高2018届绵阳三诊数学理科试题及参考答案

绵阳市高2015级第三次诊断性考试数学(理工类)
参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
ABBCC ACBDD BA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．16 14．2 15．81256π 16．325+ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（Ⅰ）由已知a 1a n =S 1+S n ，可得
当n =1时，a 12=a 1+a 1，可解得a 1=0，或a 1=2， ……………………………1分 当n ≥2时，由已知可得a 1a n -1=S 1+S n -1，
两式相减得a 1(a n -a n -1)=a n ．……………………………………………………3分 若a 1=0，则a n =0，此时数列{a n }的通项公式为a n =0． ……………………4分 若a 1=2，则2(a n -a n -1)=a n ，化简得a n =2a n -1，
即此时数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．
∴ 综上所述，数列{a n }的通项公式为a n =0或a n =2n ．………………………6分 （Ⅱ）因为a n >0，故a n =2n ．
设b n =32
log 2n a ，则b n =n -5，显然{b n }是等差数列，…………………………8分 由n -5≥0解得n ≥5，…………………………………………………………10分
∴ 当n =4或n =5时，T n 最小，最小值为T 5=2
045）（+-=-10．……………12分 18．解：（Ⅰ）由题得P (270≤X ≤310)=0.25=4
1， 设在未来3年里，河流的污水排放量X ∈)310270[，的年数为Y ，
则Y ~B (3，
4
1)．…………………………………………………………………2分 设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量X ∈)310270[，”为事件A ， 则P (A )=P (Y =0)+P (Y =1)=32
2741)43()43(213303=⨯+C C ． ∴ 在未来3年里，至多1年污水排放量X ∈)310270[，的概率为
32
27．……5分 （Ⅱ）方案二好，理由如下： ………………………………………………6分 由题得P (230≤X ≤270)=0.74，P (310≤X ≤350)=0.01． …………………7分 用S 1，S 2，S 3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失．
则S 1=3.8万元． ………………………………………………………………8分
210分
3∴ 三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好． ………12分
19．解：（Ⅰ）在菱形ABCD 中，AB //CD ，
∵ CD ⊂面CDPN ，AB ⊄面CDPN ，
∴ AB //面CDPN ． ………………………………………………………………3分 又AB ⊂面ABPN ，面ABPN ∩面CDPN =PN ，
∴ AB //PN ．………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）作CD 的中点M ，则由题意知AM ⊥AB ，
∵ PA ⊥面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AM ．
如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A -xy z ，
设AB =2， 则B (2，0，0)，C (1，3，0)，D (-1，3，0)，
N (0，0，2)， ∴ =(-3，3，0)，=(1，-3，2)，=(-2，0，0)．…………7分 设平面BDN 的一个法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1)， 则由n 1•BD =0，n 1•DN =0，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-，
，023********z y x y x 令x 1=1，则y 1=3，z 1=1，即n 1=(1，3，1)， …………………………9分 同理，设平面DNC 的一个法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2)，
由n 2•BD =0，n 2•DN =0，得⎪⎩⎪⎨⎧==+-，
，020232222x z y x 令z 2=1，则y 2=
23，x 2=0，即n 2=(0，23，1)，…………………………11分 ∴ cos<n 1，n 2>=1212
⋅⋅n n n n =735， 即二面角B -DN -C 的余弦值为7
35． ………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设F (c ，0)，由题意可得12222=+b
y a c ，即y M =a b 2
． ∵ OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH =4
2， ∴ |MF 2|=22，即a b 2=2
2，整理得a 2=2b 4．① …………………………2分 又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，△F 1F 2Q 的面积最大，
∴ 122
1=⨯⨯b c ，整理得bc =1，即b 2(a 2-b 2)=1，②…………………………4分 联立①②可得2b 6-b 4=1，变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0，
解得b 2=1，进而a 2=2，
∴ 椭圆E 的方程为12
22
=+y x ． ……………………………………………5分 （Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由对称性可知D (x 1，-y 1)，B (x 2，-y 1)．
设直线AC 与x 轴交于点(t ，0)，直线AC 的方程为x =my +t (m ≠0)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，12
22y x t my x 消去x ，得(m 2+2)y 2+2mty +t 2-2=0， ∴ y 1+y 2=2
22+-m mt ，y 1y 2=2222+-m t ，……………………………………………8分
由A 、B 、S 三点共线k AS =k BS ，即4
42211--=-x y x y ， 将x 1=my 1+t ，x 2=my 2+t 代入整理得y 1(my 2+t -4)+y 2(my 1+t -4)=0，
即2my 1y 2+(t -4)(y 1+y 2)=0， 从而02)
4(2)2(222=+---m t mt t m ，化简得2m (4t -2)=0，
解得t =2
1， 于是直线AC 的方程为x =my +21，故直线AC 过定点(2
1，0)．……………10分 同理可得BD 过定点(2
1，0)， ∴ 直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为(2
1，0)． …………………12分 21．解：（Ⅰ）222
44()a ax x a f x a x x x -+'=+-=，…………………………………1分 由题意知x 1，x 2即为方程ax 2-4x +a =0的两个根． 由韦达定理：121241x x a x x ⎧+=⎪⎨⎪⋅=⎩，， 整理得2212222
44411x a x x x x x ===+++．……………3分 又22
1y x x =+在(e ，3)上单调递增， ∴ 246()15
e a e ∈+，． ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）21221121
()()4ln 4ln a a f x f x ax x ax x x x -=---++， ∵ 12
1x x =， ∴ 21()()f x f x -22222214ln 4ln a a ax x ax x x x =-
--++22212()8ln a x x x =--， 由（Ⅰ）知22241
x a x =+， 代入得 21()()f x f x -222222
81()8ln 1x x x x x =--+222228(1)8ln 1x x x -=-+， ……………………8分 令222
=(9)t x e ∈， ，于是可得88()4ln 1
t h t t t -=-+， 故22
2221644(21)4(1)()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t --+--'=-==<+++ ∴ h (t )在2(9)e ，
在单调递减，…………………………………………………11分 ∴ 2123216()()(
8ln3)51
f x f x e -∈--+，．………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由题可变形为ρ2+3ρ2cos 2θ=16，
∵ ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，
∴ x 2+y 2+3x 2=16，
∴ 22
1416
x y +=．…………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由已知有M (2，0)，N (0，4)，设P (2cos α，4sin α)，α∈(0，2π)．
于是由OMPN OMP ONP S S S ∆∆=+1124sin 42cos 22
αα=⋅⋅+⋅⋅ 4sin 4cos αα=+
)4πα=+， 由α∈(0，2π)得4πα+∈(4π，34
π)，
于是)4
πα+≤
∴ 四边形OMPN 最大值10分
23．解：（Ⅰ）f (x )=|x +a |+|x -3a |≥|(x +a )-(x -3a )|=4|a |，
有已知f (x )min =4，知4|a |=4，
解得 a =±1．……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题知|m 2|-4|m |≤4|a |，
又a 是存在的，
∴ |m |2-4|m |≤4|a |max =12．
即 |m |2-4|m |-12≤0，变形得 (|m |-6)(|m |+2)≤0，
∴ |m |≤6，
∴ -6≤m ≤6．…………………………………………………………………10分。