2.3.1某些无理函数的不定积分
无理函数不定积分的若干求法
无理函数不定积分的若干求法作者：李静，李纳来源：《教育教学论坛》 2017年第40期摘要：无理函数不定积分的计算是高等数学知识竞赛和考研的重要考点之一，本文从无理函数不定积分的求解方法着手，总结了六种求解无理函数不定积分的方法。
关键词：无理函数；不定积分；换元积分中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）40-0225-02不定积分是高等数学的主要内容，而无理函数不定积分的计算是高等数学知识竞赛和考研中非常重要的考题。
现在，如何求无理函数不定积分已经成为教师和考研学生共同关注的问题。
一、三角函数置换法在运用不定积分的分部积分法时，对于如何选取u（x）和v（x）很难确定，如果选取适当则可以达到事半功倍的效果；如果选取不当则难以求出结果。
特别是无理函数的不定积分，没有一定的标准来选取u（x）和v（x），因此在求解无理函数不定积分时，首先要判断被积函数中的u忆（x）、v（x）哪个容易求出原函数u（x）、v（x）。
一般来说，有理函数比较容易求出原函数，可以把有理函数当作v忆（x），无理函数不易求出原函数当作u（x），然后用分部积分法求解两个函数乘积的不定积分。
六、结语无理函数的不定积分是大学生数学知识竞赛和考研中的重要知识。
无理函数不定积分试题形式多种多样，求解无理函数不定积分方法具有很高的灵活性，对具体的无理函数不定积分试题的求解，要细心观察被函数积分类型，积极尝试，选择解题方法要灵活多变，这样才能快速而简便地计算出无理函数的不定积分。
参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010:176-199.[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:湖北长江出版社,2009.[3]胡海龙.常见无理函数不定积分方法小结[J].科技信息,2011.[4]范梅.不定积分的分部积分法探究[J].西安航空学院报,2015,(1):35-36.[5]刘艳梅.不定积分的方法与技巧探讨[J].吕梁高等专科学院学报,2008,(6):46-47.[6]殷谷良.一类无理函数积分的求解方法[J].咸宁学院学报,2003.The Calculation Methods of Indefinite Integral of Irrational FunctionLI Jing,LI Na(School of Mathematics and Statistics,ZhouKou Normal University,Zhoukou,Henan 466001,China)Abstract:Indefinite integral calculation of irrational function is one of the important testing center of themathematics competition and the post graduate examination.This paper from the solution of the indefinite integral ofirrational function,and have summarized the eight kinds of solutions of the indefinite integral of irrational function.Key words:irrational function;indefinite integral;integral by substitution。
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究无理函数不定积分求解是微积分中的重要内容，也是学习者较为困难的部分之一。
无理函数的不定积分求解需要掌握一定的技巧和方法，才能较为轻松地解决问题。
本文将从无理函数不定积分概念入手，探究求解技巧，并给出一些解题方法和实际例题，帮助读者更好地理解和掌握无理函数不定积分的求解方法。
一、无理函数不定积分的概念所谓无理函数不定积分，就是指含有无理函数的函数的不定积分。
无理函数是指分子或分母含有开方、平方根、立方根等形式的函数。
y = √(x + 1)、y = 1/(x^2 + 1)等就是无理函数。
在求解这类函数的不定积分时，需要注意一些技巧和方法。
1. 恰当的代换在求解无理函数不定积分时，恰当的代换是非常重要的一步。
通常可以根据被积式的形式选择合适的代换方法。
常用的代换包括：倒代换、三角代换、根号下代换等。
对于形如∫(x√(x^2 + 2))dx的不定积分，可以进行代换u = x^2 + 2，从而化简被积式，然后进行求解。
2. 分部积分法在求解无理函数不定积分时，有时候可以采用分部积分法。
分部积分法是求不定积分的一种方法，其基本原理是将被积式进行分解，然后利用分部积分的公式求解。
通过多次分部积分，可以将复杂的被积式化为简单的形式进行求解。
3. 有理化有理化是指将无理函数通过一定的运算，化为有理函数的形式。
在求解无理函数不定积分时，可以通过有理化的方法，将无理函数的被积式化为有理函数的形式，进而采用常规的积分方法求解。
4. 注意积分限在进行无理函数不定积分的求解时，需要注意积分限的改变。
有时候可以通过对积分限的调整，使得被积式的形式更加简单，进而容易求解。
三、实际例题解析1. 求解∫(2x/(x^2 + 4))dx对于这个无理函数不定积分，我们可以采用简单的有理化方法。
首先对分母进行化简：x^2 + 4 = (x + 2i)(x - 2i)，然后引入i^2 = -1，得到x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i) = (x - 2i)(x + 2i)。
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究作者：吴春来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第04期然无理函数的积分比较复杂，但还是有一定的规律可循.本文针对无理函数的特点，提供了无理函数积分的几种解题技巧.结果表明：该技巧对无理函数的不定积分具有较高的实用性和有效性.关键词：无理函数;积分;技巧中图分类号：O172.2; 文献标识码：A; 文章编号：1673-260X（2019）04-0017-03在数学分析和高等数学中，不定积分问题一直是困扰我们的一个难点，而且这部分学习的好坏，直接影响到定积分的学习.而在不定积分的学习过程中，无理函数的不定积分又是高等数学竞赛和考研数学中的常见题型，因此无理函数的不定积分在数学分析和高等数学中占着举足轻重的作用，但是在解决这类问题时，一是费脑，面对众多的方法，根本就不知道用哪种方法，二是根本就没有记得那么多的方法，以至于见题不会，而且，数学这种东西环环相扣，只要不定积分的问题不会，定积分问题与微分方程问题也都不可能达到精通，这就会极大的打击我们学数学分析和高等数学的积极性，因此，关于如何求解无理函数的不定积分是教师和学生共同关心的问题.在这里，本文针对常见的无理函数的不定积分进行了分类型的梳理和总结，希望对广大同学有所帮助.2 结语利用上述技巧计算无理函数的不定积分十分快捷、简便.但是在学习过程中，还需要学习者多练习，多巩固，才能真正掌握如何求解无理函数的不定積分.参考文献：〔1〕复旦大学数学系.数学分析第三版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2006.274-275.〔2〕高解，杨安春.谈无理函数的不定积分[J].苏州教育学院学报，1997（1）：58-60.〔3〕华东师范大学数学系.数学分析第四版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.197.〔4〕刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义第三版（上册）[M].北京：高等教育出版社，1992.307-310.〔5〕菲赫金哥尔茨·格·马.数学分析原理：第1卷，第2分册[M].丁寿田译.北京：人民教育出版社，1979.168-171.。
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究无理函数是指函数中含有根号或者分式的表达式，例如\sqrt{x}、\frac{1}{\sqrt{x}}等。
对于无理函数的不定积分求解，通常需要通过一些技巧和方法来简化和解决。
本文将探讨一些常见的无理函数不定积分求解技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
一、有理化简法有理化简法是指将无理函数中的根号或者分式表达式进行有理化简，以便于使用基本积分公式或者换元积分法进行求解。
有理化简法的关键在于将无理函数化简为有理函数，具体方法如下：1. 对于含有\sqrt{ax^2+bx+c}形式的无理函数，可以通过配方法将其化简为完全平方形式。
对于\sqrt{x^2+4x+3}，可以进行配方法，得到\sqrt{(x+2)^2-1}，然后进行换元积分即可求解。
二、三角代换法三角代换法是指将无理函数通过三角函数的代换转化为有理函数的方法。
其基本思想是利用三角函数的性质将无理函数化简为三角函数表达式，然后通过三角函数的积分公式求解。
具体步骤如下：2. 对于含有\sqrt{a^2+x^2}形式的无理函数，可以通过x=a\tan\theta的代换将其化简为a\sec\theta，然后进行换元积分求解。
三、分式分解法分式分解法是指将无理函数通过分式分解化简为基本的无理函数和三角函数的积分形式，然后通过部分分式分解和换元积分求解。
具体步骤如下：通过以上三种方法，可以在一定程度上简化无理函数的不定积分求解过程，使其更加容易掌握和应用。
在具体求解过程中，还需要结合实际问题的特点和积分的性质灵活运用，以得到更加准确和简洁的结果。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握无理函数不定积分求解的技巧，从而在数学学习和科学研究中取得更加优异的成绩。
数学分析教案(华东师大版)不定积分
第八章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么,熟练掌握不定积分的根本积分公式.2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位.要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两局部的乘积, 熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步达到快而准的求出不定积分.3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法, 从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时1 / 19教学要求：积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念, 掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么, 熟练掌握不定积分的根本积分公式.教学重点：深刻理解不定积分的概念.、新课引入：微分问题的反问题,运算的反运算、讲授新课：〔一〕不定积分的定义:1.原函数:例1 填空：〔；〔〕' = -2cosx ;上；'］；•；；；；---' - Al .；；.；' -：二二；ax ax一二.二二.定义. 注意是/⑺的一个原函数.原函数问题的根本内容：存在性,个数,求法原函数的个数：Th假设尸〔工〕是了⑺在区间I上的一个原函数,那么对Vt ,尸㈤+ r都是了〔1〕在区间I上的原函数；假设G⑶也是了⑶ 在区间I上的原函数,那么必有G⑺=户⑺+ c.〔证〕2 / 19可见,假设/⑶有原函数f〔i〕,那么了⑺的全体原函数所成集合为｛产.〕+ “ CFR〕.原函数的存在性：连续函数必有原函数.〔下章给出证实〕.可见,初等函数在其定义域内有原函数；假设/⑴在区间I上有原函数, 那么/⑴在区间I上有介值性.例2. F⑺为/〔工〕=2］的一个原函数,F〔2〕=5 .求网X〕.2.不定积分一一原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3 I- ' ,「,•'•一；•,•;J1 + / -〔二〕不定积分的根本性质：以下设了㈤和改力有原函数.〔先积分后求导,形式不变应记牢! 〕.⑵［八］油二网+匕,〔先求导后积分,多个常数需留神！〕⑶时,」^〔二〕后="/〔工心,〔被积函数乘系数,积分运算往外挪！〕〔4〕二+ 一厂【"一厂丁厂由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对YaJeR,有4〔x〕+施〔疝必=aJ/ONx +蚱⑺dx〔当& = /二.时,上式右端应理解为任意常数.〕jy 〔2x-i 〕血=耳/+广二.求/⑴.〔/⑴二2〕..不定积分根本公式： 根本积分表.[1]P180 一 公式1 — 14. 5 12 ..利用初等化简计算不定积分：§ 2换元积分法与分部积分法 〔1 0学时〕4 / 19例4〔三〕例 〔四〕 例6例7例8例9例10例11教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式, 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步到达快而准的求出不定积分.教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：〔一〕. 第一类换元法 --------凑微分法：由」「. 一•［二：■ ■：■.：-- - :二. . ■,■1：■：■. T 一：- T. ■Jl0sin12KCC>S2Td二=5J sin4 23(sin 22di =5pin42Kdsin 2AL* 5, ,心........ .—5JV欣-u +c二仙2x + c.引出凑微公式.Thi假设’⑶连续可导,那么该定理即为：假设函数g〔f〕能分解为就有,⑷或"］7［频〕/©应=］7［施〕口的〕5 / 19J 加 + b)牌dx,(3^0.Jcos3xcos 2Kd -J(cos x + CO 65T )H 工=・••常见微分凑法:/Q 工 + S)dx = -f[ax +8)dQ 工+ 3) = -f(u)du|sin 3 xd1= g J(1 — cos x)dx =…=:5聊 2x) +c由例4—7可见,常可用初等化简把被积函数化为 /就+b 〕型,然后用凑法1.「 P xd 工 例8 (1)i ——:Jl + V凑法dxJ2 + & + 1)显 x+l…=-arctg —j=r +c港+2z-3(x+3)(x-l) 4,半4 k+3+c, ⑵]4 + X 10凑法2 户了(#)］以= "(/ 例9 Jisin x2a 同. rSin4x , 例10 ——d^J 七dx 例111J业一)例12 fif 5 n -'『-2F +c. ?(/岫」)d W)」血.特别地,有k k)W(x‘)= —f^}du和『(')七=2/(瓜卜瓜.2 Ji伙.•= 2 f—j=£^= = 2 arc sin 正 + e .「芯欣1 . d(7) 5 1 J1 1 V = —_7---------- = - -———====- - ----------------------- auW+D 2k1. u= -In -- +c =2廿+1凑法3 / (sin x) cos xdx = /(sm 1)d sin/ (cos x) sin xdx = -/(cos x)d cos x =J厕sec xdx =拉琬dtgx = f(u)c例13⑴『in'gf疝,⑵ Jsi (彳+1) 2 J 口以+1」b /-In —+ c .2 / +11=/("加-/1)也iu.n * xdx.J-/伽 x)— = /(In /din x = 血.工:cun五)七=/(arcsx x)d arcsin x = f(ii)du;/(arctgx) >“「 上『、,.1+/2 ^arctgtdarctgt = (arctgf)2 + 匕=(平坦金丫 +c其他凑法举例:例20In 彳 + 1 , rdfx =(xln 万一 小 , ^sec x(sec z + igx) , .sec x + sec xfgx , 例 22 sec 彳改= ----= f- —J J £ECX+侬 J sec x + £gx8 / 19例15Jsec 6 xtix例16 仲'皿晨"I —九皿sec" x -1) sec sec x凑法4「二二〞、二‘'士’二.：■：■, .例17 例19十工〕「arctgG 厂『而严恭日 21丁打钎1寸小凑法5例18「 dxJ x(l J 21n x) 凑法6pd(xln x)例21必也"国力 , I.------------------ -- In | sec x + Eg 工 | +c . J seer + tgx小八八 ji cosx + sin z , 例23 _二.J Vsin x-cosx— ,cosx +5sm x s 例24.J sin z + cos x门工 -5, 例26.J? + 2x + 2从积分 心.广£山出发,从两个方向用凑微法计算,即, ------ xiu । -------------- |\/1 - x 2 dx=-== rVl _ sin；j(l + CGS 2)或=：£ Z + G引出拆微原理.Th2设了=0①是单调的可微函数,并且80H.；又 力砒叫d ©具有原 函数.那么有换元公式JV ⑶立=【「【碗4y ⑶(证)9 / 19三、小结〔二〕第二类换元法拆微法:id sin t常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换：⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换〞.是针对型如庐7 〔a〉0〕的根式施行的,目的是去掉根号. 方法是：令了 = 似〉0〕,那么-x2- a cos t f dx = a cos tdt v t =3r osm - a 例271.一」解法一直接积分；解法二用弦换.例28dx时1.psinicosi . . #、、「====2 [ ------------ dt = 2i + c =2arcsin Jx + 匕.例29卜,2 +2x- x2dx = M3 - (A-1)'办====="3-/必=====3jcos2udu 3 3 . _ 3 . x-1 x-1 c - --- 2-..：i ■… ----------- ----------------- .. ■ . 1:,■1.⑵ 正切代换：正切代换简称为“切换〞.是针对型如J/ + / 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式6比.-建〞=1,即1+研=Wf, 令一二. 一二.....出.此时有+ / = aseci,f = wag- 变量复原时,常用所谓辅助三角形法. a例3010 / 19解令x=瓢馆%有dx = 成.利用例22的结果,并用辅助三角形,有= n .: ,, ' . ' . J：：Z?Y例31 |---⑶正割代换：正割代换简称为“割换〞.是针对型如&T 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式$式.7=出"令工二窘ecL有'工」=atgl f dx = xseci ,馆tdt,变量还愿时,常用辅助三角形法.例32〔.＞.〕斛J a a一『dx例33 f—； --------- .J-6-1解法一〔用割换〕J sec2/ /gi 解法二〔凑微〕sccttgtdt P , . 工=——=fsec^Z = In secZ +tgi +r atgt Jx +J- - a2 +c, c =c'-h \a Jcos^z = sin i +c = -1 +u11 / 192,无理代换:假设被积函数是娠,娠,… 倍数,作代换£ =也,有例34 j宁■心.例35 f―竺= === = =假设被积函数中只有一种根式t二产十］.从中解出［来.Vci + e例36 f—r==.例37 J-例38 户〞(例39 Jx\M-ldx = ：P / 4 2 \ j P〔=(t + i )dt = — + — + c =-J 5 3f ,娠的有理式时,设W为々(1.＜上)的最小公、公二履"出,可化被积函数为1的有理函数.6J-——=-6J(1 +£)祖+ 6J-- = ■■■=1十In 1-我+c.j北球+ &或J巴,,可试作代换t = Max+h或Kz + e给出两种解法)■ /~A - 畤=1 1 *了五W/(/)—为/十1)广2位-5 1 3-(?-l)a+-(?-l)a+c.i 3此题还可用割换计算,但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等」去掉型如痴7P的根式.(=achtdl. 如：.11ch t - -{ch2t+1), sh t = 一(e力2l - D,2 2s/x = h(x + $£ +1).r—L --- n-nskl 例40 +工&工呼热23■.我h2tT)d£= 2t +=勺口口+ / + —ln(A + 2 2此题可用切换计算,但归结为积分产题课例3.例41 f-j=S=.才■内触飞应(7小£解/ ---------- 成-『出―"=ln(x + J方『dx例42 ^-===.解/==== f ---- dt = fdt =t+c = ]nJ jsAi J : 品-幽九=1,令x 二a就,可化简时常用到双曲函数的一些恒等式域％ = Ishtcht., achtdl = a \ch tdt =—t +c =2+ /) + c .京曲,该积分计算较繁.参阅后面习r X 卜.；tk ir a +2)+c, r m企.=In | x + 柠 | +u c =c -}n\a\4.倒代换：当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式〞时,可试用倒代换.,二 114 / 195.万能代换：万能代换常用于三角函数有理式的积分就有sin x = 2sin -cos-= 坂一八22t——-=——彳2 1 1 + ? ?1 Tcosx = --1+z例44,2激ax =-------------x = 2arctgt.1 + COS J解法 用万能代换21+Z解法用初等化简cos 2- (参[1]P261).令-Jsec 2-1解法三〔用初等化简,并凑微〕,,1-cosx , ? a , 户 dfinx I = ------------ T —dx = esc xdx- ——7—J 1 T CQ j 工 J J 向'工+ c = CSCZ -ctgx + c =Zg — + c2=ln |ig- + l|+c .2代换法是一种很灵活的方法 三、小结〔三〕.分部积分法：导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一股原 那么.1.幕X X 型函数的积分： 分部积分追求的目标之一是：对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幕或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替〔一般会变繁〕,但总体上应使积分简化或能 直接积出.对“幕型的积分,使用分部积分法可使“幕〞降次,或对“ X 求导以使其成为代数函数.例46 1加如〔幕对搭配,取对为u 〕例47 jxcddx 〔幕三搭配,取幕为u 〕例48 产七〔幕指搭配,取幕为u 〕 例49 卜%〞改〔幕指搭配,取幕为u 〕15 / 191=Fgx + ------------ sin 工 例 45" _______ _ _________J1 + sin cosfi 1例51 1皿或gxd工〔幕反搭配,取反为u〕例52 1二…一.•」.•..2 建立所求积分的方程求积分：分部积分追求的另一个目标是：对被积函数两因子之一求导,进行分部积分假设干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1,于是得到关于原积分的一个7例53 僻sin zdx 1例54 求人=卜"附；历威和sin bxdx f〔白工0〕二0sx1解." Q 解得sin bx ~ —I v1i a a例55 J J笳+/d工 0 >0〕解1 =+? - |Y j K dx=J二1Jk + - - 二匚或+ f=Ma2+ x2- Z +/ ln〔工+ J J解得I = -^a2 + A2 + —ln〔A + + 犬2 2,程,从该方程中解出原积分来i sin + acozbx脚—7+L … asm bx -bcosbx " jdx =后+ /d〕+s,〔参阅例41〕〕+ c三、小结§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分〔2学时〕教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的 根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式 的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有 理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分 的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分,学会求某些有理函数的不定积分的技巧； 求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初 等函数表示出来17 / 19解得 例 56 「 J ； |L：；・・•・・・：・•..•-「［•,.・・・；==cos xsrn A + x -Jcos 2,j , 工1 •小 .j/ /…一 , 一二」一二. 2 4例57Jsec 5= Jscc A 1sec2xdx= jsecxd£gx = sec A/gx- pgxsec A/gxdx secx/gx'sec 21-l)secxdfx= secxigx- fsec 3xdx+ fstcxdx=工 〞■-；. •.一 飞一.二.、,解得 「I'■'_ 「I 」 '..-' '.22一、新课引入：由积分应用的广泛性引入二、讲授新课：〔一〕有理函数的积分：1.代数知识：[1]P190例1 [1]P190 ,2.局部分式的积分：[1]P192例2 [1]P192例3 [2]P260 E3.〔二〕.三角函数有理式的积分：[1]P194 万能代换. 例4—5 [1]P195 ——〔三〕某些无理函数的积分：[1]P195——198〔四〕一些不能用初等函数有限表达的积分：卜一~工「七必f生, 卜二=等.J Jx Jinx J71 + A4习题课〔2学时〕积分举例：强3* -1以.jy⑴心=句-?+ g求j矿⑴公例5 ,〔工〕=K,求J砒/〕公,例6设/〔彳〕〉0且具有连续导函数.计算积分]7〔力加加/0岫例7 [了⑺威口",求积分产;(“%二. 含有二次三项式的积分：Ec / 二-2 . 1 / 2/1 , 5 P &x例8 ------------------------ '一 ,- ----------- ：；•'「------ J Vx + A +1 2J Vx +x + 1 2JJ/+K+1_ ] "(/+# +1)_5f2 J Jv24- r + 1 2 J」.■一；-・・・:•,,.2 2J(i + -2/5欧=•・-「:.■一.•：(：・一' " =1 士t ____ f__________「二I :.. Ji. .. ■二,!:: 1■.小〕19 / 19。
有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分
1 x 1 1 2 J n 1 2 [ dx] 2 2 n 1 2 2 n 1 n 1 (x a ) a 2a n 1 ( x a ) Jn 1
2 2
x
2 n 1
2( n 1)a ( x a )
2n 3 2( n 1)a
2
J n 1 .
分解后的部分分式必须是最简分式.
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 dx 2 2 x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
2u 1 u 2 1 u 2 du 2 (1 u)(1 u )
(1 u)2 (1 u2 ) 1 u 1 du du du 2 2 (1 u)(1 u ) 1 u 1 u
1 = arctanu ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2
§有理函数、三角函数及一些无理函 数的不定积分
1、 有理函数的积分 2、 三角函数有理式的积分 3、 无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数.
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
= -d (cotx )
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究无理函数不定积分是高等数学中的重要内容，其求解方法需要一定的技巧。
本文将探究一些常见的无理函数不定积分求解技巧。
对于形如∫(sqrt(ax^2+bx+c)/x)dx这样的无理函数不定积分，可以通过代换法进行求解。
我们可以尝试将根号内的部分用一个新的变量来代替，使得求解变得更加简单。
一般来说，我们可以令根号内的部分等于t^2，即ax^2+bx+c=t^2。
然后对等式两边求导，得到2ax+bx'=2t。
将x'代换出来，得到x'=2t/(2a-bx)。
再将dx代换成dt，即dx=2t/(2a-bx)dt。
将所有的代换结果都带入到原始的不定积分中，就得到了一个只含有t 的不定积分。
通过求解这个新的不定积分，再将t代回到x中，就得到了原始的不定积分解。
这种方法的关键是选取适当的代换符号，并根据变换后的不定积分形式做相应的调整。
对于形如∫(sqrt(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f))dx这样的无理函数不定积分，可以通过配凑求解。
我们可以尝试将根号内的部分通过平方补全的方法配凑成一个平方形式。
具体的做法是找到一个合适的数使得根号内的部分加上这个数的平方可以变成一个完全平方式。
然后，我们可以将整个被积函数分解成两个部分，一个部分是一个常数乘以根号内的部分，另一个部分是平方补全项。
将这两个部分加在一起后，我们可以根据根号内的部分的形式选择适当的变换来求解这个不定积分。
这种方法的关键是找到合适的平方补全项，并根据根号内的部分的形式来进行配凑。
无理函数不定积分的求解方法有多种技巧，根据题目的特点和需要选择适当的方法进行求解。
在具体的求解过程中，我们还需要注意使用一些基本的积分公式和技巧，例如分部积分法、换元法等。
通过不断的练习和实践，我们可以提高对无理函数不定积分求解技巧的掌握水平，更加灵活地应用于实际问题中。
第4节 有理函数的不定积分
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
无理函数不定积分求解技巧的探究
无理函数不定积分求解技巧的探究1. 引言1.1 背景介绍无理函数的不定积分求解是微积分学中的重要内容，也是学生在学习数学过程中经常会遇到的难点之一。
无理函数的不定积分求解涉及到复杂的数学运算和技巧，需要掌握一定的知识和技能才能解决。
在学习无理函数的不定积分求解过程中，分部积分法、有理函数与无理函数的不定积分、三角函数与反三角函数的不定积分等知识点都是必须要掌握的内容。
通过对无理函数不定积分求解技巧的探究，不仅可以提高学生对数学的理解和应用能力，还能帮助他们更好地掌握数学知识，提高解题效率。
深入研究无理函数的不定积分求解方法，也可以拓展学生的数学思维，培养其解决实际问题的能力。
在本文中，我们将从引言、基本概念、分部积分法、有理函数与无理函数的不定积分、三角函数与反三角函数的不定积分、例题分析等方面展开讨论，希望能够为学生解决无理函数不定积分求解中的困惑，提供一些实用的技巧和方法。
【背景介绍】1.2 研究意义研究无理函数的不定积分求解技巧具有重要的理论意义和实际应用意义。
在数学理论研究中，无理函数不定积分的求解是微积分的一个重要内容，对于深入理解微积分的概念和原理具有重要作用。
无理函数的不定积分求解技巧也是解决实际问题中的数学建模和计算的重要工具。
许多实际问题的建模和求解需要运用无理函数不定积分的技巧，如物理、工程等领域中的问题都需要通过无理函数不定积分求解来得到精确结果。
2. 正文2.1 基本概念在学习无理函数不定积分的求解技巧之前，首先需要了解一些基本概念。
不定积分，也称为原函数，是导数的逆运算。
给定一个函数f(x)，其不定积分记为∫f(x)dx，表示找到一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)。
不定积分的结果通常包含一个任意常数C，因为对于同一个导数，其原函数可以有多个不同的表达形式。
为了求解无理函数的不定积分，首先需要掌握一些基本的积分公式和性质。
线性运算法则可以直接应用于不定积分，即∫(a*f(x)+b*g(x))dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx。
第4节有理函数的不定积分
2
2
2
例2
求积分
1 sin4
x
dx.
解
令utanx, 2
sinx12uu2 ,
dx12u2du,
1 sin4
x
dx
13u28u34u4u6du
1 8[31 u3u 33uu 33]C 2 4 t1 a2 x n 38t3 a2 xn 8 3ta2 xn 2 1 4 ta2 x n 3C .
解法二
令 utaxn ,则sinx
u, 1u2
dx11u2
du,
1 sin4 xdx
1 u
4 11u2du
1u2
1 u2 u4
du
31u3
1C u
1co3xtcoxtC. 3
解法三
1 sin4
dx x
cs4cxdxcs2x ccs2xc dx
令 t pa x b,其中p为m,n的最小公.倍数
例1
求积分
1
dx 3x
2
.
解 令 t3x2, 则 xt32,dx3t2dt,
原式 13t2tdt 3(t211)t1dt 3(t11 1t)dt
31 t 2 tln1t C
2 33 (x2)2 33 x23ln13x2C.
原式 (1u)2u 1 (u2)du 2u( 11u)u(12 1u 2)u2du
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1u 1u2
du
1 du 1 u
arctuan 1ln(1u2)ln |1u|C
2
x ln| secx | ln|1taxn|C.
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数学分析
例3
求
x
dx
.
x2 2x 3
解 用方法 1:
x
dx x2 2x 3
x
dx
x 12 4
x
u
1
u
du
1 u
2
4
u
2 sec
2sec tan
2sec 12tan
d
2
d cos
注 虽然初等函数都是连续函数,从而它们都存在 原函数,但并非初等函数的原函数都是初等函数.
例如
ex2dx,
sin x2dx,
sin x
x
dx,dx ln x都不是初等函数,因此都不可能用我们介绍的 方法把它们的原函数求出来.
数学分析
第二单元 Ch9 不定积分
3.1 某些无理函数的不定积分
数学分析
某些无理函数的不定积分
1.
R( x,
n
ax b cx d
)
dx
型不定积分
(ad
bc
0)
令 t n ax b , 可化为有理函数的积分. cx d
数学分析
例1
求
dx
.
3 ( x 1)2( x 2)
解 由于
3
(x
1)2( x
2
t tan 2
2
1
1 1
t2 t2
t2
dt
t
2
2
3
dt
数学分析
2 arctan t C 2 arctan( 1 tan ) C.
3
3
3
32
由于
tan
2
1
sin
cos
tan sec 1
u 22 1
x2 2x 3 ,
u 21
x 1
得
dx
2 arctan x 2 2 x 3 C.
3 4
ln 1 t 1 ln(1 t t 2) 3 arctan 1 2t C
2
3
3 ln 3 x 2 3 x 1 2
3 arctan2
3
x
1 3 x 3 3 x2
2
C.
1 1
t
t 1
2 t t2
dt
数学分析
2. R(x, ax2 bx c )dx 型不定积分
x x2 2x 3 3
3( x 1)
数学分析
用方法 2 : 令 x2 2 x 3 x t, 则
x
t2 3
2t 1
,
dx
t2
2t
2t 3
12
dt,
x2
2x
3
t2 3
2t 1
t
t 2 2t 3
2t 1 .
因此
x
dx x2 2x 3
2(t t2
1) 3
2(t (t 2
可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,
有时也可直接化为有理函数的不定积分.
方法1
由于ax 2
bx
c
a
(x
b )2 2a
4ac b2 4a 2
,
若记 u
x b 2a
,k2
4ac b 2 4a 2
,
则 ax2 bx c 化为
(i) a u2 k 2 , 或(ii) a u2 k 2 , 或(iii) a k 2 u2 .
数学分析
因此可分别设 (i) u k tan t; (ii) u k sec t; (iii) u k sin t. 把它们转化为三角函数有理式的不定积分. 方法2 (欧拉变换)
(a) 若a 0, 令 ax 2 bx c a x t; (b) 若c 0 , 令 ax 2 bx c xt c;
1) 2t
3)
t2 2(t
2t 3 1)2
dt
t
2
2
3
dt
2 arctan 3
t C 3
数学分析
2 arctan x2 2 x 3 x C.
3
3
注1 对于本题来说,方法 2 显然比方法 1 简捷.
注2 由以上两种方法所得的结果, 形式虽不相同 但实质上只相差某一常数而已.
数学分析
2)
(x
2)
3
x x
1 2
2
,
因此令t 3
x x
1 2
,
则x
1 2t3 1 t3
,
dx
9t 2 1 t3
dt.
2
dx
3 ( x 1)2( x 2)
3 1 t3
dt
1
1
t
1
t
2 t t2
dt
数学分析
ln 1 t
1 2
1 1t
2t t
2
dt
3 2
t
dt 1 2 2