正态分布、区间估计
正态总体均值的区间估计
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
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理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
统计学中的区间估计方法及其应用
统计学中的区间估计方法及其应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，区间估计是一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
本文将介绍区间估计的基本概念和常见方法，并探讨其在实际应用中的意义。
一、区间估计的基本概念区间估计是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，使得该范围内有一定的置信水平包含真实的总体参数值。
常见的区间估计方法有点估计法、区间估计法和极大似然估计法等。
点估计法是通过样本数据计算得到一个点估计值，作为总体参数的估计值。
例如，通过样本均值估计总体均值，通过样本方差估计总体方差等。
区间估计法是在点估计的基础上，给出一个置信区间，该区间包含了总体参数的真实值。
置信区间的计算依赖于样本数据的分布和样本容量等因素。
极大似然估计法是通过最大化似然函数，寻找最有可能生成观测数据的参数值。
该方法常用于对总体分布的参数进行估计。
二、常见的区间估计方法1. 正态分布的区间估计在正态分布的区间估计中，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于大样本，T检验适用于小样本。
这两种方法都是基于正态分布的性质，通过计算样本均值与总体均值之间的差异，得出置信区间。
2. 二项分布的区间估计对于二项分布的区间估计，常用的方法是Wald区间估计和Wilson区间估计。
Wald区间估计是基于正态近似的方法，适用于大样本。
Wilson区间估计是一种修正的方法，适用于小样本。
3. 指数分布的区间估计对于指数分布的区间估计，常用的方法是对数似然比法和置信上限法。
对数似然比法是通过最大化似然函数，得到参数的估计值，并计算置信区间。
置信上限法是寻找参数的最大值，使得观测值在该上限下的概率达到一定的置信水平。
三、区间估计的应用意义区间估计在实际应用中具有重要的意义。
首先，区间估计提供了对总体参数范围的估计，使得我们能够更准确地了解总体的特征。
其次，区间估计能够帮助我们进行决策和预测。
例如，在市场调研中，我们可以通过区间估计来估计产品的需求量，从而制定合理的生产计划。
第五节正态总体参数的区间估计汇总
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
区间估计的习题和答案
区间估计的习题和答案区间估计的习题和答案区间估计是统计学中一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
通过样本数据，我们可以根据一定的置信水平构建一个区间，该区间包含了总体参数的真实值的概率。
本文将介绍一些区间估计的习题，并提供相应的答案。
1. 问题：某电商平台声称其平均每日订单数超过10000，现从该平台随机抽取了100个订单进行统计，得到平均每日订单数为9800，标准差为2000。
请构建一个95%的置信区间。
解答：根据中心极限定理，样本均值服从正态分布，当样本容量大于30时，可以使用正态分布进行区间估计。
根据题目信息，样本容量为100，标准差为2000，所以我们可以使用正态分布进行估计。
置信水平为95%，对应的α为0.05。
查找标准正态分布表得到α/2对应的临界值为1.96。
计算得到置信区间为：9800 ± 1.96 * (2000 / √100) = 9800 ± 392因此，95%的置信区间为[9408, 10192]。
2. 问题：某服装品牌声称其销售额的年增长率不低于10%。
现从该品牌的10个门店中随机抽取了销售额的年增长率数据，得到样本均值为8%，样本标准差为2%。
请构建一个90%的置信区间。
解答：根据题目信息，样本容量为10，样本标准差为2%，样本均值为8%。
由于样本容量较小，无法使用正态分布进行区间估计，需要使用t分布。
置信水平为90%，对应的α为0.1。
查找t分布表得到自由度为9时，α/2对应的临界值为1.83。
计算得到置信区间为：8% ± 1.83 * (2% / √10) = 8% ± 1.16因此，90%的置信区间为[6.84%, 9.16%]。
3. 问题：某医院声称其糖尿病患者的平均住院天数不超过7天。
现从该医院随机选取了50名糖尿病患者，得到平均住院天数为8天，样本标准差为2天。
请构建一个99%的置信区间。
解答：根据题目信息，样本容量为50，样本标准差为2天，样本均值为8天。
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
区间估计的发展历程
区间估计的发展历程区间估计是统计学中的一个重要方法，用于估计总体参数的取值范围。
其发展历程可以追溯到20世纪初，随着统计学的发展，区间估计方法也不断演变和完善。
20世纪初，统计学的先驱者在面对大量数据时，常常只能通过样本均值或样本比例来估计总体均值或总体比例，并且无法对估计结果的可信度进行评估。
在这种情况下，区间估计的概念开始浮现。
最早的区间估计方法是基于正态分布的，如对总体均值的区间估计常使用的Z分布。
到了20世纪30年代，统计学家们通过研究样本统计量的抽样分布发现，当样本容量较大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
于是，他们开始使用标准正态分布进行区间估计，该方法被称为大样本法。
随后，统计学家们发现在很多实际情况下，样本容量并不总是很大，并且样本均值的抽样分布并不一定服从正态分布。
为解决这个问题，20世纪40年代，学者们提出了小样本法。
这种方法利用t分布进行区间估计，不仅适用于小样本，而且当样本容量大时，也能产生与Z分布相似的结果。
随着计算机的发展和计算方法的改进，20世纪50年代出现了蒙特卡洛方法，从而使区间估计更加准确和高效。
蒙特卡洛方法是通过模拟抽样分布来进行区间估计，其原理类似于抛硬币的过程。
通过大量的模拟实验，可以得到参数的估计值以及其取值范围。
20世纪70年代，贝叶斯统计学的兴起使得区间估计的思想得到了进一步的发展。
贝叶斯统计学使用贝叶斯公式来计算参数的后验概率，并通过后验概率的分布进行区间估计。
相比于传统的频率学派，贝叶斯统计学更加灵活，可以直接对参数的不确定性进行建模。
此外，以非参数统计学为代表的现代统计学方法也为区间估计提供了新的思路。
非参数统计学不需要对总体的分布进行假设，可以在较小的样本容量下进行区间估计。
随着统计学的不断发展和应用领域的扩大，区间估计的方法也在不断完善和丰富。
目前已经出现了各种各样的区间估计方法，如bootstrap方法、Jackknife方法等。
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0.783(1 0.783) = 0.783±1.96× 120 = 0.709 ~ 0.857
data aa; input p n; Sp=sqrt(p*(1-p)/n); y1=p-1.96*Sp; y2=p+1.96*Sp ; cards; 0.783 120 ; proc print; run; /*可信区间的下限*/ /* /*可信区间的上限*/ */
总体均数的区间估计（单侧）
σ未知但样本例数 足够大（n＞50）时： 未知但样本例数n足够大 未知但样本例数 足够大（ ＞ ）
通式： 通式： > X Zα SX
< X + Zα SX
σ已知，按标准正态分布原理计算： 已知，按标准正态分布原理计算： 已知
通式： 通式： > X Zασ X < X + Zασ X
p ( X tα / 2 , v S X < < X + tα / 2 , v S X ) = 1 α
通 ： ± tα / 2,vSX (双 ) 式 X 侧
95 双 置 区 ： t0.05/ 2,vSX , X + t0.05/ 2,vSX ) ％ 侧 信 间 (X
σ已知，按标准正态分布原理计算 已知， 已知
参数估计
参数估计： 参数估计：由已知的样本统计量推断总体 参数。 参数。 参数估计：点估计和区间估计； 参数估计：点估计和区间估计； 区间估计： 区间估计： 假设某个总体的均数为， 假设某个总体的均数为 ，需要找到 两个数值A和 ，使得在一个比较高的可信 两个数值 和B，使得在一个比较高的可信 能包含。 度下(如95%)，区间 如 ，区间(A,B)能包含 。即 能包含 P(A<<B)=0.95
2 正态近似法
例5-8 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名，检出乳腺癌患者 例，检出率为 名 检出乳腺癌患者94例 78.3%。估计该仪器乳腺癌总体检出率的 。估计该仪器乳腺癌总体检出率的95% 置信区间。 置信区间。 比较大， 均大于5， 解: n比较大，且np = 94及n(1p) = 26均大于 ， 比较大 及 均大于 所以可用正态近似法估计总体概率的置信区间。 所以可用正态近似法估计总体概率的置信区间。
某医院对39名前列腺癌患者实施开放 例5-6 某医院对 名前列腺癌患者实施开放 手术治疗，术后有合并症者2人 手术治疗，术后有合并症者 人，试估计该手 术合并症发生概率的95%置信区间。 置信区间。 术合并症发生概率的 置信区间 解：查附表6，n = 39，X=2，交叉处的数值为 查附表 ， ， ， 1~17，即该手术合并症发生概率的 ，即该手术合并症发生概率的95%置信区 置信区 间为1% ~ 17%。 间为 。
X X t= = ~ t分布， ν = n 1 分布， sX s n
t分布曲线 分布曲线
单峰分布，曲线以0为中心 为中心， 单峰分布，曲线以 为中心，左右对称类 似于标准正态分布。 似于标准正态分布。 t分布的形状与自由度ν有关 分布的形状与自由度
1-α
-tα/2,v
tα/2,v
双侧： 双侧：P(t≤-tα/2,ν)+ P(t≥tα/2,ν)=α P(-tα/2,ν < t <tα/2,ν) = 1-α
名学生， 例：随机抽取15名学生，记录他们的性别 随机抽取 名学生 ）、年龄 ）、体重 （sex）、年龄（age）、体重（w）和身高 ）、年龄（ ）、体重（ ） ），求 学生身高的95%置信区间。 置信区间。 （h），求：学生身高的 ）， 置信区间 f m m m f 15 15 14 16 16 46 50 38 60 60 156 160 150 170 165 f m m f m 14 13 16 17 17 41 48 55 50 65 149 155 165 160 175 f m m f f 18 18 17 17 18 65 70 68 58 61 165 180 176 160 162
data a; input sex$ age w h @@; cards; f 15 46 156 f 14 41 149 m 15 50 160 m 13 48 155 m 14 38 150 m 16 55 165 m 16 60 170 f 17 50 160 F 16 60 165 m 17 65 175 ；
σ未知且样本例数 较小时，按t分布原理计算 未知且样本例数n较小时 未知且样本例数 较小时， 分布原理计算
p ( tα / 2 , v < t < tα / 2 , v ) = 1 α p ( tα / 2 , v
a/2 -ta/2,v
a/2 ta/2,v
X < < tα / 2 , v ) = 1 α SX
σx =
σ
n
s sx = n
t分布 分布
设从正态分布N( 中随机抽取含量为n的 设从正态分布 ,σ2)中随机抽取含量为 的 中随机抽取含量为 样本，设： 样本，
X ~ N ( , σ ) → z =
2 X z变换
X
σX
~ N (0,1)
实际工作中，总体方差未知， 实际工作中，总体方差未知，用样本方差 代替，此时： 代替，此时：
某医生用某药物治疗31例脑血管梗塞 例5-7 某医生用某药物治疗 例脑血管梗塞 患者，其中25例患者治疗有效 例患者治疗有效， 患者，其中 例患者治疗有效，试求该药物 治疗脑血管梗塞有效概率的95%置信区间置 治疗脑血管梗塞有效概率的 置信区间置 信区间。 信区间。 解：n = 31，X = 25 > n/2，所以用 X = 6查 ， ，所以用n 查 附表6，得8 ~38，即无效概率的95%置信区 附表 ， ，即无效概率的 置信区 间为8% ~38%，因此有效概率的 间为 ，因此有效概率的95%置信 置信 区间为62% ~ 92%。 区间为 。
样本频率的抽样误差
随机变量 X ~ B（n,π） （ 样本频率
率的标准误
X p= n
总体均数参数为π， 标准差为 σ = π (1 π )
p
n
Sp =
p(1 p) n
总体概率的置信区间
估计方法： 估计方法： 较小， 查表法：当样本含量n较小 比如n 查表法：当样本含量 较小，比如 ≤ 50 正态近似法： 足够大， 正态近似法： 当n足够大，且样本频率 和（1p） 足够大 且样本频率p和 ） 均不太小时， 均不太小时，如np与n(1p) 均大于 与 均大于5
总体均数的可信区间(SAS实现) 总体均数的可信区间(SAS实现) (SAS实现
（1）t 分布法 SAS函数： SAS函数：TINV 函数 t=TINV(p,df) 求t分位数的函数，p 分位数的函数， 是从- 到当前t分位数位置的面积。 是从-∞到当前t分位数位置的面积。 df=n-1（自由度） df=n自由度）
p ( zα / 2 < z < zα / 2 ) = 1 α p ( zα / 2 < X
a/2 -za/2
a/2 za/2
σX
X
< zα / 2 ) = 1 α
p ( X z α / 2σ
< < X + z α / 2σ X ) = 1 α
通式：X ± Zα / 2σ X (双侧 )
实验三、 未必等于总体均数; 各样本均数未必等于总体均数 样本均数之间存在差异; 样本均数之间存在差异 样本均数的分布很有规律：围绕总体均数， 样本均数的分布很有规律：围绕总体均数， 中间多两边少，左右基本对称； 中间多两边少，左右基本对称； 样本均数的变异范围较之原变量的变异范 围大大缩小；随着样本含量的增加，样本 围大大缩小；随着样本含量的增加， 均数的变异范围逐渐缩小。 均数的变异范围逐渐缩小。
作业
P83 6题 7题
6. 某研究表明新研制的一种安眠药比旧安眠药增加睡 眠时间。 眠时间。某医师从已确诊的神经衰弱病人中随机抽取了 两份样本, 一份样本是20例病人服用该种新药 例病人服用该种新药， 两份样本 一份样本是 例病人服用该种新药，计算得 到平均睡眠时间为6.39小时 标准差为 小时, 小时; 到平均睡眠时间为 小时 标准差为2.24小时 另一 小时 份样本是93例病人也服用该种新药 例病人也服用该种新药， 份样本是 例病人也服用该种新药，计算得到平均睡 眠时间为6.45小时 标准差为 小时, 小时。 眠时间为 小时 标准差为2.51小时。若睡眠时间服 小时 从正态分布， 从正态分布，试分别估计这种新安眠药的平均睡眠时间 置信区间； 的95%置信区间；并比较这两个区间有何不同，用哪 置信区间 并比较这两个区间有何不同， 一个估计总体参数更可靠？ 一个估计总体参数更可靠？ 7. 为了解中年男性高血压患病情况，某研究单位在某 为了解中年男性高血压患病情况， 市城区随机调查了45~54岁男性居民 岁男性居民2660人，检查出 市城区随机调查了 岁男性居民 人 高血压病人775人，试估计该市中年男子高血压患病率 高血压病人 人 置信区间。 的95%置信区间。 置信区间
某市2000年随机测量了90名19岁健康男大 某市2000年随机测量了90名19岁健康男大 2000年随机测量了90 学生的身高，均数为172.2cm，标准差为 学生的身高，均数为172.2cm， 172.2cm 4.5cm，试估计该市当年19岁健康男大学 4.5cm，试估计该市当年19岁健康男大学 19 生平均身高95%置信区间。 生平均身高95%置信区间。 95%置信区间
Output语句注解 语句注解
语句格式： 语句格式： OUTPUT OUT=数据集名 [统计关键字 变量 统计关键字=变量 数据集名 统计关键字 名] 功能： 功能： 将过程结果输出到一个新SAS数据集。 数据集。 将过程结果输出到一个新 数据集