x x ，求证：121x x ．。

北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题

绝密★启用前北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2M =--,{}220N x x x =+-<,则M ∩N ＝（）A.{-2，-1，0，1}B.{-1，0，1}C.{-1，0}D.{0，1}2．等比数列{}n a 中，141,8.a a ==则n a =（）． A.12n -B.2nC.12n +D.22n +3．下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（） A.1y x=B.lg y x =C.cos y x =D.2x y =4．“sin20α>”是“tan 0α>”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x =相切，那么b 等于（） A.14-B.12-C.14D.126．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若4A π=，a =，b =则∆ABC 的面积等于（） A.1或3 B.1 C.D.37．设函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若方程()0f x k -=有且只有一个根，则实数k 的取值范围是（） A.(0,2)B.(2,)+∞C.[2,)+∞D.[0,2]8．2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为1v ，在逆水中的速度为2v （12v v ≠），则游船此次行程的平均速度v 与122v v +的大小关系是（） A.122v v v +> B.122v vv += C.122v v v +<D.122v v v +≥第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知iia b+=(i为虚数单位，,Ra b∈)，则a b+=_____．10．已知2log7a=，32b-=，323c=，则三个数的大小关系是__________．11．设等差数列{}n a的前n项和为n S，若1122S=，71a=，则数列{}n a的公差等于____.12．定义在R上的函数()f x，给出下列三个论断：①()f x在R上单调递增；②1x>；③()(1)f x f>.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________. 13．若函数()cos sinf x a x x=+在区间ππ(,64上单调递减，则实数a的取值范围是___.14．设A是整数集的一个非空子集，对于k A∈，若1k A-∉，且1k A+∉，则称k是A的一个“孤立元”．集合{}1235T=,,,元素中T的“孤立元”是_____；对给定集合{}123456S=,,,,,，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有____个三、解答题15．已知函数()222cos1f x x x=+-．（1）求512fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x的最小正周期及单调增区间．16．在ABC∆中，60B∠=︒，1cos7C=，7AC=，D是AB边的中点.（1）求AB的长；（2）求CD的长.17．已知数列{}n a的前6项依次成等比数列，设公比为q（1q≠），数列从第5项开始…○…………线…※※…○…………线…（1）求公比q 及数列{}n a 的通项公式；（2）若0n S ≥，求项数n 的取值范围.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E ，F 为PC ，P A 的中点．（1）求证：平面BDE ⊥平面ABCD ；（2）二面角E —BD —F 的大小；（3）设点M 在PB (端点除外)上,试判断CM 与平面BDF 是否平行，并说明理由． 19．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（1）当b =0时，求函数()f x 的极小值；（2）若已知b >1且函数()f x 与直线y =-x 相切，求b 的值；（3）在（2）的条件下，函数()f x 与直线y =-x +m 有三个公共点，求m 的取值范围.(直接写出答案)20．已知函数()ln f x x a x =-(0)a >. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数；（3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集.参考答案1．C 【解析】【分析】先计算集合N ，再计算M N ⋂得到答案. 【详解】{}{}220=21N x x x x x =+-<-<<，{}2,1,0,1,2M =--则{}1,0M N ⋂=- 故选：C 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题型. 2．A 【解析】【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】等比数列{}n a 中，31411,82a a a q q ===\=，12n n a -=故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型. 3．B 【解析】【分析】依次判断每个选项的奇偶性和单调性，判断得到答案. 【详解】 A. 1y x=，是奇函数，排除；B. lg y x =，是偶函数，0x >时，lg y x =，单调递增，正确；C. cos y x =，偶函数，0x >时，是周期函数，排除；D. 2x y =，非奇非偶函数，排除；故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键. 4．C 【解析】【分析】根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案. 【详解】sin 20222tan 02k k k k παπαπππαπα>∴<<+∴<<+∴>，充分性；tan 0222k k παπαπ>∴<<+或3222k k πππαπ+<<+222k k παππ∴<<+或42243k k ππαππ+<<+，故sin20α>，必要性.故选：C 【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力. 5．A 【解析】【分析】先表示出直线方程为y x b =+，求导计算切点为11(,)24，代入直线方程得到答案. 【详解】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+直线l 与曲线2y x =相切，1'212y x x ==\=，切点为11(,)24代入直线方程解得：14b =- 故选：A 【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用0∆=计算答案. 6．D 【解析】【分析】利用余弦定理得到3c =，代入面积公式计算得到答案. 【详解】利用余弦定理得到：22222cos 5223a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=或1c =-（舍去）13sin 22ABC S bc A ∆==故选：D 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力. 7．B 【解析】【分析】方程()0f x k -=有且只有一个根，等价于()f x k =图像有一个交点，画出函数图像得到答案. 【详解】22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩方程()0f x k -=有且只有一个根，等价于()f x k =图像有一个交点.画出函数图像：根据图像知：2k > 故选：B 【点睛】本题考查了方程的解的问题，转化为函数的图像的交点是解题的关键. 8．C 【解析】【分析】先计算平均速度12122v v v v v =+，再计算()121221220v v v v v v v ---+=<+得到答案.【详解】设两码头距离为S ，则12121222v v S v S Sv v v v ==++()()()()1221212121221212121212420(222)2v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v -----=<≠++++++==即122v vv +<故选：C 【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力. 9．3-；【解析】【分析】化简复数得到,a b ，再计算+a b 得到答案. 【详解】2ii 121,23ia b i a b a b -+==--∴=-=-∴+=- 故答案为：3- 【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型. 10．c >a >b ；【解析】【分析】依次判断三个数与1和3 的大小关系，判断得到答案. 【详解】2221log log 7log 283a =<=<=； 30221b -=<=；312333c =>=故答案为：c a b >> 【点睛】本题考查了数的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用能力. 11．1-；【解析】【分析】根据1122S =计算得到574a a +=，再计算53a =得到答案. 【详解】()11111111571122442a a S aa a a +⨯==∴+=∴+=57131a a d =∴=∴=-故答案为：1- 【点睛】本题考查了等差数列的公差，也可以根据数列公式联立方程组解得答案. 12．①②推出③；【解析】【分析】写出答案，再根据函数单调性得到证明. 【详解】 ①②推出③；证明：()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证. 故答案为：①②推出③ 【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题，意在考查学生的推断能力.13．a ≥【解析】【分析】求导根据函数单调递减得到cos sin x a x ≤恒成立，计算函数cos ()sin xg x x=到答案. 【详解】()cos sin '()sin cos 0f x a x x f x a x x =+∴=-+≤在ππ(,)64恒成立即cos sin x a x ≤恒成立，cos ()sin xg x x=在ππ(,)64，即a ≥故答案为：a ≥【点睛】本题考查了函数的单调性，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键. 14．5 16. 【解析】【分析】（1）依次判断每个元素是否为孤立元得到答案.（2）3个元素构成的所有集合为3620C =个，排除不满足的情况得到答案.【详解】（1）依次判断每个元素是否为孤立元：对于1，2A ∈，不是孤立元；对于2，1,3A A ∈∈，不是孤立元；对于3，2A ∈，不是孤立元；对于5，4,6A A ∉∉，是孤立元；故答案为：5（2）3个元素构成的所有集合为3620C =个不含孤立元的集合有{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5{}4,5,64个故含“孤立元”的集合有16个故答案为：16 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，集合个数问题，意在考查学生的应用能力. 15．（1）0（2）最小正周期π，()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈ 【解析】【分析】（1）直接代入数据计算得到答案.（2）化简得到()2sin(2)6f x x π=+，再计算周期和单调增区间. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =+-2555)2cos ()1121212f πππ⎛⎫=⨯+- ⎪⎝⎭55)cos(2)1212ππ=⨯+⨯55sin()cos()66ππ=+0= （2）()222cos 12cos 2sin(2)62f x x x x x x π==++-=+ 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. 令ππ2π22π+262k x k π-≤+≤，解得ππππ+()36k x k k Z -≤≤∈ 所以()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k Z -∈【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用. 16．（1）8（2【解析】【分析】（1）先计算sin C =. （2）先计算11cos 14A =，再利用余弦定理得到答案. 【详解】（1）1cos 7C =则sin 7C ==由正弦定理得到：sin sin AC AB B C = 解得：AB78=（2）111cos cos()cos(60)cos 214A B C C C C =-+=-︒+=-+=因D 是AB 中点，则4=AD ，在ADC ∆中，由余弦定理得：22222112cos 742742114CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= 解得：CD【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.17．（1）12q =-，1132(),42317,5n n n a n n -⎧⋅-≤⎪=⎨⎪-+≥⎩（2）9n ≤，n *∈N 【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为q ，2564,4a q a q =-⋅=-⋅，代入474a a ==-，解得1q =，再讨论4n ≤和5n ≥两种情况得到答案.（2）先计算数列前4项的和为20，构造数列{}m b ，前m 项和23722m T m m =-+计算不等式得到答案. 【详解】(1)设等比数列的公比为q ，则2564,4a q a q =-⋅=-⋅∵从第5项开始各项依次为等差数列，∴5762a a a +=∵74a =-，∴2210q q --=，解得1q =或12q =-∵数列{}n a 为非常数列，∴12q =-当4n ≤时，1132()2n n a -=⋅-当5n ≥时，562,1a a ==-，∴2(5)(3)317n a n n =+-⋅-=-+综上所述，1132(),42317,5n n n a n n -⎧⋅-≤⎪=⎨⎪-+≥⎩ (2)易知数列前4项的和为20，从第5项开始为等差数列，当5n ≥时，数列为2，-1，-4，-7，可令数列{}m b 为2，-1，-4，-7，数列{}m b 的前m 项和23722m T m m =-+，依题意，23720022m m -++≥，∴05m <≤ 综上所述：9n ≤，n *∈N 【点睛】本题考查了数列的通项公式，先N 项和，意在考查学生对于数列公式和方法的掌握情况. 18．（1）证明见解析（2）4π（3）CM 与平面BDF 不平行，详见解析【解析】【分析】（1）连接AC 与BD ，设交点为O ，连接FO ，证明EO ⊥平面ABC D ，得到答案. （2）以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.（3）假设存在，设(01)PM PB λλ=<<，计算得到cos ,0m CM 〈〉≠，所以不存在. 【详解】（1）证明：连接AC 与BD ，设交点为O ，连接FO ，由已知E ，O 分别为PC ，AC 中点，可得EO //P A , 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE 所以平面BDE ⊥平面ABCD .（2）以O 为原点，以OB ，OC ，OE 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系设AB =a ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，PA AB =，则AC =a ，BO =(0,0,0)O ，(0,,0)2a A -，,0,0)B ，(0,,0)2a C ，(,0,0)D ，(0,0,)2a E ，(0,,)22a a F - 则3(,,)22a aFB =-，(3,0,0)DB a =. 设平面BFD 的法向量为(,,)m x y z =，则有00m DB m FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00222a a ax y z =+-=⎩，即0x y z =⎧⎨=⎩ 令1y =，则(0,1,1)m =又由（1）可知(0,,0)2aOC =为平面BDE 的法向量，2cos ,2m OC m OC m OC⋅〈〉== 所以二面角E —BD —F 的大小为4π（3）因为点M 在PB (端点除外)上，设(01)PM PBλλ=<<，则(0,,)2a P a -，,,)22a a M a a a λλ--，3(,,)2aCM a a a a λλ---2cos ,0am CM m CM m CMm CMλ⋅〈〉==≠所以CM 与平面BDF 不平行. 【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．（1）427-（2）b =3（3）32027m <<【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调区间，再计算极小值.（2）设切点是(00,x y )，求导，根据条件得到()200000320000()3221(1)f x x b x b y x y x b x bx⎧=-++=-⎪=-⎨=-++'⎪⎩计算得到答案.（3）化简得到3244m x x x =-+，设32()44g x x x x =-+，画出函数图象得到答案.【详解】（1）当b =0时，32()f x x x =-则2()32f x x x ='-，由()0f x '=得1220,3x x ==，当0x <或23x >时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<，则当23x =时，f (x )取得极小值32222433327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因322()f x x bx x bx =--+，则2()322f x x b x b =-+'+（）设函数()f x 与直线y =-x 相切的切点是(00,x y )，因为(0)1f b '=>，所以00x ≠，所以有()200000320000()3221(1)f x x b x b y x y x b x bx⎧=-++=-⎪=-⎨=-++'⎪⎩又()2003221x b x b -++=-，相减得()200210x b x -+=，所以012b x +=，所以111(1)22b b b ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，解得b =3. （3）3232()4344f x x x x x m m x x x =-+=-+∴=-+设32()44g x x x x =-+，2'()384(32)(2)g x x x x x =-+=--()g x 在2(0,)(2,)3⋃+∞上单调递增；在2(,2)3单调递减.极大值232()327g =，极小值(2)0=g ，画出函数图象：根据图象得到答案：32027m <<. 【点睛】本题考查了函数的单调性，切线问题，零点，意在考查学生的计算能力和转化能力. 20．（1）()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a （2）()g x 在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到()1a x a f x x x-'=-=，计算得到答案. （2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案.（3）原题等价于1()ln 10h x x x x=+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值0h >得到证明. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.()1a x af x x x-'=-=令()0f x '=，得x a =当x a >时，有()0f x '>，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增. 当0x a <<时，有()0f x '<，所以()f x 在(0,)a 上单调递减. 综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x == 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >.所以()0g a <. 所以()g x 有一个零点.当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，所以()g x 有一个零点.当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增.此时21()ln 02g a a a a a =--+<，所以()g x 有一个零点.综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点.（3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集,等价于1()x f x x->在定义域内恒成立. 即1()0x f x x-->在定义域内恒成立. 令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--.222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得12x = 列表得1h =-e <，所以ln1<.11>，所以0h > 所以1()()0x h x f x x -=->恒成立.所以不等式1()x f x x-≤解集为空集【点睛】本题考查了单调区间，零点个数，不等式恒成立，将不等式恒成立问题通过构造转化为函数的最值问题是解题的关键.。

北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)

北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={x|x2≤9}，N={x|2−x<0}，则M∪N=()A. [−3,+∞)B. (−∞,3]C. [−3,2)D. (2,3]2.执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为−1.2，则输出的a的值为()A. −0.2B. 0.2C. 0.8D. 1.83.若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，则S17=()A. −17B. −172C. 172D. 174.设函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x=0对称，则()A. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为增函数B. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为增函数C. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为减函数D. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0，π2)上为减函数5.已知△ABC中，满足a=3，b=2，∠B=30°，则这样的三角形有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个6.已知，则“”是“的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若正数a ，b 满足1a +1b =1，则4a−1+16b−1的最小值为( )A. 16B. 25C. 36D. 498. 已知函数f(x)={log 2(8−x),x ≤5f(x −5),x >5,则f(2019)等于( ) A. 2 B. log 26C. log 27D. 3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9. 复数2i1−i =______．10. 1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8的大小关系是________． 11. 曲线y =e −5x 在点(0,1)处的切线方程为______ ．12. 已知Rt △ABC ，AB =AC =1，点E 是AB 边上的动点，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______；CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．13. 已知函数y =f(x)为奇函数，f(−2)=3，则f(2)=________． 14. 函数f(x)=1−ax x−a在x ∈(2,+∞)单调递增，则a 的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 函数f(x +1)是偶函数，当x >1时，f(x)=x 2+1，求当x <1时，f(x)的解析式．16. 已知函数f(x)=cos(π3+x)cos(π3−x)+√3sinxcosx +14(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (Ⅱ)若f(θ+π12)=13，θ∈(π4,π2)，求sin2θ的值．17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.已知a，b为常数且a≠0，函数f(x)=ax2+bx，若f(2)=0且方程f(x)=x有等根．(1)求函数f(x)的解析式及值域；(2)是否存在实数m，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．19.已知函数f(x)=e x．(1)求证：f(x)≥x+1；x2+ax+1恒成立，求实数a的取值范围．(2)已知x∈R∗时，f(x)>1220.对于∀n∈N∗,若数列{x n}满足x n+1−x n>1,则称这个数列为“K数列”．(Ⅰ)已知数列1，m+1,m2是“K数列”，求实数m的取值范围;n2−n恒成(Ⅱ)是否存在首项为−1的等差数列{a n}为“K数列”，且其前n项和S n使得S n<12立?若存在，求出{a n}的通项公式;若不存在，请说明理由;a n}不是“K数列”，若b n=(Ⅲ)已知各项均为正整数的等比数列{a n}是“K数列”，数列{12a n+1,试判断数列{b n}是否为“K数列”，并说明理由．n+1-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合M={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，N={x|2−x<0}={x|x>2}，∴M∪N=[−3,+∞)．故选：A．先求出集合M，N，由此能求出M∪N．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得a=−1.2满足条件a<0，a=−0.2，满足条件a<0，a=0.8，不满足条件a<0，不满足条件a≥1，输出a的值为0.8．故选：C．模拟程序的运行，依次写出a的值即可得解．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式及等差数列的前n项和公式，考查计算求解能力，属于基础题目．利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和公式得出关系式求出即可．【解答】解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．4.答案：D解析：本题考查了两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ(k∈Z)，再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ,kπ+π2](k∈Z)，可得出(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k∈Z)，即可得到函数在(0,π2)上为减函数，进而得到正确的选项．解：∵f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2[√32sin(2x+φ)+12cos(2x+φ)]=2sin(2x+φ+π6)，∴ω=2，∴T=2π2=π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ+π6=kπ+π2(k∈Z)，即φ=kπ+π3(k∈Z)，又|φ|<π2，∴φ=π3，∴f(x)=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z)，解得：kπ≤x≤kπ+π2(k∈Z)，∴函数的递减区间为[kπ,kπ+π2](k∈Z)，又(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k∈Z)，∴函数在(0,π2)上为减函数，则y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数．故选D．5.答案：C解析：本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形有2个．解：△ABC中，a=3，b=2，∠B=30°，由正弦定理得，asinA =bsinB，3 sinA =2sin30∘，∴sinA=34，A∈(0,π)，且a>b，∴这样的三角形有2个．故选：C．6.答案：A解析：时，，所以当时，成立，反过来，当时，恒成立，不一定，所以是充分不必要条件．7.答案：A解析：本题主要考查基本不等式的综合运用以及不等式求最值，属于一般题．解析：解：因为a ，b >0，1a +1b =1，所以a +b =ab ，所以4a−1+16b−1=4(b−1)+16(a−1)(a−1)(b−1)=4b+16a−20ab−(a+b)+1=4b +16a −20．又4b +16a =4(b +4a)=4(b +4a)(1a +1b )=20+4(ba +4ab)≥20+4×2√b a ·4a b=36，当且仅当ba =4ab且1a +1b =1，即a =32，b =3时取等号.所以4a−1+16b−1≥36−20=16．故选A ．8.答案：A解析：解：∵函数f(x)={log 2(8−x),x ≤5f(x −5),x >5，∴f(2019)=f(4)=log 24=2．故选：A ．推导出f(2019)=f(4)，由此能求出结果．本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.答案：−1+i解析：解：复数2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i 故答案为：−1+i ．复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化简为a +bi(ab ∈R)的形式．本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．10.答案：1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9解析：1.10.9>1.10=1，log 1.10.9<log 1.11=0， log 0.70.8<log 0.70.7=1，且log 0.70.8>log 0.71=0． ∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9．。

2019届北京高三上学期期中数学(文)试卷含解析

2019届北京高三上学期期中数学试卷数学（文）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．【详解】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．3.函数满足，则的值是A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．【详解】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．∴a＜2．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．【详解】∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市通州区2019届高三第一学期期中数学(理)试题(含答案)[精品]

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷2018年11月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31M x x =-≤<，{}3N x x =<-，则MN =A．{}1x x <B ． {}1x x ≥C ． {}3x x ≥-D ．φ2. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1326S =，61a =，则数列{}n a 的公差为A ．2-B ．1-C ．2D ． 14．最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+ C ．sin(2)6y x π=-D ． cos(2)6y x π=-5．在ABC ∆中，30b =，15c =，25C =︒，则ABC ∆解的情况是A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定 6．设a ，b 是非零向量，则2=a b 是a 与b 共线的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()a b <，其全程的平均速度为v ，则A ．2a bv +=B ．v =C ．a v <<D 2a bv +<<8. 已知函数()ln ,0,2ln ,,x x e f x x x e ⎧<≤=⎨->⎩ 若正实数a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A ．()21,e B ．()2,e e C ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．复数12i=2i+- ． 10． 2log 5，32-，12e 三个数的大小关系是．11．曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为．12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为．13．能说明“若()f x 是奇函数，则()00f =”为假命题的一个函数是． 14．设函数()xf x x a=-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（Ⅰ）画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在R 上的解析式．16．（本小题13分）已知函数()21cossin cos 2222x x x f x =--．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最值；（Ⅱ）若()10f α=，求sin 2α的值．17．（本小题13分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin cos A a B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b =，sin C A =，求a ，c ．18．（本小题13分）已知函数()()221R f x x ax a a =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，（Ⅰ）求()g a 的表达式；（Ⅱ）是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．19．（本小题14分）已知函数()()ln R f x x x a a =-+∈．（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．20．（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和()n S n N *∈满足21n n S a =-，数列{}n b 满足22log n n b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令n n nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围；（Ⅲ）数列{}n a 中是否存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈且，使,,m n k a a a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i10．1322log 52e ->> 11．220x y +-= 12．1 13．()1f x x= 14．(]0,1 三、 15．解：（Ⅰ）图略；3分函数()f x 的单调增区间为()1,0-和()1,+∞；6分（Ⅱ）设x >，则0x -<． 7分因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，所以()()()()()222fx =-． 10分所以()2222x xf x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，．13分16．解：（Ⅰ）由()21cossin cos 2222x x x f x =--，得 ()()1111cos sin 2224f x x x x π⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭．3分所以()f x 的最小正周期为2π，最大值为，最小值为；6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()4f παα⎛⎫=+=⎪⎝⎭所以3c o 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 7分所以s i 2παα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭8分cos 24πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭10分212cos 4πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12分18712525=-=．13分17．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，，由正弦定理sin sin a bA B=，得s i n b A aB =． 2分sin cos A a B =，得sin cos 3b A B =．所以s i B B =． 4分因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos B B B == 所以6B π=． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin C A =，所以c = ①9分由余弦定理22cos b a c ac B =+-，得2292cos 6a c ac π=+-，即229a c +=②12分把①代入②得3a =，c =.13分18．解：（Ⅰ）因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-， 1分所以当02a-≤，即0a ≥时，()()()2max 12g a f x f a a ===++；3分当02a ->，即a <时，()()()2m a x 12g a f x f a a ==-=-+． 5分所以()222,2,a a g a a a a ⎧-+<=⎨++≥⎩ 6分（Ⅱ）假设存在符合题意的实数,m n ，则由（Ⅰ）可知，当a R∈时，()[)2,g a ∈+∞． 8分所以若[],a m n∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0m n <<． 9分所以()22g a a a=++，且为单调递增函数． 11分所以()()2222g m g n⎧=+⎪⎨=+⎪⎩12分所以22m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩13分 19.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞． 1分因为()11xf x x x x-'=-=，2分所以在()0,1内，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,+∞内，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+．因为函数()f x 的最大值为3，3分所以ln113a --=，解得4a =． 4分（Ⅱ）因为当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭，所以()()ln 13x x k x +>-，即()()ln 130x x k x +-->．5分令()()()ln 13g x x x k x =+--，则()ln 2g x x k'=+-．6分因为2k ≤，所以()0g x '>．所以()g x 在()1,+∞单调递增． 7分所以()()1g x g >=12k +，所以 120k +≥，所以12k ≥-．即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,x ∈． 9分因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，所以()()120f x f x ==． 10分因为()()122211f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222211ln ln x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭22212ln x x x =+-． 11分令()12ln h x x x x=+-，则()()22222121211x x x h x x x x x --+-'=--==-．所以在()1,+∞，()0h x '<，()h x 单调递减．所以()()10h x h <=．所以()1210fx f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即()121fx f x ⎛⎫<⎪⎝⎭． 13分由（Ⅰ）知，()f x 在()0,1单调递增，所以121x x <，所以121x x <． 14分20．解：（Ⅰ）根据题意,数列{}n a 满足21n n S a =-,当1n =时,111a S ==.1分当2n ≥时, 11n n n a S S -=-=,122n n n a a a -=-，即12n n a a -=．2分所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 3分所以12n n a -=，n N *∈；4分又由已知22log n n b a =+，得122log 21n n b n -=+=+． 5分（Ⅱ）依题意得()1111122n n n n n b n c n a --+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，n N *∈． 6分因为()()11112122n n n n c c n n -+⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11121102222n n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，7分所以当1n =时，n c 取得最大值12c =． 8分因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以2221x x ≤--．9分解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{}13x x x ≤-≥或； 10分（Ⅲ）假设存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,mn k a a a 成等差数列，则2n m k a a a =+，即1112222n m k ---⋅=+． 11分两边同时除以12m -，得1212n m k m-+-=+①． 12分因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾． 13分所以不存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,m n k a a a 成等差数列． 14分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。