第三章恒定电场和电流
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第1节：电流
六、电流的微观表达式
推导:
一段粗细均匀的导体长为l,两端加一定的电压，自由电 荷定向移动的速率为v,设导体的横截面积为s，导体每 单位体积内的自由电荷数为n，每个自由电荷量为q。 B A
总电量 电荷总数 l
Q Nq nlSq nqSv I t l/v l/v
思考题
如果认为电子的定向运动速率就 是电流的传导速率，和我们的生活 经验是否相符？怎样解释？ 电子定向移动的速率约10 -5 m/s， 电子热运动的平均速率10 5 m/s， 电场的传播速率3×10 8 m/s.
内因 外因
②. 保持导体两端电势差
当导体两端存在电压时，导体内建立了电场， 导体中的自由电荷在电场力的作用下发生定向移 动，形成电流．
3.电源的作用：维持导体两端持续的电压，使导体 中有持续的电流．
第1节：电 流
一、电流的形成 二、电流的速度
自由电子热运动的平均速率 自由电子定向运动的速度 电流的速度 3.0 ×108 105 m/s 10-5 m/s m/s
思考题
我们在上一章中曾经得出结论 :在静电平衡时,导体内部的场强为 零,导体上任意两点之间的电势差 为零(等势体).这与我们现在的说 法有矛盾吗?为什么?
例与练 4、有一横截面为S的铜导线，流经其中的电流为 I，设单位体积的导线有n个自由电子，电子电量 为e，电子的定向移动速度为v，在t时间内，通 过导体横截面的自由电子数目N可表示为（ ） A．nvSt B．nvt C．It/e D．It/Se
q NeI It I N e t t
－ － － － － －
长度L vt
体积V LS Svt
N nV nSvt
例与练 5、有一横截面为S＝1mm2的铜导线，流经其中 的电流为I=1A，已知铜的密度为 ρ=8.9×103Kg/m3，铜的摩尔质量为M＝ 6.4×10－2Kg/mol，阿伏加得罗常数NA＝ 6.0×1023/mol，电子电量为e= 1.6×10－19C 。 在这个问题中可认为每个铜原子贡献一个电子， 求铜导线中自由电子定向移动速率v。
第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
3.0第三章 恒定电流的电场和磁场
dq d S J dS dt dt V dV
定理 度 散
SJ dS V t dV
积 式 形 分
J dV 0 V t
对任 意的 体 积V 均成 立， 需
电流连续性方程
微 分 形 式
J 0 t
第三章 恒定电流的电场和磁场 在恒定电流场中，电荷分布与时间无关，即 则有恒定电流场方程：
当导体两端的电压为 U，流过的电流为 I 时，则在单位时间内电场力对 电荷所作的功（功率）是
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS 的体积元，该体 积元内消耗的功率为
P U I E l I EJ l S EJ V
焦耳定律的微分形式：导体内任一点的热功率密度（ΔV→0 ），
I J er 2rL
内、外导体间的电压为
E
1
J
b
I 2 rL
er
U
a
Edr
I 2 L
ln
b a
第三章 恒定电流的电场和磁场 例 3-1 设同轴线的内导体半径为 a, 外导体的内半径为 b，内、 外导 体间填充电导率为σ 的导电媒质，求同轴线单位长度的漏电电导。
r z
a
b
电流密度矢量是恒定磁场的源变量
电流密度 J: 单位时间内垂直穿过单位面积的 电荷量，反映电流分布的不均匀性，其方向 为正电荷的运动方向。则
J lim I dI n n S 0 S dS
dS
dS
dS
E dS E
电流密度的单位是安培/米2 (A/m2)。
J E E
v
I
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
恒定电流和恒定电场-电动势
BAEk
dl
电源外部无非静电力，则
Ek dl
L Es dl 0
非静电力仅存在于电源内部，可以用非静电场强 Ek
表示。
由电源电动势定义得
BAEk
dl
电源外部无非静电力，则
Ek dl
导体内恒定电场的建立 电源的电动势
恒定电场也服从场强环流定律
L Es dl 0
非静电力仅存在于电源内部，可以用非静电场强 Ek
表示。
由电源电动势定义得
导体内恒定电场的建立 电源的电动势
电源电动势
电源迫使正电荷dq从负极经电源内部移动到正 极所做的功为dA，电源的电动势为
dA
dq
电源的电动势等于把单位正电荷从负极经内电 路移动到正极时所做的功，单位为伏特。
电源的电动势的方向规定：自负极经内电路指 向正极。
导体内恒定电场的建立 电源的电动势
恒定电场也服从场强环流定律
§10-2 恒定电流和恒定电场 电动势
1. 恒定电流
恒定电流： 电流场中每一点电流密度的大小和 方向均不随时间改变的电流。
维持恒定电的条件：
空间各点的电荷分布不随时间改变。
即 dq 0 dt
根据电流连续性方程得
S dS 0
恒定电流场中的电流线是无始无终的闭合曲线。
恒定电流
非恒定电流的例子：用导线连接的两个带电导体
完成这一过程不能依靠 静电力，必须有一种提供非 静电力的装置，即电源。
A
B
电源不断消耗其它形式的能量克服静电力做功。
导体内恒定电场的建立 电源的电动势
内电路：电源内部正负两 极之间的电路。
外电路：电源外部正负两 极之间的电路。
A
B
恒定电流的电场
如果导体的横截面不均匀，上式应写成积分式
式中的σ称为电导率，它由导体的材料决定。
从欧姆定律，可导出载流导体内任一点 上电流密度与电场强度的关系。 如图所示，在电导率为σ的导体内沿电流 线取一极微小的直圆柱体，它的长度是 Δ l ，截面积是Δ s，则圆柱体两端面 之间的电阻 。通过截面Δ s的电 流Δ I＝J Δ s ，圆柱体两端面之间的电 压是Δ U =E Δ l，根据式有
这就是电流连续性方程的积分形式。由高斯散度定理，上式中的 面积分可化为体积分 闭合曲面s是任意选的，因此，它所限定的体积v也是任意的。
这是电流连续性方程的微分形式
恒定电流的电流强度是恒定的，电荷的分布也是恒定 的。任一闭合面内都不能有电荷的增减，即
这就是恒定电流的连续性方程的积分形式。 它的物理含义是，单位时间内流入任一闭合面的电荷 等于流出该面的电荷。电流线是连续的闭合曲线。由 上式，应用高斯散度定理可得恒定电流的连续性方程的 微分形式。这说明恒定的电流场是无源场（管形场）
电流的强弱用电流强度来描述。 它的定义是，单位时间内通过导体任一横截面 的电荷量。 如果在时间Δ t内流过导体任一横 截面的电量是Δ q，便取下式作为时变电流强 度的定义。 恒定电流的电流强度的定义是
式中的q是在时间t内流过导体任一横截面的电 荷。I是个常量。电流强度一般简称为电流。
二、电流密度
J表示传导电流密度，如果所取的面积元的法线方向n0与电流方 向不垂直而成任意角度θ，则通过该面积元的电流是
通过导体中任意截面s的电流强度I与电流密度矢量J的关系是
电流密度矢量J在导体中各点有不同的方向和数值，从而构成一个 矢量场，称为电流场。这种场的矢量线称为电流线。电流线上每 点的切线方向就是该点的电流密度矢量J的方向。 从电流强度I与电流密度矢量J的关系看出，穿过任意截面s的电流 等于电流密度矢量J穿过该截面的通量．如图所示。
第三章 恒定电流的电场和磁场1-4
1
+ + + + E2t + +
2
+ +
Jc1
U
E2n E 2 E2t Jc1
E2 E2n
图 输电线电场示意图
两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有
E E 1 1 n 2 2 n
J2
2, 2 P 1, 1
同时，还有
E E 2 2 n 1 1 n
U 1 b R 0 ln I 2 a
（2）解法二：静电比拟法
在同轴电缆分析中，已求得电场强度为
S
E
U0 b ln a
eρ
a b
a o A
b
,
P B Jc
U0
故泄漏电流密度 图 同轴电缆中的泄漏电流 U0 Jc E e a b b ρ ln a 同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为
1 1 1 b R ln G C 2 a
镜像法的比拟：
＝
＋
2 1 2 2 ) ( I I, I I 1 2 1 2
恒定电场模拟静电场实验
因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可 以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。
1, 1
U0 d1 d2
2, 2
图 非理想介质的平板电 容器中的恒定电流场
例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上 的面电荷分布。 解：
2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2
+ + + + E2t + +
2
+ +
Jc1
U
E2n E 2 E2t Jc1
E2 E2n
图 输电线电场示意图
两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有
E E 1 1 n 2 2 n
J2
2, 2 P 1, 1
同时，还有
E E 2 2 n 1 1 n
U 1 b R 0 ln I 2 a
（2）解法二：静电比拟法
在同轴电缆分析中，已求得电场强度为
S
E
U0 b ln a
eρ
a b
a o A
b
,
P B Jc
U0
故泄漏电流密度 图 同轴电缆中的泄漏电流 U0 Jc E e a b b ρ ln a 同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为
1 1 1 b R ln G C 2 a
镜像法的比拟：
＝
＋
2 1 2 2 ) ( I I, I I 1 2 1 2
恒定电场模拟静电场实验
因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可 以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。
1, 1
U0 d1 d2
2, 2
图 非理想介质的平板电 容器中的恒定电流场
例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上 的面电荷分布。 解：
2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2
第三章恒定电场
2) 横定电场产生的原理
电解溶液中存在着一种局外电场，将正电荷从 负极板推向正极板。
两极板间还存在库仑电场，是有两极板上的电 荷激发的。
当局外电场大于库仑电场，局外电场将从负 极板推移正电荷至正极板。
若局外电场等于库仑电场，则保持平衡 。
图3-1a 蓄电池内的电场
本讲稿第三页，共四十三页
导电媒质中的恒定电场
解： 设介质内半径为R的单位长度的柱面上，流过的电流为I0
J1
I0
2R
R1 R R2
E1
I0
21R
R1 R R2
J2
I0
2R
R2 R R3
E2
I0
22R
R2 R R3
+τ
U0
R3EdRI0 2lnR R121lnR R23
R1
2
12
I0
2
212U0
lnR2 R1
1
lnR3 R2
趋於表面分布，可用电流线密度表示。
本讲稿第六页，共四十三页
3.2.3 欧姆定律的微分形式
取一电流管 IJS
电流管压降 UEl
电阻定义
R l U
S I
J E
J与E之关系
J(Eq E0)
恒定电流场与恒定电场相互依存。电流密度与电场E方向一致。 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI
本讲稿第七页，共四十三页
表明 1 导体表面是一条电流线。
E 2n 0
E 1n
J 1n 1
0
D2n D1n 2E 2n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡
下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。
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第三章 恒定电场和电流
§3.1
电流与电流密度
传导电流、运流电流
1、电流：电荷有规则的宏观运动。
2、电流强度：单位时间内通过导线某一截面的电荷量。简称电流。 ★表达式： ★单位：安培 A
Q I lim t 0 t
★方向：电流强度不是矢量，但常常以正电荷穿过曲面的方向 作为电流的正方向，当曲面（或电路导线）的参考方向与电流 正方向一致时，电流强度取正值。 3、电流密度： ①体电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位面积上所通过的电流。
J lim
I s n 0 S n
单位：安培 / 米2
②面电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位横截线上所通过的电流。
J lim
I s n 0 S n
单位：安培 / 米
4、电流密度 J 与载流子参数的关系 m dsdl I m vds dt 其中 m为运动电荷密度
从非静电力做功角度可以求得电源的电动势 E ＝
E s表示单位电荷在在电源内受到的非静电力
①在电源的内部存在着两个电场： 一个是非静电力的等效电场，另一 个是电源两极上的分布电荷在电源 内部产生的库仑电场，两者的指向 正好相反。
()
()
E s dl
E
I
J
电 源
Es E
I
E
负 载
J (E Es )
②在电源外部的媒质或空间中，只存 在由分布电荷所产生的库仑电场。 开路电压： V0
J
E
() ()
图3－5 恒定电流回路中的电场
E dl ＝ E
§3.4 欧姆定律和焦耳定律
1、欧姆定律 微分形式 低频电路形式 电阻的求解： 2、焦耳定律 微分形式
物理意义：恒定电场是一个保守场，无旋场 。 3、导电媒质中的高斯定律
导电媒质中的恒定电场不但要激发电流，也会引起媒质极化。 在恒定电场中高斯定律仍然成立
s D ds d Qin D
其中 D E
★均匀线性导电媒质中
根据第一定律 J 0 和欧姆定律 J E ， 得 J ( E ) E 0 E 0 故有
E U P0 U E dl
P
对于均匀导电媒质，可以证明Laplace方程成立
2U 0
5、恒定电场中的导体 导体内的电场不为零，导体内部的各点和表面的电位也不是 常量，这与静电场中的导体概念是不同的。 只有理想导体 才具有与静电场中导体相同的性质。
§3.3 电源和电动势
②假定电子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬时速度平均值为0， 碰撞间隔为τ，则定向漂移速度为
vd 0 v 1 1 eE a 2 2 2 m0
③导体单位体积内的自由电子数为N，则 m Ne 在①②③条件下，得 引入电导率 则有
1 Ne 2 J m vd E 2 m0 1 Ne 2 J E 2 m0
1、电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依 靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力 搬到A极板。这种提供非静电力将其它形 式的能量转为电能装置称为电源。 2、电动势 电源的非静电力把单位正电荷从电源的负极推到正极所作 的功称为该电源的电动势。
AS E = Q
电动势总是与电源的非静电力做功联系在一起，它决定于 电源本身的性质，与电源外部的电路无关。
C1
C2
再由高斯定律
D ( E) E
因此
结论：
0
①当均匀媒质中存在恒定电流时，其内部体电荷密度处处等于零。
②均匀导电媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上。
4、恒定电场中的电位 恒定电场是一个保守场，所以可以引入位函数来描述
l
E dl 0
s
J ds 0
1
得到边界条件： ˆ ( E1 E2 ) 0 或 n ˆ (J1 J 2 ) 0 或 n
2
E1t E 2t J 1n J 2n
2
J 2 2 E2
1 Ne 2 2 m0 J E
欧姆定律的微分形式
§3.2
恒定电流场的基本定律
s J dS t d Jd t d
J
1、第一基本定律 电荷守恒定律 应用散度定理得
由此得到电荷守恒定律的微分形式
0 在恒定电场中 t S J dS 0 得恒定电流场第一基本定律
t
J 0
物理意义：恒定电流密度场是一个无源场 。 推论：基尔霍夫第一方程
Ii
i 1
N
0
2、第二基本定律
根据恒定电流场 t 0 可知整个空间的电荷密度分布将不 随时间改变，即恒定电流场具有恒定的电荷密度分布。 而电场强度只决定于电荷密度的分布，故恒定电场与静电场 一样也是一个保守场。 l E dl 0 得恒定电流场第二基本定律 E 0
J E
V RI
R dR
l l
dl S
低频电路形式
p JE J E P J E d Jds Edl IV
s
§3.5 恒定电流场的边界条件
1、E 和 J 的边界条件
ˆ n
将恒定电1
J
v
dl
v dl dt 为电荷平均运动速度
因为 所以
I Jds
ds
m
J mv
写成矢量形式
J mv
图3－2 电流中的柱状体元
v
是大量运动电荷的定向平均速度
5、欧姆定律的微观解释
以金属为例，作以下假定
①假定运动电荷是电子，则在电场作用下加速度为
a f eE m0 m0
§3.1
电流与电流密度
传导电流、运流电流
1、电流：电荷有规则的宏观运动。
2、电流强度：单位时间内通过导线某一截面的电荷量。简称电流。 ★表达式： ★单位：安培 A
Q I lim t 0 t
★方向：电流强度不是矢量，但常常以正电荷穿过曲面的方向 作为电流的正方向，当曲面（或电路导线）的参考方向与电流 正方向一致时，电流强度取正值。 3、电流密度： ①体电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位面积上所通过的电流。
J lim
I s n 0 S n
单位：安培 / 米2
②面电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位横截线上所通过的电流。
J lim
I s n 0 S n
单位：安培 / 米
4、电流密度 J 与载流子参数的关系 m dsdl I m vds dt 其中 m为运动电荷密度
从非静电力做功角度可以求得电源的电动势 E ＝
E s表示单位电荷在在电源内受到的非静电力
①在电源的内部存在着两个电场： 一个是非静电力的等效电场，另一 个是电源两极上的分布电荷在电源 内部产生的库仑电场，两者的指向 正好相反。
()
()
E s dl
E
I
J
电 源
Es E
I
E
负 载
J (E Es )
②在电源外部的媒质或空间中，只存 在由分布电荷所产生的库仑电场。 开路电压： V0
J
E
() ()
图3－5 恒定电流回路中的电场
E dl ＝ E
§3.4 欧姆定律和焦耳定律
1、欧姆定律 微分形式 低频电路形式 电阻的求解： 2、焦耳定律 微分形式
物理意义：恒定电场是一个保守场，无旋场 。 3、导电媒质中的高斯定律
导电媒质中的恒定电场不但要激发电流，也会引起媒质极化。 在恒定电场中高斯定律仍然成立
s D ds d Qin D
其中 D E
★均匀线性导电媒质中
根据第一定律 J 0 和欧姆定律 J E ， 得 J ( E ) E 0 E 0 故有
E U P0 U E dl
P
对于均匀导电媒质，可以证明Laplace方程成立
2U 0
5、恒定电场中的导体 导体内的电场不为零，导体内部的各点和表面的电位也不是 常量，这与静电场中的导体概念是不同的。 只有理想导体 才具有与静电场中导体相同的性质。
§3.3 电源和电动势
②假定电子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬时速度平均值为0， 碰撞间隔为τ，则定向漂移速度为
vd 0 v 1 1 eE a 2 2 2 m0
③导体单位体积内的自由电子数为N，则 m Ne 在①②③条件下，得 引入电导率 则有
1 Ne 2 J m vd E 2 m0 1 Ne 2 J E 2 m0
1、电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依 靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力 搬到A极板。这种提供非静电力将其它形 式的能量转为电能装置称为电源。 2、电动势 电源的非静电力把单位正电荷从电源的负极推到正极所作 的功称为该电源的电动势。
AS E = Q
电动势总是与电源的非静电力做功联系在一起，它决定于 电源本身的性质，与电源外部的电路无关。
C1
C2
再由高斯定律
D ( E) E
因此
结论：
0
①当均匀媒质中存在恒定电流时，其内部体电荷密度处处等于零。
②均匀导电媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上。
4、恒定电场中的电位 恒定电场是一个保守场，所以可以引入位函数来描述
l
E dl 0
s
J ds 0
1
得到边界条件： ˆ ( E1 E2 ) 0 或 n ˆ (J1 J 2 ) 0 或 n
2
E1t E 2t J 1n J 2n
2
J 2 2 E2
1 Ne 2 2 m0 J E
欧姆定律的微分形式
§3.2
恒定电流场的基本定律
s J dS t d Jd t d
J
1、第一基本定律 电荷守恒定律 应用散度定理得
由此得到电荷守恒定律的微分形式
0 在恒定电场中 t S J dS 0 得恒定电流场第一基本定律
t
J 0
物理意义：恒定电流密度场是一个无源场 。 推论：基尔霍夫第一方程
Ii
i 1
N
0
2、第二基本定律
根据恒定电流场 t 0 可知整个空间的电荷密度分布将不 随时间改变，即恒定电流场具有恒定的电荷密度分布。 而电场强度只决定于电荷密度的分布，故恒定电场与静电场 一样也是一个保守场。 l E dl 0 得恒定电流场第二基本定律 E 0
J E
V RI
R dR
l l
dl S
低频电路形式
p JE J E P J E d Jds Edl IV
s
§3.5 恒定电流场的边界条件
1、E 和 J 的边界条件
ˆ n
将恒定电1
J
v
dl
v dl dt 为电荷平均运动速度
因为 所以
I Jds
ds
m
J mv
写成矢量形式
J mv
图3－2 电流中的柱状体元
v
是大量运动电荷的定向平均速度
5、欧姆定律的微观解释
以金属为例，作以下假定
①假定运动电荷是电子，则在电场作用下加速度为
a f eE m0 m0