天津理工电路习题及答案电路方程的矩阵形式
天津理工大学电路习题集答案绝密!
答案第一章 电路模型和电路定律【题1】：D 。
【题2】：D 。
【题3】：D 。
【题4】：P US1=50 W ；P US26=- W ；P US3=0；P IS115=- W ；P IS2 W =-14；P IS315=- W 。
【题5】：C 。
【题6】：3；-3。
【题7】：-5；-13。
【题8】：4（吸收）；25。
【题9】：0.4。
【题10】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题11】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题12】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P UI =-=-245W 。
【题13】：由图可得U EB =4V ；流过2 Ω电阻的电流I EB =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得U I AC=-23；又由节点D 列KCL 得I I CD =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上式，得U AC =-7V 。
第二章 电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I =-+9473A =0.5 A ；U I ab .=+=9485V ； I U 162125=-=ab .A ；P =⨯6125. W =7.5 W ；吸收功率7.5W 。
【题2】：[解答]【题3】：[解答] C 。
【题4】：[解答] 等效电路如图所示，I 005=.A 。
【题5】：[解答] 等效电路如图所示，I L =0.5A 。
【题6】：[解答]【题7】：[解答]由图可得U=4I-4。
【题8】：[解答]⑴U =-3 V 4⑵1 V 电压源的功率为P =2 W （吸收功率） 7⑶1 A 电流源的功率为P =-5 W （供出功率） 10【题9】：[解答]A【题10】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
电路方程的矩阵形式
用回路矩阵表示的KVL矩阵方程
用回路矩阵表示的KCL矩阵方程
三、割集矩阵及用割集矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 1 割集矩阵：表示支路和割集关联性质的矩阵
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
树的概念
树支：连接所有节点，不构成闭合回路的支路与节点相互连通 的图。图G的树为：（a)、(b)、(c)。(d)、(e)不是树
割 集 的 定 义
adf, bcf, abe,def,bdef, acef,abcd七种是割集, adef ,abcde不是割集。
状态变量 列向量
状态变量
三、列状态方程
对线性时不变动态网络，独立的电容电压和 电感电流就是能满足上述条件的一组变量， 可作为网络的一组状态变量。举例见P357
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用关联矩阵表 示）
电路方程的矩阵形式
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
3 独立割集---能够列出一组独立的KCL方程的割集 n个节点b条支路的连通图,独立节点数n-1=独立割集数 4 基本割集---以树的概念确定的单树支割集
往往以基本割集互感时不是对角阵（主对 角线仍为各支路导纳，非主对角线不都为0） ，
5 节点导纳矩阵Yn=AYAT 电路中无互感时为n-1阶方 阵，
主对角线为回路自导纳，非主对角线为回路间互导纳；
电路中有互感时仍为n-1阶方 阵，主对角线的自导纳和非主对角线为节点间互导纳 都有可能含有互感。
§5 割集电压方程的矩阵形式
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
常态树：树支不包含电流源和电感元件的树
5 割集导纳矩阵Yt=QfYQfT 为n-1阶方阵， 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）中变量是割集电压， 称为割集电压法，节点电压法是割集电压法的特殊情况。
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
状态变量法借助一组称为状态变量的辅 助变量，建立关于状态变量与输入变量 的一阶微分方程组，称为状态方程。建 立输出与状态变量和输入的关系称为输 出方程。
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结jk点；a= 0，表示结点j与支路k不关联；jk②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
天津理工大学线代课后答案第五章
是 /丬 的一个特征值。
|/3-5/2+7刈
A’-少 冯·{l^冫 扌 ,
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5.已 知 3阶 矩 卩牢 /的 特 征 值 分 别 为 1, :,0,
B = 3 A 7- 2 A +4 E , f rl f' )l= | o o ..
ε `Γ
'〃 }‘ .
6.矩
阵 /的
,兔的任意的非零线性组合 一
△ 丨
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····· 一
······ 一
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zQ=- X9
7z= - /3
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一
-38-
学院
班
姓名
学号
臼
0
0
1
ˉ0 0
l
0
2.设 矩阵/=
ˉ ο
1 0
0 o
ο
,求/的 特征值和特征向量。
u
0
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^弓~A|=
°
ο 0 -丨 入 -丨 o
=(入
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)f A+=-l
=3Pz(t+2(z)
10.实 对称阵不同特征值所对应的特征向量是 已 &′ 妫 。
= 6 C-(,+(1a) '
-36-
学院~____—
—班 姓
名
学
号
二。选择题
1.″ 阶矩阵 Ⅱ能与对角矩阵相似的充分必亲条件是~￡ △ A。 /是 实对称矩阵; B。 彳的 ″个特征值互不相等; C。 /具 有″个线性无关的特征向量; D。 彳的特征向量两两正交.
第十一章 电路方程的矩阵形式
第11章电路方程的矩阵形式§11-1图的概念1，图(线图)：以G表示支路，节点分属不同的集合。
2，有向图：标出支路电压，电流参考方向的图。
3，连通图：任意两个节点间至少存在一条由支路构成的路径。
4，子图：若图G1中所有支路和节点都属于图G，就把G1称为G的子图。
如图11-1(b)、(c)、(d)、(e)所示的图都是图11-1(a)所示图G的子图。
(a) (b) (c)(d) (e)图11-1 图G与其一些子图§11-2 回路、树、割集一、回路：在图G中的任一闭合路径称为一个回路，但每一个节点上仅有两条支路相连例如：(a) (b) (c)二、树1，定义：在连通图G中，把所有的节点连通起来，但不包含任一闭合路径的部分线图称为一棵树。
①含所有节点，②不具有回路，③连通的，④为G的子图。
5665(a) (b) (c)5655(d) (e) (f)电路的图G如图(a)所示，图(b)为图G的一棵树，图(c)不是图G的树（未含所有节点）；图(d)不是图G的树（出现了回路）；图(e)不是图G的树（不是连通图）；图(f)不是图G的树（不是图G的子图）。
2，树支：属于一棵树的支路称为该树的数支。
树支数＝n－1＝独立节点数3，连支：不属于一棵树的支路称为该树的连支。
连支数＝b-(n-1)=独立回路数。
连支的集合称为余树、补树三、基本回路：在图G 中选取一棵树后，由一条连支及相应的树支所构成的回路称为该树的基本回路(单连支回路)。
1. 基本回路数=连支数。
2. 基本回路的KVL 方程相互独立。
3. 不同的树对应于不同的基本回路。
四、割集：图G 中所有被切割支路的集合同时满足下列两个条件时称为割集。
1，移去所有被切割支路时原图成为两个分离部分。
2，留下任意被切割支路时，原图依然连通。
注意：每一条支路只能被切割一次。
割集意义下的KCL 方程：0k i =∑ 穿入割集时取”-”，否则取”+”五、基本割集在连通图G 中选取一棵树后，由一条树支及相应的连支构成的割集称为该树的基本割集。
第十四章 电路方程的矩阵形式
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4
2
③
3
④
3
④
6 Q1: { 2 , 3 , 6 }
6 Q2: { 3 , 5 , 4}
6 Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
单树支割集 单树支割集 1
独立割集 独立割集 3
2 {1，2，3，4} 1 2 3
4 割集 三个分离部分
4
4 保留4支路，图不连通的。
Y=diag[Y1 Y2 L Yb ]
& & & & I k = Yk (U Sk + U k ) − I Sk
& Ik
& I ek
& U Sk
Yk
+
& I Sk & Uk
−
& ⎡ I 1 ⎤ ⎡Y1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢0 O 0 & ⎢ I k ⎥ = ⎢ 0 0 Yk ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢0 0 0 ⎢I ⎥ ⎢ 0 0 0 & ⎣ b⎦ ⎣
Ai=0
②
1
①
2 5 4
④ ③
矩阵形式KVL
A un = u
T
3 6
⎡ un1 − un 2 ⎤ ⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎢− u + u ⎥ ⎢ 0 −1 1 ⎥ n3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ u ⎤ ⎢ n2 n1 ⎥ un 3 ⎢0 0 1 ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ un 2 ⎥ ⎢ − u n1 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢− 1 0 ⎢ un 3 ⎥ ⎢ ⎥ un 2 ⎢0 ⎥⎣ ⎦ 1 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ un1 − un 3 ⎥ ⎦ ⎣ 0 − 1⎥ ⎢1 ⎣ ⎦
电路方程的矩阵形式
(10-5-3)
MZM T Im = MUS − MZIS 式(10-5-4)就是矩阵形式的网孔方程（mesh equation）。令
(10-5-4)
Zm = MZM T
(10-5-5)
Z m 称为网孔阻抗矩阵（mesh impedance matrix）。令
USm = MUS − MZIS
(10-5-6)
支路电压和电流。节点分析法是目前在计算机辅助分析和设计中应用最广泛的一
种方法。
例题 10.4.2 用节点分析法求例题 10.3.1 电路中的各节点电压、各支路电压
电流和各元件电流。
解
(1) 按支路编号及电流参考方向，画出有向图，如(b)所示。 (2) 选节点④为参考节点，根据有向图写出关联矩阵
⎡1 1 0
1 R5 +1
R6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡U n1 ⎢⎢U n2 ⎢⎣U n3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡0
⎢ ⎢
0
⎢⎣IS6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
−
⎢⎡− ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
U S1 R1 0
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢⎢⎡URS11
⎢ ⎢
0
⎢
⎢ ⎢⎣
IS6
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
1 R4
1 R5
1⎤
R6
⎥ ⎦
支路电压源列向量
[ US = US1 0 0 0 0 0]T
支路电流源列向量
IS = [0 0 0 0 0 ] − IS6 T
(4)
⎡1
⎢ ⎢
R1
+
1 R2
+
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【题10】：试列出图15.13所示电路的矩阵形式状态方程。
图15.13
【题11】：图15.14所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。求该电路的状态方程。
图15.14
【题12】：试建立图15.15所示电路的状态方程。
图15.15
【题13】：试建立图15.16所示电路的状态方程。
KCL： ；
消去： ； ；
代入上式：
然后整理成矩阵形式（略）。
方法2系统法
选图（b）中支路1、3、4、6为树支
含电感单连支回路的KVL：
含电容单树支割集的KCL：
【例题3】：求图15.3所示电路的状态方程。
图15.3
解：设uc,i1，i2为状态变量
其中：
从以上方程中消去非状态量，得：
写成矩阵形式：
【例题4】：
图15.5
【题3】：图15.6所示电路的图G已给出，则该电路支路导纳矩阵为：答（）
图15.6
【题4】：图15.7所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）
图15.7
【题5】：图15.8所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Yb为：答（）
图15.8
【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为 时，标准支路的形式为图15.9中所示的：答（）
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=ATun；u=[uiu2u3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：
第一步：建立复合支路：
由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k条支路如下：
题1
(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分)
题2：（C）
题3：（D）
题4：（C）
题5：（C）
题6：（A）
题7：
题8：
题9：
题10：
题11：
题12：
题13：
题14：
题15：
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=QfTut；u=[uiu2u3……ub]T。ut=[utiut2ut3……ut(n-1)]T。
④三种矩阵之间的关系（略）
2.三种分析方法的方程的矩阵形式
① 回路电流方程的矩阵形式（略）
② 割集电压方程的矩阵形式（略）
③ 结点电压方程的矩阵形式
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai= 0；i=[iii2i3……ib]T。
第十五章电路方程的矩阵形式内容总结
——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型
1、教学基本要求
初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
图15.9
【题7】：用矩阵法建立图15.10所示电路的节点电压方程。（直接写出无分）
图15.10
【题8】：按下列步骤列出图15.11所示电路节点电压方程的矩阵形式：
1.有向图;（编号按元件参数下标）
2.出所需的各矩阵;
3.出节点电压方程的矩阵公式;
4.出节点电压方程的矩阵形式。
图15.11
【题9】：用矩阵法建立图15.12所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图15.16
【题14】：图15.17所示电路中，R1=1000；R2=3000；C=250F；L=0.1mH.。试建立电路的状态方程。
图15.17
【题15】：图15.18所示电路中，R1=1000；R2=30；R3=10；C=4000F；L=5mH.。试建立电路的状态方程。
图15.18
第十五章电路方程的矩阵形式答案
2、重点和难点
(1)关联矩阵
(2)结点电压方程的矩阵形式
(3)状态变量的选取及状态方程的建立方法
(4)电路状态方程列写的直观法和系统法
.三种主要关联矩阵形式：
①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素ajk的定义为：ajk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；
图15.4所示图G的关联矩阵A=________________________。
图15.4
12 34 5 6 7 8 9
A
(每错一个元素扣2分，扣完为止)
3、典型习题
【题1】：已知图G的关联矩阵如下，画出图G。
【题2】：图15.5所示电路的图中，可写出独立的KCL、KVL方程数分别为：答（）
A.3个，3个；B.3个，4个；C.4个，3个；D.4个，4个。
★ 对于回路关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i=BTil；i=[iii2i3……ib]T。il=[iliil2il3……ill]T
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu=0；u=[uiu2u3……ub]T。
★ 对于割集关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi= 0；i=[iii2i3……ib]T。
第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：
3、典型例题分析
【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图15.1（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。
图15.1（a）图15.1（b）
解：由图15.1（b）得节点关联矩阵A,
节点电压的列向量，
ajk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；
ajk= 0，表示结点j与支路k不关联；
②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：
lⅹb
其中任意元素bjk的定义为：bjk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；
由基尔霍夫电流定律得：
所以：
对该式 进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴ 复合支路中无受控源时：
由KCL得：
变成 将 代入得：
又 所以
对整个电路有： 其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。
同理可以分析一下两种情况
⑵ 复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：
⑶ 复合支路中含有受控源时：
都可以推导出
第二步：写出A、Y、IS、US等矩阵；
bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；
0，表示回路j与支路k相不关联；
③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：
(n-1)ⅹb
其中任意元素qjk的定义为：qjk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；
qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；
qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；
注意：
★ 对于结点关联矩阵有：
基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai= 0；i=[iii2i3……ib]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=ATun；u=[uiu2u3……ub]T。un=[uniun2un3……un(n-1)]T。
支路电流的列向量，
支路电压的列向量，
支路导纳矩阵，
节点导纳矩阵，
结点电压方程的矩阵形式为：
【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图15.2（a）所示，以 为状态变量，列出电路的状态方程。
图15.2（a）图15.2（b）
解：方法1直观法
KVL：