图形在坐标系中的平移重难点题型
坐标系中的点沿x轴,y轴的平移
3.1 图形的平移第2课时坐标系中的点沿x轴，y轴的平移【学习目标】1、经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能。
2、对组合图形要找到一个或者几个“基本图案”。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合。
【学习重难点】重点：平移图形的规律，作图的顺序；难点：平行线的作法及对应点的连结。
【学习过程】模块一预习反馈一、学习准备1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿着移动的距离，这样的图形运动叫平移。
平移不改变图形的和，改变的是位置。
2、平移的性质：（1）平移前后的两个图形、一样。
（2）经过平移，对应点所连线段____________；对应线段______________；对应角________。
3、阅读教材：P68—P69第1节《图形的平移》二、教材精读4、图形的坐标变化与平移例1将图中“鱼”向右平移5个单位长度，画出图形。
解：原来各顶点坐标分别为（）、（）、（）、（）、（）、（）。
平移后各顶点坐标分别为（）、（）、（）、（）、（）、（）。
描点、连线如图所示，对应点的坐标间的关系 ________________________。
实践练习：（1）将上题中的“鱼”向左平移3个单位长度，在第一个方格中画出图形。
（2）将上题中的“鱼”向上平移3个单位长度，在第二个方格中画出图形。
归纳：（1）在平面直角坐标系中，一个图形沿X轴方向平移a（a＞0）个单位长度，①向右平移时，原图形对应点的___坐标分别加a ，___坐标保持不变。
②向左平移时，原图形对应点的___坐标分别减a ，___坐标保持不变。
（2）在平面直角坐标系中，一个图形沿Y 轴方向平移b （b ＞0）个单位长度，①向上平移时，原图形对应点的___坐标分别加b ，___坐标保持不变。
②向下平移时，原图形对应点的___坐标分别减b ，___坐标保持不变。
模块二 合作探究5、如图，经过平移，△ABC 的顶点A 移到了点D ，请作出平移后的三角形。
12.2图形在坐标系中的平移教案
12.2图形在坐标系中的平移一、教学内容在同一坐标系中，感受图形上的点的坐标与图形变化之间的关系二、教学目标1、能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的变换，掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律，理解图形在平面坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换；2、运用图形在直角坐标系中平移的点坐标的变化规律进行简单的平移作图；3、经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程进一步发展数形结合的思想与空间观念。
三、教学重点掌握用坐标系的变化规律来描述平移的过程四、教学难点根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律五、教学关键通过探究发现并总结规律，让学生在坐标系中，结合图形的变换理解得出的结论。
六、教学准备多媒体、三角板及相关资料七、教学方法：探究、启发教学八、教学过程（一）创设情境（多媒体显示）1、平移的概念（提问学生，强调方向和距离）2、同学们会下棋吗？棋子的移动，什么在变，什么不变？那么在棋盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移？（二）问题导入，新课讲解探索图形在平移过程中各点坐标的变化规律。
第13页思考题（多媒体显示）师：引导学生讨论、分析；生：与同伴交流回答问题。
（教师指正）发现：第（2）题对应点的纵坐标都不变，横坐标变了，将横坐标都减去5即可；第（3）题对应点的横坐标都不变，纵坐标变了，将纵坐标都减去2即可。
师：把三角形ABC向左或向上移动1个单位，点坐标又将怎样的变化？生：讨论回答问题师生共同归纳出平移规律：（1）三角形的平移，是通过三角形任意一点坐标的变化而得到的；（2）在直角坐标系中，沿横轴平移，图形上每一点的纵坐标不变，而横坐标增减，简记“左减右加”；沿纵轴平移，横坐标不变，纵坐标增减，简记“上加下减”。
（3）“左减右加，上加下减”也可这样理解：按x轴（y轴）正方向平移，则纵（横）坐标加上平移的单位数量，按x轴（y轴）负方向平移，则横（纵）坐标减去平移的单位数量即可。
专题4.2 坐标系中平移的几何综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(解析版)
专题4.2 坐标系中平移的几何综合【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标；（2）点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交y轴于点E．设运动时间为t秒，问：S△EMB−S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形OMDB的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；（3）设运动时间为t秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得SΔEMB−SΔOEN=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位∴C（-2,0），D（4,0）；（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由题意得点C 和点D 的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A (0，3)，B (6，3)，∴CD =6,DH =2,OD =4，AB =6，设M 点坐标为（0，t ），连接MB 、OB ，∴OM =t ．∵S 四边形OMBD =S △OBD +S △OMB =12，∴12OD·BH +12OM·AB =12,即12×4×3+12t ×6=12，解得t =2；（3）解：不变．理由如下：如图所示，设运动时间为t 秒，OM =t ，ON =4-2t (0≤t≤2)，过B 作BH ⊥OD 的延长线，垂足为H ，连接MB ，OB ，∵S ΔEMB −S ΔOEN =S 四边形OMBN ，S 四边形OMBN =S △ONB +S △OMB ，∴S ΔEMB −S ΔOEN =S △ONB +S △OMB=12ON·BH +12OM·AB=12×(4−2t )×3+12t ×6=6-3t+3t=6；∴SΔEMB−SΔOEN为定值6，故其值不会变化．1．（2022春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，A(﹣3，3)．（1）点C的坐标为 ；（2）将△ABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1，并求△A1B1C1的面积；（3）在x轴上有一点P，使得△PA1B1的面积等于△A1B1C1的面积，直接写出点P坐标．【思路点拨】（1）利用直角坐标系可直接写出C点坐标；（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可得到△A1B1C1，用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积；（3）设P(m,0)．利用三角形面积关系构建方程求解即可．【解题过程】解：（1）点C的坐标为(−1,5)，故答案为：(−1,5)；（2）如图，△A1B1C1即为所求．△A1B1C1的面积：2×4−12×2×2−12×2×1−12×4×1=8−2−1−2=3；（3）设P(m,0)．∵B(−2,1)，A(−3,3)，将ΔABC向右平移6个单位，向下平移1个单位，对应得到△A1B1C1，∴B1(4,0)，A1(3,2)，∴△PA1B1的面积=12×|m−4|×2=3，解得：m=1或7，∴P(1,0)或(7,−0)．2．（2022春·广东韶关·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(−3,3)，B(−5,1)，C(−2,0)，P(a,b)是ΔABC的边AC上任意一点，ΔABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1(a+6,b−2)．（1）直接写出点A1，B1，C1的坐标．（2）在图中画出△A1B1C1．（3）连接AA1，AO，A1O，求ΔAOA1的面积．（4）连接BA1，若点Q在y轴上，且三角形QBA1的面积为8，请直接写出点Q的坐标．【思路点拨】（1）利用P点和P1的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点A1，B1，C1的坐标；（2）利用点A1，B1，C1的坐标描点即可；（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△AOA1的面积；×8×|t−1|＝8，然后解方程求出t得到Q点的坐标．（4）设Q（0，t），利用三角形面积公式得到12【解题过程】（1）解：A1(3,1)，B1(1,−1)，C1(4,−2)；（2）解：如图，△A1B1C1为所作；（3）解：ΔAOA 1的面积=6×3−12×3×3−12×3×1−12×6×2=18−92−32−6，=18−12，=6；（4）解：设Q(0,t)，∵B(−5,1)，A 1(3,1)，∴BA 1=3−(−5)=8，∵三角形QBA 1的面积为8，∴ 12×8×|t−1|=8，解得t =−1或t =3，∴Q 点的坐标为(0,−1)或(0,3)．3．（2022春·湖南湘西·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A （-1，-2），B （-2，-4），C （-4，-1）．（1）把△ABC 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1，并写出点A 的对应点的坐标；（2）求△A 1B 1C 1的面积；（3）点P 在坐标轴上，且△A 1B 1P 的面积是2，直接写出点P 的坐标_____________________．【思路点拨】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用△A 1B 1C 1所在矩形面积减去周围三角形面积得出答案；（3）利用△A 1B 1P 的面积是2，分情况讨论得出答案．【解题过程】（1）解：如图所示：把△ABC 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得△A 1B 1C 1．点A 1坐标为（0，0），点B 1坐标为（−1，−2），点C 1坐标为（−3，1）．∴点A 的对应点A 1的坐标为（0，0）．（2）解：△A 1B 1C 1的面积为：3×3−12×1×3−12×2×3−12×1×2=72；（3）解：∵点A 1的坐标为（0，0），点B 1坐标为（−1，−2），若点P 在x 轴上，设点P 的坐标为（m ，0），则：S △A 1B 1P =12A 1P ×2=12•|m ﹣0|×2=2，解得：m =±2，∴点P 的坐标为：（2，0），（﹣2，0）；若点P 在y 轴上，设点P 的坐标为（0，n ），则： S △A 1B 1P =12•A 1P ×1=12•|n ﹣0|=2，解得：n =±4，∴点P 的坐标为：（0，4）或（0，﹣4）．综上所述：点P 坐标为：（2，0）或（﹣2，0）或（0，4）或（0，﹣4）．4．（2022春·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A （﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0）．（1）在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积为．（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC平移至△A1B1C1的位置，点A，B，C，P的对应点分别是A1，B1，C1，P1．若点P1的坐标为（a，b）．在坐标系中画出△A1B1C1．（3）若坐标轴上存在一点M，使△BCM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．【思路点拨】（1）根据点A（﹣3，2），B（0，4），C（﹣1，0），即可在坐标系中画出△ABC并写出△ABC的面积；（2）点P（a﹣4，b+2）是△ABC内任意一点．将△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A1B1C1；（3）根据△BCM的面积等于△ABC的面积，即可在坐标轴上找到点M．【解题过程】解：（1）如图，△ABC即为所求，△ABC的面积为：12﹣3﹣2﹣2＝5；故答案为：5；（2）点P （a ﹣4，b +2）是△ABC 内任意一点．将△ABC 向右平移4个单位，再向下平移2个单位即可在坐标系中画出△A 1B 1C 1，如图，△A 1B 1C 1即为所求；（3）因为△BCM 的面积等于△ABC 的面积，由（1）知：△ABC 的面积=5，∴△BCM 的面积：12|MC |×4=5或12|BM |×1=5，解得：MC =2.5或BM =10，∵B （0，4），C （-1，0），∴MO =3.5或1.5，∴M （-3.5，0）或（1.5，0）；当点M 在y 轴正半轴上时，∵BM =10，OB =4，∴MO =10+4=14，∴M （0，14），当点M 在y 轴负半轴上时，∵BM =10，OB =4∴MO =10-4=6，∴M （0，-6），所以点M 的坐标为（-3.5，0）或（1.5，0）或（0，14）或（0，-6）．5．（2022秋·八年级课时练习）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m ，n 满足(m +2)2+=0，将线段AB 向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段CD ，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，连接AC ，BD ．（1）求点A 、B 、C 、D 的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使三角形PBC 的面积等于平行四边形ABDC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），点E 在y 轴的负半轴上，且∠BAE =∠DCB ．求证：AE//BC ．【思路点拨】（1）由非负数的性质得出m +2=0，且n−6=0，求出m =−2，n =6，得出A(−2,0)，B(6,0)，由平移的性质得C(0,4)，D(8,4)；（2）设P(x,0)，由（1）由（1）得：AB =8，OC =4，∴S 平行四边形ABDC =8×4=32，进而可得关于x 的方程，即可得出答案；（3）由平移的性质得AB//CD ，由平行线的性质得出∠DCB =∠CBA ，证出∠BAE =∠CBA ，即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵m ，n 满足(m +2)20，∴m +2=0，且n−6=0，∴m =−2，n =6，∴A(−2,0)，B(6,0)，由平移的性质得：C(0,4)，D(8,4)；（2）解：存在，理由如下：设P(x,0)，由（1）得：AB =8，OC =4，∴S 平行四边形ABDC =8×4=32，∵PB =|x−6|，∴S △PBC =12PB ×OC =12|x−6|×4=32，解得：x =22或x =−10，∴点P的坐标为(22,0)或(−10,0)；（3）证明：由平移的性质得：AB//CD，∴∠DCB=∠CBA，∵∠BAE=∠DCB，∴∠BAE=∠CBA，∴AE//BC．6．（2022秋·八年级单元测试）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________，四边形ABDC的面积为_________；（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P是线段BD上一动点（B，D两点除外），试说明∠CPO与∠1+∠2的大小关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；×6×2=2×（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到121×|4−x|×2，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；2（3）当点P在线段BD上，作PQ∥CD交y轴于Q，根据平行线的性质由AB∥CD得CD∥PQ∥AB，再根据平行线的性质∠CPQ=∠1，∠OPQ=∠2，从而得到结论∠CPO=∠CPQ+∠OPQ=∠1+∠2．【解题过程】（1）解：∵点A、B的坐标分别是(−2,0)，(4,0)，同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、B的对应点C、D，∴点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(6,2)，∴S四边形ABCD=AB·OC=2×(4+2)=12；（2）解：存在．理由如下：设点E的坐标为(x,0)，∵△DEC的面积是△DEB的面积的2倍，∴1 2×6×2=2×12×|4−x|×2，解得x=1或x=7，∴点E的坐标为(1,0)或(7,0)；（3）解：∠CPO=∠1+∠2，理由如下：过点P作PQ∥CD交y轴于Q，如图所示：∵AB∥CD∴CD∥PQ∥AB∴∠CPQ=∠1，∠OPQ=∠2，∴∠CPO=∠CPQ+∠OPQ=∠1+∠2．7．（2023春·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,0)，(−2,0)，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．（1）如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；（2）如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABCD？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=14S四边形ABD？若存在这样的点，直接写出点Q的坐标；若不存在，试说明理由；【思路点拨】（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形ABCD的面积；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据直线CD上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解题过程】（1）解：（1）∵点A，B的坐标分别为(2,0)，(−2,0)，线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，∴点C的坐标为(−1,3)，点D的坐标为(3,3)，AB=4，∴四边形ABCD的面积=4×3=12；（2）存在，设点P的坐标为(0,b)，由题意得：12×4×|b|=12，解得：b=±6，∴点P的坐标为(0,6)或(0,−6)；（3）设点Q的坐标为(a,3)，则CQ=|a+1|，由题意得：12×|a+1|×3=14×12，解得：a=1或−3，则点Q的坐标为(1,3)或(−3,3)．8．（2022秋·八年级单元测试）规定：如果图形G′是由图形G经过平移所得，那么把图形G′称为图形G的“友好图形”，两个图形上对应点的距离称为图形G′与G的“友好距离”在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0）．（1）①如图1，若点A的“友好图形”点B（3，6），则点A与点B的“友好距离”是______；②若点A的“友好图形”点A′在y轴上，则点A与点A′的“友好距离”最小值为______；（2）若点A的“友好图形”点C在x轴上，点A与点C的“友好距离”是4，点D在y轴上，且三角形ACD 的面积为10，求点D的坐标；（3）如图3，若点E（0，6），直线AE的“友好图形”直线A′E′恰好过点F（0，－2），且点A的“友好图形”点A′在x轴上，求点A与点A′的“友好距离”．【思路点拨】（1）①根据坐标求出线段AB的长度即可；②根据垂线段最短，可得A′是原点时点A与点A′的“友好距离”最小值；AC⋅OD=10计算即可；（2）根据S△ACD=12，面积相等求出AA′即可．（3）连接AF，A′E，由∥易得S△AEF=S△AEA′【解题过程】（1）①∵点A（3，0）的“友好图形”点B（3，6）∴点A与点B的“友好距离”AB=6；②当A′是原点时，点A（3，0）与点A′的“友好距离”最小值，最小值为3；AC⋅OD=10（2）S△ACD=12由题意可知：AC＝4，∴OD＝5，∵点D在y轴上，∴D（0，5）或（0，－5）（3）如图，连接AF ，A ′E∵AE∥A ′E∴S △AEF =S △AEA ′∴12EF ⋅OA =12AA ′⋅OE∵EF ＝8，OA ＝3，OE ＝6∴12×8×3=12×AA ×6∴AA ′=4∴点A 与点A ′的“友好距离”为4．9．（2022秋·八年级单元测试）如图，在长方形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，E 为DC 的中点．（1）以A 为原点（即O 与A 重合），以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则C 的坐标为 ；（2）若（1）中长方形以每秒2cm 的速度沿x 轴正方向移动2秒后，得到长方形A 1B 1C 1D 1，则C 1的坐标为 ，长方形A 1BCD 1的面积为 cm 2；（3）若（1）中长方形以每秒2cm 的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t ，用含t 的式子直接表示出长方形A 1BCD 1的面积 （线段可以看成是面积为0的长方形）；点E 移动后对应点为F ，直接写出t 为何值时长方形A 1BCD 1的面积是三角形FBB 1的3倍？【思路点拨】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出A1B的长度，计算面积即可．（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．【解题过程】解：（1）∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴C的坐标为（10，6），故答案为：（10，6）．（2）∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，∴点C向右平移4cm，∵C（10，6），∴C1（14，6），故答案为：（14，6）．∵AB＝10，A1A＝4，∴A1B＝6，∴长方形A1BCD1的面积为36（cm2）．故答案为：36．（3）当t≤5时，如图：∵A1B＝AB﹣A1A＝10﹣2t，∴长方形A1BCD1的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（cm2），当t＞5时，如图：∵A1B＝A1A﹣AB＝2t﹣10，∴长方形A1BCD1的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（cm2），故答案为：（﹣12t+60）cm2或（12t﹣60）cm2；当t≤5时，如图：长方形A1BCD1的面积为﹣12t+60，×2t×6=18t，△FBB1面积的3倍为3×12由题意得：﹣12t+60＝18t，解得t＝2；当t＞5时，如图：同理可得：12t﹣60＝18t，解得t＝﹣10（舍去），∴t＝2．10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,b)，C(0,c)|2−b| =0，c=1(a−b)．2（1）求△ABC的面积；（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A′，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q′，3秒后，A′、C、Q′在同一直线上，求m的值；（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．【思路点拨】（1）由非负数的性质求出a=−4，b=2，求出c=−3，由A，B，C三点的坐标可求出答案；（2）根据三角形的面积关系S△A′Q′A =S△CQ′O+S梯形AA′CO可得出答案；（3）连接OD，OE，，设D（m,n），由三角形面积关系得出m=2n−4，由平移的性质得出E（2n,n），根据三角形的面积关系可求出答案．【解题过程】解：（1）|2−b|=00，|2−b|≥0，0.，|2−b|=0，∴a=−4，b=2，∴c=12(a−b)=−3，∴A(−4,0)，B(0,2)，C(−3,0)，∴BC=5，OA=4，∴S△ABC=12×BC×OA=12×5×4=10；（2）由题意知：OQ′=2×3=6，AA′=3m，∵S△A′Q′A =S△CQ′O+S梯形AA′CO，∴12×10×3m=12×6×3+12×(3+3m)×4，∴m=53．（3）连接OD ，OE ，设D (m,n )，∵S △AOB =S △AOD +S △DOB ，∴12×4×2=12×4×n +12×2×(−m )，∴m =2n−4，∵点D 向右平移4个单位长度得到E 点，∴E (2n,n )，∵S △AOC +S △AOE +S △COE =S △ACE ，∴12×4×3+12×4×n +12×3×2n =14，∴n =85，∴m =2n−4=−45，∴D −4511．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，点A 2，6，B (4,3)，将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，A ，B 的对应点分别为A ′，B ′，连接AA ′交y 轴于点C ，BB ′交x 轴于点D ．（1）线段A ′B ′可以由线段AB 经过怎样的平移得到？并写出A ′，B ′的坐标；（2）求四边形AA ′BB ′的面积；（3）P 为y 轴上的一动点（不与点C 重合），请探究∠PCA ′与∠A ′DB ′的数量关系，给出结论并说明理由．【思路点拨】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．（2）利用分割法确定四边形的面积即可．（3）分两种情形：点P在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可．【解题过程】解：（1）∵点A(2,6)，B(4,3)，又∵将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，∴线段A′B′是由线段AB向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，∴A′(−2,0)，B′(0,−3)．（2）S四边形ABB′A′=6×9−2×12×2×3−2×12×6×4=24．（3）连接AD．∵B(4,3)，B′(0,−3)，∴BB′的中点坐标为(2,0)在x轴上，∴D(2,0)．∵A(2,6)，∴AD//y轴，同法可证C(0,3)，∴OC=OB′，∵A′O ⊥CB′，∴A′C =A′B′，同法可证，B′A′=B′D ，∴∠A′DB =∠DA′B′，∠A′CB′=∠A′B′C ，当点P 在点C 的下方时，∵∠PCA′+∠A′CB′=180°，∠A′B′C +∠DA′B′=90°，∴∠PCA′+90°−∠A′DB′=180°，∴∠PCA′−∠A′DB′=90°，当点P 在点C 的上方时，∠PCA′+∠A′DB′=90°．12．（2022春·福建厦门·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，将三角形ABC 进行平移，平移后点A,B,C 的对应点分别是点D,E,F ，点A (0,a )，点B (0,b )，点D a,12a ，点E m−b,12a +4. （1）若a =1，求m 的值；（2）若点C −a,14m +3，其中a >0. 直线CE 交y 轴于点M ，且三角形BEM 的面积为1，试探究AF 和BF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】（1）当a=1时，得出A 、B 、D 、E 四点的坐标，再根据平移的规律得到m−b =1b−412=1−12，即可求出m 的值；（2）由平移的规律得出a =a−12a =+4②，变形整理得到14m +3=12a +4，那么CE ∥x 轴，根据三角形BEM 的面积=12BM ⋅EM =1，求出a=2，A （0，2），B （0，6），C （-2，5）．根据点F 与点C 是对应点，得出F （0，4），求出AF=BF=2．【解题过程】解：（1）当a =1时，由三角形ABC 平移得到三角形DEF ，A(0,1),B (0,b )的对应点分别为DE m−b,4可得m−b =1b−412=1−12，解得b =6m =5 .∴m 的值为6.（2）由三角形ABC 平移得到三角形DEF ，A (0,a )，B (0,b )的对应点分别为D a,12a ，E m−b,12a +4. 可得a =a−12a =+4②， 由②得b =a +4③，把③代入①，得m =2a +4，∴14m +3=12a +4，∴点C 与点E 的纵坐标相等，∴CE ∕∕x 轴， ∴点M 0,12a +4，∴三角形EBM 的面积=12BM ⋅EM =1，∵a >0，∴BM =a ++4=12a ，EM =a .∴14a 2=1， ∴a =2，∴A (0,2)，B (0,6)，C (−2,5). 又∵在平移中，点F 与点C 是对应点，∴F (0,4)，∴AF =4−2=2BF =6−4=2，∴AF =BF .13．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考期中）已知点A 在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO 平移至线段BC ，其中点A 与点B 对应．（1）如图（1），若A(1,3),B(3,0)，连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD=2S△ABC，求点D 的坐标；（2）如图（2），若∠AOB=60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP 之间的数量关系（不用证明）．【思路点拨】（1）先根据A,B的坐标找到平移规律，从而求出C的坐标，进而△ABC的面积和△AOD的面积可求,则点D的坐标可求；（2）分两种情况讨论：当P在y轴的正半轴上时和当P在y轴的负半轴上时，分情况进行讨论即可．【解题过程】（1）由线段平移，点A(1,3)的对应点为B(3,0)，知线段AO先向石平移2个单位，再向下平移3个单位，则点O(0,0)平移后的坐标为(2,−3)，即C(2,−3)∴S△ABC=2×6−12×1×6−12×2×3−12×1×3=92,∵S△AOD=2S△ABC∴S△AOD=9∵点A到x轴的距离为3，到y轴的的距离为1，若点D在x轴上，∵12×3·OD=9∴OD=6∴点D的坐标为(6,0)或(−6,0)若点D在y轴上，∵1×1·OD=92∴OD=18∴点D为(0,−18)或(0,18)综上所述，点D的坐标为(6,0)或(−6,0)或(0,−18)或(0,18)（2）如图，延长BC交y轴于点E．∵OA∥BC且∠AOB=60°,∴∠1=∠2=30°，∠OBC=60°，分两种情况讨论：（1）当P在y轴的正半轴上时，∠BCP=∠CPO+∠1=∠CPO+30°（2）当P在y轴的负半轴上时，若P在点E上方（含与点E重台）时，∠CPO=180°−∠BCP+∠2即∠BCP+∠CPO=210°若P在点E下方时，∠BCP=180°−(∠2−∠CPO)即∠BCP=∠CPO+150°综合可得∠CPO与∠CPO的数量关系是∠BCP=∠CPO+30°或∠BCP+∠CPO=210°或∠BCP=∠CPO+150°．14．（2023·全国·七年级专题练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(b,0)．且a，b满足|a+3|+(a−2b+7)2=0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．（1）点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CK上移动时（不与A，C重合），请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论．（2）连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使△MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，试说明理由．【思路点拨】（1）根据平方与绝对值的非负性即可求出a、b的值，过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；（2）先求出△ACD的面积，再根据Q在x轴上与y轴上分别求解．【解题过程】（1）解：∠PQD+∠OPQ+∠POB=360°，证明如下：证明：∵|a+3|+(a−2b+7)2=0∴a+3=0，a−2b+7=0，解得a=−3，b=2，∴A(−3,0)，B(2,0)，∵将点A、B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到对应点C、D，∴C(−5,2)，D(0,2)，过点P作PE∥AB，由平移的性质可得AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠PQD+∠EPQ=180°，∠OPE+∠POB=180°，∴∠PQD+∠EPQ+∠OPE+∠POB=360°，即∠PQD+∠OPQ+∠POB=360°．（2）解：存在，M点坐标为(−8,0)，(2,0)，0,−×5×2=5，△ACD的面积为12①M在x轴上，根据△MAD的高与△ACD相等的高，∴AM=CD=5，∴点M坐标为(−8,0)，(2,0)，②M在y轴上，△MAD的高为AO=3，△MAD的面积为5，AO×MD=5即S△MAD=12∴MD=103又∵D(0,2)，∴点M坐标为0,0,−故存在符合条件的M点坐标为(−8,0)，(2,0)，0,0,−15．（2022春·吉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）．现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段AB的对应线段CD，连接AC，BD．ABDC；（1）点C，D的坐标分别为_______，________，并求出四边形ABDC的面积S四边形（2）在y轴上存在一点P，连接PA，PB，且S△PAB =S四边形ABDC，求出满足条件的所有点P的坐标．（3）若点Q为线段BD上一点（不与B，D______（填“变”或“不变”）．【思路点拨】（1）根据平移的特点可得出点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式可求面积；（2）存在2种情况，点P在y轴正半轴和点P在y轴负半轴，另△ABP的面积与平行四边形ABDC面积相等可求得点P的坐标；（3）如下图，利用平行的性质可求得∠CQO=∠DCQ+∠QOB，可得不变关系．【解题过程】解：（1）∵将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点C、D又∵点A，B的坐标分别为（−1，0），（3，0）∴C（0，2），D（4，2）．由题意可知：四边形ABDC为平行四边形，=OC×AB=2×4=8．∴S四边形ABDC（2）当点P在y轴正半轴时，设点P的纵坐标为a，图形如下a×4=8．根据题意，得12解得:a=4同理当点P在y轴负半轴时，a=－4∴P（0，4）或P（0，－4）．（3）不变．图形如下，过点Q作QM∥CD∵CD是AB平移得到，∴AB∥CD∵QM∥CD，∴QM∥AB∴∠DCQ=∠CQM，∠MQO=∠QOB∴∠DCQ+∠QOB=∠CQM+∠MQO=∠CQO=1，比值始终不变∴∠BOQ∠DCQ∠OQC16．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D 在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．（1）填空：点D的坐标为 ．（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．【思路点拨】（1）根据CD∥x轴，CD＝4，C（2，0），可确定点D坐标；（2）①先计算出S梯形OCDB＝7，再讨论：当点P运动到点B时，S△POC的最小值＝3，则可判断S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC的最大值＝4，于是可判断S△CDP+S△BOP＝3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，易得∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．【解题过程】（1）∵点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），∴AB＝4，由题意得：C（2，0），∵CD＝4，AB∥CD，∴D（2，﹣4）．故答案为（2，﹣4）；（2）①如图1中，S梯形OCDB＝12×（3+4）×2＝7，当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝12×3×2＝3，此时S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝12×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＝3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知点A(a,0)、B(b,0)满足(3a+b)2+|b−3|=0．将线段AB 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD．（1）请求出点A和点B的坐标；（2）点M 从O 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t 秒，问：是否存在这样的t ，使得四边形OMDB 的面积等于9？若存在，请求出t 的值：若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点M 从O 点出发的同时，点N 从点B 出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN 交y 轴于点E ．设运动时间为t 秒，问：S ΔEMD −S ΔOEN 的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．【思路点拨】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a ，b 的值，即可求解；（2）由平移的性质可得点C （0，2），点D （4，2），OA ＝1，OB ＝2，OC ＝2，CD ＝4，由面积关系可求解；（3）分点N 在线段OB 上，点N 在BO 的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．【解题过程】（1）解：∵(3a +b )2+|b−3|=0，(3a +b )2≥0,|b−3|≥0，∴3a +b =0b−3=0 ，解得a =−1b =3 ，∴点A 和点B 的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；（2）解：存在．过D 作DH ⊥OB 的延长线，垂足为H ，如图所示：由题意得点C 和点D 的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），∴CD =4 ，DH =2 ，OB =3 ，设M 点坐标为（0，t ），连接MD 、OD ，∴OM =t ，∵S 四边形OMDB =S △OBD +S △OMD =9，∴12OB ⋅DH +12OM ⋅CD =9，即12×3×2+12t ×4=9，解得t =3，存在这样的t =3，使得四边形OMDB 的面积等于9；（3）解：不变．理由如下：当点N 在线段OB 上时，如图所示，设运动时间为t 秒，OM =t ，ON =3-2t ，过D 作DH ⊥OB 的延长线，垂足为H ，连接MD ，OD ，∵S ΔEMD −S ΔOEN =S 四边形OMDN ，S 四边形OMDN = S △OND +S △OMD ，∴S ΔEMD −S ΔOEN = S △OND +S △OMD=12ON·DH +12OM·CD=12×(3−2t )×2+12t ×4=3-2t +2t=3，当点N 运动到线段BO 的延长线上时，如图所示，设运动时间为t 秒，OM =t ，ON =2t -3，连接OD ，S ΔEMD −S ΔOEN =S ΔEMD +S ΔOED −(S ΔOEN +S ΔOED )=S ΔOMD −S ΔOND=12×4⋅OM−12×2⋅ON =12×4t−12×2(2t−3)=2t−(2t−3)=3∴S ΔEMD −S ΔOEN 为定值3，故其值不会变化．18．（2023春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，A (a,0)，B (1,b )，a ，b 满足|a +b−1|+=0，连接AB 交y 轴于C ．（1）直接写出a =______，b =______；（2）如图1，点P 是y 轴上一点，且三角形ABP 的面积为12，求点P 的坐标；（3）如图2，直线BD 交x 轴于D (4,0)，将直线BD 平移经过点A ，交y 轴于E ，点Q (x,y )在直线AE 上，且三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的13，求点Q 横坐标x 的取值范围．【思路点拨】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出a ，b ；（2）过点B 作BM ⊥x 轴于M ，设OC =m ，由三角形面积关系得出12OA ⋅OC +12(OC +BM)⋅OM =12AM ⋅BM ，求出m =3，过点B 作BN ⊥y 轴于N ，由三角形面积关系得出12×3×CP +12CP =12，求出CP 即可；（3）连接DQ ，过点Q 作QR ⊥x 轴，分点Q 在第二象限，点Q 在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．【解题过程】（1）解：∵ |2a−b +10|=0，又，|2a−b +10|⩾0，∴ a +b−1=02a−b +10=0 ，解得：a =−3b =4 ，故答案为：-3，4．（2）过点B 作BM ⊥x 轴于M ，设OC =m ，∵三角形AOC 的面积+四边形OCBM 的面积=三角形ABM 的面积，∴ 12OA ⋅OC +12(OC +BM)⋅OM =12AM ⋅BM ，即12×3m +12(m +4)×1=12×4×4，解得：m =3，点C 的坐标为(0,3)，过点B 作BN ⊥y 轴于N ，∵三角形ABP 的面积=三角形ACP 的面积+三角形BCP 的面积，∴ 12OA ⋅CP +12BN ⋅CP =12，即12×3×CP +12CP =12，∴CP =6，∴点P 的坐标为(0,−3)或(0,9)．（3）点B 向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A ，∵点D 向左平移4个单位长度后的对应点正好在y 轴上，∴点D 平移后的对应点恰好是点E(0,−4)，连接DQ ，过点Q 作QR ⊥x 轴，如图所示：∵AE ∥BD ，∴三角形ADQ 的面积=三角形ABQ 的面积，当三角形ABQ 的面积=13三角形ABD 的面积时，QR =13y B =43，当点Q 在第三象限时，∴ 12(x +3)×43+12(43+4)(−x)=12×4×3，解得：x =−2，当点Q 在第二象限时，∴ 12×3×4+12(3−x)×43=12(−x)×163，解得：x =−4，∴当三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的13时，点Q 的横坐标x 的取值范围是−4⩽x⩽−2，且x ≠−3．。
专题1.3 图形的平移与旋转章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.3 图形的平移与旋转章末重难点题型【北师大版】【考点1 平移的性质】【方法点拨】经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
【例1】（2020•济宁校级期末）如图，把周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．14B．12C．10D．8【分析】根据平移的性质可得DF＝AC，CF＝AD，然后求出四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF，然后代入数据计算即可得解．【答案】解：∵△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DFE，∴DF＝AC，CF＝AD＝1，∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，＝AB+BC+AC+AD+CF，＝△ABC的周长+AD+CF，＝10+1+1，＝12．故选：B．【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【变式1-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积（）A．40B．42C．45D．48【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【答案】解：∵两个三角形大小一样，∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，由平移的性质得，DE＝AB，BE＝6，∵AB＝10，DH＝4，∴HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6，∴阴影部分的面积＝×（6+10）×6＝48，故选：D．【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．【变式1-2】（2020•江西校级期末）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为10，则△BCE的面积为（）A．5B．6C．10D．4【分析】根据平移的性质得到AB＝BD，BC∥DE，利用三角形面积公式得到S△BCD＝S△ACD＝5，然后利用DE∥BC得到S△BCE＝S△BCD＝5．【答案】解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AB＝BD，BC∥DE，∴S△ABC＝S△BCD＝S△ACD＝×10＝5，∵DE∥BC，∴S△BCE＝S△BCD＝5．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．【变式1-3】（2020•碑林区校级期末）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．9B．8C．6D．4【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【答案】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得：BE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝8，即图中阴影部分的周长为8，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．【考点2 坐标系中的平移规律】【方法点拨】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）【例2】（2020•武汉校级期末）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b 的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】先利用点A平移都A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可．【答案】解：∵点A（2，0）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点A1（3，1），∴线段AB先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到线段A1B1，∴点B（0，1）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点B1，∴a＝0+1＝1，1+1＝b，∴a+b＝1+2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）【变式2-1】（2019春•江岸区期中）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），已知A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m）．则a+b﹣c﹣d的值为（）A．8+m B．﹣8+m C．2D．﹣2【分析】由A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．【答案】解：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，﹣3+m），∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），∴a+3＝c，b﹣5＝d，∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5，∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2，故选：C．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化﹣平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．【变式2-2】（2019春•江岸区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（5，0），C（0，3），平移线段AC至线段BD，点P在四边形OBDC内，满足S△PCD＝S△PBD，S△POB：S△POC＝5：6，则点P 的坐标为（）A．（2，1）B．（2，4）C．（3，2）D．（4，2）【分析】过P作PM⊥OB于M，并反向延长交CD于N，设P（x，y），根据S△POB：S△POC＝5：6，于是得到x＝2y；由于S△PCD＝S△PBD，于是得到×7•（3﹣y）＝18﹣×7（3﹣y）﹣×3x﹣×5y，最后解方程组即可得到结论．【答案】解：如图，过P作PM⊥OB于M，交CD于N，∵CD∥OB，∴PN⊥CD，设P（x，y），∵S△POB：S△POC＝5：6，∴5××3x＝6××5y，∴x＝2y，①∵S△PCD＝S△PBD，∴×7•（3﹣y）＝18﹣×7（3﹣y）﹣×3x﹣×5y，②由①、②解得x＝4，y＝2，∴P（4，2），故选：D．【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，作辅助线构造平行线和垂线是解题的关键．【变式2-3】（2020春•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（6，0），C（0，﹣10），平移线段AB至线段CD，点Q在四边形OCDB内，满足S△QOC：S△QOB＝5：6，S△QCD＝S△QBD，则点Q的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（3，﹣5）C．（3，﹣6）D．（4，﹣8）【分析】设Q（m，n），由点平移可求D（6，﹣14），分别求出S△QOC＝×CO×x Q，S△QOB＝×OB ×y Q，由已知可得n＝﹣2m；再分别求出S△QBD＝×BD×（6﹣x Q），S△QCD＝S梯形OCDB﹣S△QCO﹣S△QBD﹣S△OBC＝30﹣4m，再由已知可得30﹣4m＝42﹣7m，求出m即可求Q点坐标．【答案】解：设Q（m，n），∵A（0，4），B（6，0），C（0，﹣10），∴OC＝10，OB＝6，AC＝14，∵平移线段AB至线段CD，∴D（6，﹣14），∵S△QOC＝×CO×x Q，S△QOB＝×OB×y Q，∵S△QOC：S△QOB＝5：6，∴＝，∴n＝﹣2m，∴Q（m，﹣2m），∵S△QBD＝×BD×（6﹣x Q）＝×14×（6﹣m）＝42﹣7m，S△QCD＝S梯形OCDB﹣S△QCO﹣S△QBD﹣S△OBC＝×（OC+BC）×OB﹣×CO×x Q﹣×BD×（6﹣x Q）﹣×OB×y Q＝×（10+14）×6﹣×10×m﹣×14×（6﹣m）﹣×6×（﹣n）＝72﹣5m﹣（42﹣7m）+3n＝30+2m+3n＝30﹣4m，∵S△QCD＝S△QBD，∴30﹣4m＝42﹣7m，∴m＝4，∴Q（4，﹣8），故选：D．【点睛】本题考查坐标图形变换；熟练掌握点平移的特点，再由三角形面积公式求出三角形面积，由面积建立等量关系求解是关键．【考点3 旋转的性质】【方法点拨】一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。
苏科版数学八年级上册第5章平面直角坐标系章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
平面直角坐标系章末重难点题型汇编【举一反三】【苏科版】【考点1 确定位置】【方法点拨】在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.若设这两个数据分别为a和b，则：a表示：排数、行数、经度、方位……b表示：座数、列数、纬度、距离……【例1】（2019春•颍泉区校级期中）如图，军训时七（1）班的同学按教官的指令站了7排8列，如果第7排第8列的同学的位置在队列的东北角，可以用有序数对（7，8）来表示，那么表示站在西南角同学的位置的有序数对是（）A．（7，8）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）【变式1-1】（2019春•江城区期中）以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果出校门向东走60m，再向北走80m，记作（60，80），那么明明家位置（﹣30，60）的含义是（）A．出校门向西走30m，再向南走60mB．出校门向西走30m，再向北走60mC．出校门向东走30m，再向南走60mD．出校门向东走30m，再向北走60m【变式1-2】（2018秋•桥东区期中）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（）A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3kmB．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3kmC．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2kmD．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km【变式1-3】（2018春•孝义市期中）如图呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用字母表示，纵线用英文数字表示，这样，黑棋❶的位置可记为（C，4），则白棋⑥的位置可记为（）A．（E，3）B．（F，3）C．（G，5）D．（D，6）【考点2 象限内点的特征】【方法点拨】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.【例2】（2019春•天门校级期中）已知点P（a，b）在第四象限，则点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【变式2-1】（2019春•信丰县期中）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（﹣a，b）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【变式2-2】（2019春•卫辉市期中）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（）象限．A．四B．三C．二D．一【变式2-3】（2019春•汉阳区期末）直角坐标系中点P（a+2，a﹣2）不可能所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点3 坐标轴上点的特征】【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.【例3】（2019秋•市北区期中）如果点P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点Q（m﹣3，﹣3）的位置在（）A．纵轴上B．横轴上C．第三象限D．第四象限【变式3-1】（2019春•邓州市期中）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【变式3-2】（2019春•柳江区期中）若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（）A．（0，﹣9）B．（2.5，0）C．（2.5，﹣9）D．（﹣9，0）【变式3-3】（2018秋•章丘区期末）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（）A．2或﹣2B．﹣2C．2D．非上述答案【考点4 点到坐标轴的距离】【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.【例4】（2019春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）【变式4-1】（2019春•郯城县期中）点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣1或﹣6D．﹣2或﹣6【变式4-2】（2018春•新罗区校级期中）若点P（2x，3x+5）在第二象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【变式4-3】（2019春•栾城区期中）已知直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N距x轴的距离为3个单位，则点N的坐标为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）C．（3，2）D．（3，2）或（﹣3，2）【考点5 角平分线上点的特征】【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．【例5】（2019春•武平县校级期中）已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（）A．a＝1，m＝﹣2B．a＝1，m＝2C．a＝﹣1，m＝﹣2D．a＝﹣1，m＝2【变式5-1】（2019春•德州期末）若点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则点B（﹣a，1﹣a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象跟D．第四象限【变式5-2】若A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，那这个点一定在（）A．第二、四象限的角平分线上B．第一、三象限的角平分线上C．平行于x轴的直线上D．平行于y轴的直线上【变式5-3】（2019春•福州校级月考）已知点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N、若点N恰在第三象限的角平分线上，则a的值为（）A．2B．0C．3D．﹣3【考点6 点的坐标确定位置】【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.【例6】（2019春•郯城县期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）【变式6-1】（2019春•蒙阴县期中）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（6，4）B．（4，6）C．（1，6）D．（6，1）【变式6-2】（2018春•越秀区期中）如图所示为某战役潜伏敌人防御工亭坐标地图的碎片，一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），由原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大概（）A．A处B．B处C．C处D．D处【变式6-3】（2018春•阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（）A ．（0，1）B ．（2，1）C ．（1，0）D ．（1，﹣1）【考点7 坐标与图形的性质】【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x 轴平行，纵坐标y 相等；与y 轴平行，横坐标x 相等．【例7】（2019春•海安县期中）已知直线a 平行于x 轴，点M （﹣2，﹣3）是直线a 上的一个点．若点N 也是直线a 上的一个点，MN ＝5，则点N的坐标为 ． 【变式7-1】（2018春•繁昌县期中）已知A （﹣3，2）与点B （x ，y ）在同一条平行于y 轴的直线上，且点B 到x 轴的距离等于3，则B 点的坐标为 ．【变式7-2】（2018春•邹城市期中）已知点M 的坐标为（a ﹣2，2a ﹣3），点N 的坐标为（1，5），直线MN ∥x 轴，则点M 的横坐标为 ．【变式7-3】（20197秋•汝州市校级期中）已知点A （b ﹣4，3+b ），B （3b ﹣1，2），AB ⊥x 轴，则点A 的坐标是 ．【考点8 图形在坐标系中的平移】【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a >0，b >0（1）一次平移：P （x ，y ） P '（x ＋a ，y ）P （x ，y ） P '（x ，y －b ） （2）二次平移：【例8】（2019春•番禺区期中）△ABC 与△A ′B ′C ′在平面直角坐标系中的位置如图（1）分别写出下列各点的坐标：A ′ ；B ′ ；C ′（2）若点P （m ，n ）是△ABC 内部一点，则平移后△A ′B ′C ′内的对应点P ′的坐标为 ．（3）求△ABC 的面积．向右平移a 个单位 向下平移b 个单位P （x ，y ） P （x － a ，y ＋b ） 向左平移a 个单位再向上平移b 个单【变式8-1】（2019春•兰陵县期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出下列各点的坐标：A；B；C；（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答：．（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为；（4）求△ABC的面积．【变式8-2】（2019春•金平区校级期中）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），先将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，并写出B1、C1的坐标．（3）求△ABC的面积．【变式8-3】（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，将三角形ABC 进行平移，平移后点A 、B 、C 的对应点分别是点D 、E 、F ，点A （0，a ），点B （0，b ），点D （a ，12a ），点E （m ﹣b ，12a +4）． （1）若a ＝1，求m 的值；（2）若点C （﹣a ，14m +3），其中a ＞0．直线CE 交y 轴于点M ，且三角形BEM 的面积为1，试探究AF 和BF 的数量关系，并说明理由．【考点9 坐标与图形的变化—对称】【例9】（2018秋•南昌期中）在平面直角坐标系中，有点A （a ，1）、点B （2，b ）．（1）当A 、B 两点关于直线y ＝﹣1对称时，求△AOB 的面积；（2）当线段AB ∥x 轴，且AB ＝4时，求a ﹣b 的值．【变式9-1】（2018秋•蔡甸区期中）如图，在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，A （3，﹣2），B （3，﹣6）两点在此图形上且互为对称点，若此图形上有一个点C （﹣2，+1）．（1）求点C 的对称点的坐标．（2）求△ABC 的面积．【变式9-2】（2019秋•抚州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l 过点M （3，0），且平行于y 轴．（1）如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A （﹣2，0），B （﹣1，0），C （﹣1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【变式9-3】（2019•南京校级期中）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【考点10 坐标与图形的变化—旋转】【例10】（2019春•无锡期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC关于原点O的中心对称图形为△A1B1C1，写出点A的对应点A1的坐标；画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；若P（a，b）为△ABC边上一点，则在△A2B2C2中，点P 对应的点Q的坐标为．请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【变式10-1】（2019春•会宁县校级月考）（1）如图，在方格纸中先通过，由图形A得到图形B，再由图形B先（怎样平移），再（怎样旋转）得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；（2）如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标是；（3）图形B能绕某点Q顺时针旋转90°得到图形C，则点Q的坐标是；（4）图形A能绕某点R顺时针旋转90°得到图形C，则点R的坐标是；注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．【变式10-2】（2019•聊城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【变式10-3】（2019•淮阴区校级模拟）阅读材料：如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形①的顶点为A、B、C，要将它变换到图④（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．例如：将图形①作如下变换（如图二）．第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图②；第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180°，得图③；第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图④．则图形①被变换到了图④．解决问题：（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：（4，6）→（，）→（，）→（，）（2）如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将△DEF经过平移、旋转、翻折等变换得到△OPQ．（写出变换步骤，并画出相应的图形）【考点11 点在坐标系内的移动规律】【例11】（2019春•博兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，从点p1（﹣1，0），p2（﹣1，﹣1），p3（1，﹣1），p4（1，1），p5（﹣2，1），p6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则p2019的坐标为（）A．（505，﹣505）B．（﹣505，505）C．（﹣505，504）D．（﹣506，505）【变式11-1】（2018春•武昌区期中）一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0.1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2018次跳到点（）A．（6，44）B．（7，45）C．（44，7）D．（7，44）【变式11-2】（2019春•武城县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（）A．（45，6）B．（45，13）C．（45，22）D．（45，0）【变式11-3】（2019春•新左旗期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（）A．（2018，1）B．（2018，0）C．（2018，2）D．（2019，0）。
八年级数学上册 11.2图形在坐标系中的平移
11.2图形在坐标系中的平移学习目标：1、能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换。
2、运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图3、经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步发展数形结合思想与空间观念.重点：认识直角坐标系，感受点在坐标系中的平移过成及其应用。
难点：根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律.一、学前准备：1、复习数轴的概念及其画法.2、如图数轴上点A的坐标是，点A向右平移两个单位后的坐标是.点B的坐标是，点B向左平移3个单位后的坐标是.从数轴上的点的坐标平移你发现了什么？说出来让大家分享你的重大发现..二、探究活动：1、下面平面直角坐标系中点A的坐标是（，），点A向右平移4个单位后坐标是（，）；点A向左平移2个单位后的坐标是（，）；你能写出点A向右平移25个单位后的坐标是（，）吗？你发现点A平移前后横坐标、纵坐标有什么变化？能找出其中的规律吗？把你的重大发现写在横线上，与大家一起分享.2、仿照你刚才的重大发现，点B上下平移时，横坐标、纵坐标有什么变化？把你的想法写出来3、我想把点A移到点B处，你帮我移动吗？说说你是如何移动的、有多少种方法？你最喜欢哪种方法？三、走进核心地带1、在图中标出△ABC各顶点的坐标.2、△ABC向右平移个单位得到△A1B1C1的，在图中标出△A1B1C1各点的坐标，观察各点坐标都发生怎样的变化？3、智慧大提速：△ABC 是怎样平移到△A 2B 2C 2的？看出门道了吗？说出来大家听听.4、小组大讨论：把直角坐标系中的一个图形按下列要求平移，那么图形中的一点的坐标是（x ，y ）将如何变化？（这里a >0,b >0）（1）（x ，y）（2）（x ，y ）（3）（x ，y ）（4）（x ，y ）（5）（x ，y （ ， ）（6）（x ，y （，）四、分组讨论 小试牛刀1、如图，（1）请写出在直角坐标系中的房子的A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的坐标。
图形平移公务员题目及答案
图形平移公务员题目及答案在数学中，图形平移是一种基本的几何变换，它将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，从而得到一个新的图形。
这种变换不改变图形的形状和大小，只改变其位置。
以下是一些关于图形平移的公务员题目及答案：题目1：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，如果将点A向右平移5个单位，求平移后的坐标。
答案：根据平移的规则，向右平移5个单位意味着横坐标增加5。
因此，点A平移后的坐标为(3+5, 4)，即(8,4)。
题目2：若一个矩形的顶点坐标为(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)，现将该矩形向下平移3个单位，求平移后矩形的顶点坐标。
答案：向下平移3个单位意味着纵坐标减去3。
因此，矩形的顶点坐标变为(1,-2)，(2,-2)，(1,-1)，(2,-1)。
题目3：已知直线y=2x+1，若将该直线向上平移2个单位，求平移后的直线方程。
答案：向上平移2个单位意味着在原方程的基础上，y的值增加2。
因此，平移后的直线方程为y=2x+1+2，即y=2x+3。
题目4：在平面直角坐标系中，有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(-1,-2)，B(2,3)，C(-3,1)。
若将三角形ABC向左平移4个单位，求平移后三角形的顶点坐标。
答案：向左平移4个单位意味着横坐标减去4。
因此，三角形ABC平移后的顶点坐标分别为A(-1-4,-2)，即(-5,-2)；B(2-4,3)，即(-2,3)；C(-3-4,1)，即(-7,1)。
题目5：若一个圆的方程为(x-3)²+(y-4)²=9，现在将该圆向右平移6个单位，求平移后的圆的方程。
答案：向右平移6个单位意味着圆心的横坐标增加6。
原圆心坐标为(3,4)，平移后的圆心坐标为(3+6,4)，即(9,4)。
因此，平移后的圆的方程为(x-9)²+(y-4)²=9。
专题 图形的平移与旋转章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
A.9B.8C.6D.4上移加，下移减.）则a+b的值为（）C.4D.5【变式2-1】（江岸区期中）已知AABC内任意一点P（a,b）经过平移后对应点P1（c,d）, 在经过此次平移后对应点A1（2,-3+m）.则a+b-c-d的值为（）已知A(-1,2+m)章末重难点题型专题图形的平移与旋转【考点1平移的性质】【方法点拨】经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
【例1】（济宁校级期末）如图，把周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到ADEF,贝四边形ABFD的周长为（）A.14B.12C.10D.8【变式1-1】（西湖区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到ADEF 的位置，AB=10,DH=4,BC=15，平移距离为6,则阴影部分的面积（）A.40B.42C.45D.48【变式1-2】（江西校级期末）如图，将AABC沿直线AB向右平移后到达ABDE的位置，连接CD、CE，若A ACD 的面积为10,则ABCE的面积为（）A.5B.6C.10D.4【变式1-3】（碑林区校级期末）如图，点I为A ABC角平分线交点，AB=8,AC=6,BC=4,将ZACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（）【考点2坐标系中的平移规律】【方法点拨】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标,【例2】（武汉校级期末）如图，A,B的坐标为（2,0）,（0,1）,若将线段AB平移至A1B1,A.8+mB.-8+mC.2D.-2【变式2-2】(江岸区期中)如图，在平面直角坐标系中，已知A(-2,0),B(5,0),C(0,3),平移线段AC至线段BD,点P在四边形OBDC内，满足S^PCD=S^PBD,S“POB：S^POC=5：6,则点P的坐标为()【变式2-3】(江岸区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4),B(6,0),C(0,-10),平移线段AB至线段CD，点Q在四边形OCDB内，满足S“QOC：S^QOB=5：6,S^QCD=S^QBD,则点Q的坐标为()A.(2,-4)B.(3,-5)C.(3,-6)D.(4,-8)【考点3旋转的性质】【方法点拨】一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。
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图形在坐标系中的平移-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 点在坐标系中的平移】
平面直角坐标内点的平移规律，设a >0，b >0
（1）一次平移：P （x ，y ） P '（x ＋a ，y ）
P （x ，y ） P '（x ，y －b ）
（2）二次平移： 【题型1 点在坐标系中的平移】 【例1】（2021春•开福区校级期中）在平面直角坐标系中，将点A （x ，y ）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B （﹣3，2）重合，则点A 的坐标是（ ）
A ．（2，5）
B ．（0，﹣3）
C ．（﹣2，5）
D ．（5，﹣3） 【变式1-1】（2021春•重庆期中）在平面直角坐标系中，点A （m ，n ）经过平移后得到的对应点A ′（m +3，n ﹣4）在第二象限，则点A 所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【变式1-2】（2021春•江夏区期末）已知△ABC 内任意一点P （a ，b ）经过平移后对应点P 1（a +2，b ﹣6），如果点A 在经过此次平移后对应点A 1（4，﹣3），则A 点坐标为（ ）
A ．（6，﹣1）
B ．（2，﹣6）
C ．（﹣9，6）
D ．（2，3）
【变式1-3】（2021春•新罗区期末）在平面直角坐标系中，将A （n 2，1）沿着x 的正方向向右平移3+n 2个单位后得到B 点．有四个点M （﹣2n 2，1）、N （3n 2，1）、P （n 2，n 2+4）、Q （n 2+1，1），一定在线段AB 上的是（ ）
A ．点M
B ．点Q
C ．点P
D ．点N
【知识点2 图形在坐标系中的平移】 P （x ，y ） P （x － a ，y ＋b ）
向左平移a 个单位 再向上平移b 个单
向下平移b 个单位
向右平移a 个单位
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【题型2 图形在坐标系中的平移】
【例2】（2021春•深圳校级期中）如图，△ABC经过一定的平移得到△A′B′C′，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为（）
A．（a﹣2，b﹣3）B．（a﹣3，b﹣2）C．（a+3，b+2）D．（a+2，b+3）【变式2-1】（2021•邛崃市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点M（2，1），N（1，﹣1），平移线段MN，使点M落在点M'（﹣1，2）处，则点N对应的点N'的坐标为（）
A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（﹣1，1）D．（﹣3，﹣1）
【变式2-2】（2021春•东湖区期末）如图，点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1与B1坐标分别是（m，4）和（3，n），则
线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（）
A．18B．20C．28D．36
【变式2-3】（2020春•凉州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（）
A．（1，3）B．（5，1）
C．（1，3）或（3，5）D．（1，3）或（5，1）
【题型3 图形在网格中的平移变换】
【例3】（2021春•锦江区校级月考）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（2）连接BC'，直接写出∠CBC'与∠B'C'O之间的数量关系．
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【变式3-1】（2020春•江汉区月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格
点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【变式3-2】（2020春•江岸区校级月考）在如图的直角坐标系中，将△ABC平移后得到△A′B′C′，它们的三个顶点坐标如表所示：
△ABC A（a，0）B（5，3）C（2，1）△A′B′C′A′（3，4）B′（7，b）C′（c，d）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：△ABC向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可以得到△A′B′C′；a＝，b＝．
（2）求出线段AB在整个平移的过程中在坐标平面上扫过的面积．
（3）若点M（m，n）为线段AB上的一点，则m、n满足的关系式是．
【变式3-3】（2020春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移
个单位长度；
②点B的坐标为；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 坐标系内的平移变换与角度计算综合】
【例4】（2020春•通山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．
（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；
（2）求四边形AA'B'B的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．
【变式4-1】（2021春•庆阳期末）如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位
长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC、∠PCD、∠POB的数量关系，并证明你的结论．
【变式4-2】（2020春•大同期末）综合与实践
问题背景
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．
动手操作
（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；
探究证明
（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸
（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．
【变式4-3】（2020春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线
段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；
（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；
（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．。