正态分布可信区间
第四节正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
可信区间
在区间估计中，总体参数虽未知，但却 是固定的值（且只有一个），而不是随 机变量值 。
-2
11 12 13 14 15
0.25 0.50
1.000 0.816 0.765 0.741 0.727
0.718 0.711 0.706 0.703 0.700
0.697 0.695 0.694 0.692 0.691
0.20 0.40
1.376 1.061 0.978 0.941 0.920
0.906 0.896 0.889 0.883 0.879
3.143 2.998 2.896 2.821 2.764
1.796 1.782 1.771 1.761 1.753
2.201 2.179 2.160 2.145 2.131
2.718 2.681 2.650 2.624 2.602
-t
0
t
0.005 0.01
63.657 9.925 5.841 4.604 4.032
点估计
直接用样本统计量作为总体参数的估计值
–方法简单，但未考虑抽样误差的大小 –在实际问题中，总体参数往往是未知的，但它们
是固定的值，并不是随机变量值。而样本统计量 随样本的不同而不同，属随机的。
区间估计
按一定的概率或可信度(1- )用一个区间估计
总体参数所在范围，这个范围称作可信度为1-
的可信区间(confidence interval, CI)，又称置
4.437 4.318 4.221 4.140 4.073
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
正态分布与置信度
05
实际应用案例
置信区间在市场调查中的应用
总结词
置信区间是估计样本统计量精度的有效方法，在市场调查 中广泛应用。
详细描述
正态分布与置信度的关系
置信度表示估计总体参数的可靠程度 ，即在一定置信度下，估计的总体参 数值落入某个范围内的概率。
在正态分布下，置信度与样本量有关。 随着样本量的增加，置信度逐渐接近1， 即估计的总体参数值落入某个范围内的 概率逐渐增大。
置信度在正态分布中的应用
在统计学中，置信度被广泛应用于参数估计、假设检验和区间估计等方面。在正态分布下，置信度可 以用于估计总体参数的精度和可靠性，帮助我们更好地理解和应用数据。
市场调查中，置信区间用于估计样本统计量（如平均值、 比例等）的精度。通过计算置信区间，调查者可以了解样 本统计量可能落入的范围，从而对总体参数进行合理推断 。
总结词
置信区间有助于制定更精确的市场策略。
详细描述
置信区间提供了一种量化风险的方法，帮助决策者了解样 本统计量可能存在的误差范围。这有助于制定更精确的市 场策略，例如确定目标受众、制定营销预算等。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 μ对称，大多数数据值集 中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线是平滑的， 表示数据值的分布是均匀 的。
对称性
正态分布的曲线关于均值 μ对称，左侧和右侧是对 称的。
正态分布在统计学中的应用
描述性统计
正态分布用于描述数据的分布 情况，提供数据的集中趋势和
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
95的可信区间和参考值范围
95的可信区间和参考值范围1.引言1.1 概述引言是一篇文章的开头部分，用于概述文章的主题和目的。
本文将探讨95的可信区间和参考值范围。
在统计学中，可信区间是用于估计参数真实值的一种方法，常用于分析数据和进行推断。
而参考值范围则是用于确定一组数据中的正常范围或标准范围。
通过对这两个概念的研究和应用，我们可以更准确地评估数据的可靠性和确定合适的标准。
在正文中，我们将首先介绍可信区间的概念和计算方法。
可信区间是对参数真实值的估计范围，它给出了一个具有一定置信度的区间范围。
通过了解如何计算95的可信区间，我们可以在数据分析和预测中获得更准确的结果。
接着，我们将探讨可信区间的应用。
可信区间可以帮助我们评估样本数据的可靠性，从而更好地理解总体参数的真实情况。
此外，我们还将讨论参考值范围的确定方法。
通过确定参考值范围，我们可以判断一组数据是否在正常范围内，对异常值进行排除或进一步分析。
综上所述，本文将详细介绍95的可信区间和参考值范围的概念、计算方法和应用。
通过学习和理解这些内容，我们可以提高数据分析的准确性和可靠性，为决策提供科学依据。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为以下几个部分进行讨论和分析。
第一部分是引言，将概述本文所要论述的内容，并介绍文章的结构和目的。
引言部分将帮助读者了解本文的主题和背景，使其有针对性地理解和解读后续的论述。
第二部分是正文，主要分为两个小节。
第二节将介绍可信区间的概念，包括其定义、意义和应用。
我们将详细解释什么是可信区间，为什么需要使用可信区间进行统计推断，以及可信区间在实际问题中的作用。
在第三节中，我们将详细说明如何计算得到一个数据的95的可信区间。
通过具体的计算案例，我们将演示如何根据给定的样本数据和置信水平来计算得到可信区间。
第三部分是结论，将对前面的内容进行总结，并进一步讨论可信区间的应用和参考值范围的确定。
我们将强调可信区间在统计推断中的重要性，并介绍如何利用可信区间来确定参考值范围。
置信区间(详细定义及计算)
可见，对参数 作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
[ˆ1 ,ˆ2 ] 内.
1. 要求 很大的可能被包含在区间 [ˆ1 , ˆ2 ] 内，
就是说，概率 P {ˆ1 ˆ2 } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠.
ˆ ˆ 2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 2 1 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
18
当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 这里有两个要求:
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 1245 0 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解
设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n 则所求μ的置信区间为 [1259 24 .58 , 1259 24 .58]
正态分布置信区间Excel计算公式
05
注意事项
样本量大小的影响
样本量大小
样本量越大，置信区间的宽度越窄，即 置信水平越高。在Excel中，可以使用 NORM.INV函数计算正态分布的置信区 间，其中需要输入样本量大小作为参数 之一。
VS
样本代表性
样本必须具有代表性，否则计算出的置信 区间可能不准确。在选择样本时，应尽量 确保其能够反映总体特征。
置信水平的选择
常用的置信水平
常用的置信水平有90%、95%和99%。不 同的置信水平对应着不同的置信区间宽度。 在Excel中，NORM.INV函数也接受置信水 平作为参数之一。
决策依据
选择合适的置信水平对于决策至关重要。例 如，在假设检验中，如果选择的置信水平过 低，可能会导致错误的结论。
置信区间的解释与解读
应用
用于检验假设的置信区间，判断样本数据是 否符合预期的总体分布。
样本均值的置信区间
计算公式
$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} times
z_{alpha/2},
bar{x}
+
frac{s}{sqrt{n}}
times
z_{alpha/2}]$
解释
其中，$bar{x}$表示样本均值， $s$表示样本标准差，$n$表示样 本数量，$z_{alpha/2}$表示标准 正态分布的下（或上）临界值。
函数返回值：在给定置信 水平和标准差下，样本大 小为size的连续型变量的 置信区间宽度。04实例ຫໍສະໝຸດ 析假设检验中的正态分布置信区间
计算公式
$P(mu - sigma < X < mu + sigma) = 1 alpha$
解释
其中，$P$表示概率，$mu$表示总体均值， $sigma$表示总体标准差，$X$表示样本数据， $alpha$表示显著性水平。
医学统计学简答题
1、正态分布的特点及其应用性质：①以均数为中心，两头低中间高，左右完全对称的钟型曲线；②只有一个高峰，在X=μ，总体中位数亦为μ；③μ为位置参数，当σ恒定时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；σ为形态参数，当μ恒定时，σ越大，表示数据越分散，曲线越矮胖，反之，曲线越瘦高；④对于任何服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X作的线性变换，都会变换成u服从于均数为0，方差为1的正态分布，即标准正态分布；⑤正态分布在μ±1σ处各有一个拐点；⑥正态曲线下的面积分布有一定的规律：X轴与正态曲线所夹面积恒为1；区间μ±σ的面积为68.27%，区间μ±1.96σ的面积为95.00%，区间μ±2.58σ的面积为99.00%。
应用：①概括估计变量值的频数分布；②制定参考值范围；③质量控制；④是许多统计方法的理论基础。
2、确定参考值范围的一般原则和步骤、方法一般原则和步骤：①抽取足够例数的正常人样本作为观察对象；②对选定的正常人进行准确而统一的测定，以控制系统误差；③判断是否需要分组测定；④决定取单侧范围值还是双侧范围值；⑤选定适当的百分范围；⑥选用适当的计算方法来确定或估计界值。
方法：①正态分布法：②百分位数法（偏态分布）：3、标准差与标准误的区别与联系区别：含义：标准差反映观察值在个体中的变异大小，标准差越大，变量值越分散。
标准误是指样本统计量的标准差，反映来自同一总体的样本统计量的离散程度以及样本统计量与总体参数的差异程度，即抽样误差的大小。
计算方法：标准差：总体标准差：样本标准差：标准误：均数的标准误：率的标准误：用途：标准差①用于对称分布，特别是正态分布资料，表示观察值分布的离散程度②结合均数，描述正态分布的特征、估计参考值范围③结合样本统计量，计算均数标准误④计算变异系数⑤反映均数的代表性标准误①衡量样本均数的可靠性②估计总体均数的可信区间③用于均数的假设检验与n的关系：随着n增加，样本标准差稳定于总体标准差；随着n增加，样本标准误减少并趋于0。
统计名词解释
名词解释：1，总体（population）：总体指根据研究目的所确定的同质的观察单位的全体。
更确切的说，它是同质的所有观察单位某种观察值的集合。
可分为有限总体和无限总体。
总体中只包含有限个观察单位者为有限总体，反之为无限总体。
2，样本（sample）：从总体中随机抽取部分观察单位的测量结果集合称为样本。
样本应具有可靠性和代表性。
样本的可靠性是指样本的确是来自同一总体，具有同质性；代表性是必须采用随机抽样方法从总体中获得的足够多的观察单位。
3，参数（parameter）：参数是用来表示总体分布特征的统计数字。
统计中常用的总体参数有描述总体分布中心位置或集中趋势的总体平均数指标；有描述总体离散度的总体变异指标。
4，统计量（statistic）：统计量是依据样本观察值推算出的反映样本分布特征（如样本平均数、样本变异等）的一些量。
5，误差（error）：观察值与真值之差称为误差。
误差分为过失误差、系统误差和随机误差三类。
6，抽样误差（sampling error）：抽样误差是随机误差中的一种，它是由抽样所至的样本统计量与总体参数间的差异。
抽样误差愈小，用样本推算总体的精确度就愈高，反之亦然。
7，正态分布（normal distribution）和标准正态分布（）：由密度曲线f(x) = （1/√2π）×(1/σ）×EXP[(-1/2)×(x-x0)^2/σ^2]确定的中间高、两边低、左右对称的连续随机变量的分布称为正态分布。
记为N(μ，σ2) ，其中μ为总体均数σ为总体标准差；把总体均数为0，把总体标准差为1的正态分布N（0，1）称为标准正态分布。
一般正态分布可以通过μ=（x-μ）/σ转化为标准正态分布。
8，抽样误差（sampling error）：在抽样研究中，由抽样所至的样本与总体参数间的差异称为抽样误差。
9，标准误（standard error）：标准误就是样本统计量的标准差，它反映了统计量间的变异程度，也间接的反映抽样误差的大小。
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3. 某地200例正常成人血铅含量的频数分布如下表。
（1）简述该资料的分布特征。
（2）若资料近似呈对数正态分布，试分别用百分位数法和正态分布法估计该地正常成人血铅值的95%参考值范围。
表某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布
血铅含量频数累积频数
0.00～7 7
0.24～49 56
0.48～45 101
0.72～32 133
0.96～28 161
1.20～13 174
1.44～14 188
1.68～ 4 192
1.92～ 4 196
2.16～ 1 197
2.40～ 2 199
2.64～ 1 200
[参考答案]
（1）从表可以看出，血铅含量较低组段的频数明显高于较高组段，分布不对称。
同正态分布相比，其分布高峰向血铅含量较低方向偏移，长尾向血铅含量较高组段延伸，数据为正偏态分布。
某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布
血铅含量组中值频数累积频数累积频率
0.00～0.12 7 7 3.5
0.24～0.36 49 56 28.0
0.48～0.60 45 101 50.5
0.72～0.84 32 133 66.5
0.96～ 1.08 28 161 80.5
1.20～ 1.32 13 174 87.0
1.44～ 1.56 14 188 94.0
1.68～ 1.80 4 192 96.0
1.92～
2.04 4 196 98.0
2.16～ 2.28 1 197 98.5
2.40～ 2.52 2 199 99.5
2.64～ 2.76 1 200 100
（2）因为正常人血铅含量越低越好，所以应计算单侧95%参考值范围。
百分位数法：第95%百分位数位于1.68～组段，组距为0.24，频数为4，该组段以前的累积频数为188，故
95
(2000.95188)
1.680.24 1.80(μmol/L)
4
P
⨯-
=+⨯=
即该地正常成人血铅值的95%参考值范围为小于1.80μmol/L。
正态分布法：将组中值进行log变换，根据题中表格，得到均值和标准差计算表。
某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)均值和标准差计算表
血铅含量组中值lg组中值(x) 频数(f) fx2fx
0.00～0.12 -0.92 7 -6.44 5.9248 0.24～0.36 -0.44 49 -21.56 9.4864 0.48～0.60 -0.22 45 -9.9 2.178 0.72～0.84 -0.08 32 -2.56 0.2048
0.96～ 1.08 0.03 28 0.84 0.0252
1.20～ 1.32 0.12 13 1.56 0.1872 1.44～ 1.56 0.19 14
2.66 0.5054 1.68～ 1.80 0.26 4 1.04 0.2704
1.92～
2.04 0.31 4 1.24 0.3844
2.16～ 2.28 0.36 1 0.36 0.1296 2.40～ 2.52 0.40 2 0.80 0.3200 2.64～ 2.76 0.44 1 0.44 0.1936
合计——200 -31.52 19.8098
计算均值和标准差：
31.52
0.1576200
X -=
=-
0.2731S ==
单侧95%参考值范围：
1.650.1576 1.650.27310.2930X S +=-+⨯= 1lg (0.2930) 1.96(mol/L)μ-=
即该地正常成人血铅值的95%参考值范围为小于1.96μmol/L ，与百分位数法相比两者相差不大。