一个关于“烧开水”的数学问题
数学烧开水问题应用的原理
数学烧开水问题应用的原理介绍在日常生活中，我们经常会使用水壶或炉灶来烧开水。
烧开水看似简单的过程，背后却有一些有趣的数学原理和应用。
本文将介绍数学在烧开水问题中的应用原理。
烧开水问题的背景烧开水的过程可以看作是将水加热到达其沸点的过程。
在标准大气压下，水的沸点为100摄氏度。
烧开水的时间取决于几个因素，如水的初始温度、加热器的功率等。
数学可以帮助我们预测烧开水所需的时间和计算水的加热速率。
应用原理热传导方程烧开水问题可以通过热传导方程来描述。
热传导方程是一个二阶偏微分方程，描述了热量在物体内部的传导过程。
对于烧开水问题，我们可以假设水是一个均匀的介质，并且热量只在水的纵向方向上传导。
瞬时加热速率瞬时加热速率是指单位时间内水温的变化率。
根据热传导方程和烧开水问题的假设，瞬时加热速率可以表示为以下的偏微分方程：dQ/dt = k * d^2T/dx^2其中，dQ/dt代表单位时间内的热量变化率，k是热扩散系数，dT/dx是温度随空间坐标的变化率。
稳态加热速率稳态加热速率是指当水达到稳态时单位时间内的温度变化率。
在稳态下，水温不再变化，因此稳态加热速率为零。
通过求解瞬时加热速率的偏微分方程，我们可以得到稳态加热速率。
温度随时间的变化根据稳态加热速率为零的条件，我们可以得到温度随时间的变化方程：T(t) = T∞ + (T0 - T∞) * exp(-kt)其中，T(t)表示时间t时刻的水温，T0是初始温度，T∞是环境温度，k是热扩散系数。
加热时间的计算加热时间可以通过温度随时间变化的方程来计算。
我们可以通过求解以下方程来计算加热时间：T(t) = T∞ + (T0 - T∞) * exp(-kt)当T(t)达到水的沸点100摄氏度时，该时间即为加热时间。
结论数学在烧开水问题中的应用原理可以帮助我们预测烧开水所需的时间和计算水的加热速率。
通过热传导方程、瞬时加热速率和稳态加热速率的计算，我们可以得到水温随时间的变化方程，并进一步计算出加热时间。
四年级数学烧水问题教案解析
四年级数学烧水问题教案解析教案标题：四年级数学烧水问题教案解析教案目标：1. 学生能够理解烧水问题并能运用所学数学知识解决问题。
2. 学生能够通过实际操作和思考，培养解决问题的能力和数学思维。
教学准备：1. 教师准备一些实际的烧水问题，如不同容量的水壶和杯子。
2. 教师准备黑板、粉笔或白板、马克笔等教学工具。
教学过程：步骤一：引入问题1. 教师通过展示一个烧水的问题，如：小明用一个装满水的容量为3升的水壶倒入一个装满水的容量为5升的水壶中，问还差多少水才能装满5升的水壶？2. 引导学生思考这个问题，鼓励他们提出解决问题的方法。
步骤二：讲解基本概念1. 教师向学生解释容量的概念，如3升和5升。
2. 教师引导学生思考：如果一个容量为3升的水壶装满水，倒入一个容量为5升的水壶，会发生什么？为什么？步骤三：解决问题1. 教师给学生提供一些实际的烧水问题，如：小明用一个装满水的容量为4升的水壶倒入一个装满水的容量为7升的水壶中，问还差多少水才能装满7升的水壶？2. 学生分组进行讨论，思考解决问题的方法。
3. 学生展示自己的解决方法，并与其他组进行比较和讨论。
4. 教师引导学生总结出解决问题的有效方法，如通过减法运算求解。
步骤四：拓展练习1. 教师给学生提供更多的烧水问题，要求学生运用所学知识解决。
2. 学生个别或小组完成练习，并与其他组进行交流和讨论。
3. 教师对学生的解答进行评价和指导，纠正他们可能存在的错误。
步骤五：归纳总结1. 教师引导学生回顾整个教学过程，总结所学知识和解决问题的方法。
2. 学生将所学内容整理成笔记或思维导图。
步骤六：作业布置1. 教师布置相关的作业，要求学生运用所学知识解决烧水问题。
2. 学生完成作业并上交。
教学扩展：1. 可以引导学生思考更复杂的烧水问题，如三个水壶容量分别为3升、5升和8升，如何通过倒水操作得到4升水？2. 可以引导学生运用图形解决烧水问题，如通过画出水壶的图形，帮助学生更好地理解和解决问题。
高中教育数学必修第二册湘教版《6.2 数学建模案例1 烧开水问题》教学课件
检验与改进 1．取旋钮39°的位置，烧一壶开水，记录所得实际用气量是不是 0.121 8 m3.如果基本吻合，就可以依此作结论了．如果相差太大，特 别是当用气量大于0.121 8 m3时，最小值点就肯定不是39°，说明上 述三组数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直到
结果与实际比较接近就可以了． 实际上，如果我们取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，求出
评价与推广 该模型建立过程中的假设条件太强．该模型只考虑通过改变阀门位 置来达到节约燃气用量的目的，有一定的局限性，实际过程中也可以 考虑通过控制阀门大小，每次只烧半壶水，分两次完成烧水的方法来 实现节约燃气用量的目的．阀门位置改变时，燃气量的变化与阀门本 身设计也有关，而在该模型中没有讨论．
2．在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的 燃气量，得到了几组实验数据，如下表：
位置项目
18° 36° 54° 72° 90°
开始时燃气 读表数/m3
9.080 8.958 8.819 8.670 8.498
水开时燃气 读表数/m3
9.210 9.080 8.958 8.819 8.670
1．给定燃气灶和一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选 一些更好，这里由于是粗略地寻找一个最佳位置，故只选择五个位置， 在要求精度较高的情况下，可以探究更多的位置)．因为关闭时，燃 气旋钮的位置为竖直方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大 时，旋钮转了90°.为了方便计算，将0°～90°五等分，如图，分别 以18°，36°，54°，72°，90°来确定五个位置(其他位置选取方 法，同学们可以自己进行尝试)．
所需燃气量 /m3 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
烧水时间与温度的函数关系
烧水时间与温度的函数关系
从物理学的角度来看，烧水的时间与温度的函数关系受到热力学定律的影响。
根据热传导定律，热量会从高温区域传导到低温区域，而烧水的过程可以看作是将水加热至沸点的过程。
在常压下，水的沸点约为100摄氏度。
因此，烧水的时间与温度的函数关系可以用热传导方程来描述，该方程考虑了热量传导的速率、初始温度和环境温度等因素。
从数学角度来看，烧水时间与温度的函数关系可以用数学模型来描述。
一种常见的模型是指数函数模型，即烧水的温度随时间呈指数增长。
另外，也可以使用线性函数模型或者多项式函数模型来描述烧水时间与温度的关系，这取决于具体的烧水过程和加热设备的特性。
除了以上的描述，还可以从实际操作的角度来考虑烧水时间与温度的函数关系。
比如，烧水的时间与温度的关系还受到加热设备的功率、水的初始温度、水的容量等因素的影响。
在实际操作中，我们可以通过实验数据来建立烧水时间与温度的函数关系的数学模型，从而更好地控制烧水的过程。
综上所述，烧水时间与温度的函数关系是一个复杂的问题，需
要从物理学、数学和实际操作等多个角度来进行全面的分析和描述。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的数学模型来描述
烧水时间与温度的函数关系，从而更好地控制烧水的过程。
四年级上册数学习题课件-第八单元1 烧水问题 人教版教材(8张PPT)
第1课时 烧 水 问 题
小组讨论:在等待水开的时间里,可以做些什么呢?(组内先 互相说一说,然后完成下列各题) (1)设计一种能最快让李阿姨喝到茶的方案:
小明一共有( 6 )件事情要做,(洗水壶)、( 接水 )是 必须先做的,( 烧水 )所用的时间最长,在等待水开的过程 中,小明可以同时(洗茶杯)、(找茶叶 ),最后( 沏茶 )。
•
5.一趟趟下来，岸边的菱角成了小山 ，女人 的衣服 开始湿 透，会 显出好 看的曲 线。偶 尔有汉 子心疼 婆娘， 也划着 木桶采 菱，他 们笨拙 的姿势 往往引 来女人 的笑声 ，有时 木桶翻 了，男 人和菱 角一起 滑落到 水里， 这时候 ，女人 的笑声 会更加 恣意。
•
6.小说通过对马里诺在饭店和家里活 动状态 的对比 ，表达 了作者 对底层 人民的 同情和 对社会 的批判
•
3.当湖风温暖地沿着苇荡穿行的日子 ，芦花 开始出 穗，男 人们开 始下湖 忙活。 这时候 的女人 也忙碌 起来， 她们像 莲花一 样开放 在近湖 和堰塘 里，一 个个小 小的木 桶，一 根根细 长的竹 篙，让 女人们 融入到 一片诗 意之中 。
Байду номын сангаас
•
4.在我的水乡，采菱一般是女人的专 利，说 笑之间 ，她们 的纤纤 十指飞 快地摘 着水面 上的菱 角，熟 练得就 像在做 纳鞋底 一样的 针线活 ，不一 会儿． 木桶就 满了， 女人们 将木桶 划到岸 边，麻 利地用 筐篓装 好，然 后舀干 木桶里 的水， 又轻盈 地划进 菱花丛 中。
•
•
1.织网是女人的活计，树阴下，那些 穿花似 的巧手 忽上忽 下，令 人眼花 缭乱。 一级一 级的石 板台阶 ，一个 一个的 水埠头 ，女人 的嬉闹 声里， 常常掺 杂着汉 子粗粗 的嗓门 ，泥土 一样朴 实。
生活中的数学-烧开水学问（三年级数学小日记）
生活中的数学-烧开水学问（三年级数学小日记）生活中的数学--烧开水的学问合肥润安公学三（3）班夏博阳指导老师：周维急性子的妈妈爱在燃气灶上用大火烧开水，水壶提手太烫以至于充水的爸爸只得用毛巾把水壶提手包着。
每次这个时候爸爸都叫苦连天，让妈妈下回烧开水时注意一些，说把火改小，这样还能节约燃气！但妈妈又似乎是记性不太好，下次烧开水还是照样“故意刁难”爸爸。
小火苗烧开水可以节约燃气，这是真的吗？今天是星期六不上学，征得爸爸妈妈支持，我决定要做一个调查试验来揭露事实的真相。
第一步：实验前的准备工作没有量筒，就用带量取容量的豆浆机代替（用来量取2400ML 水），燃气灶（燃气灶旋纽由小到大平均分成三等分，记好小火、中火、大火位置），带有鸣叫声的热水壶，燃气表及计时秒表。
第二步：实验过程1、用豆浆机的筒量取2400ML 容量自来水充入烧水壶；2、在小火、中火、大火三个位置，分别烧开已经准备好的水；3、认真仔细制作记录每次不同火力烧好一壶2400ML开水情况需要使用的燃气、时间数的表格。
4、实验前燃气灶和烧水壶都是冷却的，避免起始温度不一样带来的测量误差。
第三步：数据的收集和整理为减小测量过程中的误差，爸爸安排我每种情况至少做两遍，然后数学计算求出平均值。
表格如下：在表格里面我们可以看出，大火位置烧水最节省时间，所需消耗燃气也是最多。
当逐步减小火力用来烧开一壶水需要的时间就相应延长，最长时间是17分钟多。
因此，不考虑燃气用量的话，开最大火力时最省时间。
这也侧面证明了妈妈真的是个急性子。
第四步：结论分析通过调查实验，我们已经可以知道燃气灶烧开水，越大火烧越节省时间。
如果又想省时间又想节约燃气的话，那么最优的选择应当是在中火力的位置。
妈妈说不过这好象也并不节省多少呀，从你的试验结果来看大火烧水才比中火仅仅多消耗了0.006立方米的燃气而已！我问爸爸现在天然气多少钱1立方米，爸爸贴着我的耳朵悄悄跟我说，你可以上网查。
《烧水问题》PPT课件
（接水
）、 （ 烧水 ）
（2）沏茶时又要做哪几项工作？（按先后顺序排一排）
（洗茶杯）、（ 找茶叶 ）、（ 沏茶 ）
（3）根据每项工作需要的时间，完成下表。 1分钟 1分钟 8分钟 2分钟 1分钟 1分钟 14分钟
合作探究（一）：独立思考后小组交流，再代表展示
你能帮助小明设计一种尽快让李阿姨喝到水的方案吗？
为什么这里 要计算21分 钟而不是20 分钟？ 1分钟 洗电饭锅 2分钟 放米和水 完成这四件 事情要21分 钟 21分钟 电饭煲煮饭 20分钟 烧青菜 烧 烧 烧 鱼 肉 汤 3分钟 6分钟 6分钟 6分钟
1+2+21=24（分钟） 答：最少需要24分钟。
归纳总结
通过这节课的学习，谈谈你有什么收获？
喝粥 （画出流程图） 喝粥
小红感冒了，吃完药后要赶快休息。她应如何安排下面的事情？
1分钟
6分钟
找杯子倒开水
1分钟
等开水变温
找感冒药
6分钟
1分钟 5分钟
1+6=7（分钟）
量体温
答：小红最快7分钟就能休息。
3、
温馨提示：只有 一个炒菜锅。
（想一想：煮饭时小军可以同时做哪些事情呢？如果和煮饭同时 做的事情所用的时间比煮饭的时间还多怎么计算呢？）
合作探究（二）：
小组讨论：解决烧水这样类似的问题，要合理安排时间，你 有什么想说的吗？ 首先完成一项工作工做哪些事情，最后合理安排工作的顺 序，清楚先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做，从 而达到合理安排时间的目的。
达标测评
认真完成下面两题，怎样安排比较合理并且省时间。
1、洗漱 盛粥
2、
盛粥
等粥凉 等粥凉 洗漱
数学广角--烧水
要使三艘货船的等候时间的总和最少， 应该按怎样的顺序卸货？
• 假设：船1需8小时，船2需4小时，船3需1小时
方 卸货顺序 案 1 2 3 4 5 6
船1 船2 船3
船1 船3 船2
船1的等 候时间 8 8
船2的等 候时间
船3的等 候时间
8+4+1=13
8+1+4=13 4+8+1=13 4+1+8=13 1+8+4=13 1+4+8=13
烙 饼
烧 水
卸 货
赛 马
明明，帮妈喝上茶呢？
烧水：8分钟
洗水壶：1分钟
洗茶杯：2分钟
接水：1分钟
找茶叶：1分钟
沏茶：1分钟
洗水壶
接水
烧水
洗茶杯、找茶叶
｝
沏茶
要烧水必须先 洗水壶，接水。
等待水开 的时间可以 做什么呢？
同时
一共用了11分钟
他们每人点 了两个菜。
做一做
我感冒了，吃 完药后要赶快 休息。
找杯子倒开水
1分钟
等开水变温
找感冒药
6分钟
1分钟
量体温
5分钟
小红应如何合理安排以上事情？
找杯子倒开水 1分钟 等开水变温 6分钟
同时
1分钟 + 6分钟 = 7分钟
找感冒药 1分钟
量体温 5分钟
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我们卸完 要8小时。 我们卸完 要4小时。 只能一船一 船的卸货。 我们卸完只 要1小时。
我明白啦！先卸 用时最少的货，等候 时间的总和就最少。
小冬、小明、小雪同时来到学校医务室。
5分钟
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一个关于“烧开水”的数学问题
※ 本文不需考虑物理学中的热力学第二定律：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取能量，使之全部变成有用的功，而不产生其他影响.
Question ：规定1L 冷水烧开需用1单位能量.现有1L 冷水，把其等分为两部分，分别装到导热性极好的1号、2号容器中.先把1号容器中的
2
1
L 水烧开，将1号容器浸在2号容器中，等到两部分水都等温后，再将2号容器中的温水烧开即可(需要的是boiled water,而不是boiling water). 这样只需的能量为4
3
4
12
1=
+，节约了25％的能量. 假设可以把1L 冷水分成无限份，利用热传递，最多可以节省多少能量？
Answer ：将1L 水分为N 份，1份水若获得n
1单位能量，即可烧开.
方案一
1、将第1份水烧开，再将第1份与第2～N 份同时进行热传递，得到：
此过程需要能量为n
1
.
2、将第2份水烧开，再将第2份与第3～N 份同时进行热传递，得到：
此过程需要能量为21
1n
n -.
······
k 、将第k-1份水烧开，再将第k-1份与第k ～N 份同时进行热传递，
其中第k-1～N 份的目前能量记为k a ，得到：
此过程需要能量为11
--k a n
.
组别 1
2
3
··· N
目前能量
21n
21n
21n
···
21n
组别 1 2 3 ··· N
目前能量
21n 22n 22n ···
22n
组别 ··· k-1
K
··· N
目前能量
···
k a k a ···
k a
k+1、将第k 份水烧开，再将第k 份与第k+1～N 份同时进行热传递，
得到：
此过程需要能量为k a n -1
.
······
分析与计算：
根据第k 、k+1步可列出，
1)1()1
()1(++-=-++-k k k a k n a n
a k n ，即)1()(1
1+-=-++k n a k n a n
k k ，且有01
=a ，可得：2
1
n k a k -=
. 需要的总能量为n n k n a n
n
k n
k k 21
)1(1
1)1(1
2
1+=--=-∑∑==，
2
1
21lim =+∞→n n n ，故方案一可节约50％的能量.
方案二
1、将第1份水烧开，再将第1份依次与第2～N 份进行热传递，得到：
组别 ··· k
K+1
··· N
目前能量
···
1+k a 1+k a
···
1+k a
组别 1 2 3 ··· N
目前能量
n n 121
-
n 21 n 41
···
n n 121
-
此过程需要能量为n
1
.
2、将第2份水烧开，再将第2份依次与第3～N 份进行热传递，
得到:
组别
2
3 4
···
k
···
N
目前能量
煮沸
n 1
第1次热传递 n
85 n
85
第2次热传递 n
83
n
83
··· ···
···
第k 次热传递 n
k k 22
+
n
k k 22
+
··· ···
···
第N 次热传递
n
n n
22
+
n
n n
22
+
记第2份水第k-2次热传递后的能量为k α，也即第k 份水热
递后的能量为k α，于是k k k n αα221
11=+--，n
85
3=α,
得：n
k k k 22
+=
α. 此过程需要能量为n n 21
1-.
3、将第3份水烧开，再将第3份依次与第4～N 份进行热传递，
得到:
组别
3
4 5
···
k
···
N
目前能量
煮沸
n 1
第1次热传递 n
1611
n
1611
第2次热传递
n
6429
n
6429
··· ···
···
第k 次热传递 n
k k k 22285+++
n
k k k 2
228
5+++
··· ···
···
第N 次
n
n n n 22285+++
n
n n n 2228
5+++
热传递
记第3份水第k-3次热传递后的能量为k β，也即第k 份水热
递后的能量为k β，于是k k k n k ββ2221=++-，n
1611
4=β，
得：n
k k k k 2228
5+++=β.
此过程需要能量为n n 85
1-.
······
分析与计算： 操作步骤 1 2 3 4 5 6 ··· 所需能量
n 1 n 21 n 83 n 165 n 12835
n
25663
···
划分份数
n 1 2 3 4 5 6 ···
所需能量
n S
1
4
3
85 6435 12863 512
231
···
结合上表并通过命令FindSequence ，得到：
∏∏==-=-=n
k n
k n k k k S 2
2
)211(!)21( )2(≥n ，
0)21
1(lim lim 2
=-=∏=∞→∞→n
k n n n k S ， 故方案二中，只需任意小的能量即可烧开1L 水.。