人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页
在正方形 ABCD 内的轨迹（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】2014-2015 学年江西省余江一中高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析)
【答案】A
5．在正三棱锥 P ABC 中， D ， E 分别是 AB ， BC 的中点，有下列四个结论： ① AC PB ；② AC 平面 PDE ；
A． 30°
B． 45
C． 60
【来源】山东省莱州市第一中学高一数学必修 2 综合测试题
D． 90
【答案】D
14．四面体 ABCD 中，棱 AB, AC, AD 两两互相垂直，则顶点 A 在底面 BCD 上的正
试卷第 4页，总 17页
投影 H 为 BCD 的（ ）
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
【来源】山东省莱州市第一中学高一数学必修 2 综合测试题
31．如图，在四面体 A－BCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱长都为 1，则二
面角 A－CD－B 的平面角的余弦值为________.
Байду номын сангаас
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【来源】同步君人教 A 版必修 2 第二章 2.2.4 平面与平面平行的性质
9
【答案】
2
23．空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点． ①若 AC＝BD，则四边形 EFGH 的形状是____； ②若 AC⊥BD，则四边形 EFGH 的形状是____． 【来源】第 02 章章末检测（B)-2018-2019 版数学创新设计课堂讲义同步系列（人教 A 版必修 2) 【答案】菱形 矩形
值的是（ ）
A．点 P 到平面 QEF 的距离
B．三棱锥 P QEF 的体积
C．直线 PQ 与平面 PEF 所成的角
D．二面角 P EF Q 的大小
【来源】2015 届海南省高三 5 月模拟理科数学试卷（带解析)
【答案】C
12．已知 A ， B ， C ， D 是空间不共面的四个点，且 AB CD ， AD BC ，则直线
人教版高一第二章点，直线，平面之间的位置关系单元测试
精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 为边长为 3 的正三角形，侧棱 SA 底面 ABC ， 若三棱锥的外接球的体积为 36 ，则该三棱锥的体积为（ ）
BD 与 AC （ ）．
A．垂直
B．平行
C．相交
D．位置关系不确
定
【来源】北京海淀科大附中 2017-2018 学年高二上学期期中考试数学试题
【答案】A
13．在三棱锥 S ABC 中， AC 平面 SBC ，已知 SC a, BC 3a, SB 2a ，则
二面角 S AC B 的平面角是（ ）
B．①③⇒②；②③⇒①
C．①②⇒③；②③⇒①
D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
【答案】A
21．已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形， PA 平面 ABC ，则下列结论不
正确的是（ ）.
A． CD ∥平面 PAF C． CF P 平面 PAB
A．θ＞φ，m＞n
B．θ＞φ，m＜n
C．θ＜φ，m＜n
D．θ＜φ，m＞n
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
【答案】D
20．已知α、β是两个平面，直线 l⊄ α，l⊄ β，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条
件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有 (
)
A．①③⇒②；①②⇒③
A． 9 2
B． 27 2 2
C． 9 2 2
D． 27 2
【来源】第二章 本章能力测评（二)
【答案】C
2．二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且
都垂直于 AB. 已知 AB 4 ， AC 6 ， BD 8 ， CD 2 17 ，则该二面角的大小为
24．已知平面 ， 和直线 m ，给出下列五个条件： ① m ；② m ；③ m Ö ；④ ；⑤∥ . （1）当满足条件__________时，有 m ； （2）当满足条件__________时，有 m .（填所选条件的序号）
【来源】2017-2018 北京西城鲁迅中学高二上期中数学真题卷 【答案】③⑤ ②⑤
A．0
B．1
C．2
D．无数
【来源】高二人教版必修 2 第一章 本章能力测评（一)B
【答案】B
7．如图,四面体 ABCD 中,AB,BC,BD 两两垂直,BC=BD=2,点 E 是 CD 的中点,异面直线
试卷第 2页，总 17页
AD 与 BE 所成角的余弦值为 10 ,则直线 BE 与平面 ACD 所成角的正弦值为( ) 10
B． CF 平面 PAD D． DF 平面 PAF
【来源】北京市十一学校 2016-2017 学年高二上学期期中考试数学（文)试题
【答案】B
试卷第 6页，总 17页
评卷人 得分
二、填空题
22．如图，棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 是棱 AA1 的中点，过 C，M，
D1 作正方体的截面，则截面的面积是________．
()
A．150
B． 45
C． 60
D．120
【来源】2015-2016 学年浙江金华等三市部分学校高二下学期期中数学试卷（带解析)
【答案】C 3．给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条
直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，
试卷第 7页，总 17页
__________． 【来源】黑龙江省北安市实验中学 2017-2018 学年高中数学人教版选修 2-1 第三章空间 向量与立体几何单元测试
1
【答案】
4
27．已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点,则直线 AE 与平面 A1ED1 所成角的大小为_____. 【来源】2018 秋人教 A 版高中数学选修 2-1 模块综合测评(B)
【来源】黑龙江省北安市实验中学 2017-2018 学年高中数学人教版选修 2-1 第三章空间
向量与立体几何单元测试
【答案】D
9．已知直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，有下列命题：
① // l m ； ② l // m ； ③ l // m ； ④ l m //
其中正确的命题是（ ）
25．三个平面 ， ， 两两相交， a ， b ， c ．若 a b ，
则 a 与 c 的位置关系是______．
【来源】高二人教版必修 2 第一章 5.2 平行关系的性质 【答案】平行 26．已知正四棱台 ABCD－A1B1C1D1 中，上底面 A1B1C1D1 边长为 1，下底面 ABCD 边 长为 2，侧棱与底面所成的角为 60°，则异面直线 AD1 与 B1C 所成角的余弦值为
17．设直线 l⊂平面α，过平面α外一点 A 与 l，α都成 30°角的直线有 ( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
【答案】B
18．在等腰 Rt△ABC 中，AB＝BC＝1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折
后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 C－BM－A 的大小为( )
③若 n 是平面α的法向量,b,c 是α内两个不共线的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),则 n·a=0;
2019_2020学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元质量测评(含解析)新人教A版必修2
第二章单元质量测评对应学生用书P53 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，图中点、线、面的位置关系用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n答案 A解析点、线、面的位置关系，点与线和面的关系用∈，∉，线与平面的关系用⊂，⊄，所以题图中点、线、面的位置关系表示为“α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A”，故选A．2．E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．重合答案 C解析 如图所示，连接BD ，EF ，FG ，GH ，HE ，EG ，HF ，由E ，F ，G ，H 是空间四边形ABCD 四边的中点，有EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，EG 与FH 是对角线，故选C ．3．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有且只有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 B解析 如图，和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在的直线，当BC 与l 平行时，直线AC ，AB 都满足条件．故选B ．4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 D解析 如图，过点M 作ME∥DN 交CC 1于点E ，连接A 1E ，则∠A 1ME 为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ，则A 1M ＝32a ，ME ＝54a ，A 1E ＝414a ，所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2，所以∠A 1ME ＝90°，即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°． 5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线答案 C解析垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故D错误；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故C正确．6．从平面α外一点P引平面α的垂线PO和斜线PA，PB，已知PA＝8，PB＝5，且OA∶OB ＝4∶3，则点P到平面α的距离是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析设OA＝4k，则OB＝3k．在Rt△POA中，PO2＝PA2－OA2＝64－16k2．在Rt△POB 中，PO2＝PB2－OB2＝25－3k2．所以64－16k2＝25－3k2，所以k2＝3，所以PO2＝16，PO＝4．7．在直三棱柱(侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( )A．30° B．45° C．60° D．90°答案 C解析本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1，所以BA1与BD1所成的角为60°．8．设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，AA1＝2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A．4π B．8π C．16π D．12π答案 D解析 由题意知，三棱柱的底面所在的截面圆的直径2r ＝22，则球的半径R ＝22＋12＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选D ．9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为( )A ．12B ．13C ．33D ．23 答案 C解析 如图，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ． ∵AC＝2，其余各棱长都为1， ∴BF⊥CD，AD⊥CD，∴EF⊥CD． ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2．∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝EF BF ＝33．10．已知正四棱柱(底面为正方形侧棱垂直底面)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A ．1010 B ．15 C ．31010 D ．35答案 C解析 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 连接A 1B ，过E 作EF⊥A 1B ，交A 1B 于F ． ∵A 1D 1綊AD 綊BC ，∴A 1D 1綊BC ， ∴四边形A 1BCD 1为平行四边形， ∴A 1B∥CD 1，∴∠A 1BE 是异面直线BE 与CD 1所成的角或其补角． 设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，则AE ＝A 1E ＝a ，∴BE＝2a ，A 1B ＝5a ， 在Rt△A 1AB 中，sin∠AA 1B ＝AB A 1B ＝a 5a ＝55， 在Rt △A 1EF 中，sin∠AA 1B ＝EF A 1E， ∴EF＝a·55＝55a ． ∴在Rt△BFE 中，cos∠A 1BE ＝BFBE＝2a2－⎝⎛⎭⎪⎫55a 22a＝31010．11．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )答案 A解析解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ．同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ．故选A．解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，故选A．12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA ＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是( )A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线C1E与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N－ADF的体积为3 7C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF D．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF答案 C解析连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF．由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错误；若在A1C1上存在点N，则V N－ADF＝V D－AFN，当N与C1重合时，V D－AFN取最小值为36，故B错误；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF．又∵AD⊥平面CB1，CM⊂平面CB1，∴AD⊥CM．∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF．∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确．过C1作C1G∥FA交AA1于点G．若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G．又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G．∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错误．综合选C．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为________．答案CD∥EF解析因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD．同理可证AB∥EF，所以CD∥EF．14．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________．(填“平行”“相交”或“异面”)答案相交解析连接A1D，PQ，B1C，∵点P，Q分别是B1C1，CC1的中点，∴PQ∥B1C．在正方体中，易知B1C∥A1D，∴PQ∥A1D，∴A1，D，Q，P共面．又∵PQ≠A1D，∴四边形A1DQP是梯形，A1P 与DQ相交．15．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析∵α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，若①m⊥n，③n⊥β，则m∥β．又∵④m⊥α，∴②α⊥β．即①③④⇒②．若②α⊥β，③n⊥β，则n∥α，又∵④m⊥α，∴①m⊥n．即②③④⇒①．16．在如图所示的棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，作与平面ACD1平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是________；截得的平面图形中，面积最大的值是________．答案2 3 3 3解析截得的三角形中，面积最大的是三角形A1C1B，面积为34×(22)2＝23．截得的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为6×34×(2)2＝33．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在AD1上移动，点N在BD上移动，D1M＝DN＝a(0<a<2)，连接MN．(1)证明：对任意a∈(0，2)，总有MN∥平面DCC1D1；(2)当a为何值时，MN的长度最小？解(1)证明：如图，作MP∥AD，交DD1于点P，作NQ∥BC，交DC于点Q，连接PQ．由题意得MP∥NQ，且MP＝NQ，则四边形MNQP为平行四边形．∴MN∥PQ．又∵PQ⊂平面DCC1D1，MN⊄平面DCC1D1，∴MN∥平面DCC1D1．(2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，∴MN＝PQ．∵DD1＝AD＝DC＝BC＝1，∴AD1＝BD＝2．∵D 1M ＝DN ＝a ，∴D 1P 1＝a 2，DQ 1＝a2．即D 1P ＝DQ ＝a 2， ∴MN＝PQ ＝1－D 1P2＋DQ 2＝1－a 22＋a 22＝a －222＋12(0<a<2)． 故当a ＝22时，MN 的长度有最小值，为22． 即当M ，N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长度最小，此时MN 的长度为22． 18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°．(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC⊥BM，并求PMMC 的值．解 (1)在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°， 过点B 作BN 垂直AC 于点N ，则 BN ＝AB·sin∠BAC＝1×sin60°＝32， ∴S △ABC ＝12AC·BN＝12×2×32＝32．又∵PA⊥平面ABC ，∴PA 是三棱锥P －ABC 的高．∴V P －ABC ＝13×1×32＝36．(2)证明：过N 作NM∥PA 交PC 于点M ，连接BM ． ∵PA⊥平面ABC ，∴MN⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴MN⊥AC． 又MN∩BN＝N ，∴AC⊥平面BMN ． ∵BM ⊂平面BMN ，∴AC⊥BM． 此时M 即为所找的点． 在△ABN 中，易知AN ＝12AB ＝12，∴PM MC ＝AN CN ＝13．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为22的正方形，其他四个侧面都是腰长为5的等腰三角形，过棱PD 的中点E 作截面EFGH ，使截面E FGH∥平面PBC ，且截面EFGH 分别交棱PA ，AB ，CD 于点F ，G ，H ．(1)证明：EF∥GH；(2)求三棱锥F －ABD 的体积．解 (1)证明：∵平面EFGH∥平面PBC ，平面EFGH∩平面PCD ＝EH ，平面PBC∩平面PCD ＝PC ，∴EH∥PC．又E 是PD 的中点，∴H 是CD 的中点． 同理可证F ，G 分别是PA ，AB 的中点， ∴EF∥AD，GH∥AD，∴EF∥GH．(2)如图，连接AC ，设AC∩BD＝O ，连接PO ．∵底面ABCD 是边长为22的正方形，∴AC⊥BD，且AC ＝BD ＝4． ∵侧面为全等的等腰三角形，∴PO⊥AC，PO⊥BD． 又AC∩BD＝O ，∴PO⊥平面ABCD ． 在Rt△POA 中，PO ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1． 又F 为PA 的中点，∴V F －ABD ＝12V P －ABD ．又V P －ABD ＝13S △ABD ·PO＝13×12×(22)2×1＝43，∴V F －ABD ＝23．20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D⊥平面A 1BC ；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角的正弦值．解(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE．由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE．因为AB＝AC，所以AE⊥BC．所以AE⊥平面A1BC．连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE．因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．(2)如图，作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF．因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E．因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE．所以BC⊥A1F，所以平面AA1DE⊥BB1C1C，所以A1F⊥平面BB1C1C．所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角．由AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，得EA＝EB＝2．又A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14．由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72．所以sin∠A1BF＝78．21．(本小题满分12分)△BCD内接于直角梯形A1A2A3D，若A1D＝5，A1A2＝4，沿△BCD三边分别将△A1BD，△A2BC，△A3CD翻折上去，恰使A1，A2，A3重合，重合后记为A．(1)求证：AB⊥CD；(2)求平面BCD与平面ACD所成二面角的正切值．解在题图中，由A1，A2，A3三点可重合知A1B＝A2B＝2，A1D＝A3D＝5，A2C＝A3C．作DF⊥A2A3于点F，则FA3＝3⇒A3C＝A2C＝4．(1)证明：折叠后的图形如图所示，∵AB⊥AD，AB⊥AC，AD∩AC＝A，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．(2)作AE⊥CD于点E，连接BE．∵AB⊥CD ，AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥BE，则∠AEB 为平面BCD 与平面ACD 所成二面角的平面角． 在△ACD 中，AE ＝DF·AC CD ＝161717，∵AB⊥平面ACD ，∴AB⊥AE， ∴tan∠AEB＝AB AE ＝178．22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ，且BC 1⊥A 1C ． (1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)点D 在边A 1C 1上且C 1D ＝13C 1A 1，证明在线段BB 1上存在点E ，使DE∥平面ABC 1，并求此时BEBB 1的值． 解 (1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴四边形ACC 1A 1是矩形． ∵AA 1＝AC ，∴AC 1⊥A 1C ． 又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1， ∴A 1C⊥平面ABC 1． ∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1． (2)当BE BB 1＝13时，DE∥平面ABC 1，在A 1A 上取点F ，使AF AA 1＝13， 连接EF ，FD ．∵C 1D C 1A 1＝AF AA 1＝BE BB 1＝13，∴EF∥AB，DF∥AC 1．∵AB∩AC1＝A，EF∩DF＝F，∴平面EFD∥平面ABC1，∵DE⊂平面DEF，∴ED∥平面ABC1．。
【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上， 由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的 交线． 8． 证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明 因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α， 由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13． 证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1， 又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．
人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系作业题及答案解析第2章2.2.2
千思兔在线教育平面与平面平行的判断【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判断定理的含义． 2．能运用平面与平面平行的判断定理，证明一些空间面面平行的简单问题．1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥ β，直线a?α，则a与β的地点关系为 ________．2．下边的命题在“ ________处”缺乏一个条件，补上这个条件，使其组成真命题(M ， n 为直线，α，β为平面 )，则此条件应为________．m? αn? αm∥ β? α∥ βn∥ β一、选择题1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，能够作出( )A．0 个B．1 个C．0个或 1个D．1个或 2个2．α和β是两个不重合的平面，在以下条件中，可判断α∥ β的是 ( )A ．α内有无数条直线平行于βB．α内不共线三点到β的距离相等C．l 、M 是平面α内的直线，且 l ∥ α， M∥ βD． l 、M 是异面直线且 l ∥ α， M∥ α， l∥ β， M∥ β3．给出以下结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不可以作一个平面与已知平面平行；④若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个．A．1 个B．2 个C．3 个D．4个4．若不在同向来线上的三点A、 B、 C 到平面α的距离相等，且AD/∈ α，则 ( )A ．α∥平面 ABCB．△ ABC 中起码有一边平行于αC．△ ABC 中至多有两边平行于αD．△ ABC 中只可能有一边与α订交5．正方体 EFGH — E1F1G1H1中，以下四对截面中，相互平行的一对截面是( ) A ．平面 E1FG 1与平面 EGH1B．平面 FHG 1与平面 F1H 1GC．平面 F1H1H 与平面 FHE 1D．平面 E1HG 1与平面 EH 1G6．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的随意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线二、填空题7．已知直线a、 b，平面α、β，且 a∥ b， a∥ α，α∥β，则直线 b 与平面β的地点关系为______ ．8．有以下几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；② α∩ γ＝ a，α∩ β＝ b，且 a∥ b(α，β，γ分别表示平面，a， b 表示直线 )，则γ∥ β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥ β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥ β．此中正确的有 ________． (填序号 )9．如下图，在正方体 ABCD — A1B1C1D 1中， E、F 、G、H 分别是棱 CC1、C1D 1、D1D 、CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 知足 ________时，有 MN ∥平面 B1BDD 1．三、解答题10．如下图，在正方体ABCD － A1B1C1D1中，S 是 B1D 1的中点，E、 F、G 分别是 BC、 DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG∥平面BDD 1B1．11．如下图， B 为△ ACD 所在平面外一点， M，N，G 分别为△ ABC，△ ABD，△ BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面 ACD ；(2)求 S△MNG∶S△ADC．能力提高12．三棱柱ABC－A1B1C1， D 是 BC 上一点，且A1B∥平面 AC1D ，D 1是 B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面 AC1D ．13．如下图，在正方体 ABCD —A1B1C1D1中， O 为底面ABCD 的中心， P 是 DD 1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ∥平面 PAO?判断或证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判断定理：假如一个平面内有两条订交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．2．2 平面与平面平行的判断答案知识梳理1．无a∥ β2． M， n 订交作业设计1．C 2．D 3．B 4． B 5． A 6． C 7． b∥β或b? β8．③分析① 不正确，当两平面订交时，在一个平面双侧分别有无数点知足条件；②不正确，当平面β与γ订交时也可知足条件；③ 正确，知足平面平行的判断定理；④ 不正确，当两平面订交时，也可知足条件．9． M ∈线段 FH分析∵ HN ∥ BD ，HF∥ DD 1，HN∩HF＝H，BD ∩DD1＝D，∴平面 NHF ∥平面 B 1BDD 1，故线段 FH 上随意点M 与 N 连结，有 MN ∥平面 B1BDD1．10．证明如下图，连结 SB， SD，∵ F、 G 分别是 DC 、 SC 的中点，∴ FG∥ SD．又∵ SD? 平面 BDD 1 B1， FG?平面 BDD 1B1，∴直线 FG∥平面 BDD 1B 1．同理可证 EG∥平面 BDD 1B1，又∵ EG? 平面 EFG，FG? 平面 EFG，EG∩ FG＝ G，∴平面 EFG∥平面 BDD 1B1．11． (1)证明 (1)连结 BM ， BN ，BG 并延伸分别交AC ，AD ，CD 于 P，F， H．∵M，N，G 分别为△ ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝ 2，且 P，H ，F 分别为 AC ， CD ， AD 的中点．连结 PF， FH， PH，有 MN ∥PF．又 PF? 平面 ACD ， MN ?平面 ACD ，∴MN ∥平面 ACD ．同理 MG ∥平面 ACD ，MG ∩MN ＝M ，∴平面 MNG ∥平面 ACD ．千思兔在线教育MG ＝ BG ＝2，(2)解 由(1)可知 PH BH 32∴MG ＝ PH ．31 1AD ． 又 PH ＝ AD ，∴MG ＝32同理 NG ＝ 1AC ，MN ＝ 1CD ．3 3 ∴△ MNG ∽△ ACD ，其相像比为 1∶3． ∴ S △ MNG ∶ S △ACD ＝ 1∶ 9． 12．证明连结 A 1C 交 AC 1于点 E ，∵ 四边形 A 1ACC 1 是平行四边形， ∴ E 是 A 1C 的中点，连结 ED ，∵ A 1B ∥平面 AC 1D ，ED? 平面 AC 1D ， ∴ A 1B 与 ED 没有交点，又 ∵ ED? 平面 A 1BC ，A 1B? 平面 A 1BC ， ∴ ED ∥ A 1B ．∵ E 是 A 1C 的中点， ∴D 是 BC 的中点．又 ∵ D 1 是 B 1C 1 的中点，∴ BD 1∥C 1D ，A 1D 1∥ AD ，∴ BD 1∥ 平面 AC 1D ，A 1D 1∥ 平面 AC 1D ．又 A 1D 1∩ BD 1＝D 1，∴平面 A 1BD 1∥平面 AC 1D ．13． 解 当 Q 为 CC 1 的中点时， 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．∵Q 为 CC 1的中点， P 为 DD 1 的中点， ∴ QB ∥PA ．∵ P 、O 为 DD 1、 DB 的中点， ∴ D 1B ∥ PO ．又 PO ∩ PA ＝ P ， D 1B ∩ QB ＝ B ， D 1B ∥ 平面 PAO ，QB ∥ 平面 PAO ，∴ 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．。
《第二章 点、直线、平面之间的位置关系》试卷及答案_高中数学必修2_人教A版
《第二章点、直线、平面之间的位置关系》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在空间直角坐标系中，点A的坐标为（1，2，3），点B的坐标为（4，5，6），则线段AB的中点坐标是：A.（2.5，3.5，4.5）B.（2，3，4）C.（3，4，5）D.（5，6，7）2、在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），点B（4，5，6），若直线l通过点A且垂直于向量AB，则直线l的方程可以表示为（）A. x + y + z = 10B. x + 2y + 3z = 10C. x + 2y + 3z = 0D. x - 2y + 3z = 03、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别为棱AB和BB1的中点，点G为棱A1B1的中点，则直线EF和直线CG的位置关系是（）A、平行B、相交C、异面D、垂直4、在三维空间中，若点A（1,2,3），点B（4,5,6），点C（7,8,9）不共线，且直线l同时垂直于直线AB和BC，则直线l的方向向量是（）A. （1,1,1）B. （3,3,3）C. （6,6,6）D. （3,2,1）5、在空间直角坐标系中，若点A的坐标为(1, 2, 3)，点B的坐标为(-2, 1, 0)，则直线AB的方向向量可以表示为：A. (3, -1, 2)B. (1, -2, -3)C. (3, 2, -1)D. (2, 3, 1)6、已知在长方体(ABCD−A1B1C1D1)中，下列哪一组的两条直线是异面直线？A、直线(A1D1)和直线(BC)B、直线(A1B1)和直线(BD)C、直线(AD)和直线(A1B1)D、直线(A1D)和直线(BC1)7、在空间中，已知直线AB和CD不平行，且它们的交点为F，点E既不在直线AB 上，也不在直线CD上。
若点G是直线AB上的一点，点H是直线CD上的一点，且点E、点G、点H三点共面，则下列说法错误的是（）A、直线EF和CH可能互相平行．B、直线EG和CH可能互相垂直．C、直线EF和GH可能互相垂直．D、直线EG和GH可能互相垂直．8、若一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内任何直线的关系是：A)平行B)垂直C)异面D)平行或异面二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列命题中，正确的是（）。
人教版数学高一必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元训练
第二章 单元训练第二章 点、直线、平面之间的位置关系A 组一、选择题1．下列命题正确的是………………………………………………（ ）A ．三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两条相交直线确定一个平面 2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°3．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行 4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行 ④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中(第2题)①BM与ED平行②CN与BE异面60④DM与BN垂直③CN与BM成以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( )．A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°]二、填空题11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．12．P是△ABC所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC．(1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的 心； (2)PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的 心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的 心； (4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的 点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的 线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．14．直线l 与平面所成角为30°，l ∩＝A ，直线m ∈，则m 与l 所成角的取值范围 是 ．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为 ．16、．若直线a ，b 都平行于平面α，那么a 与b 的位置关系是 ．三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为 ，猜想为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)J(第13题)(第17题)18． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21． (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(第18题)(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n ，l ⊂，m ⊂，且l ∥n ，m ⊥n ，则m ⊥l ，显然平面不垂直平面 ，(第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题， 2．D 解析：异面直线AD 与CB 1角为45°． 3．D ．4．D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D ． 5．D 6．B 解析：设平面过l 1，且 l 2∥，则 l 1上一定点 P 与 l 2 确定一平面，与 的交线l 3∥l 2，且 l 3 过点 P . 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条，即 l 3 有唯一性，所以经过l 1 和 l 3 的平面是唯一的，即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯一的.7．C 解析：当三棱锥D －ABC 体积最大时，平面DAC ⊥ABC ，取AC 的中点O ，则△DBO 是等腰直角三角形，即∠DBO ＝45°．8．D 解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ，b ’∥b ，c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3，∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上．13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．相交或异面直线 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23， 在Rt △DEO 中，sin ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23． (3)当 ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ． (2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题) 又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯， ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．。
人教版高一数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系练习题及答案ABC卷
第二章点、直线、平面之间的位置关系［基础训练A组］一、选择题1. 下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 32. 下面列举的图形一定是平面图形的是（）A.有一个角是直角的四边形 B .有两个角是直角的四边形C•有三个角是直角的四边形 D .有四个角是直角的四边形3. 垂直于同一条直线的两条直线一定（）A.平行 B .相交C .异面D .以上都有可能4. 如右图所示，正三棱锥V—ABC （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D,E,F分别是VC,VA,AC 的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A. 300 B . 900 C . 60°D .随P点的变化而变化。
5. 互不重合的三个平面最多可以把空间分成（）个部分A. 4 B . 5 C . 7 D . 86 .把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以代B,C, D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC所成的角的大小为（）A . 90B . 60C . 45D . 30二、填空题1 .已知a,b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系_____________________ 。
2. 直线I与平面〉所成角为300，丨门〉二代m二:JA，m，则m与I所成角的取值范围是_______________3. 棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1,d2,d3,d4，贝U d1d2d3d4的值为__________________ 。
4 .直二面角:-l - ■的棱l上有一点A，在平面〉「内各有一条射线AB，AC第二章点、直线、平面之间的位置关系与丨成45°, AB : , AC ［，贝U . BAC 二_______________ 。
高一数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试题及答案
人教必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题（时间：60分钟；满分：100分）班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分；共50分）1.若直线a 不平行于平面α；则下列结论成立的是（ ）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点. 2.已知两个平面垂直；下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线；则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C3.空间四边形ABCD 中；若AB AD AC CB CD BD =====；则AC 与BD 所成角为A 、030B 、045 060 D 、090 4. 给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行；则a 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直；则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直；则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面；直线b 和c 共面；则a 和c 共面 其中错误命题的个数为（ ） A 、 0 B 、1 C 、2 D 、35．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中；与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A 、 3B 、 4C 、 6D 、 86. 点P 为ΔABC 所在平面外一点；PO ⊥平面ABC ；垂足为O ；若PA=PB=PC ；则点O 是ΔABC 的（ ）A 、 内心B 、外心C 、 重心D 、垂心 7.如图长方体中；AB=AD=23；CC 1=2；则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）A 、300B 、450C 、600D 、9008.直线a ；b ；c 及平面α；β；γ；下列命题正确的是（ ）A 、若a ⊂α；b ⊂α；c ⊥a ； c ⊥b 则c ⊥αB 、若b ⊂α； a//b 则 a//αC 、若a//α；α∩β=b 则a//bD 、若a ⊥α； b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α；a//βC.直线a α⊂；直线b β⊂；且a//β；b//αD.α内的任何直线都与β平行 10、 a ； b 是异面直线；下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ；b 都垂直；④至少有一个平面与a ；b 都平行。
第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案
第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》一、选择题1． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。
其中真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④4．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是A ．若//l m ，//m n ，则//l n .B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.D ．若//l α，//n α，则//l n .5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ． ①是假命题，②是真命题C ． ①②都是真命题D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m （填所选条件的序号）2．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号） 3．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）4．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)5． 已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线② 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,m αβα⊂,则//m β上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、计算题1． 如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。
人教新课标版数学高一人教A版必修二测评 第二章 点、直线、平面之间
单元测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直解析：当直尺与地面垂直时，地面上的任意一条直线都和直尺所在的直线垂直；当直尺所在的直线与地面不垂直时，过直尺所在的直线作一与地面垂直的平面，此平面与地面的交线设为a，则地面内任一与交线a 垂直的直线都与直尺所在的直线垂直．答案：D2．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的() A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．答案：B3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m ⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.答案：B4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD 与BC”均不垂直解析：当AC＝1时，由DC＝1，AD＝2，得∠ACD为直角，DC ⊥AC，又因为DC⊥BC，所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.答案：B5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α解析：选项A的已知条件中加上m⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.答案：D6．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：取BC中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，∴∠EFH ＝30°. 答案：D7．点P 是等腰△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为( )A ．4 5 B. 3 C ．3 3D ．2 3解析：作AD ⊥BC 于D ，连接PD ，易证PD ⊥BC ，故PD 的长即为P 到BC 的距离．AD ＝ AB 2－⎝⎛⎭⎪⎫12BC 2＝52－32＝4. ∴PD ＝AD 2＋PA 2＝42＋82＝4 5.答案：A8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE .⎭⎬⎫C 1E ⊥B 1D 1，C 1E ⊥BB 1⇒C 1E ⊥平面BDD 1B 1，∴∠C 1BE 的正弦值就是所求角的正弦值． ∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2，∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105.答案：D9．将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( )A ．45°B ．30°C．60°D．90°解析：如图，设正方形边长为a.在△AMD中，AD＝a，AM＝32a，DM＝a2，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.答案：D10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD ＝BD，AB⊥BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，同理CD⊥BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.∴互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD，共3对．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．读图①②，用符号语言表示下列图形中元素的位置关系．①②(1)图①可以用符号语言表示为__________．(2)图②可以用符号语言表示为__________．答案：(1)α∩β＝l，m⊂α，m∥l，n⊂β，n∩l＝P(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E 是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.解析：当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.答案：E是SA的中点13．在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与MN平行的是__________．解析：如图，设DC的中点为E，则重心M、N分别在中线AE、BE上，且EMMA＝ENNB＝12，∴MN∥AB，而AB⊂面ABC，AB⊂面ABD∴MN∥面ABD，MN∥面ABC.答案：面ABD，面ABC14．(2012·佛山高一检测)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n ⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是__________．解析：当m⊥n，n⊥β时，m∥β，又m⊥α，所以α⊥β；当α⊥β，n⊥β时，n∥α，又m⊥α，所以m⊥n.答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC ⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AC＝平面ABC∩平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.(6分)又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.(12分)16．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点，∴EF∥PD.又∵PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD.∴直线EF∥平面PCD.(6分)(2)连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．又∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.(12分)17．(12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(6分)(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(12分)18．(14分)△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EA＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．(1)求证：DF∥平面ABC；(2)求证：AF⊥BD；(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.∵EF＝FB，AG＝GB，∴FG綊12EA.又DC綊12EA，∴FG綊DC.∴四边形CDFG为平行四边形，故DF∥CG.∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC.(4分)(2)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG.又△ABC是正三角形，∴CG⊥AB.∴CG⊥平面AEB.∴CG⊥AF.又∵DF∥CG，∴DF⊥AF.又AE＝AB，F为BE中点，∴AF⊥BE.又BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDE.∴AF⊥BD.(8分)(3)延长ED交AC延长线于G′，连接BG′.由CD＝12AE，CD∥AE知D为EG′中点，∴FD∥BG′.由CG⊥平面ABE，FD∥CG，∴BG′⊥平面ABE.∴∠EBA为所求二面角的平面角．(12分)在等腰直角三角形AEB中，易求∠ABE＝45°. (14分)。
高一数学人教a版必修二_习题_第二章_点、直线、平面之间的位置关系_2_章末高效整合_word版有答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：画图或在正方体模型中观察可得．答案： B2．在空间四边形各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：由已知P∈EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC，同理可得，P∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.答案： B3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．答案： B4．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析： 如图所示，由AB ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝ 2.∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， ∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22， ∴∠CMA ＝90°. 答案： C5．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．相交成60°解析： 如图所示，△ABC 为正三角形，故AB ，CD 相交成60°.答案： D6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析： 根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 答案： D7.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1解析： 由BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，知BD ⊥平面ACC 1A 1. 又CE ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥CE .故选B.8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33C.23D.13解析： 如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥BD . 因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD .又CC 1∩AC ＝C ， 所以BD ⊥平面CC 1O . 在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ， 垂足为H ，则BD ⊥CH .又BD ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面BDC 1， 连接DH ，则DH 为CD 在平面BDC 1上的射影， 所以∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由等面积交换易求得CH ＝23.在Rt △CDH 中，sin ∠CDH ＝CH CD ＝23. 答案： A9．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( ) A.292B.135C.175D.1195解析： 如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ， ∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1，∴PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.答案： B10.如图，点P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PO ⊥平面ABC 于点O ，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心解析： 如图所示，连接OA ，OC . 由于PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，所以PA ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ，所以BC ⊥PA .又PO ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥PO .又PO ∩PA ＝P ，所以BC ⊥平面PAO ，所以BC ⊥AO . 同理可证AB ⊥OC ，所以O 是△ABC 的垂心． 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④若l 与α内的两条直线垂直，则直线l 与α垂直．上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号)解析： ①即面面平行的判定定理；②即线面平行的判定定理；③由α内有一条直线垂直于l 不能得到该直线垂直于β，也就得不到α和β垂直，故不正确；④不符合线面垂直的判定定理，因此不正确．答案： ①②12．在四面体A －BCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为________．解析： 如图所示，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ，DE . ∵AC ＝2，其余各棱长都为1，∴AD ⊥CD ，∴EF ⊥CD .又BF ⊥CD ， ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2.∴∠BEF 是直角． ∴cos ∠BFE ＝EF BF ＝33.答案：3313．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．解析： 由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使得B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1.此题还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．答案： B 1D 1⊥A 1C 114．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．解析： 如图，①取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD .故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C的平面角，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ， 故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角， 而∠ABE ＝45°，∴③不正确．④分别取BC ，AC 的中点M ，N ，连接ME ，NE ，MN ，则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且EM＝12CD ＝12a ， ∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角． 在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a ，∴△MEN 是正三角形， ∴∠EMN ＝60°，故④正确． 答案： ①②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.16．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．解析：(1) 证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2) 因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.所以CD⊥A1D，CD⊥DE.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.又∵A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面ADC.所以V三棱锥C－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.17．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．解析：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1，∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.18．(本小题满分14分)如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值．解析：(1)证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，∴PD＝12AB＝10，∴AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角．由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，∴sin∠BPC＝BCPB＝25.。