高中数学排列组合的应用ppt课件.ppt
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高中数学排列组合染色问题(公开课)(共10张PPT)
分析：给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方 法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法
[a1]
练习1： 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如 图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，共有多少不同的栽种方 法
练习2：某伞厂所生产的伞品种齐全，其中品牌 为"太阳伞"的伞的伞蓬都由太阳光的七种颜色组 成，这七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且 恰有一种颜色涂在相对的区域内，则不同颜色图 案的此类太阳伞至多有（ ）种
染色问题
例.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中 的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同， 则不同的涂色方法有（ ）种。
A
①
B
②
C
③
D
④
分析：A 4种 B 3种 C 3种 D 3种
变式1.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如 图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 相同，则不同的涂色方法有（ ）种。 A D B C
（A）40320 （B）5040 （C）20160 （D）2520
总结
Hale Waihona Puke 对区域染色的常见思路： （1）直接根据两个基本原理求解； （2）根据所用的颜色的种数分类； （3）根据某两个区域同色或不同 色分类； （4）根据相间区域使用的种类分 类。
作业
（1）用5种颜色给图中的5个车站候车牌（A、B、C、D、E）
分析：A B C D 4种 3种 3种 ？？
为什么第四个区域不确定是几种情况呢？
解：分类：BD同色： BD异色： 36+48=84种
变式2.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如 图中的区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 相同，则不同的涂色方法有（ ）种。
(最新整理)《排列组合专题》PPT课件
2021/7/26
25
例9．有男女各五个人，其中有３对是夫妻，沿 圆桌就座，若每对夫妻都坐在相邻的位置，问有 多少种坐法？
设３对夫妻分别为Ａ和a,Ｂ和b,Ｃ和c，先让Ａ，Ｂ， Ｃ三人和另外４个人沿圆桌就座的方法为６！种．
又对上述每种坐法，a坐在Ａ的邻座的方式有左右两 种，b,c也如此．
所以共有６！＊２＊２＊２＝５７６０种．
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9－1=242(个)．
2021/7/26
12
例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
所以符合题意的个数为：
1× P18× P28＝448
2021/7/26
19
例4、用0、1、2、3、4、5六个数字，可以 组成多少个没有重复数字的三位偶数？
1.个位为0,十位为1、2、3、4、5中的一个，百位为剩下的 四个数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P15×P14
2.个位为2,百位为1、3、4、5中的一个，十位为剩下的四个 数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P14×P14
2021/7/26
10
例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 第1课时 组合及组合数公式
B.从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字可以组成多少个不同的三位
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析 对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法 解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析 对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法 解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)
排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT
组合
组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质
CnmCnnm C n m 1C n mC n m 1
kCnk nCnk1
C k k C k k 1 C k k 2 C n k C n k 1 1
计数综合问题
先选后排
7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担 任语文、数学、英语的课代表，要求至少 有1名女生，则选派方案共有（ ）
其中能被5整除的四位数共有
个
二维：有5有0，有5无0，无5有0
主元：个位为0，个位为5（再根据需要细 分，选0与不选0）
在6名内科医生和4名外科医生中，内科主 任和外科主任各一名，现在要组成人医疗 小组送医下乡，依下列条件各有多少种方 法：
既有内科医生又有外科医生（间接考察）
既有主任又有外科医生
排列数应用
组合 组合数
组合数应用
二项式定理
教学内容
不仅有着许多直接应用，还是学习概率理 论的准备知识，而且由于其思维方法的新 颖性与独特性，因此它也是培养学生思维 能力的不可多得的好素材；作为初中多项 式乘法公式的推广——二项式定理，不仅 使前面组合等知识的学习得到强化，而且 与后面概率中的二项分布有着密切联系。
排列、组合 和二项式定理 幻灯片PPT
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知识结构
分类计数原理、分步计数原理
排列 排列数
3．展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积 构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为ankbk．
17种排列组合方法ppt课件
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 共有不同排法种数是： A77
A22
15
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 共有不同排法种数是： A77
A22
15
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让
高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)
2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
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共有A52 A55＝2400种 答：共有2400种不同的排列方法。
8
解法三:(排除法)
先全排列有 A77种,其中甲或乙站排头有 2 A66种, 甲或乙站排尾的有 2 A66 种,甲乙分别站在排头和 排尾的有 A22 A55 种. 共有A77 4 A66 A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
两个，有多少分法？3种
19
2、将四个不同的小球分给两人，每人两个，
有多少分法？ 6种
甲 乙甲 乙
20
3、将四个不同的小球分成两组，一组三个，
一组一个，有多少分法？4种
21
4、将四个小球分给两人，一人三个，
一人一个，有多少分法？ 8种
甲 乙甲 乙
22
23
若分成的m组是有组别的， 只需在原来的分组基础上再
9
优限法:
对于“在”与“不在”等类似有限制 条件的排列问题,常常使用“直接 法”(主要为“特殊位置法”和“特殊 元素法”)或者“排除法”,即优先考 虑限制条件.这种方法就是优限法.
10
【总结归纳】
一般地，对于有限制条件的排列问题，有以下两种方法：
⑴直接计算法
排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”，对于这些特殊位置和元素， 实行优先考虑，即特殊元素预置法、特殊位置预置法.
例1：
（1）7位同学站成一排，共有多少种 不同的 排法？
分析：问题可以看作7个元素的全排列. A77 5040
（2）7位同学站成两排(前3后4)，共有多少 种不同的排法？
分析:根据分步计数原理
7654 3 21 7! 5040
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间 的位置,共有多少种不同的排法？
1
一、掌握优先处理元素（位置）法 二、掌握捆绑法 三、掌握插空法 四、隔板法 五、分组分配问题：
1、是否均匀； 2、是否有组别。
2
复习引入：
1、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列.
3
组合定义：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m
(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合。
组合数公式：Cmn
=
n! m!(n- m)!
=
n(n-1)L (nm!
m+1)
组合数的两个性质:（1）Cm n
=
Cn-m n
（2）Cmn+1
=
Cnm
+
Cm-1 n
4
2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2) (n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈N*，m≤n）
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 空档中有A33种方法，所以共有： A44 A33 144 （种） 排法。
16
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不 同的排法？
分析:可看作甲固定,其余全排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步 第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
捆绑法
解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有A55种
排法，而三个女孩之间有A33种排法，所以不同的排
法共有： A55 A33 720 （种）。
12
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一 起，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把其余五人排成一排有A55种排法，在每一排 列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入
空档中有A42种方法，所以共有： 排法。
A55 A42 1440 （种） 17
插空法:
对于不相邻问题,先将其余元素全排 列,再将这些不相邻的元素插入空挡 中,这种方法就是插空法.
18
例3.1、将四个不同的小球分成两组，每组
A
m m
24
例3:有6本不同的书，分成3堆.
（1）如果每堆2本，有多少种分法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种） 排法。
15
例2：七个家庭一起外孩站成一排照相留念。
男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？
解法一:(特殊位置法) 第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,
有A52 种;
第二步:剩下的全排列,有 A55种;
共有A52 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
7
解法二:(特殊元素法) 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个
位置中的两个位置上,有 A52 种;
第二步:其余同学全排列,有A55 种;
不同的排法有： A22 A33 A44 288 （种）
说一说 捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。
13
捆绑法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 捆绑在一起,视作为一个元素,与其余 元素全排列,再松绑后它们之间进行全 排列.这种方法就是捆绑法.
14
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！ 11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
8
解法三:(排除法)
先全排列有 A77种,其中甲或乙站排头有 2 A66种, 甲或乙站排尾的有 2 A66 种,甲乙分别站在排头和 排尾的有 A22 A55 种. 共有A77 4 A66 A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
两个，有多少分法？3种
19
2、将四个不同的小球分给两人，每人两个，
有多少分法？ 6种
甲 乙甲 乙
20
3、将四个不同的小球分成两组，一组三个，
一组一个，有多少分法？4种
21
4、将四个小球分给两人，一人三个，
一人一个，有多少分法？ 8种
甲 乙甲 乙
22
23
若分成的m组是有组别的， 只需在原来的分组基础上再
9
优限法:
对于“在”与“不在”等类似有限制 条件的排列问题,常常使用“直接 法”(主要为“特殊位置法”和“特殊 元素法”)或者“排除法”,即优先考 虑限制条件.这种方法就是优限法.
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【总结归纳】
一般地，对于有限制条件的排列问题，有以下两种方法：
⑴直接计算法
排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”，对于这些特殊位置和元素， 实行优先考虑，即特殊元素预置法、特殊位置预置法.
例1：
（1）7位同学站成一排，共有多少种 不同的 排法？
分析：问题可以看作7个元素的全排列. A77 5040
（2）7位同学站成两排(前3后4)，共有多少 种不同的排法？
分析:根据分步计数原理
7654 3 21 7! 5040
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间 的位置,共有多少种不同的排法？
1
一、掌握优先处理元素（位置）法 二、掌握捆绑法 三、掌握插空法 四、隔板法 五、分组分配问题：
1、是否均匀； 2、是否有组别。
2
复习引入：
1、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列.
3
组合定义：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m
(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合。
组合数公式：Cmn
=
n! m!(n- m)!
=
n(n-1)L (nm!
m+1)
组合数的两个性质:（1）Cm n
=
Cn-m n
（2）Cmn+1
=
Cnm
+
Cm-1 n
4
2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2) (n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈N*，m≤n）
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 空档中有A33种方法，所以共有： A44 A33 144 （种） 排法。
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例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不 同的排法？
分析:可看作甲固定,其余全排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步 第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
捆绑法
解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有A55种
排法，而三个女孩之间有A33种排法，所以不同的排
法共有： A55 A33 720 （种）。
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例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。 若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一 起，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把其余五人排成一排有A55种排法，在每一排 列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入
空档中有A42种方法，所以共有： 排法。
A55 A42 1440 （种） 17
插空法:
对于不相邻问题,先将其余元素全排 列,再将这些不相邻的元素插入空挡 中,这种方法就是插空法.
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例3.1、将四个不同的小球分成两组，每组
A
m m
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例3:有6本不同的书，分成3堆.
（1）如果每堆2本，有多少种分法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种） 排法。
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例2：七个家庭一起外孩站成一排照相留念。
男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？
解法一:(特殊位置法) 第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,
有A52 种;
第二步:剩下的全排列,有 A55种;
共有A52 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
7
解法二:(特殊元素法) 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个
位置中的两个位置上,有 A52 种;
第二步:其余同学全排列,有A55 种;
不同的排法有： A22 A33 A44 288 （种）
说一说 捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。
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捆绑法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 捆绑在一起,视作为一个元素,与其余 元素全排列,再松绑后它们之间进行全 排列.这种方法就是捆绑法.
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例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！ 11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？