圆柱、圆锥、圆台、球的有关概念及性质
人教A版高中数学必修第二册第8章教学课件8.1基本立体图形(第2课时)
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念 圆柱的相关概念
我们把旋转轴叫做圆柱的轴，旋转过程中，矩形其 余的三边与旋转轴成何位置关系？由这些边旋转而成的 面有何特征？
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边．
基本立体图形(第2课时)
—圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
（一）认识圆柱
问题1 观察奶粉罐的结构，思考它可由什么样的平 面图形绕其所在平面的一条定直线旋转形成？
矩形以其一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形 成的面所围成的几何体，我们称这样的旋转体为圆柱．
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
类比圆柱与圆锥，你能给出圆台的相关概念（轴、 底面、侧面、母线）吗？
圆台的轴：即旋转轴； 圆台的底面：直角梯形的两底边旋转而成的圆面； 圆台的侧面：斜腰旋转而成的曲面； 圆台的母线：无论旋转到什么位置的斜腰．
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
除了教科书的定义里提及的生成方式，圆锥还可以 看作是由怎样的平面图形旋转而成？
等腰三角形绕其底边上的中线所在的直线旋转得到．
一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
问题3 正如棱台可以看作是由平行于底面的平面截 棱锥形成的．你能否类比给出圆台的定义？你能举出生 活中具备圆台结构特征的实例吗？
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 叫做圆台．
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一、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及相关概念
圆柱可由矩形旋转得到，圆锥可由直角三角形旋 转得到，圆台是否也可以由平面图形旋转生成？如果 可以，可由什么平面图形，如何旋转得到？
圆柱、圆锥、圆台和球
似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长， 因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示， 如圆柱OO’ .
4．有关性质： （1）用平行于底面的平面去截，截面都 是圆。 （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.
1. 1.2 圆柱,圆锥.圆台和球
1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球在我们生活的世界中，从土木建筑到家居装潢，从机械设计到商品包装，从航空测绘到零件视图……无不存在着形状各异的物体，它们蕴含着形状各异的圆柱、圆锥、圆台和球等空间图形．每种空间图形各自具有不同的几何结构特征，与我们的生活息息相关，因此对空间图形的研究和应用非常重要．1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，过轴的截面是全等矩形．2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜边叫做圆锥的母线，过轴的截面是全等的等腰三角形．3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．4．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．5．由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．6．柱体：棱柱、圆柱；锥体：棱锥、圆锥；台体：棱台、圆台；球体是七种最基本的简单几何体，日常生活中见到的各种几何体则是由它们所组合成的简单组合体．7．由一些简单的几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．8．简单组合体包括：多面体与多面体的组合、多面体与旋转体的组合、旋转体与旋转体的组合；在画简单组合体时，要把遮住的部分用虚线来表示或不画．,圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱的结构特征：①两底面是全等的圆面；②所有母线长相等且互相平行；③过圆柱的轴截面都是全等矩形；④圆柱沿着它的一条母线剪开后的侧面展开图是矩形．圆锥的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且相交于一点；③过圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形；④圆锥沿它的一条母线剪开的侧面展开图是扇形．圆台的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且延长线相交于一点；③过圆台的轴截面都是全等的等腰梯形；④圆台沿它的一条母线剪开后的侧面展开圆是扇环．球的结构特征：①过球心的截面都是全等的圆；②球的直径垂直截面，所截得的都是相似的圆．理解和掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，要学会从直观感受空间旋转体的形成过程，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台和球的定义，以定义展开，多进行类比、归纳和整理，通过比较四者间的异同点加强记忆．圆柱、圆锥、圆台的截面包括平行于底面的截面和过轴的截面(简称轴截面)两类，球的截面有大圆和小圆之分，谨记其截面的形状是关键．基础巩固知识点一圆柱、圆锥和圆台的结构特征1．在几何体：①圆柱；②圆锥；③圆台；④球中，轴截面一定是圆面的有________(填序号)．解析：根据结构特征判断．2．下列命题中说法错误的是________(填序号)．①以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；②以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥；③以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥．解析：根据圆锥定义知②中应改为以一条直角边旋转．答案：②3．以下命题正确的是________(填序号)．①通过圆台侧面上一点有无数条母线；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台．解析：根据定义判定③正确；①中只有一条母线；②中两个平行截面应与底面平行；④中小棱锥底面应与大棱锥底面平行．答案：③知识点二球的结构特征4．半圆绕着直径旋转一周所得的几何图形是________．解析：注意球与球面、半圆与半圆面的区别．5．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行平面间的距离为________．解析：由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4，又球的半径为5，故圆心到两个截面的距离分别为4和3.故当两个截面在球心同一侧时，平行平面间的距离为4－3＝1，当两个截面在球心两侧时，平行平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或7知识点三组合体的有关问题6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面的可能图形是________(填序号)．解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能得出④.答案：①②③7．如下图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．解析：旋转形成的几何体是由两个同心球构成的，即大球中挖去一个同心的小球．答案：空心球8．描述下列几何体的结构特征．解析：(1)两个圆台组合而成的组合体；(2)圆台挖去一个等高圆锥而成的组合体；(3)圆锥挖去一个等高三棱锥而成的组合体．能力升级综合点一空间旋转体的组合与分割9．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么两个圆柱的底面半径之比为________．解析：两个圆柱的底面半径之比即为正三角形的外接圆与内切圆半径之比．答案：2∶1综合点二 旋转体中的简单计算10．用平行于圆锥的底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：面积比为相似比的平方．答案：1(3－1)11．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝πl ，∴l ＝2r .答案：60°综合点三 相切球的空间想象12．把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．解析：如右图，由于四个半径为R 的球两两相切，故四个球的球心构成一个棱长为2R 的正四面体O 4O 1O 2O 3，因为底面等边三角形O 1O 2O 3的高为32×2R ，∴该棱锥的高OO 4＝（2R ）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝263R .∴上层小球最高处离桌面的距离d ＝263R ＋R ＋R ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋263R .。
基本立体图形 第2课时—圆柱、圆锥、圆台、球-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
这些几何体 是如何形成 的？它们的 结构特征是
什么？
一、 圆柱的结构特征:
旋转轴 1、定义：以矩形的一边
底面
所在直线为旋转轴，其余
A′
O′
三边旋转形成的曲面所围 成的旋转体叫做圆柱。
(1)旋转轴叫做圆柱的轴。
(2)垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做圆柱的底面。
母 线
A
O B
轴 成的旋转体叫做圆锥。
侧 (1)旋转轴叫做圆锥的轴。 面 (2) 垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫做圆锥的底面。 (3)不垂直于轴的边旋转而
成的曲面叫做圆锥的侧面。
(4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆 锥的母线。
S
轴
侧面
B
O
母线
A
底面
2、圆锥的表示法:用表示它的轴的字母表 示，如圆锥SO。
圆锥的截面图 轴截面 横截面 斜截面 斜截面
三、圆台的结构特征:
1、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几 何体叫做圆台。
上底面
轴
O'
侧面
O
母线 下底面
2、圆台的表示法：用表示它的轴的字母 表示，如圆台OO′。
思考？
圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发 生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大
上底缩小
四、球的结构特征:
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋转一周形成的几何体，叫做球体。
A
半径
球心
O
B 2、球的表示法：用表示球心的字母表示，
如球O .
初中数学知识归纳圆锥圆柱圆台的性质与计算
初中数学知识归纳圆锥圆柱圆台的性质与计算初中数学知识归纳：圆锥、圆柱、圆台的性质与计算圆锥、圆柱和圆台是初中数学中的重要几何概念，它们具有自己独特的性质和计算方法。
本文将对圆锥、圆柱和圆台的性质进行归纳总结，并介绍相关的计算方法。
一、圆锥的性质与计算圆锥是一个由圆和一个顶点（不在圆上）连接而成的几何体。
根据圆锥的不同特点，可以将其分类为直角圆锥、斜边圆锥和棱锥。
直角圆锥：1.底面为一个圆，顶点与底面圆心连线垂直。
2.侧面是一个扇形。
3.侧面积的计算公式为S = πrl，其中r表示底面圆的半径，l表示从底面圆心到顶点的距离。
4.体积的计算公式为V = (1/3)πr²h，其中r表示底面圆的半径，h表示从底面圆心到顶点的距离。
斜边圆锥：1.底面为一个圆，顶点与底面圆心连线不垂直。
2.侧面是一个曲面三角形。
3.体积的计算公式为V = (1/3)πr²h，其中r表示底面圆的半径，h表示从底面圆心到顶点的距离。
棱锥：1.底面为一个多边形，顶点与底面多边形的顶点连线不在同一平面内。
2.侧面是由侧棱和底面多边形的边构成的多边形。
3.体积的计算公式为V = (1/3)Bh，其中B代表底面多边形的面积，h表示从底面多边形中心到顶点的距离。
二、圆柱的性质与计算圆柱是一个由两个平行且相同大小的圆和一个连接两个圆的侧面构成的几何体。
根据圆柱的不同特点，可以将其分类为直圆柱和斜圆柱。
直圆柱：1.顶面和底面都是圆。
2.侧面是一个矩形。
3.侧面积的计算公式为S = 2πrh，其中r代表底面圆的半径，h表示圆柱的高度。
4.体积的计算公式为V = πr²h，其中r代表底面圆的半径，h表示圆柱的高度。
斜圆柱：1.顶面和底面都是圆。
2.侧面不是一个矩形，而是一个斜面矩形。
3.侧面积的计算公式和直圆柱相同。
4.体积的计算公式和直圆柱相同。
三、圆台的性质与计算圆台是一个由两个底面为圆、且平行的圆和一个连接两个圆的侧面构成的几何体。
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 课件
2．圆柱、圆锥、圆台的关系
探究点 1 旋转体的结构特征 判断下列各命题是否正确．
(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成 的几何体是圆台； (2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰 三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
【解】 (1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成 的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图 所示．
(3)圆台的截面 ①平行于圆台底面的截面都是圆面，如图(1)所示．
②过轴的截面(简称轴截面)是全等的等腰梯形，如图(2)所示． ③圆台的母线 l、高 h 和上下两底面圆的半径 r、R 组成一个 直角梯形，且有 l2＝h2＋(R－r)2 成立，圆台的有关计算问题， 常归结为解这个直角梯形．
(4)球的截面 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面． ②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 有如 下关系：r＝ R2－d2．
简单组合体的结构特征
1．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
定义及结构特征
图形及记法
定义：以__矩__形____的一边所在 直线为旋转轴，其余三边旋转
形成的面所围成的旋转体叫做
圆柱
_圆__柱_____ 特征：(1)圆柱的轴垂直于底面，
所有母线互相平行且相等
记作：__圆__柱__O__′O____
(2)底面是平行且全等的两个圆
截得圆台的圆锥的母线长为 12 cm，求圆台的母线长．
【解】 如图是圆台的轴截面，由题意知 AO＝
2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm．
由 A′O′ ＝ SA′ ， 得 AO SA
SA′
＝
A′O′ AO
高一数学(人教版)复习知识点专题讲义课件50---圆柱、圆锥、圆台、球
2. 两个底面及平行于底面的截面是全等的多边形，且对应边互相平行； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面（即对角面）是平行四边形
2021/12/9
棱锥的概念
S
有一个面是多边形，其余各面
都是有一个公共顶点的三角形，
A．5
B．10
C．20
D．不确定
【解析】圆柱的母线长和高相等．
2021/12/9
3．下面几何体的截面一定是圆面的是( B )
A．圆台
B．球
C．圆柱
D．棱柱
【解析】截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几 何体只有球．
2021/12/9
4．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
上底扩大
上底缩小
2021/12/9
上底扩大
上底缩小
2021/12/9
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、椎体、台体和球等简单几何体 外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单 组合体。
2021/12/9
思考：请你说说下图中各几何体是由哪些简单 几何体组合而成的。
(1)中物体是两个圆台、两个圆柱拼接而成。 (2)中物体是圆台、球拼接而成。 (3)中物体是正方体截去一个三棱锥。 (4)中物体是长方体截去两个长方体。
2021/12/9
由这些面围成的多面体叫做棱锥。
D
棱锥的结构特征: 1.一个面是多边形；
E A
2.其余各面是有一个公共顶点的三角形。
棱锥的顶点 棱锥的侧棱
棱锥的侧面 C 棱锥的底面 B
2021/12/9
棱台的概念： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫 做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
柱、锥、台、球的结构特征!
B ) (A)棱柱的侧面可以是三角形 (B)正方体和长方体都是特殊的四棱柱 (C)所有的几何体的表面都能展成平面图形 (D)棱柱的各条棱都相等 解析:本题考查多面体的结构特征,属容 易题,应选B.
2.(2013德州高一月考)下列命题中错误的个数为( B ) ①矩形绕任何一条直线旋转都可以围成圆柱; ②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一 点的直线; ③圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线; ④矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴,其他边绕 其旋转形成 圆柱. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由圆柱及其相关概念知① ②错,③④正确. 故选B.
三棱柱
四棱柱
五棱柱
棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：
斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.
直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
棱柱的表示 用表示底面的各顶点的字母来表示
A′ B′ C′ D′ A A B C D C A′ C′ B A E D B′ A′ B′ E′ D′ C′
以直角三角形一 直角边所在直线 为轴，其余各边 旋转而成的曲面 所围成的几何体
以直角梯形垂直于 底边的腰所在直线 为轴，其余各边旋 转而成的曲面所围 成的几何体 轴截面是全等 等腰梯形
性质
轴截面是全等 的矩形
轴截面是全等等 腰三角形
柱、锥、台体的关系 棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、 圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
柱
台
锥
体
上底扩大
体
上底缩小
体
几何体的分类
柱体
锥体
台体
多面体
旋转体
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2、两个圆锥的母线长相等，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为（D）
A 1：1 B 1：2 C D
3、一个圆台的上、下底面积分别为 , ,母线长为5cm，则截得此圆台的圆锥的母线长为（B）
3、圆台的有关问题常化为圆锥来解决，
4、球面距离的问题需紧扣定义，努力寻找这两点关于球心的张角。球与其它几何体的结合体的问题，则需紧抓公共点。
二、知能达Байду номын сангаас：
1、下列命题：（1）过直线外一点作直线的垂线只有一条；（2）过空间一点作已知平面的垂线只有一条；（3）圆锥的轴截面是直角三角形，则它的侧面展开扇形的中心角为 ;（4）圆台的侧面展开图扇环的中心角为180°，则圆台母线与底面成60°角。其中正确的命题是（D）
A5cmB10cmC15cmD20cm
4、在等边圆柱O1O2中，长度为1的两底面半径O1A1,O2A2互相垂直，则（B）
A A1A2与底面所成角的正切值为2 B A1A2与O1O2成角的正切值为
C O1A1与O2A2间距离为1 D A1A2与O1O2间距离为
5、圆柱轴截面是边长为10的正方形ABCD，从A点出发，沿圆柱侧面到C点的最短距离为。
6、一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥，则正方体的棱长为。
7、球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这三点的小圆周长为 ,那么这个球的半径为。
8、高为8cm，底面半径为4cm的圆柱内有一长10cm的线段，线段两端点各在一个底面的圆周上，求：（1）这条线段与底面所成的角；
班级
姓名
学号
时间
课题
圆柱、圆锥、圆台、球的有关概念及性质
设计
一、方法点击：
1、圆柱、圆锥、圆台、球中的点、线、面之间的位置关系及数量关系是解决此类几何体问题的基础，必须熟练掌握。
2、了解旋转体的形成，轴截面的几何特征及其在解题中的应用，轴截面为旋转体的特征多边形，其中的量反映了几何体的特征,解题时不可忽视轴截面的应用。
A’
（2）该线段与圆柱轴之间的距离。
OO
9、设圆锥的底面半径和高分别为r,h,若圆锥的体积等于它的内切球体积的2倍，
求证：
☆试一试：已知AB为圆柱底面上的直径，C为底面圆周上的一点，AA‘为一条母线，如果AB＝2，BAC＝60°,二面角A—A’B—C为60°，求点A到平面A’BC的距离d。
C
A B
O D