导数的计算PPT教学课件
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《导数的运算》PPT课件
[名师点评] 记住基本初等函数的求导公式, 是计算导数的关键,特别注意各求导公式的 结构特征,弄清<lnx>′与<logax>′和<ex>′与 <ax>′的差异,防止混淆,对于不具备基本初等 函数特征的函数,应先变形,然后求导．
考点二 利用导数求切线的方程
求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时,首先要判断这 个点的位置,即在不在曲线上,因为斜率要受 此影响．
3x－y－2＝0， (2)由y＝x3，
得 3x－x3－2＝0，
即(x3－x)－(2x－2)＝0.
可分解为(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得 x1＝1，
x2＝－2.
∴切线3x－y－2＝0与曲线C的公共点为 <1,1>,<－2,－8>,这说明切线与曲线C的公 共点除了切点外,还有另外的点．
[名师点评] 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一,可从本例题得证．
【规范解答】 由y1＝1x， 解得交点 y2＝x2，
为(1,1)． y′1＝(1x)′＝－x12， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 别为(2,0)，(12，0)．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5? 解：设切点为(x0，x20)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2.
∴切点为(2,4)．
例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝1x和 y2＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数的计算(共42张PPT)
为 y'=n·xn-1.
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
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2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
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当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
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导数的计算
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导数的计算 ppt课件
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12
例1：假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 （p 单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系: p(t) p0 (1 5%)t.其中p0为t 0时的物价。假定某种商品 的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0.01）
解：由导数公式：p '(t) 1.05t p0 ln1.05 p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
练习: 1．求下列函数的导数：
1 (1) y x 3
(2) y 3 x (3) y cos x
(5) y log5 x (6) y log1 x
2
(7) y 2x6 (8) y 2x 3
(9) y e x
(10) y ln x
(1) y 4x
(2)
y
log
x 3
(4) y 3x
y 1 , x (x x)x
f
(x)
(1)' x
lim
x0
y x
lim
x0
(x
1 x)x
1 x2
.
公式三：（
1 x
）' ppt课件
1 x2
7
1) y f (x) C y ' 0
2) y f (x) x, y ' 1
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y f (x) 1 , x
4.求切线方程的步骤：
（1）找切点
（2）求出函数在点x0处的变化率 f (x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x ).0ppt课件
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
《计算导数》课件
实际问题的应用
导数在实际问题的最优化、曲线的切线与法线、 物理学中都有重要应用。
总结
导数是什么，有什么意义
导数是函数变化率，有几何及物理意义。
如何计算导数
掌握基本导数公式，四则运算法则，复合函数求导法则和链式法则。
导数的应用和实例
最优化、曲线的切线与法线、物理学等实际应用。
导数如何让我们更精确地计算变化率
导数在所有科学领域中的应用
科学领域 物理学 经济学 天文学 生物学 化学 地理学
应用 运动物体的速度与加速度 市场的需求和弹性 天体的位置与速度 神经信号与代谢变化 反应速率与反应机制 环境变化的减乘除外，掌握导数的运算法则对
于计算复杂函数的导数至关重要。
3
复合函数求导法则
复合函数的求导需要使用复合函数求
导法则，这是导数计算中的重要主题。
链式法则
4
复合函数求导法则的重要推论，用于 求解复杂函数的导数。
应用与实例
常见函数的导数
求解基本三角函数、指数函数、对数函数的导数 是导数计算的基础。
1 例子一：移动的车
辆
2 例子二：市场需求
如何计算市场的弹性需
3 例子三：自行车竞
赛
当车速不稳定时，要怎
求？
如何计算速度的瞬间变
样才算得出它的平均加
化和匀速运动？
速度？
什么是微积分？
微积分是一门研究连续变化的学科。我们可以通过计算导数和积分来研究较为复杂和抽象的物理量，如 速度、加速度、功和能量。
《计算导数》PPT课件
计算导数是高等数学中的重要内容，掌握导数的定义、计算、应用、求解及 其实例对学习高等数学大有裨益。
什么是导数
导数的定义
522导数的四则运算法则课件共36张PPT
课堂篇·互动学习
类型一
导数的运算法则
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝x22＋x 1； (3)y＝xsin x－co2s x； (4)y＝3x－lg x. [思路分析] 本题考查导数的运算法则，观察函数的结构特征，可先对函数式 进行合理变形，然后利用导数公式及相应的运算法则求解．
3．已知 f(x)＝xln x＋2 018x，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝__e___.
解析：∵f′(x)＝ln x＋1＋2 018，∴f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020，∴ln x0＝1，解 得 x0＝e.
4．若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标 是___(_e，__e_)___．
5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
[课标解读]1.掌握导数的基本运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求简单函 数的导数．
[素养目标] 水平一：能应用导数的四则运算法则求简单函数的导数(数学运 算)．
水平二：能利用导数的运算法则求复杂函数的导数(数学运算).
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
[解] (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (2)y′＝x22＋x 1′＝2x′x2＋x12＋－122xx2＋1′ ＝2x2x＋2＋11－24x2＝2x－2＋21x22.
[变式训练 1] 求下列函数的导数： (1)y＝( x－2)2；(2)y＝( x＋1) 1x－1.
解：(1)∵y＝( x－2)Байду номын сангаас＝x－4 x＋4，
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
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y 2x x x2 2x x,
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
6
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
4.求切线方程的步骤：
（1）找切点
（2）求出函数在点x0处的变化率 f (x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x0).
3
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解: y f (x) C,
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
4
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
答:在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。
思考：若某种商品的p0 5，那么在第10个年头，
这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
p '(t) 1.05t p0 ln1.05,
3.2.1几个常用 函数的导数
高二数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
1
一、复习
1.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x x) f (x) ;
x
x
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
y 1, x
f (x) x ' lim y 1. x0 x
公式二：x ' 1
5
二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x2的导数.
解: y f (x) x2, y f (x x) f (x) (x x)2 x2 2x x x2,
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
说明:上面的方 法中把x换成 x0即为求函数 在点x0处的 导 2 数.
2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x=
x0处的函数值,即f (x0 ) 处的导数的方法之一。
f
(
x
)
|
x
x0
.这也是求函数在点x0
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
10
练习: 1．求下列函数的导数：
1 (1) y x 3
(2) y 3 x (3) y cos x
(5) y log5 x (6) y log1 x
2
(7) y 2x6 (8) y 2x 3
(9) y e x
(10) y ln x
(1) y 4x
(2)
y
log
x 3
(4) y 3x
注意:关于 a x和xa 是两个不同的函数,例如:
(1)(3x )
(2)( x3 ) 11
课堂练习
1、求下列函数的导数
(1) y 2sin x (2) y 2x (3) y log0.2 x
(4) y cosx
(5) y x 3
(6)
y
1 x2
(7) y 5x5 (8) y 2 (9) y 3ex (10) y ln x
12
例1：假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 （p 单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:
p(t) p0 (1 5%)t.其中p0为t 0时的物价。假定某种商品 的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0.01）
解：由导数公式：p '(t) 1.05t p0 ln1.05 p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
.
公式三：（ 1 x
）'
1 x2
7
1) y f (x) C y ' 0
2) y f (x) x, y ' 1
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y f (x) 1 , x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像，
描述它的变化情况。并求出曲线在
点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
8
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
9
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y 1 , x (x x)x
f
(x)
(
1) x
'
lim
x0
y x
lim
x0
(x
1 x)x
1 x2