混料试验设计

混料试验设计The Design of Mixture Experiments主要参考文献：1、 栾军. 现代试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，19952、茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社,1981一、 混料问题与混料试验 (栾军, 1995；茆诗松 等, 1981)日常生活中和工业生产上经常遇到配方配比一类的问题，即所谓混料问题。

这里所说的混料是指由若干不同成分的元素混合形成一种新的物品。

由不同成分组成的钢、铁、铝、药方、饲料以及燃料等都是混料，某些分配问题，如企业的材料、资金、设备和人员等的分配也可看着混料问题。

混料试验就是通过实物试验或非实物试验，考察各种混料成分与试验指标之间的关系。

例如，人们吃的糕点是将面粉、水、油、糖发酵及某些香料混合后经烘烤制成的，考察这些成分对糕点的柔软性、口味等试验指标的影响所进行的试验就是混料试验。

应该指出，混料试验中的混料成分至少应有三种，并且混料成分中的不变成分不应作为混料成分。

混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验设计。

混料试验设计的试验指标只与每种成分的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成分的比例必须是非负的，且在0~1之间变化，各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。

也就是说，各种成分不能完全自由地变化，受到一定条件的约束。

设：y 为试验指标，x ()p i i ,,2,1 =是第i 种成分的含量，则混料问题的约束条件，即混料条件为：()⎪⎭⎪⎬⎫=+++==≥∑=1,,2,1,0211p pi i i x x x x p i x （1）其中x i 称为混料成分或混料分量，即混料试验中的试验因素。

混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各种线性或非线性回归方程的技术方法。

它具有试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到最佳混料条件等优点。

混料条件（1）决定了混料试验设计不能采用一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条件的约束而引起信息矩阵的退化。

混料试验设计常采用Scheff é 多项式回归模型。

例如，一般的三元二次回归方程为∑∑∑=<=∧+++=312310i i ii ji j i ij i i i x b x x b x b b y (2)而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为∑∑<=∧+=ji j i ij i i i x x b x b y 31(3)比较式（2）和式（3）可知，Scheff é多项式没有常数项和平方项。

[这是因为，将约束条件∑==311i i x 代入式（2），即可推导得到式（3）。

]通常，混料试验设计的p 分量d 次多项式回归方程，其Scheff é多项式（或称为规范多项式）为 一次式（d=1）：∑=∧=pi i i x b y 1(4)二次式（d=2）： ∑∑<=∧+=ji j i ij pi i i x x b x b y 1(5)三次式（d=3）：∑∑∑∑<<<<=∧+-++=kj i k j i ijkji j i j i ij ji j i ij pi i i x x x bx x x x r x x b x b y )(1(6)式中ij r 为三次项)(j i j i x x x x -的回归系数。

由此看来，混料试验设计的 (p, d) Scheff é 多项式回归方程中，待估计的回归系数的个数，比一般的p 因素d 次多项式回归方程要少。

例如，对于混料试验设计（p, d ）的回归方程式（5），无常数项和二次项。

于是，减少了 p+1 个回归系数，所以至少可以少做 p+1 次试验。

混料试验设计由 H. Scheff é 于1958年首先提出，至今已有40多年。

由于这种试验设计方法与工农业生产及科学试验有密切的关系，所以无论在理论研究中，还是实际应用中都有了很大的发展。

在工业试验方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混纺纤维、医药、食品等的配方和生产制造都广泛地应用混料试验设计方法。

二、单（纯）形格子设计 （茆诗松等，1981；栾军，1995）1. 引言（1）单（纯）形在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheff é 于1958年提出的。

它是混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法都要用到单纯形格子设计。

在混料问题中，各分量 x i (i=1, 2, … , p) 的变化范围受混料条件式（1）的制约。

在几何上，称∑==pi i x 11为p 维平面，而（x 1, x 2, …, x p ）为p 维平面上点的坐标。

在p 维平面上满足1,,,021≤≤p x x x 的区域构成一个图形称为单形（或单纯形）。

单形上的点，若其p 个坐标中有一个坐标 x i =1 , 而其余的 p-1 个坐标 x j =0 (j ≠i), 则这种点称为单形的顶点。

因此，在p 因子混料试验中，单形的顶点有p 个。

例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。

所以单型的图形为一等边三角形，如图1（a ）所示。

（2）单形上点的坐标下面，以p=3为例讨论单形上点的坐标问题。

对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个等边三角形，其三个顶点分别为A （1，0，0）、B （0，1，0）和C （0，0，1）。

设P （x 1、x 2、x 3）为这单形的内点，定义x 1表示P 点到边BC 的距离，x 2为P 点到边AC 的距离，x 3为P 点到边AB 的距离。

为简单起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形，如图1（b ）所示。

(a)(b)图1 p=3时的单形A(1, 0, 0)C(0, 0, 1)x 3（x 1+x 2+x 3 = 正三角形的高 = 1）取此等边（正）三角形的高为1，则由初等几何学可知，∆ABC 内任一点P 到三个边的距离之和为1，即1321=++x x x 或 131=∑=i i x所以，三因子混料试验可以用等边三角形这样一个单形上的点表示。

一般情况下，对p 因子混料试验，其p 个顶点分别为A 1（1，0，0，…，0）、 A 2（0，1，0，…，0）、…、 A p （0，0，0，…，1）。

设P （x 1, x 2, …, x p ）为单形的内点，定义x 1，x 2，…，x p 分别表示P 点到A 2…A p 面的距离、A 1A 3…A p 面的距离、…、A 1…A p-1面的距离，并取p-1维空间内正多边形的高为1[正多边形又称为正规单（纯）形]。

于是，我们就建立了p 因子混料试验的单形坐标系。

2. 单（纯）形格子点的概念对于由混料条件式（1）构成的正规单（纯）形因素空间，当采用式（5）、式（6）等完全型规范多项式回归模型时，试验点可以取在正规单（纯）形格子点上，构成单（纯）形格子设计。

对于三因素（p=3时）的格子点集，其单（纯）形是一个高为1的等边三角形，它的三个顶点的全体称为一阶格子点集，记为{3，1}，如图2（a ）所示。

①③2 2 23 3 = 1 3 = 1(a) {3, 1} (b) {3, 2} (c) {3, 3}图2 单（纯）形格子点分布图将高为1的等边三角形的三条边各二等分，则该三角形的三个顶点与三条边的中点的全体称为二阶格子点集，记为{3，2}，如图2（b）所示。

其中共有6个点，各点坐标如表1所示。

将等边三角形的各边进行三等分，对应分点连成与各边平行的直线，在等边三角形上形成许多格子，则这些格子顶点的全体称为三阶格子点集，记为{3，3}，如图2（c）所示，其中共有10个点。

各点坐标如表2所示。

表1 {3，2}各点坐标（三因素二阶格子点集坐标）表2 {3，3}各点坐标（三因素三阶格子点集坐标）四因素二阶格子点集，记为{4，2}，其中共有10个点，各点坐标见表3。

表3 {4，2}各点坐标（四因素二阶格子点集坐标）一般情况下，p 因素d 阶格子点集记为{p ，d}，其中p 表示单（纯）形顶点的个数，d 表示单（纯）形边长被等分的段数，并且总的点数为dd p C 1-+。

3、单（纯）形格子设计法Scheff é提出的单（纯）形格子设计，具有以下两个特点：（1）、每个{p ，d}设计所要做的试验次数为dd p C 1-+，恰好等于完全型规范多项式回归方程[如式（5）、式（6）所示]中的回归系数的个数。

因而单（纯）形格子设计是饱和设计，是一种优化设计。

代表试验的点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子，称为{p ，d}格子。

每一点的p 个坐标代表p 个因素的成分值，它们加起来的和等于1；（2）、试验点的成分与模型的次数（或阶数）d 有关，我们约定每一成分x i取值为d 1的倍数，即1,1,,2,1,0dd d d x i -= 。

并且在设计中因素成分量的各种配合都使用到。

单（纯）形格子设计的试验点数，与相应的完全型规范多项式回归方程的阶数（或次数）d 的关系，见表4。

表4 单（纯）形格子设计的试验点数（dd p C 1-+）4、回归系数的计算在单（纯）形格子设计中，每个回归系数的值只取决于所对应的一些格子上的观测值，而与其它设计点上的观测值无关，故使得用最小二乘法计算回归系数变得很简单。

各回归系数均可表达为相应设计点上观测值的简单线性组合。

[例1] {3，2}单形格子设计∵ 是三因素二次单形格子设计，即 p=3，d=2，∴ 响应方程（又称Scheff é多项式或规范多项式或正则多项式）为：322331132112332211331ˆx x b x x b x x b x b x b x b x x b x b yji j i ij i i i +++++=+=∑∑<=成分的取值=i x 0，21，1。

此时单形格子设计及试验结果如表5所示。

表5 单形格子{3, 2}设计及试验结果为了求出模型中系数的估计，可以通过把同一号的试验成分值分别代入上述模型中的x 1、x 2和x 3，并把观测值y i 代入对应的i yˆ，这样便得到一组方程，解这组方程便可获得回归系数的估计值。

将第1号试验（1，0，0）代入（x 1，x 2，x 3），便得到11b y = 同理可得22y b =， 33y b = 21412224y y y b --=31513224y y y b --= 32623224y y y b --=[例2] {4，2}单形格子设计∵ p=4，d=2∴ 未知参数的个数1012452521241=⨯⨯===-+-+C C C d d p 单形格子设计的试验点个数也是10。

成分的取值x i =0，21，1。